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专题19.7 正比例函数（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】正比例函数的定义
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
1
例如等y= x，y=-3x都是正比例函数
3
【知识点二】待定系数法求正比例函数解析式
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式
的方法叫做待定系数法.
待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
（1）设出含有待定系数k的函数解析式y=kx（k≠0）.
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一
次方程.
（3）解方程，求出待定系数k.
（4）将求得的待定系数k的值代入解析式.
【知识点三】正比例函数的图象与性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图像是经过原点（0,0）的一条直线.
k的符号 函数图像 图象的位置 增减性
k＞0 图象过第一、三象限 y随x的增大而增大
k＜0 图象过第二、四象限 y随x的增大而减小【考点目录】
【考点1】正比例函数的定义； 【考点2】求正比例函的解析式；
【考点3】正比例函数的图象； 【考点4】正比例函数的性质；
【考点5】正比例函数图象与性质综合；
【考点1】正比例函数的定义；
【例1】下列式子，哪些y是x的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k的值．
（1） ； （2） ； （3） .
【答案】（1）不是正比例函数；（2）不是正比例函数；（3）是正比例函数，正比例系数是2
【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数
的一般形式为 判断即可．
（1）根据正比例函数的一般形式为 判断即可．
（2）根据正比例函数的一般形式为 判断即可．
（3）先去括号化简，根据正比例函数的一般形式为 判断即可．
（1）解： 不是正比例函数．
（2）解： 不是正比例函数．
（3）解： ，是正比例函数，正比例系数是2．
【变式1】下面哪个函数是正比例函数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义逐项判断即可，解题关键是掌握正比例函数形如 ，正比例函数的定义条件是： 为常数且 ，自变量次数为 ．
解： 、 是反比例函数，不符合题意；
、 是一次函数，不符合题意；
、 是正比例函数，符合题意；
、 是一次函数，不符合题意；
故选： ．
【变式2】若函数 是正比例函数，则 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查正比例函数的定义，由正比例函数的定义得 且 ，求出 的值即
可，熟练掌握正比例函数的定义是解此题的关键．
解：∵函数 是正比例函数，
∴ 且 ，
解得， ，
故答案为：3．
【考点2】求正比例函的解析式；
【例2】已知y与x成正比例，且当 时， ．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点 在这个函数的图象上，求a的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了正比例函数解析式，求自变量的值．熟练掌握正比例函数解析式，求自变量的值
是解题的关键．
（1）设正比例函数为 ，将 ， 代入得， ，计算求解，然后作答即可；
（2）将 代入 得， ，计算求解即可．（1）解：设正比例函数为 ，
将 ， 代入得， ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：将 代入 得， ，
解得， ，
∴a的值为 ．
【变式1】已知函数 ，（m ，n是常数）是正比例函数， 的值为（ ）
A． 或0 B． C．0 D．
【答案】D
【分析】按正比例函数的定义解答，正比例函数的定义是形如 （k是常数，）的函数，叫做正比
例函数．
解：∵函数 ，（m ，n是常数）是正比例函数，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了正比例函数等，解决问题的关键是熟练掌握正比例函数的定义，解方程或不
等式．【变式2】已知 与 成正比例，且当 时， ，则y关于x的函数表达式为
．
【答案】
【分析】本题考查了正比例的定义，待定系数法求正比例函解析式，设正比例函数解析式为
，根据 时， ，代入求解出k的值即可．
解：设正比例函数解析式为 ，
∵当 时， ，
∴ ，解得 ，
∴y关于x的函数表达式为： ，
故答案为： ．
【考点3】正比例函数的图象；
【例3】已知正比例函数过点 ，点 在 正半轴上，又 ，且 ．
（1）求正比例函数解析式；
（2）求点 的坐标．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）设正比例函数的解析式为 ，再把 代入即可求出 的值；
（2）设出 点坐标，表示出 ，然后根据三角形面积公式得到关于 的方程，解方程得到n值，结
合点P的位置，可得结果．
（1）解：设正比例函数为 ，
，
，解得 ，
正比例函数的解析式为： ．（2）设 ，
，
，
．
，
，
或 ，又点 在 正半轴上，
∴
点坐标为 ．
【点拨】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，三角形的面积，熟知待定系数法是解答此
题的关键．
【变式1】如图，正比例函数y＝kx，y＝mx，y＝nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则比
例系数k，m，n的大小关系是（ ）
A．n＜m＜k B．m＜k＜n C．k＜m＜n D．k＜n＜m
【答案】A
【分析】根据函数图象所在象限可判断出k＞0，m＞0，n＜0，再根据直线上升的快慢可得k＞m，进
而得到答案．
解：∵正比例函数y＝kx，y＝mx的图象在一、三象限，
∴k＞0，m＞0，
∵y＝kx的图象比y＝mx的图象上升得快，
∴k＞m＞0，
∵y＝nx的图象在二、四象限，
∴n＜0，
∴k＞m＞n，故选：A．
【点拨】本题考查了正比例函数图象，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线，
当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的
增大而减小．
【变式2】若 与 成正比例，且当 时， ，则当 时， 的值是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，设该正比例函数的解析式为 ，把 代入，
求出k的值，得出该正比例函数的解析式，再把 代入，即可求出x的值．
解：设该正比例函数的解析式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴该正比例函数的解析式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【考点4】正比例函数的性质；
【例4】已知正比例函数 ．
（1）k为何值时，函数的图象经过第一、三象限；
（2）k为何值时，函数值y随自变量x的增大而减小．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】本题主要考查了正比例函数，熟练掌握正比例函数的增减性，函数图象所经过的象限与正比
例系数之间的关系，是解决问题的关键．
（1）当正比例系数大于0时，函数图象经过一、三象限，则有 ，求解就能确定k的范围；
（2）当正比例系数小于0时，y随x的增大而减小，则有 ，求解就能确定k的范围．解：（1）∵函数的图象经过一、三象限，
∴ ，
解得 ．
故当 时，函数的图象经过一、三象限．
（2）∵y随x的增大而减小，
∴ ，
解得 ．
故当 时，y随x的增大而减小．
【变式1】关于正比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．图象不经过原点 B． 随 的增大而增大
C．图象经过第二、四象限 D．当 时，
【答案】C
【分析】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特征及正比例函数的性质，根据正比例函数的性质
对各选项进行逐一分析即可．
解：A、∵函数 是正比例函数，∴函数图象经过原点，原说法错误，不符合题意；
B、∵ ，∴y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意；
C、∵ ，∴函数图象经过第二、四象限，正确，符合题意；
D、当 时， ，原说法错误，不符合题意．
故选：C．
【变式2】已知正比例函数 ，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是
【答案】 /
【分析】本题考查正比例函数的性质，根据正比例函数 ，当 时，y的值随x的值的
增大而增大；当 时，y的值随x的值的增大而减小解答即可，也是解题关键．
解：∵正比例函数 ，y的值随x的值的增大而增大，
∴ ，解得： ．
故答案为： ．
【考点5】正比例函数图象与性质综合；
【例5】已知：如图点 在正比例函数图象上，点B坐标为 ，连接 ， ，
点C是线段 的中点，点P在线段 上以每秒2个单位的速度由点B向点O运动，点Q在线段 上由
点A向点O运动，P、Q两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒
（1）求该正比例函数的解析式：
（2）当 秒，且 时，求点Q的坐标：
（3）连接 ，在点P、Q运动过程中， 与 是否全等？如果全等，请求出点Q的运动
速度；如果不全等，请说明理由
【答案】（1） ；（2） ；（3）当点Q的运动速度是每秒 个单位或每秒 个单位时，
与 全等．
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，正比例函数的性质，全等三角形的性质等等：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点Q作 轴于点H，先求出 的长，进而利用三角形面积公式求出 的长，即点Q
的纵坐标，再把点Q纵坐标代入（1）所求解析式中进行求解即可；
（3）分当 时，②当 时，两种情况先求出运动时间，再求出点Q的路程即可求出点Q的速度．
（1）解：设正比例函数的解析式为 ，
把 代入 中得：
解得： ，
∴该正比例函数的解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
如图，过点Q作 轴于点H，
∵ ，
∴ ．
在 中，当 时，解得 ，
∴ ．
（3）解：∵ ，点C是线段 的中点，
∴ ， ．
①当 时，
∵ ，
∴ ， ，
解得： ．
∵∴ ．
∴点Q运动的速度为 个单位/秒．
②当 时，
∴ ，
解得： ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
解得： ．
∴点Q运动的速度为 个单位/秒．
综上所述：当点Q的运动速度是每秒 个单位或每秒 个单位时， 与 全等．
【变式1】如图，点B、C分别在直线y=2x和y=kx上，点A、D是x轴上的两点，已知四边形ABCD
是正方形，则k的值为（ ）
A． B．1 C． D．不能确定
【答案】A
【分析】设 ，根据一次函数解析式用a表示B、C两点，再表示出AB、BC的长，用 列
式求出k的值．
解：设 ，则B点横坐标也是a，∵B点在直线 上，∴ ，
B点纵坐标和C点相同，且C点在直线 上，
令 ，解得 ，则 ，
根据A、B、C坐标得 ， ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ 即 ，解得 ．
故选：A．
【点拨】本题考查一次函数的图象和几何综合，解题的关键是利用数形结合的思想，先设点坐标，然
后根据几何的性质列式求解．
【变式2】如图，在平面直角坐标系 中，四边形 为矩形，边 、 分别在 轴、 轴的
正半轴上，点 、 在直线 上，且点 、 分别是 、 的中点．点 、 分别是 、
上的动点，且 ，若 ，则 的最小值为 ．
【答案】 +4
【分析】作EE′∥AB，且EE′=AB，连接DE′，与B的C交点就是点M，此时DM+MN+NE的值最小；此时
四边形ENME′为平行四边形，NE=EM，即可得到EN+DM=E′D，两点之间，线段最短．
解：作EE′∥AB，且EE′=AB，连接DE′，与B的C交点就是点M，此时DM+MN+NE的值最小，
∵OA=6，
∴D的横坐标为6，把x=6代入y= x求得y=8，
∴AD=8，
∴D（6，8），
∵点O、B分别是DE、AD的中点，
∴MN=AB=EE′=4，
∴E′（-6，-4），
∴DE′= ，
∴DM+MN+NE=DE′+MN= +4，
故答案为： +4．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间线
段最短是解题的关键．
