文档内容
第 08 讲 一次函数（13 个知识点+13 种题型+强化训练）
知识导图知识清单
知识点1．一次函数的定义
（1）一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
（2）注意：
①又一次函数的定义可知：函数为一次函数 其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）
的形式． ⇔
②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．
④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．
知识点2．正比例函数的定义
（1）正比例函数的定义：
一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是
常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
（2）正比例函数图象的性质
正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．
当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k
＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，
k≠0）的图象．
知识点3．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣ ，0）或（1，k+b）作直线y＝
kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，
所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不
平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x
＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位
而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
知识点4．正比例函数的图象
正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是
k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条
过原点的直线．
知识点5．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到
右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴
交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
知识点6．正比例函数的性质
单调性
当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），
为增函数；[1]
当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），
为减函数．
对称性
对称点：关于原点成中心对称．[1]
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．
知识点7．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴
交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
知识点8．一次⇔函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是
（﹣ ，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
知识点9．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
知识点10．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的
方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函
数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
知识点11．待定系数法求正比例函数解析式
步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系
数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式．
知识点12．一次函数与一元一次方程
一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数
函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标．
知识点13．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范
围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标
所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣ ，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞ ，不等式kx+b＜0的解为：x＜ ；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜ ，不等式kx+b＜0的解为：x＞ ．
知识复习
一．一次函数的定义（共3小题）
1．（2023春•阳西县期末）已知函数 是关于 的一次函数，则 的值为
．
【分析】根据一次函数的定义条件：次数最高项是一次项，且一次项系数不等于 0即可求
解．
【解答】解：根据题意得： 且 ，
则 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数 的定义条件是： 、
为常数， ，自变量次数为1，是解题关键．
2．（2023•宁明县期中）下列是 关于 的函数，其中是一次函数的为
A． B． C． D．
【分析】根据一次函数的定义及表达式逐一判定即可求解．
【解答】解： 选项， 是 关于 的二次函数，不符合题意；
选项， ， 不是 的一次函数，不符合题意；
选项， 是 关于 的一次函数，符合题意；
选项， 中 的值不确定，不能判定，不符合题意；
故选： ．
【点评】本题主要考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义及表达式是解题的关键．3．（2023春•益阳期末）已知函数 ．
（1）当 为何值时， 是 的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则 为何值时， 的值为3？
【分析】（1）根据一次函数 的定义条件是： 、 为常数， ，自变量次数
为1，可得答案；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：（1）由 是一次函数，得
，
解得 ．
故当 时， 是一次函数；
（2）当 时， ，解得 ，
故当 时， 的值为3．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数 的定义条件是： 、 为常
数， ，自变量次数为1．
二．正比例函数的定义（共3小题）
4．（2023春•沧州期末）若 关于 的函数 是正比例函数，则 ， 应满足
的条件是
A． B． C． 且 D． 且
【分析】直接利用正比例函数的定义分析求出答案．
【解答】解： 是 关于 的正比例函数，
， ，
解得： ， ．
故选： ．【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握正比例函数一般形式是解题关键．
5．（2023春•巨野县期末）已知函数 是正比例函数，则 ．
【分析】由正比例函数的定义可得 ，且 ．
【解答】解：由正比例函数的定义可得： ，且 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例
函数 的定义条件是： 为常数且 ，自变量次数为1．
6．（2023春•临清市月考）已知关于 的函数 ．
（1）当 ， 为何值时，此函数是一次函数？
（2）当 ， 为何值时，此函数是正比例函数？
【分析】（1）直接利用一次函数的定义分析得出答案；
（2）直接利用正比例函数的定义分析得出答案
【解答】解：（1）根据一次函数的定义，得：
，
解得： ．
又 即 ，
当 ， 为任意实数时，这个函数是一次函数；
（2）根据正比例函数的定义，得：
， ，
解得： ， ，
又 即 ，
当 ， 时，这个函数是正比例函数．
【点评】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握次数与系数的关系是
解题关键．
三．一次函数的图象（共3小题）7．（2023•金安区一模）一次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图
象大致是
A． B．
C． D．
【分析】先根据一次函数 的图象判断出 ， 的符号，进而可得出结论．
【解答】解：由一次函数 的图象可知， ， ，
，
一次函数 的图象经过二、三、四象限．
故选： ．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
8．（2023•温江区模拟）已知一次函数 的图象如图所示，则 ．【分析】通过一次函数的解析式和 的角，可以确定 ， 的长度，再把点 的坐标
代入解析式求出 的值．
【解答】解：由解析式 可知点 坐标为 ，即 ，
，
，
，
，
点 的坐标为 ， ，
把点 ， 代入解析式 得，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了一次函数的解析式，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值和待定系
数法求函数的解析式．
9．（2023春•安达市校级期末）画出函数 的图象．
【分析】根据一次函数的图象是直线，只需确定直线上两个特殊点即可．【解答】解：函数 经过点 ， ， ．
图象如图所示：
【点评】本题考查一次函数的图象的作法，解题的关键是一次函数的图象是直线，确定两
点即可画出直线，属于中考常考题型．
四．正比例函数的图象（共3小题）
10．（2023春•红谷滩区校级期末）一次函数 与正比例函数 在同一坐标
系中的图象大致是
A． B．
C． D．
【分析】根据 、 的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
【解答】解： 、若 ， ，则 经过一、二、三象限， 经过二、
四象限，
、 ， ，则 经过一、三、四象限， 经过一、三象限，
、若 ， ，则 经过一、二、三象限， 经过二、四象限，、若 ， ，则 经过二、三、四象限， 经过一、三象限，
故选： ．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数 的图象有四种情况：
①当 ， ，函数 的图象经过第一、二、三象限；
②当 ， ，函数 的图象经过第一、三、四象限；
③当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、四象限；
④当 ， 时，函数 的图象经过第二、三、四象限．
11．（2023春•双辽市期末）函数 与 的图象如图所示，则 1 ．
【分析】首先根据一次函数 与 图象的交点纵坐标为 4，代入一次函数
求得交点坐标为 ，然后代入 求得 值即可．
【解答】解： 一次函数 与 图象的交点纵坐标为4，
，
解得： ，
交点坐标为 ，
代入 ， ，解得 ．
故答案为：1【点评】本题考查了两条直线平行或相交问题，解题的关键是交点坐标适合 与
两个解析式．
12．（2023春•津南区期中）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数 的图象．
（1）列表：
0 1 2
（2）描点并连线．
【分析】（1）把 的值代入 求得 的对应值即可；
（2）在平面直角坐标系中描点并连线即可得到函数图象．
【解答】解：（1）列表：
0 1 2
2 1 0
（2）描点并连线如图所示．【点评】本题考查了正比例函数的图象，正确地画出函数的图象是解题的关键．
五．一次函数的性质（共3小题）
13．（2023•余江区期末）若直线 经过第一、二、四象限，则函数 的大
致图象是
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数 的图象经过第一、二、四象限，可以得到 和 的正负，
然后根据一次函数的性质，即可得到一次函数 图象经过哪几个象限，从而可以解
答本题．
【解答】解： 一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
， ，， ，
一次函数 图象第一、二、三象限，
故选： ．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解
答．
14．（2024 春•闵行区期中）一次函数 ，当 时，函数值 的范围是
，那么代数式 的值是 4 ．
【分析】当 时， ，当 时， ，可得 即可求解
【解答】解：由题意可知，当 时， ①，
当 时， ②，
② ①得： ，
，
，
故答案为：4．
【点评】本题考查了代数式求值，一次函数的图象与性质，掌握整体代入思想是解题的关
键．
15．（2023春•方城县期中）已知直线 ．
（1）请用两点法列表、描点并连线画出该函数的图象；
（2）结合所画图象，分别找出满足下列条件的点，并写出它的坐标：
①横坐标是 ；
②和 轴的距离是2个单位．
【分析】（1）根据直线 求出两点即可画出图象；
（2）①过 作 轴的垂线于直线交点即可确定坐标；
②分两种情况：即纵坐标为2或 时，分别代入计算即可．【解答】解：（1）由直线 ．
令 时： ，则过 点，
令 时； ，则过 点，
（2）①当 时， ，
横坐标是 的点是 ；
②当 时， ，
解得 ，
当 时， ，
解得 ，
和 轴的距离是2个单位的点的坐标为 或 ．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中直线上点的坐标特征．
六．正比例函数的性质（共3小题）
16．（2023•金山区二模）已知函数 ， 为常数）的函数值 随 值的增大而减
小，那么这个函数图象可能经过的点是A． B． C． D．
【分析】由函数 ， 为常数）的函数值 随 值的增大而减小，可得出 ，
进而可得出正比例函数 ， 为常数）的图象经过第二、四象限，再对照四个选
项即可得出结论．
【解答】解： 函数 ， 为常数）的函数值 随 值的增大而减小，
，
正比例函数 ， 为常数）的图象经过第二、四象限，
这个函数图象可能经过的点是 ．
故选： ．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当 时，函数图象位于第一、三象限，
随 的增大而增大；当 时，函数图象位于第二、四象限， 随 的增大而减小”是
解题的关键．
17．（2023•范县一模）写出一个 随 的增大而减小的正比例函数的表达式 、
等 ．
【分析】由于正比例函数的一般形式为 ，并且 随 的增大而减小，所以 是一个负
数，由此可以确定函数的表达式．
【解答】解： 正比例函数的一般形式为 ，并且 随 的增大而减小，
答案不唯一： 、 等．
【点评】此题是一个开放性试题，答案不唯一，主要利用正比例函数的性质即可解决问题．
18．（2023春•陵城区校级月考）已知 与 成正比例函数关系，且当 时，
．（1）写出 与 之间的函数解析式；
（2）若点 在这个函数的图象上，求 的值；
（3）若 的取值范围为 ，求 的取值范围．
【分析】（1）根据正比例的定义设 ，然后把 时， 代入计算求出
值，再整理即可得解；
（2）将点 代入（1）中所求的函数的解析式求 的值；
（3）分别代入 和 ，分别求出所对应的 的值，即可求得 的取值范围．
【解答】解：（1）设 ，
将 、 代入，得： ，解得 ，
，即 ；
（2）将点 代入 ，得： ，
解得： ；
（3）当 时， ，解得： ，
当 时， ，解得： ，
故 ．
【点评】本题综合考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图
象上点的坐标特征．一次函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式．
七．一次函数图象与系数的关系（共3小题）
19．（2023•龙泉驿区模拟）若一次函数 不经过第二象限，则 的取值范围为
．
【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定 的取值范围，从而求解．【解答】解： 一次函数 的图象不经过第二象限，
一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
且 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与 、 的关系．解答本题注意
理解：直线 所在的位置与 、 的符号有直接的关系． 时，直线必经过一、
三象限； 时，直线必经过二、四象限． 时，直线与 轴正半轴相交； 时，
直线过原点； 时，直线与 轴负半轴相交．
20．（2023春•云安区期中）已知正比例函数 ，若 的值随 的增大而减小，
则点 在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先根据正比例函数的性质确定， ，从而得出 ，即可判断点
所在的象限．
【解答】解： 正比例函数 ， 随 的增大而减小，
，
，
点 在第四象限，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，解题的关键是根据正比例函数的性质，确定
．
21．（2023春•永年区期末）已知一次函数 ，当 为何值时，（1） 随 值增大而减小；
（2）直线过原点；
（3）直线与 轴交于点 ；
（4）直线不经过第一象限；
（5）直线与 轴交于点 ．
【分析】利用一次函数的性质分别列出有关的不等式或等式求解即可．
【解答】解：（1） 随 值增大而减小，
，
解得： ，
当 时， 随 值增大而减小；
（2） 直线过原点，
，
解得： ，
时，直线过原点；
（3） 直线与 轴交于点 ，
，
解得： ，
当 时，直线与 轴交于点 ；
（4） 直线不经过第一象限，
，
解得： ，
当 时，直线不经过第一象限；
（5） 直线与 轴交于 ，
，
解得： ，当 时直线与 轴交于 ．
【点评】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是了解一次函数什么时候经过原点，什
么时候 随着 的变化而减小等函数的基本知识，难度不大．
八．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题）
22．（2023春•大安市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 上一点 关于
轴的对称点为 ，则 的值为
A． B．1 C．2 D．3
【分析】根据关于 轴的对称点的坐标特点可得 ，然后再把 点坐标代入
可得 的值．
【解答】解： 点 ，
点 关于 轴的对称点 ，
在直线 上，
，
．
故选： ．
【点评】此题主要考查了关于 轴对称点的坐标，以及一次函数图象上点的坐标特点，关
键是掌握凡是函数图象经过的点必能使解析式左右相等．
23．（2023春•平谷区期末）如图，直线 与 轴和 轴分别交于 ， 两点，射
线 于点 ，若点 是射线 上的一个动点，点 是 轴上的一个动点，且以 ，， 为顶点的三角形与 全等，则 的长为 或 6 ．
【分析】根据题意解方程得到 ，则 ，令 ，则 ，求得 ， ，
根据勾股定理得到 ，①当 时，如图1，②当 时，如图
2，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解： ，
，
，
，
在 中，
令 ，则 ，令 ，则 ，
， ，由勾股定理得 ，
①当 时，如图，
，
，
；
②当 时，如图，，
，
，
综上所述： 的长为 或6．
故答案为： 或6．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质
等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．
24．（2023春•巫溪县校级期中）在直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分
别交于点 ，点 ．直线 与 交于点 ．若点 坐标为 ．
（1）求 的坐标和 的值；
（2）点 在直线 上，若 ，求点 的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点 的横坐标为 ，则 ，过点 作 轴交直线 于点 ，由此可
表达 的长，根据三角形的面积公式可列出关于 的方程，求出 ，即可得出 点的坐标，
【解答】解：（1）当 时， ，即点 ，
将点 的坐标代入 得： ，解得： ；
（2）由（1）知，直线 ，
设点 的横坐标为 ，则 ，
过点 作 轴交直线 于点 ，
则 ，
，
直线 与 轴、 轴分别交于点 ，点 ，
，
，即 ，
解得 或 ，
或 ．
【点评】本题考查的是一次函数应用，涉及到一次函数的性质，面积的计算等，表达出
的长是本题解题的关键．
九．一次函数图象与几何变换（共3小题）
25．（2023春•雨花区期末）在平面直角坐标系中，把直线 向左平移2个单位长度，
平移后的直线解析式是
A． B． C． D．
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，把直线 向左平移2个单位长度所得的直
线的解析式是 ．即 ，
故选： ．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题
的关键．
26．（2023春•陵城区校级月考）将函数 的图象平移，使它经过点 ，则平移
后的函数表达式是 ．
【分析】根据函数图象平移的性质得出 的值，设出相应的函数解析式，再把经过的点代
入即可得出答案．
【解答】解：新直线是由一次函数 的图象平移得到的，
新直线的 ，可设新直线的解析式为： ．
经过点 ，则 ，
解得 ，
平移后图象函数的解析式为 ；
故答案为： ．
【点评】此题考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时
和 的值的变化．
27．（2023春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系 中，将经过点 的直线
向下平移5个单位得直线 ，直线 经过点 ，
（1）求直线 的解析式及点 的坐标；
（2）直线 与 轴交于点 ，求 的面积；
（3）若直线 与线段 有公共点，直接写出 的取值范围．【分析】（1）将点 代入 中求出 值，得到 的解析式，再根据平移的性质得
到 的解析式，将点 坐标代入，可得 值；
（2）在 中令 求出点 坐标，再利用割补法计算面积即可；
（3）分别将点 和点 代入 中，求出对应 值，再根据 与线段 有公共
点，结合图象得出结果．
【解答】解：（1）将 代入 中，
得： ，解得： ，
，
向下平移5个单位后，得： ，即 ，
将 代入 中，得： ，
；
（2） 中，令 ，得 ，
，
；（3）当 经过点 时，
得 ，
解得： ；
当 经过点 时，
得 ，
解得： ；
当直线 与线段 有公共点时，
或 ．
【点评】本题考查了一次函数的表达式，求一次函数的自变量和函数值，一次函数与坐标
轴的交点问题，以及综合问题，解题的关键是利用数形结合思想，从图象角度出发求出
的取值范围．
一十．待定系数法求一次函数解析式（共3小题）
28．（2023春•攸县期末）一次函数 的图象经过点 和 ，那么这个一次
函数的解析式为
A． B． C． D．
【分析】根据一次函数解析式的特点，把点 和 的坐标代入，解方程组求出 和
的值即可．【解答】根据一次函数解析式的特点，可得出方程组
解得 ， ，将其代入数 即可得到： ．
故选： ．
【点评】本题要注意利用一次函数的特点，来列出方程组，求出未知数．
29．（2023春•南开区期末）一次函数 的图象经过点 ，则 ．
【分析】因为一次函数的图象经过点 ，所以 能使 左右相等，把点的
坐标代入函数关系式可以求得 的值．
【解答】解；把 代入 中，
，
解得： ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了待定系数法求函数关系式，是一个常规题，比较基础．
30．（2023春•思明区校级期中）如图，在平面直角坐标系 中，直线 经过点
与 ，点 为 的中点，平行四边形 的顶点 在 轴上，顶点 在直线 上．
（1）求直线 的函数解析式；
（2）求 的面积．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得点 的坐标，利用平行四边形的性质得到点 的纵坐标为 2，再求得点，根据平行四边形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）设直线 的函数解析式为 ，
，解得 ，
直线 的函数解析式为 ；
（2） 点 ，点 为 的中点，
点 ，
四边形 是平行四边形，
轴，
点 的纵坐标为2，
当 时， ，解得 ，
点 ，
，
平行四边形 的面积为 ．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是
熟练掌握待定系数法，能正确求出相关直线的解析式．
一十一．待定系数法求正比例函数解析式（共3小题）
31．（2023春•樊城区期末）已知 是正比例函数，且 随 的增大而减小，
那么这个函数的解析式为
A． B． C． D．
【分析】根据正比例函数的定义和性质列出关于 的不等式组，求出 的值即可．
【解答】解：由题意知 且 ，解得 ，且 ，
．
．
故选： ．
【点评】本题考查的是正比例函数的定义和性质，熟记形如 的函数叫正比例
函数是关键．
32．（2023春•同安区期末）正比例函数的图象经过点 ，则函数的表达式为
．
【分析】设所求的正比例函数的解析式为 ．将点 代入该解析式中，列出
关于系数 的方程，通过解方程即可求得 的值．
【解答】解：设所求的正比例函数的解析式为 ．则根据题意，得
，
解得， ，
则函数的表达式为 ；
故答案为： ．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式．此类题目需灵活运用待定系数法
建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
33．（2023春•荆门期末）已知 与 成正比例， 且 时 ，
（1） 求 与 之间的函数关系式；
（2） 设点 在这个函数的图象上， 求 ．
【分析】（1） 根据题意可设 ，再把当 时， 代入可得 的值，
进而得到函数解析式；
（2） 将点的坐标代入正比例函数的解析式求得 的值即可 ．【解答】解： （1） 与 成正比例，
设 ，
当 时， ，
，
，
与 的函数关系式为 ，
（2） 点 在函数关系式为 的图象上，
，
．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式， 关键是正确掌握正比例
函数的定义： ．
一十二．一次函数与一元一次方程（共3小题）
34．（2023•路桥区一模）如图，直线 与 轴交点的横坐标为1，则关于
的方程 的解为
A．1 B． C．2 D．
【分析】根据一次函数与 轴交点的横坐标即为其相应一元一次方程的解，结合图象即可
解答．【解答】解： 直线 与 轴交点的横坐标为1，
关于 的方程 的解为 ．
故选： ．
【点评】本题考查已知直线与坐标轴的交点求方程的解．掌握一次函数与 轴交点的横坐
标即为其相应一元一次方程的解是解题关键．
35．（2023春•凤山县期末）如图，直线 与 相交于点 ，则关于 的
方程 的解是 ．
【分析】首先利用函数解析式 求出 的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就
是关于 的方程 的解可得答案．
【解答】解： 直线 与 相交于点 ，
，
，
，
关于 的方程 的解是 ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
36．（2023春•石狮市校级期中）已知一次函数 ，完成下列问题：
（1）在所给直角坐标系中画出此函数的图象；
（2）根据函数图象回答：方程 的解是 ；
当 时， ；当 时，相应 的取值范围是 ．【分析】（1）利用描点法画函数图象；
（2）利用函数图象解决问题．
【解答】解：（1）如图，
（2）由图象可得 时， ，所以方程 的解是 ；
由图象可得 时， ，所以方程 的解是 ；
由图象可得当 时， ．
故答案为 ； ； ．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为
， 为常数， 的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函
数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线 确定它与轴的交点的横坐标的值．
一十三．一次函数与一元一次不等式（共3小题）
37．（2023•陇西县校级模拟）一次函数 的图象如图所示，点 在该
函数的图象上，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
【分析】观察函数图象得到即可．
【解答】解：由图象可得：当 时， ，
所以不等式 的解集为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一
次函数 的值大于（或小于）0的自变量 的取值范围；从函数图象的角度看，就
是确定直线 在 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
38．（2023春•老城区校级月考）如图，直线 与直线 交于点 ，则
关于 的不等式 的解集是 ．
【分析】观察函数图象得到当 时，函数 的图象都在 的图象下方，所
以关于 的不等式 的解集为 ．【解答】解：由函数图象知，当 时， ，
即不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
的值大于（或小于）0的自变量 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定
直线 在 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
39．（2023春•薛城区期中）已知一次函数 、 为常数，且 的图象（如图
．
（1）方程 的解为 ，不等式 的解集为 ；
（2）正比例函数 为常数，且 与一次函数 相交于点 （如图 ，
则不等式组 的解集为 ；
（3）比较 与 的大小（直接写出结果）．
【分析】（1）根据点 的坐标即可得方程 的解，再根据点 的坐标即可得不等
式 的解集；
（2）根据函数图象分别求出不等式 和 的解集，再找出它们的公共部分即
可得不等式组的解集；
（3）根据点 的横坐标，分 ， 和 三种情况，结合函数图象即可得．
【解答】解：（1）由函数图象可知，方程 的解为 ，不等式 的解集为 ，
故答案为： ， ；
（2） ，
由函数图象可知，不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ，
则这个不等式组的解集为 ，
故答案为： ；
（3）由函数图象可知，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ．
【点评】本题考查了一次函数与方程、不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．
强化训练
一、单选题
1．（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于 的函数 是正比例函
数，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如 的函数叫做正比
例函数，据此求解即可．
【详解】解：∵关于 的函数 是正比例函数,
∴ ， ，
∴ ，
故选：B．
2．（22-23八年级下·河北保定·期末）直线 沿 轴向上平移 个单位长度后，图
象与 轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查了一次函数图象与平移，利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进
而得出图象与 轴的交点，根据平移得出平移后解析式是解题的关键．
【详解】解：直线 沿 轴向上平移 个单位长度后得到函数的解析式为
，
当 时，
则 ，
∴ ，
∴函数 的图象与 轴的交点坐标是 ，
故选： ．
3．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期末）若正比例函数 中y随x的增大而增大，则一次
函数 的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象及正比例函数的性质，根据正比例函数 中y随x
的增大而增大得 ，再根据一次函数的性质即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解： 正比例函数 中y随x的增大而增大，
，
一次函数 的图象经过第一、三、四象限，
故选B．
4．（22-23八年级下·山东德州·阶段练习）如图为一次函数 的图象，则一次函数
的图象大致是（ ）A． B． C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数 当
时经过一、三象限，反之，经过二、四象限，当 时，与y轴交于正半轴，反之，
与y轴交于负半轴．先根据图象得出k和b的符号，即可解答．
【详解】解：由图可知，一次函数图象经过一、二、四象限，于y轴相较于正半轴，
∴ ， ，
则 ，
∴一次函数 图象经过一、二、三象限，
故选：A．
5．（22-23八年级下·河南开封·期末）若一次函数 的图象如图所示，则下列说法正
确的是（ ）A． B． C． 随 的增大而增大 D． 时，
【答案】B
【分析】待定系数法求得解析式，进而逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵一次函数 的图象过点 ，
∴
解得：
∴解析式为
∴ ，当 时， ， 随 的增大而减小，
故只有B选项正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解
题的关键．
6．（20-21八年级下·辽宁丹东·期末）如图，一次函数 图象经过点 ，与正
比例函数 的图象交于点 ，则不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：当 时，直线 都在
直线 的上方，当 时，直线 在x轴上方，于是可得到不等式
的解集．
【详解】解：当 时， ，
∵一次函数 图象经过点 ，
∴ 时， ，
∴不等式 的解集为 ．
故选D．
7．（22-23八年级下·四川泸州·期末）对于一次函数 （k，b为常数），表中给出5
组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（
）
x 0 1 3
y 3 1 0
A． B．0 C．1 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，先任取两组
值利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把剩下的三组值代入解析式中，若只有一组
值不满足函数解析式，则改组的函数值为错误的函数值，若超过一组不满足，则重合代值
计算函数解析式，据此求解即可．【详解】解：把 代入 中得 ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴只有 不满足 ，
∴这个错误的函数值是3，
故选：D．
8．（22-23八年级下·全国·期末）如图，点A的坐标为 ，直线 与x轴交于点
B，与y轴交于点C，点D在直线 上运动，当线段 取得最小值时，点D的坐标
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰直角三角形的判定与性质可得 ，再根据垂线段最短可知，当
时，线段 最短，过点D作 轴于点E，利用等腰三角形的三线合一可得
，再然后将 代入直线 可得点D的纵坐标，由此即可得．
【详解】解：对于直线 ，当 时， ，解得 ，即 ， ，
当 时，y＝﹣5，即 ， ，
是等腰直角三角形，
∴ ，
由垂线段最短可知，如图，当 时，线段 最短，
则 是等腰直角三角形，
过点D作 轴于点E，
∴点E是 的中点（等腰三角形的三线合一），
∴点E的坐标为 ，即为 ，
∴点D的横坐标为 ，
将 代入直线 得，
，
则点D的坐标为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、垂线段最短、等腰三角形的判定与性质等知
识点，熟练掌握待定系数法和垂线段最短是解题关键．
9．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知一次函数 的图象如图所示，则 ，
的取值范围是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据一次函数的图象与系数的关系
进行解答即可，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过二、三、四象限，
∴ ， ，
故选： ．
10．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，一次函数 与 的图象
相交于点 ，则关于 ， 的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程 组 ，先利用 确定 点坐标，然后
根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，解题的关键是正确理
解方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．【详解】解：把 代入 得 ，解得 ，
所以 点坐标为 ，
所以关于 ， 的二元一次方程组 的解是 ，
故选： ．
二、填空题
11．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若直线 的图象经过第一、三象限，则
的取值范围是
【答案】 /
【分析】本题考查正比例函数图象与系数的关系，正比例函数的性质，根据正比例函数
，当 时函数图象经过一、三象限，即可得k的取值范围即可．
【详解】解：正比例函数 的图象经过第一、三象限，
∴ ，
故答案为： ．
12．（20八年级下·湖北武汉·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝|3x－1|＋2的
图象记为l ，y＝x－7的图象记为l ，把l 、l 组成的图形记为图形M．若直线y＝kx－5与
1 2 1 2
图形M有且只有一个公共点，则k应满足的条件是
【答案】－3≤k≤3且k≠1．
【分析】根据图像即可求得k的取值范围．
【详解】根据题意当x≥ 时，y＝3x－1＋2＝3x+1；当x＜ 时，y＝1-3x＋2＝3-3x，
由此画出图形M，直线y＝kx－5过定点（0，-5），交点在l 上，
2
如图可得：－3≤k≤3且k≠1，
故答案为：－3≤k≤3且k≠1．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，画出图像是本题关键．
13．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，
沿 轴向右平移后得到 ，点 的对应点 在直线 上，则点 与其对应
点 间的距离为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化-平移，利用平移的
性质及一次函数图象上点的坐标特征，连接 ，利用平移的性质可得出 ，
且 轴，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点 的坐标，结合点A的坐标可
得出 的值，此题得解．
【详解】解：连接 ，如图所示，
根据平移可知： ，且 轴．当 时， ，
解得： ，
∴点 的坐标为 ，
又∵点A的坐标为 ，
∴ ．
故答案为：4．
14．（22-23八年级下·江苏南通·期中）若一次函数 与 的图象交于点 ，
则关于 的方程 的解为 ．
【答案】1
【分析】由一次函数 与 的图象交于点 得到 ，代入方程
即可求出方程的解．
【详解】解： 一次函数 与 的图象交于点 ，
当 时， ， ，
，
由 得 ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是根据图象的交点得到
．
15．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）一次函数 上有两个点A，B，且
，则m，n的大小关系为m n．
【答案】＞【分析】根据一次函数的增减性，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴y随x的增大而减小，
∵ ，
∴ ，
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，求函数值，熟练掌握对于一次函数
，当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小是解
题的关键．
16．（20-21八年级下·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的边 落
在x轴的正半轴上，且点 ，点 ，直线 以每秒1个单位长度的速度沿
y轴向下平移，经过 秒该直线可将 分成面积相等的两部分．
【答案】6
【分析】
此题考查了平行四边形的性质，以及一次函数的知识，关键是正确掌握经过平行四边形对
角线交点的直线平分平行四边形的面积．先连接 ，交于点D，当 经过D
点时，该直线可将 的面积平分，然后计算出过D且平行直线 的直线解析
式，从而可得直线 要向下平移6个单位，进而可得答案．
【详解】解：连接 ，交于点D，当 经过D点时，该直线可将 的
面积平分；∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，，
∴ ，
设 的解析式为 ，
∵平行于 ，
∴ ，
∵过 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的解析式为 ，
∴直线 于y轴交于点 ，
∴直线 要向下平移6个单位，
∴时间为6秒，
故答案为：6．
17．（22-23八年级下·山东聊城·期末）如图，在直角坐标系中，矩形 的顶点 在坐
标原点，顶点 ， 分别在 轴， 轴上， ， 两点坐标分别为 ， ，线段
在边 上移动，保持 ，当四边形 的周长最小时，点 的坐标为 ．【答案】
【分析】在矩形 边 上截取 ，可证四边形 是平行四边形，可得
，由对称性可得 ，则四边形 的周长 ，由
和 是定值，则当 有最小值时，四边形 的周长有最小值，即当点 ，
点 ，点 共线时， 有最小值，利用待定系数法可求 解析式，即可求解．
【详解】解：在矩形 边 上截取 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接
交 于点 ，如图所示：
， ，
四边形 是平行四边形，
，
点 与点 关于 轴对称，
，点 坐标为 ，
四边形 的周长 ，
四边形 的周长 ，
和 是定值，
当 有最小值时，四边形 的周长有最小值，当点 、 、 三点共线时， 有最小值，
点 ， ，
，即点 ，
设直线 的解析式为 ，将 、 代入得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
点 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，坐标与图形，平行四边形的判定和性质，一
次函数的性质等知识，确定点 的位置是解题的关键．
18．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线 与y轴交于
点 ，按如图方式作正方形 ， ， ，…， ，点 ， ，
，…， 在直线 上，点 ， ， ，… 在x轴上，连接 ， ，…，
，则直线 的解析式为 ．
【答案】【分析】根据直线 和各个正方形，求出点 和点 的坐标，
根据它们的变化规律求出点 和 的坐标，再由待定系数法求出直线 的解析式即
可．
【详解】解：当 时， ，
∴ ．
又∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ 的横坐标为1，纵坐标 ，
∴ ，
∴ 的横坐标为 ，
∴ ，
∴ 的横坐标为3，纵坐标 ，
∴ ，
∴ 的横坐标为 ，
∴ ，
∴ 的横坐标为7，纵坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
，∴ ．
设直线 的解析式为 ，将点 ， ，
分别代入，得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为
故答案为： ．
【点睛】本题考查点的坐标规律探索，一次函数的图象和性质，正方形的性质．找出点的
坐标的变化规律，进而求出点 和 的坐标是解答本题的关键．
三、解答题
19．（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）若y与x成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当 时，x的值是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，把x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x函数关系；
（2）把 代入计算即可求出x的值．
【详解】（1）解：设 ，
把 ， 代入得： ，
解得 ，
即y与x之间的函数关系式为： ．（2）解：把 代入 得： ，
解得 ，
即x的值是 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、求自变量的取值等知识点，熟练
掌握待定系数法是解本题的关键．
20．（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）已知一次函数 （k为常数， ）的
图象经过点 和 ．
(1)求该一次函数的解析式，并画出其图象；
(2)当 时，求x的取值范围．
【答案】(1) ，图象见解析
(2) ．
【分析】（1）利用待定系数法将点 和 代入 求解即可；
（2）求得临界点的坐标，结合图象即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象过点 和 ，
∴ ，解得： ，
∴该函数的解析式为 ；
其图象如下图所示：；
（2）解：∵ ，
∴一次函数 的函数值y随x的增大而增大，
当 时，解得 ；当 时， ．
当 时， ．
即：当 时，x的取值范围是 ．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数表达式，一次函数的性质，掌握待定系数法与
一次函数的增减性是解本题的关键．
21．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知正比例函数 ．
(1)若点 和点 为函数图象上的两点，且 ，求a的取值范围；
(2)若函数的图象经过点 ．
①求此函数解析式；
②如果x的取值范围是 ，求y的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，正比例函数的性质以及正比例函
数的图象上点的坐标特征，解答该题时，充分利用了正比例函数图象上点的坐标特征．
（1）先根据 得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可
（2）①利用正比例函数图象上点的坐标特征，将点 代入该函数解析式，求得a值即可，②把 分别代入解析式求得函数值，即可求得y的取值范围
【详解】（1）解：由题意知正比例函数 得图象上两点点 和点
，且 ，
y随x的增大而减小，
，
；
（2）① 正比例函数 的图象经过点 ，
，
解得 ，
则此函数关系式为 ；
②由①得 ，
画出函数图像：
当 时， ；当 时， ，
y的取值范围为 ．
22．（20-21八年级·全国·假期作业）正方形的面积S是边长x的函数，它的表达式是S＝
x2．如果正方形的边长的变化范围很小，例如x从1变到1.08，我们来观察面积S的变化情
况：
x 1 1.02 1.04 1.06 1.08
S 1 1.040 1.082 1.124 1.166
（1）分别计算x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S增大了多少；
（2）根据第（1）题的计算结果，当边长x从1变到1.08时，正方形的面积S可不可以看
成边长x的一次函数？由此受到启发，你能做出什么猜测？
【答案】（1）面积S依次增大了0.040，0.042，0.042，0.042；（2）不可以，猜测：面积
与边长不成一次函数关系
【分析】（1）根据表格中的数据，计算出x的相邻两个值之间所对应的面积之差即可求解；
（2）比较（1）计算计算的差值，看看是否相等，相等即为一次函数，若不相等，则不是
一次函数．
【详解】解：（1）1.040﹣1＝0.040，
1.082﹣1.040＝0.042，
1.124﹣1.082＝0.042，
1.166﹣1.124＝0.042，
即x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S依次
增大了0.040，0.042，0.042，0.042；
（2）因为x由1变到1.08时，正方形面积S的变化值不是定值，所以正方形的面积S不可
以看成边长x的一次函数，
猜测：面积与边长不成一次函数关系．
【点评】本题考查了一次函数的定义，能理解一次函数的定义是解此题的关键，注意：形
如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数．
23．（22-23八年级下·吉林长春·期中）已知关于x的一次函数 ．
(1)若函数图象经过点 ，求a的值；
(2)若函数图象经过第一、三、四象限，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将 代入 得， ，计算求解即可；
（2）由函数图象经过第一、三、四象限，可得 ，计算求解即可．【详解】（1）解：将 代入 得， ，
解得， ，
∴a的值为7；
（2）解：∵函数图象经过第一、三、四象限，
∴ ，
解得， ，
∴a的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，解一元一次不等式组．解题的关键在于对知
识的熟练掌握与灵活运用．
24．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知 ， ，画出函数图像并
根据图像回答下列问题：
(1)当 时，x______；
(2)当 时，x_______；
(3)当 时，x_______；
(4)当 时，x________；
【答案】(1)(2)
(3)
(4)
【分析】（1）首先画出两个函数图象，然后根据图象可得两函数交点坐标为 ，进而
得到 的解；
（2）根据函数图象可得 ， 的图象在 的上方；
（3）根据函数图象可得 ， 的图象在 的上方；
（4）根据函数图象可得 ， ．
【详解】（1）解∶如图，
由图象知：当 时， ，
故答案为： ；
（2）由图象知：当 时， ，
故答案为： ；
（3）由图象知：当 时， ，故答案为： ；
（4）由图象知：当 时， ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与不等式，关键是正确画出
两函数图象，能从图象上得到正确信息．
25．（22-23八年级下·河南南阳·阶段练习）八年级某数学兴趣小组在学习了一次函数的图
象与性质后，进一步研究了函数 的图象与性质．其探究过程如下：
(1)绘制函数图象，
列表：下表是x与y的几组对应值，其中 ．
x … 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 1 2 3 m …
描点：根据表中各组对应值 ，在平面直角坐标系中描出各点
连线：顺次连接各点，请你把图象补充完整；
(2)通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是： ，（填写代号）
①函数值y随x的增大而减小；
② 关于y轴对称；
③ 有最小值1．
【答案】(1)4，图见解析(2)②③
【分析】（1）把 代入函数解析式，求出y的值即可求得m的值，然后在坐标系内描
出各点，再顺次连接即可；
（2）根据函数图象即可判断．
【详解】（1）∵当 时， ；
∴ ．
描点、连线画出函数图象如图所示；
故答案为：4；
（2）通过观察图象，
①函数值y随x的增大而减小，错误；
② 关于y轴对称，正确；
③ 有最小值1，正确．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解
答此题的关键．
26．（22-23八年级下·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线 （ 为常
数）．(1)当 时，直线 与坐标轴围成的三角形的面积为______．
(2)当 时，求图象的最高点与最低点的纵坐标的差；
(3)点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，以 为对角线作矩形 ，使矩形
的边与坐标轴垂直，并且点 在 轴上．
①直线 与矩形 的对角线互相平行或垂直时，求 的值；
②直接写出直线 与矩形的边 共有两个交点时 的取值范围．
【答案】(1)8
(2)4
(3)① 的值为 或 ；②
【分析】（1）由 ，可得 ，如图1，当 ， ，则 ， ，
当 ， ，则 ， ，根据 ，计算求解即可；
（2）由 ，可知 ，即 随 的增大而增大，当 时，为图象的最高点的
横坐标，则 ，当 时，为图象的最低点的横坐标，则 ，根据
，计算求解即可；
（3）①由题意知，分 ， 两种情况求解：当 时，如图2，由点 的坐标为
，点 的坐标为 ，矩形 ，可得 ， ，由（1）可知，直线 与 轴的夹角均为 ，当直线 与矩形 的对角线平行时，即 ，
则 ， ，即 ，计算求解即可；当直线 与矩
形 的对角线垂直时，即 ， ， ，同理可
得， ；当 时，如图3，求解过程同 ；②由（3）①可知，当 在 的上方，
且 时，直线 与矩形的边 有两个交点；由（2）可知， ，
， ，则 ， ，即 ，计算求
解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
如图1，
当 ， ，则 ， ，
当 ， ，则 ， ，
∴直线 与坐标轴围成的三角形的面积为 ，
故答案为：8；（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时，为图象的最高点的横坐标，则 ，
当 时，为图象的最低点的横坐标，则 ，
∵ ，
∴图象的最高点与最低点的纵坐标的差为4；
（3）①解：由题意知，分 ， 两种情况求解：
当 时，如图2，
∵点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，矩形 ，
∴ ， ，
由（1）可知，直线 与 轴的夹角均为 ，
当直线 与矩形 的对角线平行时，即 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得， ；
当直线 与矩形 的对角线垂直时，即 ，
∴ ，
∴ ，同理可得， ；
∴当 时， ；
当 时，如图3，
同理可得， ，
解得， ，
∴当 时， ；
综上所述， 的值为 或 ；
②解：由（3）①可知，当 在 的上方，且 时，直线 与矩形的边 有两
个交点；
由（2）可知， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解得， ，
∴当 时，直线 与矩形的边 共有两个交点．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点，一次函数的图象与性质，矩形的性质，平行
线的性质，等腰三角形的判定与性质，一元一次不等式组的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
