文档内容
第 12 讲 正比例函数【8 个必考点】
【人教版】
【知识点1 正比例函数的定义】..............................................................................................................................1
【必考点1 判断正比例函数的个数】.....................................................................................................................1
【必考点2 根据正比例函数的定义求参】.............................................................................................................2
【知识点2 正比例函数的图象与性质】.................................................................................................................2
【必考点3 正比例函数的图象】..............................................................................................................................3
【必考点4 正比例函数的性质】..............................................................................................................................4
【必考点5 由正比例函数的增减性比较大小】.....................................................................................................5
【必考点6 由正比例函数的增减性求参】.............................................................................................................6
【知识点3 确定正比例函数的解析式】.................................................................................................................6
【必考点7 求正比例函数的解析式】.....................................................................................................................6
【必考点8 正比例函数与几何图形】.....................................................................................................................7
【知识点1 正比例函数的定义】
1.正比例函数的定义：
一般地，形如 y=k x （ k 为常数且 k≠ 0 ） 的函数叫做正比例函数。其中，k叫做 比例系数 。
剖析：①自变量系数（比例系数）不能为 0 。
②自变量次数一定是 1 。
③正比例函数解析式中，自变量后面为 0 。
【必考点1 判断正比例函数的个数】
x 1
【例1】已知函数：①y＝2x﹣1；②y= ；③y= ；④y＝2x2，其中属于正比例函数的有（ ）
3 x
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1
【变式1】下列函数（1）y＝ x；（2）y＝﹣2x+1；（3）y= ；（4）y＝x2﹣1；（5）y＝kx（k为常数）
x
π
中，正比例函数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2
【变式2】下列函数：①y=−❑√2x；②y＝kx；③y＝（k2+1）x；④y= ；⑤y＝2x﹣3．其中y是x
x
的正比例函数的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】有函数：
1 1 x
①y= x；②y= ；③y= ；④y＝2x﹣3；⑤y＝2x2；⑥y＝3（2﹣x）．
3 2+x π
其中正比例函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【必考点2 根据正比例函数的定义求参】
【例1】若关于x的函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
【变式1】已知函数y＝（m+1） 是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（ ）
xm2−3
1
A．2 B．﹣2 C．±2 D．−
2
【变式2】函数y＝（m﹣n+1）x|n﹣1|+n﹣2是正比例函数，则m，n应满足的条件是（ ）
A．m≠﹣1，且n＝0 B．m≠1，且n＝0
C．m≠﹣1，且n＝2 D．m≠1，且n＝2
【变式3】已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+n﹣4是正比例函数，则m+n＝ ．
【知识点2 正比例函数的图象与性质】
1.正比例函数的图像与性质：
k的取值 大致图像 经过象限 y随x的变化情况
k＞0 一、三 y随x的增大而 增大
k<0 二、四 y随x的增大而 减小
正比例函数的图像是必经过 原点 的一条直线。在画正比例函数图像时，还需确定除原点外的另一个
点即可。
【必考点3 正比例函数的图象】
【例1】正比例函数y＝kx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（ ）1 1 1
A． B．− C．﹣1 D．−
2 2 3
【变式1】函数y＝mx（m＞0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4
【变式2】在下列各图象中，表示函数y= x的图象大致是（ ）
5
A． B．
C． D．
【变式3】当x＞0时，y与x的函数解析式为y＝2x，当x≤0时，y与x的函数解析式为y＝﹣2x，则在同
一平面直角坐标系中的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
1
【变式4】已知三个函数的解析式分别为y 1 = 2 x，y 2 ＝x，y 3 ＝2x．
（1）如图，请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象，并标记好函数；
（2）仔细观察画出的函数图象，写出3条函数的图象特征．
【必考点4 正比例函数的性质】
1
【例1】关于函数y= x，下列结论中正确的是（ ）
3
A．函数的图象必经过点（1，3）
B．函数的图象经过第二、四象限
C．y随x的增大而增大
D．不论x取何值，总有y＞0
【变式1】对于函数y＝k2x（k是常数，k≠0）的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．是一条直线
1
B．过点（ ，k）
kC．经过一，三象限或二，四象限
D．y随着x的增大而增大
【变式2】已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，则（ ）
A．y随x的增大而减小
B．y随x的增大而增大
C．当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小
D．无论x如何变化，y不变
【变式3】已知正比例函数y＝（2m+4）x．求：
（1）m为何值时，函数图象经过第一、第三象限；
（2）m为何值时，y随x的增大而减小；
（3）m为何值时，点（1，3）在该函数图象上．
【必考点5 由正比例函数的增减性比较大小】
1
【例1】已知点（﹣2，y ），（﹣5，y ）都在直线y=− x上，则y ，y 大小关系是（ ）
1 2 1 2
2
A．y ＜y B．y ＝y C．y ＞y D．y ≥y
1 2 1 2 1 2 1 2
【变式1】若正比例函数y＝﹣kx的图象经过第一、第三象限，点P （x ，y ），P （x ，y ），P （x ，
1 1 1 2 2 2 3 3
y ）都在函数y＝（k﹣2）x的图象上，且x ＞x ＞x ，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
3 1 3 2 1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＜y ＜y D．y ＞y ＞y
1 3 2 1 2 3 1 3 2 3 2 1
【变式2】如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx．将a，b，c按
从小到大排列并用“＜”连接，正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【变式3】若y＝（m﹣2）x+m2﹣4是y关于x的正比例函数，如果点A（m，a）和点B（﹣m，b）在该函
数的图象上，那么a和b的大小关系是（ ）
A．a＜b B．a＞b C．a≤b D．a≥b【必考点6 由正比例函数的增减性求参】
【例1】已知正比例函数y＝（k+2）x（其中k为常数，且k≠﹣2），如果y的值随x的值增大而增大，那
么下列k的值中，不可能的是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2
【变式1】已知正比例函数y＝（2m﹣1）x的图象上两点A（a ，b ），B（a ，b ），当a ＜a 时，有b
1 1 2 2 1 2 1
＞b ，则m的取值范围是（ ）
2
1 1
A．m＜ B．m＞ C．m＜2 D．m＞0
2 2
【变式2】对于正比例函数y＝kx，当自变量x的值增加2时，对应的函数值y减少6，则k的值为（ ）
A．3 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣0.5
【变式3】已知函数y＝mx﹣3x+5，要使函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
【知识点3 确定正比例函数的解析式】
1.待定系数法求函数解析式
①设：设 正比例 函数解析式 y=kx （ k ≠ 0 ） 。
②带：把已知点带入函数解析式中，得到关于未知系数 的方程。
③解方程：解步骤②中得到的方程，得到比例系数 的值。
④反带：将求得的比例系数带入函数解析式即可
【必考点7 求正比例函数的解析式】
【例1】如图，正比例函数图象经过点A，则该函数的解析式为 ．
【例2】已知正比例函数图象上的点到x轴的距离与到y轴距离的比为2：3，则函数的解析式为 ．
【变式1】在平面直角坐标系中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象经过点（m，4），且y随x的增大而
减小，求该正比例函数的表达式．
【变式2】点A（1，3）与B（﹣2，b） 在同一个正比例函数的图象上．
（1）求b的值；
（2）点C（2，5）在此函数图象上吗？为什么？
【变式3】已知y与x+1成正比例，且x＝2时，y＝﹣6．（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点（a，2）在函数的图象上，求a的值．
【例4】已知两个正比例函数y ＝k x与y ＝k x，当x＝2时，y +y ＝﹣1；当x＝3时，y ﹣y ＝12．
1 1 2 2 1 2 1 2
（1）求这两个正比例函数的解析式；
1 1
（2）当x＝4时，求 + 的值．
y y
1 2
【必考点8 正比例函数与几何图形】
【例1】已知正比例函数y＝4x的图象上有一点P（x，y），点A（6，0），O为坐标原点，且△APO的面
积为12，求点P的坐标．
【例2】已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A
的横坐标为3，且△AOH的面积为3．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理
由．
【变式1】已知正比例函数y＝x和y＝3x，过点A（2，0）作x轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别
交于B，C两点，求△OBC的面积（O为坐标原点）．
【变式2】如图，点B的坐标为（﹣2，0），AB垂直x轴于点B，交直线l于点A，如果△ABO的面积为
3，求直线l的解析式．
【变式3】如图，点B、C分别在直线y＝2x和直线y＝kx上，点A、D分别是x轴上的两点，四边形ABCD
是正方形，求k值．
