文档内容
第 02 讲 正比例函数
【题型1：正比例函数的定义】
【题型2： 判断正比例函数图像所在象限】
【题型3：正比例函数的性质】
【题型4：待定系数法求正比例函数解析式】
【题型5：正比例函数的图像性质综合】
知识点1：正比例函数的定义
一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
【题型1：正比例函数的定义】
【典例1】已知函数y=(m−2)x+m2−4是正比例函数，则m= ．
【答案】−2
【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如y=kx(k≠0)的式子为正比例函数，据
此列式计算，即可作答．
【详解】解：∵函数y=(m−2)x+m2−4是正比例函数，
∴m−2≠0,m2−4=0，
解得m=−2，
故答案为：−2．
【变式1-1】已知函数y=(3−m)x|m−2)是正比例函数，则m的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查正比例函数概念．其关键是除了注意函数关系式中自变量上的指数
为1外，不要忽视比例系k不能为0．
据正比例函数定义可求出m的值．【详解】解：∵函数y=(3−m)x|m−2)是正比例函数，
{|m−2|=1)
∴ ，
3−m≠0
∴m=1，
故答案为：1．
【变式1-2】点(3,−5)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k的值为 ．
5 2
【答案】− /−1
3 3
【分析】本题考查求正比例函数的定义．将(3,−5)代入y=kx(k≠0)求解即可．
【详解】解：根据题意得：−5=3k，
5
∴k=− ，
3
5
故答案为：− ．
3
知识点2：正比例函数图像和性质
正比例函数图象与性质用表格概括下：
k的符号 图像 经过象限 性质
k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大
k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少
【题型2： 判断正比例函数图像所在象限】
【典例2】正比例函数y=−5x经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限
【答案】D【分析】本题主要考查了正比例函数的图像与性质，理解并掌握正比例函数的性质是解
题关键．正比例函数y=kx(k≠0)，当k>0时，函数图像过一、三象限；当k<0时，函
数图像过二、四象限．根据题意可得k=−5<0，即可获得答案．
【详解】解：∵k=−5<0，
∴正比例函数y=−5x经过的象限是第二、四象限．
故选：D．
【变式2-1】若直线y=kx的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是
【答案】k>0/00时函数图象经过一、三象限，即可得k的取值范围即可．
【详解】解：正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，
∴k>0，
故答案为：k>0．
【变式2-2】已知正比例函数y=(4−2k)x的图象经过第二、四象限，那么常数k的取值范
围是 ．
【答案】k>2
【分析】此题主要考查了正比例函数的图象和性质，解决问题的关键是理解对于正比
例函数y=kx(k≠0)，当k>0，函数的图象经过原点且在第一、三象限内变化，y随x
的增大而增大，当k<0，函数的图象经过原点且在第二、四象限内变化，y随x的增大
而减小．
【详解】解：∵正比例函数y=(4−2k)x的图象经过第二、四象限，
∴4−2k<0，
解得：k>2．
∴常数k的取值范围是k>2．
故答案为：k>2．
【变式2-3】已知正比例函数y=(m+1)xm2−3的图象经过第一、三象限，则m的值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查正比例函数的定义和性质，由正比例函数的性质求得m的值是
解题的关键，注意利用图象的位置进行取舍．由正比例函数的定义可求得m的值，再
由图象的位置进行取舍，可求得m的值．【详解】解：∵函数y=(m+1)xm2−3是正比例函数，
∴m2−3=1，
解得m=±2，
∵图象经过第一、三象限，
∴m+1>0，
∴m>−1，
∴m=2．
故答案为：2．
【题型3：正比例函数的性质】
1
【典例3】关于正比例函数y=− x，下列结论不正确的是（ ）
4
( 1) 1
A．点 2, 在函数y=− x的图象上 B．y随x的增大而减小
2 4
C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的图象与性质逐项判断
即可．
1 1
【详解】解：对于正比例函数y=− x，k=− <0，图象过原点，经过二、四象限，
4 4
且y随x的增大而减小，
1 1 ( 1) 1
当x=2时，y=− ≠ ，即点 2, 在函数y=− x的图象上；
2 2 2 4
所以B、C、D三个选项正确，选项A不正确；
故选：A．
1
【变式3-1】关于正比例函数y=− x，下列说法中，错误的是（ ）
3
A．其图象经过原点 B．其图象是一条直线
C．y随x的增大而增大 D．点(−6,2)在其图象上
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数的性质．解题的关键是熟练掌握正比例函数的性质．本
题根据一次函数的性质，对四选项逐个进行判断即可得出结论．【详解】解：A、当x=0时，y=0，故图象经过原点，说法正确；
B、正比例函数的图象是一条直线，说法正确；
C、k<0，y随x的增大而减小，说法错误；
1
D、把x=−6代入y=− x，得：y=2，说法正确．
3
故选：C．
x
【变式3-2】已知正比例函数的解析式为y= ，下列结论正确的是（ ）
7
A．图象是一条线段 B．图象必经过点(−1,6)
C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质逐
一判断即可．
x
【详解】解：A、正比例函数y= ，图象是一条直线，不符合题意；
7
1
B、当x=−1时，y=− ，图象不经过点(−1,6)，不符合题意；
7
1
C、k= >0，图象经过第一、三象限，符合题意；
7
1
D、k= >0，y随x的增大而增大，不符合题意．
7
故选：C．
【典例4】已知点A(2,y )，B(1,y )均在正比例函数y=(m−3)x的图象上，且y >y ，
1 2 1 2
则m的取值范围是（ ）
A．m<3 B．m>3 C．m<0 D．m>0
【答案】B
【分析】本题主要考查了正比例函数的增减性，利用正比例函数的增减性得出m−3的
符号，进而求出m的取值范围．
【详解】解：∵正比例函数y=(m−3)x图象上有两点A(2,y )，B(1,y )，
1 2
当x >x 时，y >y ，
1 2 1 2
∴y随x的增大而增大，
∴m−3>0，解得：m>3，
故选：B．
【变式4-1】已知正比例函数y=(m−1)x的图象上两点A(x ,y ),B(x ,y )，当x 0 D．m>1
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解不等式，准确理解一次函数
图象的性质，确定y随x的变化情况是解题的关键．
由当x 0，
1 2 1 2
然后求解即可．
【详解】解：∵正比例函数y=(m−1)x的图象上两点A(x ,y ),B(x ,y )，当x 0，解得：m>1．
故选D．
【变式4-2】在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=kx的图象经过点P (−1,y )，
1 1
P (2,y )，且y >y ，则k的值可能为（ ）
2 2 1 2
A．2 B．1 C．0 D．−1
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的性质，由题意得出y随x的增大而减小，从而得出
k<0，即可得解，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点P (−1,y )，P (2,y )，−1<2，且
1 1 2 2
y >y ，
1 2
∴y随x的增大而减小，
∴k<0，
∴k的值可能为−1，
【变式4-3】同一坐标系中，正比例函数y=ax，y=bx，y=cx，y=dx的图象如图所示，则下列式子成立的是（ ）
A．ab>c>d C．a0时，图象经过一、三象限；
k<0时，图象经过二、四象限，由此得出a<0，b<0，c>0，d>0，然后根据直线越
陡，|k)越大，即可判断．
【详解】解：∵正比例函数y=ax，y=bx图象经过二、四象限，
∴a<0，b<0，
∵y=bx比y=ax的图象陡些，
∴|a)<|b)，
∴b0，d>0，
∵y=cx比y=dx的图象陡些，
∴|c)>|d)，
∴c0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=−2时，y=−6，当x=3时，y=9，
∴y的取值范围为：−6b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a
【答案】C
【分析】此题主要考查了正比例函数图象的性质，根据所在象限判断出a、b、c的符
号，再根据直线越陡，则|k)越大可得答案．
【详解】解：首先根据图象经过的象限，得a>0，b>0，c<0，
再根据直线越陡，|k)越大，则b>a>c，
故选：C．
5．若正比例函数y=(2m−1)x的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．m≠ B．m> C．m< D．m≥
2 2 2 2
【答案】C
【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与所经过的象限的问题．根据正比例函数
的图象经过第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵正比例函数y=(2m−1)x的图象经过第二，四象限，
∴2m−1<0，
1
∴m< ．
2
故选：C．
6．点A(x ,y ),B(x ,y )在正比例函数y=−3x的图象上，若x +x =−5，则y + y 的值
1 1 2 2 1 2 1 2
是（ ）
A．15 B．8 C．−15 D．−8
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都
满足函数关系式y=kx是解题的关键．利用正比例函数图象上点的坐标特征可得出y =−3x ,y =−3x ，结合x +x =−5
1 1 2 2 1 2
即可求出y + y 的值．
1 2
【详解】解：∵A(x ,y ),B(x ,y )在正比例函数y=−3x的图象上，
1 1 2 2
∴y =−3x ,y =−3x ，
1 1 2 2
又∵x +x =−5，
1 2
∴y + y =−3(x +x )=−3×(−5)=15，
1 2 1 2
故选：A．
7．如图，点B在直线y=2x上，过点B作BA⊥x轴于点A，作BC∥x轴与直线
y=kx(k≠0)交于点C，若AB:BC=1:2，则k的值是（ ）
2 2 1 2
A． B． C． D．
7 3 3 5
【答案】D
【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，设OA=a，得出AB=2a，结合
AB:BC=1:2得出BC=4a，从而得出C(5a，2a)，代入y=kx(k≠0)，计算即可得
出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：设OA=a，
∵点B在直线y=2x上，
∴y=2a，
∴AB=2a，
∵AB:BC=1:2，
∴BC=4a，
∵BC∥x，
∴C(5a，2a)，
∵点C在y=kx(k≠0)上，
∴5a=2ak，2
∴k= ，
5
故选：D．
二、填空题
8．已知y与x成正比例，且x=5时，y=−10，则y与x的函数解析式为 ．
【答案】y=−2x
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，根据题意设出函数解析式，将当x=5
时，y=−10，代入解析式，列出方程，求出未知系数，即可得所求解析式．
【详解】解：设y与x的函数解析式为y=kx，
把x=5，y=−10代入y=kx，得：5k=−10，
解得，k=−2，
∴y与x的函数解析式为y=−2x，
故答案为：y=−2x.
9．已知正比例函数y=kx的图象过点(−2,4)，则k= ．
【答案】−2
【分析】本题考查函数图象上点的坐标特征．利用函数图象上点的坐标特征，即可得
出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
【详解】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点(−2,4)，
∴4=k×(−2)，
∴k=−2．
故答案为：−2．
10．已知点A(−2，y )，B(−1，y )都在正比例函数y=−2x的图象上，则y
1 2 1
y （填“＞”或“＜”）．
2
【答案】＞
【分析】本题主要考查了正比例函数的性质等知识点，掌握正比例函数的性质成为解
题的关键．
根据正比例函数的增减性即可解答．
【详解】解：∵−2<0，
∴y随x的增大而减小，∵点A(−2，y )，B(−1，y )都在正比例函数y=−2x的图象上，且−2<−1，
1 2
∴y >y ．
1 2
故答案为：＞．
1
11．若正比例函数y=kx(k≠0)经过点(−1, )，则k= ．
2
1
【答案】−
2
【分析】
考查了待定系数法求正比例函数解析式，正确计算是解题关键．将点的坐标代入函数
解析式，即可求得k值．
1
【详解】解：∵正比例函数y=kx(k≠0)经过点(−1, )，
2
1
∴ =−k，
2
1
解得：k=−
2
1
∴正比例函数的解析式为y=− x．
2
1
故答案为：− ．
2
12．已知点A(−1,m)，点B(2,n)在直线y=8x上，则m n（填“>”“<”或
“=”）．
【答案】<
【分析】本题考查了正比例函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y
随x的增大而减小”是解题的关键．由8>0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大
而增大，结合−1<2，可得出m0，
∴直线y=8x，y随x的增大而增大，
又∵点A(−1,m)，点B(2,n)在直线y=8x上，且−1<2，
∴m
