第 02 讲 正比例函数
【题型1：正比例函数的定义】
【题型2： 判断正比例函数图像所在象限】
【题型3：正比例函数的性质】
【题型4：待定系数法求正比例函数解析式】
【题型5：正比例函数的图像性质综合】
知识点1：正比例函数的定义
一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
【题型1：正比例函数的定义】
【典例1】已知函数y=(m−2)x+m2−4是正比例函数，则m= ．
【答案】−2
【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如y=kx(k≠0)的式子为正比例函数，据
此列式计算，即可作答．
【详解】解：∵函数y=(m−2)x+m2−4是正比例函数，
∴m−2≠0,m2−4=0，
解得m=−2，
故答案为：−2．
【变式1-1】已知函数y=(3−m)x|m−2)是正比例函数，则m的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查正比例函数概念．其关键是除了注意函数关系式中自变量上的指数
为1外，不要忽视比例系k不能为0．
据正比例函数定义可求出m的值．【详解】解：∵函数y=(3−m)x|m−2)是正比例函数，
{|m−2|=1)
∴ ，
3−m≠0
∴m=1，
故答案为：1．
【变式1-2】点(3,−5)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k的值为 ．
5 2
【答案】− /−1
3 3
【分析】本题考查求正比例函数的定义．将(3,−5)代入y=kx(k≠0)求解即可．
【详解】解：根据题意得：−5=3k，
5
∴k=− ，
3
5
故答案为：− ．
3
知识点2：正比例函数图像和性质
正比例函数图象与性质用表格概括下：
k的符号 图像 经过象限 性质
k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大
k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少
【题型2： 判断正比例函数图像所在象限】
【典例2】正比例函数y=−5x经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限
【答案】D【分析】本题主要考查了正比例函数的图像与性质，理解并掌握正比例函数的性质是解
题关键．正比例函数y=kx(k≠0)，当k>0时，函数图像过一、三象限；当k<0时，函
数图像过二、四象限．根据题意可得k=−5<0，即可获得答案．
【详解】解：∵k=−5<0，
∴正比例函数y=−5x经过的象限是第二、四象限．
故选：D．
【变式2-1】若直线y=kx的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是
【答案】k>0/0<k
【分析】本题考查正比例函数图象与系数的关系，正比例函数的性质，根据正比例函
数y=kx(k≠0)，当k>0时函数图象经过一、三象限，即可得k的取值范围即可．
【详解】解：正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，
∴k>0，
故答案为：k>0．
【变式2-2】已知正比例函数y=(4−2k)x的图象经过第二、四象限，那么常数k的取值范
围是 ．
【答案】k>2
【分析】此题主要考查了正比例函数的图象和性质，解决问题的关键是理解对于正比
例函数y=kx(k≠0)，当k>0，函数的图象经过原点且在第一、三象限内变化，y随x
的增大而增大，当k<0，函数的图象经过原点且在第二、四象限内变化，y随x的增大
而减小．
【详解】解：∵正比例函数y=(4−2k)x的图象经过第二、四象限，
∴4−2k<0，
解得：k>2．
∴常数k的取值范围是k>2．
故答案为：k>2．
【变式2-3】已知正比例函数y=(m+1)xm2−3的图象经过第一、三象限，则m的值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查正比例函数的定义和性质，由正比例函数的性质求得m的值是
解题的关键，注意利用图象的位置进行取舍．由正比例函数的定义可求得m的值，再
由图象的位置进行取舍，可求得m的值．【详解】解：∵函数y=(m+1)xm2−3是正比例函数，
∴m2−3=1，
解得m=±2，
∵图象经过第一、三象限，
∴m+1>0，
∴m>−1，
∴m=2．
故答案为：2．
【题型3：正比例函数的性质】
1
【典例3】关于正比例函数y=− x，下列结论不正确的是（ ）
4
( 1) 1
A．点 2, 在函数y=− x的图象上 B．y随x的增大而减小
2 4
C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的图象与性质逐项判断
即可．
1 1
【详解】解：对于正比例函数y=− x，k=− <0，图象过原点，经过二、四象限，
4 4
且y随x的增大而减小，
1 1 ( 1) 1
当x=2时，y=− ≠ ，即点 2, 在函数y=− x的图象上；
2 2 2 4
所以B、C、D三个选项正确，选项A不正确；
故选：A．
1
【变式3-1】关于正比例函数y=− x，下列说法中，错误的是（ ）
3
A．其图象经过原点 B．其图象是一条直线
C．y随x的增大而增大 D．点(−6,2)在其图象上
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数的性质．解题的关键是熟练掌握正比例函数的性质．本
题根据一次函数的性质，对四选项逐个进行判断即可得出结论．【详解】解：A、当x=0时，y=0，故图象经过原点，说法正确；
B、正比例函数的图象是一条直线，说法正确；
C、k<0，y随x的增大而减小，说法错误；
1
D、把x=−6代入y=− x，得：y=2，说法正确．
3
故选：C．
x
【变式3-2】已知正比例函数的解析式为y= ，下列结论正确的是（ ）
7
A．图象是一条线段 B．图象必经过点(−1,6)
C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质逐
一判断即可．
x
【详解】解：A、正比例函数y= ，图象是一条直线，不符合题意；
7
1
B、当x=−1时，y=− ，图象不经过点(−1,6)，不符合题意；
7
1
C、k= >0，图象经过第一、三象限，符合题意；
7
1
D、k= >0，y随x的增大而增大，不符合题意．
7
故选：C．
【典例4】已知点A(2,y )，B(1,y )均在正比例函数y=(m−3)x的图象上，且y >y ，
1 2 1 2
则m的取值范围是（ ）
A．m<3 B．m>3 C．m<0 D．m>0
【答案】B
【分析】本题主要考查了正比例函数的增减性，利用正比例函数的增减性得出m−3的
符号，进而求出m的取值范围．
【详解】解：∵正比例函数y=(m−3)x图象上有两点A(2,y )，B(1,y )，
1 2
当x >x 时，y >y ，
1 2 1 2
∴y随x的增大而增大，
∴m−3>0，解得：m>3，
故选：B．
【变式4-1】已知正比例函数y=(m−1)x的图象上两点A(x ,y ),B(x ,y )，当x <x 时，
1 1 2 2 1 2
有y <y ，那么m的取值范围是（ ）
1 2
A．m<1 B．m为任意实数 C．m>0 D．m>1
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解不等式，准确理解一次函数
图象的性质，确定y随x的变化情况是解题的关键．
由当x <x 时，y <y 可知：y随x的增大而增大，则由一次函数性质可得：m−1>0，
1 2 1 2
然后求解即可．
【详解】解：∵正比例函数y=(m−1)x的图象上两点A(x ,y ),B(x ,y )，当x <x
1 1 2 2 1 2
时，有y <y ，
1 2
∴正比例函数y=(m−1)x的图象是y随x的增大而增大，
∴m−1>0，解得：m>1．
故选D．
【变式4-2】在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=kx的图象经过点P (−1,y )，
1 1
P (2,y )，且y >y ，则k的值可能为（ ）
2 2 1 2
A．2 B．1 C．0 D．−1
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的性质，由题意得出y随x的增大而减小，从而得出
k<0，即可得解，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点P (−1,y )，P (2,y )，−1<2，且
1 1 2 2
y >y ，
1 2
∴y随x的增大而减小，
∴k<0，
∴k的值可能为−1，
【变式4-3】同一坐标系中，正比例函数y=ax，y=bx，y=cx，y=dx的图象如图所示，则下列式子成立的是（ ）
A．a<b<c<d B．a>b>c>d C．a<b<d<c D．b<a<d<c
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，根据k>0时，图象经过一、三象限；
k<0时，图象经过二、四象限，由此得出a<0，b<0，c>0，d>0，然后根据直线越
陡，|k)越大，即可判断．
【详解】解：∵正比例函数y=ax，y=bx图象经过二、四象限，
∴a<0，b<0，
∵y=bx比y=ax的图象陡些，
∴|a)<|b)，
∴b<a，
∵正比例函数y=cx，y=dx图象经过一、三象限，
∴c>0，d>0，
∵y=cx比y=dx的图象陡些，
∴|c)>|d)，
∴c<d，
∴b<a<d<c，
故选：D．
故选：D．
知识点三3：待定系数法求正比例函数解析式
1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的
自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定
表达式．
2.确定正比例函数表达式的一般步骤：(1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)；
(2)代——；
(3)求——k；
(4)写——
【题型5：待定系数法求正比例函数解析式】
【典例5】已知y与x成正比例，当x=−1时，y=4．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)当−2≤x≤3时，求y的取值范围．
【答案】(1)y=−4x
(2)−12≤ y≤8
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求函数值，根据正比例的定义设
出函数表达式是解题的关键．
（1）根据正比例的定义设y=kx(k≠0)，然后把已知数据代入进行计算求出k值，即
可得解；
（2）求得x=−2和x=3时所对应的函数值，然后根据一次函数的性质即可求得y的取
值范围．
【详解】（1）解：设该正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，
把x=−1，y=4代入y=kx(k≠0)，得k=−4，
∴y与x之间的函数解析式为y=−4x；
（2）解：当x=−2时，y=−4x=−4×(−2)=8，
当x=3时，y=−4x=−4×3=−12，
∵−4<0，
∴y 随x的增大而减小，
∴当−2≤x≤3时，−12≤ y≤8．
【变式5-1】已知关于x的正比例函数y=(2m+4)x．
(1)已知点A(1,3)在该正比例函数的图象上，求m的值；
(2)在（1）的条件下，当−2<x≤3时，求y的取值范围．
1
【答案】(1)m=−
2
(2)−6<y≤9【分析】本题考查了正比例函数的性质，准确理解正比例函数图象的性质，确定y随x
的变化情况是解题的关键；
（1）直接把点A(1,3)代入正比例函数y=(2m+4)x，求出m的值；
（2）根据正比例函数的增减性与系数的关系找出y的取值范围．
【详解】（1）∵点在该正比例函数y=(2m+4)x的图象上，
∴2m+4=3，
1
解得：m=− ；
2
1
（2）由（1）知：m=− ，
2
∴正比例函数的表达式为：y=3x，
∵在y=3x中，k=3>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=−2时，y=−6，当x=3时，y=9，
∴y的取值范围为：−6<y≤9．
【变式5-2】已知y是关于x的正比例函数，当x=−2时，y=3．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若点(a,−3)是该函数图象上的一点，求a的值．
3
【答案】(1)y=− x
2
(2)2
【分析】本题考查了正比例函数的定义与性质，待定系数法求解析式；
（1）设正比例函数的解析式为：y=kx，将点A(−2,3)代入解析式即可求解；
（2）将(a,−3)代入（1）中解析式，即可求解．
【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为：y=kx，
将点A(−2,3)代入解析式可得：3=−2k，
3
解得：k=− ，
2
3
∴正比例函数的解析式为：y=− x，
2
3
（2）把B(a,−3)代入y=− x得：
2
3
−3=− a，
2解得：a=2．
3
【变式5-3】已知y−3与x+2成正比例，当x=1时，y=−
.
2
(1)求y与x的函数表达式；
(2)试判断点(3,−3)是否在（1）中的函数图像上，请说明理由.
3
【答案】(1)y=− x
2
(2)点(3,−3)不在（1）中的函数图象上，理由见解析
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式、正比例函数的图象上点的坐标
特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
3
（1）设y−3=k(x+2)，再由当x=1时，y=− ，求出k的值即可得解；
2
（2）当x=3时，求出y的值，与−3进行比较即可．
【详解】（1）解：∵ y−3与x+2成正比例，
∴设y−3=k(x+2)，
3
∵当x=1时，y=− ，
2
3
∴− −3=k×(1+2)，
2
3
解得：k=− ，
2
3 3
∴y−3=− (x+2)，即y=− x，
2 2
3
∴ y与x的函数表达式为y=− x；
2
（2）解：点(3,−3)不在（1）中的函数图象上，理由如下：
3 3 9
在y=− x中，当x=3时，y=− ×3=− ≠−3，
2 2 2
∴点(3,−3)不在（1）中的函数图象上．
【题型6：正比例函数的图像性质综合】
【典例6】2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水
资源的重要性．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小
明同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每5min记录一次容器中的水量，如下表．
时间t/min 0 5 10 15 20 25
量杯中的水量 0 15 30 45 60 75
y/mL
(1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连
接这些点；
(2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出y关于t的函数解析式；
(3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下一天的漏水量．
【答案】(1)见解析；
(2)y=3t；
(3)4320mL
【分析】本题考查的是在坐标系内描点，利用待定系数法求解函数的解析式，求解函
数的函数值，熟悉利用待定系数法求解正比例函数是解析式是解本题的关键．
（1）根据表格信息，在平面直角坐标系内描出各点连线即可；
（2）根据图象得，y是关于t的正比例函数，再利用待定系数法求解函数的解析式即
可；
（3）把t=60×24=1440代入函数的解析式进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示．（2）根据图象得，y是关于t的正比例函数，
设函数解析式为y=kt(k≠0)．
把(5,15)代入y=kt，得5k=15．
解得k=3．
∴y关于t的函数解析式为y=3t．
（3）当t=60×24=1440(min)时，
y=3t=3×1440=4320(mL)．
答：估计这种漏水状态下一天的漏水量有4320mL．
【变式6-1】如图，某超市的消费卡售价y(元)与面值x(元)之间满足正比例函数关系，使用
这张消费卡，在该超市可以购买任意商品．
(1)求y与x之间的函数解析式：
(2)小张购买了一张面值为2000元的消费卡，求小张购买这张消费卡时实际支付了多少
元？
【答案】(1)y=0.85x
(2)小张购买这张消费卡实际花费1700元
【分析】本题主要考查正比例函数的应用，
（1）依据题意，设OA解析式为y=kx，把(500,425)代入，计算即可得解；（2）依据题意，结合（1）令x=2000时，进而计算可以得解．
【详解】（1）解：由题意，设OA解析式为y=kx，把(500,425)代入得：
∴425=500k．
∴k=0.85．
∴所求函数关系式为y=0.85x．
（2）由题意，结合（1）y=0.85x，
∴令x=2000时，y=0.85×2000=1700．
∴小张购买这张消费卡实际花费1700元．
【变式6-2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=4．动点P从点A出发，
沿着折线A→B→C运动（点P不与点A、C重合）．设点P运动的路程为x，
△PAC的面积为y．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)请结合你所画的函数图象，直接写出当y=2时x的值．
【答案】(1)
y= { 2x,(0<x≤2) )
6−x,(2<x<6)
(2)图像见详解，性质：当0<x≤2时，y随着x的增大而增大（答案不唯一）
(3)1或4
【分析】（1）分类讨论，表示出底和高，直接求解即可；
（2）画出正比例函数和一次函数的图像，找出两点，连接即可，注意端点是空心，性
质可以写正比例函数和一次函数的性质即可；
（3）从图像直接观察即可求解．
1 1
【详解】（1）解：如图：当0<x≤2，y= PA⋅BC= ×4x=2x
2 2如图：当2<x<6时，PC=AB+BC−x=6−x
1 1
∴y= PC⋅BA= ×2×(6−x)=6−x，
2 2
y= { 2x,(0<x≤2) )
综上所述： ；
6−x,(2<x<6)
（2）解：函数的图象为，
一条性质：当0<x≤2时，y随着x的增大而增大（答案不唯一）；
（3）解：观察图象可得y=2时x=1或x=4．
【点睛】本题考查了求函数解析式的求解，画函数图像，已知函数值求自变量的值，
正比例函数和一次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式6-3】如图，已知平面直角坐标系中，正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点
A(1,−3)．
(1)求k的值；
(2)点B是x轴正半轴上一点，若∠OBA=60°，求线段AB的长．
【答案】(1)k=−3(2)2❑√3
【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与图形，含30 度角的直角三角形的性质：
（1）将A(1,−3)代入解析式，求解即可；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，利用含30度角的直角三角形的性质，求解即可．
【详解】（1）解：把A(1,−3)代入y=kx(k≠0)，得：k=−3；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，则：AC=3，
∵∠OBA=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC,AC=❑√3BC=3，
∴BC=❑√3，
∴AB=2❑√3．
一、单选题
1．已知一个正比例函数的图象经过点(−2,3)，则这个正比例函数的表达式是（ ）
3 2
A．y=x+5 B．y=− x C．y=− x D．y=−2x+3
2 3
【答案】B
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式．设正比例函数解析式为y=kx，
然后把已知点的坐标代入求出k即可．
【详解】解：设正比例函数解析式为y=kx，
把(−2,3)代入得−2k=3，
3
解得k=− ，
2
3
即正比例函数解析式为y=− x，
2故选：B．
2．已知函数y=(m+1)xm2−3是正比例函数，则m的值是（ ）
1
A．2 B．−2 C．±2 D．−
2
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数的定义，理解正比例函数的定义是解题的关键．
根据正比例函数的定义，可得m+1≠0，m2−3=1，即可求解．
【详解】解：根据题意，得m+1≠0，m2−3=1，
解得m=±2．
故选：C．
3．下列四个点中，在正比例函数y=−5x图象上的点是（ ）
A．(1,5) B．(−1,5) C．(−5,1) D．(−1,−5)
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入解析式，解析
式成立者即为正确答案．将四个选项中的点分别代入解析式，成立者即为函数图象上
的点．
【详解】解：A、当x=1,y=−5×1=−5≠5，故此点不在函数图象上，故本选项不
符合题意；
B、当x=−1,y=−5×(−1)=5=5，故此点在函数图象上，故本选项符合题意；
C、当x=−5,y=−5×(−5)=25≠1，故此点不在函数图象上，故本选项不符合题意；
D、当x=−1,y=−5×(−1)=5≠−5，故此点不在函数图象上，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．如图，三个正比例函数的图像分别对应的解析式是①y=ax，②y=bx，③y=cx，则
a，b，c的大小关系是（ ）A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a
【答案】C
【分析】此题主要考查了正比例函数图象的性质，根据所在象限判断出a、b、c的符
号，再根据直线越陡，则|k)越大可得答案．
【详解】解：首先根据图象经过的象限，得a>0，b>0，c<0，
再根据直线越陡，|k)越大，则b>a>c，
故选：C．
5．若正比例函数y=(2m−1)x的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．m≠ B．m> C．m< D．m≥
2 2 2 2
【答案】C
【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与所经过的象限的问题．根据正比例函数
的图象经过第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵正比例函数y=(2m−1)x的图象经过第二，四象限，
∴2m−1<0，
1
∴m< ．
2
故选：C．
6．点A(x ,y ),B(x ,y )在正比例函数y=−3x的图象上，若x +x =−5，则y + y 的值
1 1 2 2 1 2 1 2
是（ ）
A．15 B．8 C．−15 D．−8
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都
满足函数关系式y=kx是解题的关键．利用正比例函数图象上点的坐标特征可得出y =−3x ,y =−3x ，结合x +x =−5
1 1 2 2 1 2
即可求出y + y 的值．
1 2
【详解】解：∵A(x ,y ),B(x ,y )在正比例函数y=−3x的图象上，
1 1 2 2
∴y =−3x ,y =−3x ，
1 1 2 2
又∵x +x =−5，
1 2
∴y + y =−3(x +x )=−3×(−5)=15，
1 2 1 2
故选：A．
7．如图，点B在直线y=2x上，过点B作BA⊥x轴于点A，作BC∥x轴与直线
y=kx(k≠0)交于点C，若AB:BC=1:2，则k的值是（ ）
2 2 1 2
A． B． C． D．
7 3 3 5
【答案】D
【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，设OA=a，得出AB=2a，结合
AB:BC=1:2得出BC=4a，从而得出C(5a，2a)，代入y=kx(k≠0)，计算即可得
出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：设OA=a，
∵点B在直线y=2x上，
∴y=2a，
∴AB=2a，
∵AB:BC=1:2，
∴BC=4a，
∵BC∥x，
∴C(5a，2a)，
∵点C在y=kx(k≠0)上，
∴5a=2ak，2
∴k= ，
5
故选：D．
二、填空题
8．已知y与x成正比例，且x=5时，y=−10，则y与x的函数解析式为 ．
【答案】y=−2x
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，根据题意设出函数解析式，将当x=5
时，y=−10，代入解析式，列出方程，求出未知系数，即可得所求解析式．
【详解】解：设y与x的函数解析式为y=kx，
把x=5，y=−10代入y=kx，得：5k=−10，
解得，k=−2，
∴y与x的函数解析式为y=−2x，
故答案为：y=−2x.
9．已知正比例函数y=kx的图象过点(−2,4)，则k= ．
【答案】−2
【分析】本题考查函数图象上点的坐标特征．利用函数图象上点的坐标特征，即可得
出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
【详解】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点(−2,4)，
∴4=k×(−2)，
∴k=−2．
故答案为：−2．
10．已知点A(−2，y )，B(−1，y )都在正比例函数y=−2x的图象上，则y
1 2 1
y （填“＞”或“＜”）．
2
【答案】＞
【分析】本题主要考查了正比例函数的性质等知识点，掌握正比例函数的性质成为解
题的关键．
根据正比例函数的增减性即可解答．
【详解】解：∵−2<0，
∴y随x的增大而减小，∵点A(−2，y )，B(−1，y )都在正比例函数y=−2x的图象上，且−2<−1，
1 2
∴y >y ．
1 2
故答案为：＞．
1
11．若正比例函数y=kx(k≠0)经过点(−1, )，则k= ．
2
1
【答案】−
2
【分析】
考查了待定系数法求正比例函数解析式，正确计算是解题关键．将点的坐标代入函数
解析式，即可求得k值．
1
【详解】解：∵正比例函数y=kx(k≠0)经过点(−1, )，
2
1
∴ =−k，
2
1
解得：k=−
2
1
∴正比例函数的解析式为y=− x．
2
1
故答案为：− ．
2
12．已知点A(−1,m)，点B(2,n)在直线y=8x上，则m n（填“>”“<”或
“=”）．
【答案】<
【分析】本题考查了正比例函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y
随x的增大而减小”是解题的关键．由8>0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大
而增大，结合−1<2，可得出m<n．
【详解】解：∵8>0，
∴直线y=8x，y随x的增大而增大，
又∵点A(−1,m)，点B(2,n)在直线y=8x上，且−1<2，
∴m<n．
故答案为：<．
7
13．如图，在平面直角坐标系中，点A(3,m)在正比例函数y= x的图象上，点B(1,0)和
3点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，则点C的坐标是 ．
【答案】(−4,0)或(6,0)
7
【分析】本题考查了正比例函数图像上的点的坐标特征，把点A(3,m)代入y= x求
3
出m=7，得A(3,7)，设点C(a,0)，表示出BC=|a−1)，以BC为点的高是A点纵坐
标7，根据三角形面积求得a的值，进而写出点C坐标．
7
【详解】解：∵A(3,m)在正比例函数y= x的图象上，
3
7
∴m= ×3=7，
3
∴m=7，
∴A(3,7)；
设点C的坐标为(a,0)，
∵B(1,0)，
∴BC=|a−1)，
1
∴ ×7⋅|a−1)=17.5，
2
∴a=−4或a=6，
∴点C的坐标是(−4,0)或(6,0)，
故答案为：(−4,0)或(6,0)．
三、解答题
14．已知y与x成正比例，且当x=−1时，y=5．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设点(m,3)在这个函数的图象上，求m的值．
【答案】(1)y=−5x3
(2)m=−
5
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求自变量的值：
（1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可；
（2）把(m,3)代入（1）所求解析式中进行求解即可．
【详解】（1）解：设y=kx，
∵当x=−1时，y=5，
∴−k=5，
∴k=−5，
∴y=−5x；
（2）解：∵点(m,3)在这个函数的图象上，
∴−5m=3，
3
∴m=− ．
5
15．如图，已知正比例函数y＝kx的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，
垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8
(1)求正比例函数的解析式．
(2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)y＝－x
(2)存在，点P的坐标为：(5，0)或(－5，0)
【分析】（1）先利用三角形面积公式得到A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函
数解析式；
（2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标 ．
【详解】（1）解：∵点A的横坐标为4，S =8，
△AOH
∴点A的纵坐标为-4，∴点A的坐标为(4，－4)，
∵正比例函数y＝kx的图像经过点A，
∴-4＝4k，解得k＝－1，
∴正比例函数的解析式为y＝－x；
（2）存在，
∵A(4，－4)，
∴AH＝4，
1 1
∵S = OP×AH= ×4OP=10，
△AOP 2 2
∴OP＝5，
∴点P的坐标为(5，0)或(－5，0)．
【点睛】本题考查了正比例函数图像的性质、待定系数法求正比例函数的解析式，解
题的关键是注意点P的坐标有两个．
