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专题19.8 正比例函数（分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下面哪个函数是正比例函数（ ）
A． B． C． D．
2．下列各选项是函数 的图像的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点 ， 都在直线 上，则 ， 大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ， 沿 轴向右平移后得到 ，点 的
对应点 在直线 上，则点 与其对应点 之间的距离（ ）
A． B． C．3 D．4
5．关于正比例函数 ，下列结论不正确的是（ ）
A．图象经过原点 B．y随x的增大而减小C．点 在函数 的图象上 D．图象经过二、四象限
6．七个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线 将这七个正方形分成面积相等的
两部分，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
7．如图，点 在直线 上，过点 作 轴于点 ，作 轴与直线 交于点
，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在长方形 中，点 、 的坐标分别为 ， ．若正比例函数 的图象经过
点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．29．如图，点 ， ，当直线 与线段 有交点时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 均在坐标轴上，已知点 ， ，
， ，连接 ，则 所在直线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若函数 是正比例函数，则 的值为 ．
12．一个正比例函数的图象过点 ，则 ．
13．函数 的图象上存在点P，使得点P到x轴的距离为3，则点P的坐标为 ．
14．已知正比例函数 ，如果它的图像经过第二、四象限，则 的取值范围是 ．
15．已知 ， 在正比例函数 的图象上，则 （填“＞”，“＜”或
“＝”）
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点M，N分别在直线y=x与y=－x上，且MN⊥x轴，点M的坐
标是（m，n）．当线段MN≤4时，m的取值范围是 ．17．如图，在平面直角坐标系中， ， ， 且 于点A，则 所在的直线
解析式为 ．
18．如图所示，已知正比例函数 和 ，过点 作x轴的垂线，与这两个正比例
函数的图象分别交于B，C两点，则 的面积为 ．（用含a的代数式表示）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知 是关于 的正比例函数，当 时， ．
（1）求 关于 的函数表达式；
（2）若点 是该函数图象上的一点，求 的值．20．（8分）已知正比例函数 的图象分别位于第二、第四象限，化简：
．
21．（10分）已知：正比例函数 （其中 是常数， ）．
（1）如图，若函数图像经过点 ，求 的值．
（2）若 的值随 值的增大而减小，求 的取值范围．
22．（10分）已知正比例函数 的图象过点 ，求：
（1）求正比例函数关系式；
（2）画出正比例函数 的图象；
（3）当自变量x满足 时，直接写出对应函数值y的取值范围．
23．（10分）已知正比例函数 图像经过点 ，求：
（1）这个函数的解析式；（2）判断点 是否在这个函数图像上；
（3）图像上两点 ， ，如果 ，比较 ， 的大小．
24．（12分）如图，正方形ABCD的各边都平行于坐标轴，且在第一象限内，点A、C分别在直线
和 上．
（1）如果点A的横坐标为8，AD=10，求点D的坐标；
（2）如果点A在直线 上运动，求点B所在直线的正比例函数解析式；
（3）当四边形OADC的面积为170时，求点C的坐标．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义逐项判断即可，解题关键是掌握正比
例函数形如 ，正比例函数的定义条件是： 为常数且 ，自变量次数为 ．
解： 、 是反比例函数，不符合题意；
、 是一次函数，不符合题意；
、 是正比例函数，符合题意；
、 是一次函数，不符合题意；故选： ．
2．C
【分析】本题主要考查了正比例函数图像的性质，掌握 中 ，函数图像经过第二、四象限且
过原点的直线成为解题的关键．
根据正比例函数图像的性质即可解答．
解：∵函数 ，
∴该函数的图像是经过第二、四象限且过原点的直线．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了正比例函数的性质，先根据直线 判断出函数图象的增减性，即正比例函
数 中，当 ， 随 的增大而增大；当 ， 随 的增大而减小，再根据各点横坐标的
大小进行判断即可．熟练掌握正比例函数的增减性是解题的关键．
解：∵ ，
∴y随x的增大而减小，
又∵点 ， 都在直线 上，且 ，
∴ ．
故选：A．
4．D
【分析】本题考查平移的性质及正比例函数图像上点的坐标特征，根据点 在直线 上及平移性
质得出 坐标，根据平移的性质得出点 与其对应点 之间的距离等于点 与其对应点 之间的距离即可
得答案．正确得出点 坐标是解题关键．
解：∵ 沿 轴向右平移后得到 ，点 的坐标为 ，
∴点 的纵坐标为 ，
∵点 在直线 上，∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴点 与其对应点 之间的距离为 ，
∴点 与其对应点 之间的距离为 ．
故选：D．
5．C
【分析】根据正比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
解：A、图象经过原点，故本选项正确，不符合题意；
B、因为 ，所以y随x的增大而减小，故本选项正确，不符合题意；
C、当 时， ，则点 不在函数 的图象上，故本选项错误，符合题
意；
D、因为 ，所以图象经过二、四象限，故本选项正确，不符合题意；
故选：C
【点拨】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键．
6．A
【分析】本题考查求一次函数解析式，把图形补全得到一个边长为3的正方形，写出点A和点B的坐
标，根据梯形面积是 列出关于k的方程．解方程即可得到k的值．数形结合是解题的关键．
解：如图，把图形补全得到一个边长为3的正方形，直线 将这个正方形分成面积相等的两部分，
每部分的面积为 ，则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，根据直线下方梯形的面积得到 ，
解得 ，
故选：A
7．D
【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，设 ，得出 ，结合 得
出 ，从而得出 ，代入 ，计算即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性
质是解此题的关键．
解：设 ，
点 在直线 上，
，
，
，
，
，
，
点 在 上，
，
，
故选：D．
8．A
【分析】根据矩形的性质得出点C的坐标，将点C的坐标代入正比例函数解析式得出k的值即可．
解：∵在矩形 中，
∴ ，
又点 、 的坐标分别为 ， ，
∴ ，
将点C代入 得， ，解得 ，
故选：A．
【点拨】本题考查坐标与图形，正比例函数解析式．灵活应用长方形的性质写出顶点坐标是关键．
9．B
【分析】分别求出当直线刚好过点 时和当直线刚好过点 时的 的值，即可得到答案．
解：当直线刚好过点 时，将 代入 ，
得： ，
解得： ，
当直线刚好过点 时，将 代入 ，
得： ，
解得： ，
当直线 与线段 有交点时， 的取值范围是： ，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了正比例函数图象与系数的关系，正比例函数图象上点的坐标特征，利用待定
系数法求临界值是解题的关键．
10．A
【分析】如图所示，过点C作 轴于D，证明 得到 ，
进而求出 ，由此利用待定系数法求出对应的函数解析式即可．
解：如图所示，过点C作 轴于D，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 所在直线的表达式为 ，
∴ ，即 ，
∴直线 所在直线的表达式为 ，
故选A．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，求正比例函数解析式，正确作出辅助线构造全等
三角形是解题的关键．
11．
【分析】根据形如 ，这样的函数叫做正比例函数，列式求解即可．
解：由题意，得： 且 ，
∴ ；
故答案为： ．
12．2
【分析】本题考查利用待定系数法求正比例函数的解析式，设出解析式形式，代点即可求出关系式，
再把 代入即可求解．
解：设正比例函数的解析式为： ，
将点 代入解析式可得： ，解得： ，
正比例函数的解析式为： ，
把 代入得：
，
解得： ．
故答案为：2．
13． 或
【解析】略
14．
【分析】根据正比例函数的性质和已知得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．
解：∵正比例函数 的图象经过第二、四象限，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，熟知正比例函数 中，当 时
函数的图象在二、四象限是解答此题的关键．
15．＞
【分析】根据已知函数的解析式得出 随 的增大而增大，即可得出结论．
解：∵ 中， ，
∴ 随 的增大而增大，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：＞．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是能熟记一次函数的性质．16．－2≤m≤2
【分析】根据点M在直线y=x上，可得n=m，又有MN⊥x轴，N在直线y=x与y=－x上，可得点N的
坐标为（m，-m），再根据MN≤4，得到 ，即可求解．
解：∵点M，在直线y=x上，点M的坐标是（m，n），
∴n=m，
∵MN⊥ x轴，N在直线y=x与y=－x上，
∴点N的坐标为（m，-m），
∴ ，
∵MN≤4，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，解含有绝对值的不等式，利用数形结合思想得出
不等式是解题的关键．
17．
【分析】作 轴于E，证明 ，求出 ， ，从而求得点C坐标，设
直线 的解析式为 ，将点C坐标代入求得k的值，从而得解．
解：作 轴于E，如图所示：
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，将点C坐标代入得，
，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了待定系数法，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键
是熟练掌握基本知识．
18．
【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用正比例函数图象上点的
坐标特征，求出点 ， 的坐标，进而可求出 的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出
的面积．
解：当 时， ，
点 的坐标为 ；
当 时， ，
点 的坐标为 ．
．
又 点 的坐标为 ，
，．
故答案为： ．
19．（1） ；（2）
【分析】本题考查正比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、点在图像上求参数等知识，熟
练掌握正比例函数的图象与性质是解决问题的关键．
（1）利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）由（1）中所求表达式，将 代入解析式即可得到答案．
（1）解： 和x成正比例，
设 ，
当 时， ，
∴ ，
；
（2）由（1）知 ，
点 是该函数图象上的一点，
把点 代入 ，
得 ，解得 ．
20．5
【分析】本题主要考查正比例函数及分式的运算，熟练掌握正比例函数的性质及分式的运算是解题的
关键；根据正比例函数 的图象分别位于第二、第四象限，可得 ，即有 ，再根据分式的
混合运算法则化简即可．
解：∵正比例函数 的图象分别位于第二、第四象限，
∴ ，
∴ ，
∴．
．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）把点 代入 即可求出 的值；
（2）根据正比例函数的增减性与系数的关系得出关于k的不等式，解不等式即可．
（1）解：把点 代入 得： ，
解得： ；
（2）解：∵ 的值随 值的增大而减小，
∴ ，
解得： ．
【点拨】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的增
减性与系数的关系是解题的关键．
22．（1） ；（2）画图见分析；（3）
【分析】（1）把 代入函数解析式即可；
（2）先列表描点，再连线即可；
（3）分别求解当 时， ；当 时， ；从而可得答案．
（1）解：∵正比例函数 的图象过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴正比例函数为 ；（2）列表：
0
0
描点连线：
（3）当 时， ；
当 时， ；
当自变量x满足 时，对应函数值y的取值范围为 ．
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解正比例函数的解析式，画正比例函数的图象，求解函数的
函数值的取值范围，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解本题的关键．
23．（1） ；（2）不在；（3）
【分析】（1）将 代入 ，利用待定系数法求解；
（2）将 代入（1）中所求解析式，看y值是否为 即可；
（3）根据k值判断正比例函数图象的增减性，即可求解．
（1）解： 正比例函数 的图象经过点 ，
时，
解得
这个函数的解析式为 ；（2）解：将 代入 中得： ，
点 不在这个函数图象上；
（3）解： ，
随x的增大而减小，
又
．
【点拨】本题考查正比例函数的图象及性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式，根据比
例系数判断函数图象的增减性．
24．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）利用点A的横坐标代入 求出点A的坐标即可求出答案．
（2）由图，根据正方形性质可知点 横坐标与点 横坐标相等，点 纵坐标与点 纵坐标相等，根据
函数解析式可设 ， 表示出点 ，求出 ， 即可得出答案．
（3）由（2）中可得的坐标 ，再利用已知正方形的面积即可求出答案．
（1）解：把 代入 中得，
，即点 的坐标为 ，
又 ，
∴点 的坐标为 ．
（2）由题意可设点B所在直线的解析式为 , , ,
则点 的坐标为 ，
由 ，
得 ，整理得 ，
∴ ，代入解析式得， ，解得 ，
∴点B所在直线的正比例函数解析式为 ．
（3）由（2）可得 ， ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴点C的坐标为 ．
【点拨】本题考查了正比例函数的图象及性质、正方形的性质，解题关键在于熟练掌握正比例函数图
象上的点的特征及正方形的性质．
