文档内容
考点 12 对数与对数函数（3 种核心题型+基础保分练+综合
提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊
点.
3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数．
a
【知识点】
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x ＝ log N，其
a
中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N .
以e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N .
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：log 1＝0，log a＝1， ＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
a a
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①log (MN)＝log M ＋ log N；
a a a
②log ＝log M － log N；
a a a
③log Mn＝ n log M (n∈R)．
a a
(3)对数换底公式：log b＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
a
3．对数函数的图象与性质
a>1 01时， y >0 ； 当x>1时， y <0 ；
质 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数 y ＝ log x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象
a
关于直线 y ＝ x 对称．
常用结论
1．log b·log a＝1， ＝log b.
a b a
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
a
【核心题型】
题型一 对数式的运算
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及
变形应用．
【例题1】（23-24高三下·湖南衡阳·阶段练习）集合 则集合
的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】先求出集合 中的元素，然后利用对数的运算确定集合 中的元素即可.
【详解】 ，
则 或 或 或 ，
所以 ，元素个数为 .
故选：B.【变式1】（2024·全国·模拟预测）在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做
“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为 ，则经过 秒后
这段声音的声强变为 ，其中 是一个常数．把混响时间 定义为声音的声强
衰减到原来的 所需的时间，则 约为（参考数据： ）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知公式及对数运算可得结果.
【详解】由题意， ，即 ，等号两边同时取自然对数得
，即 ，所以 ．
故选：C．
【变式2】（2024·辽宁丹东·一模）若 ， ， ，则 （ ）
A．-2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解.
【详解】由 ， ， ，可得 ，
所以 ，则 .
故选：B.
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知数列 为等差数列，且 ，
则 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．3
【答案】B
【分析】根据题意，利用等差数列的性质和对数的运算法则，准确计算，即可求解.【详解】由等差数列的性质，可得 ，解得 ，
所以 .
故选：B.
题型二 对数函数的图象及应用
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、
最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【例题2】（2024·北京东城·一模）设函数 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式，分别计算即可得解.
【详解】函数 的定义域为 ，
对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于CD，当 时， ，故CD错误.
故选：A.
【变式1】（2024·陕西咸阳·二模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算出集合 、 后，借助补集定义及交集定义即可得.
【详解】由 ，即 ，解得 ，故 ，
由 ，可得 ，即 或 ，故 ，
故 .
故选：B.
【变式2】（2024·全国·模拟预测）若 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 ．构造函数 ，再结合 ，
利用函数 为增函数求解．
【详解】解：法一：因为 ，
所以 ．
构造函数 ， 的定义域为 ，且 为增函数．
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，所以 ，
即 的取值范围为 ．故选：A．
法二：因为 ，
所以 ．
构造函数 ， 的定义域为 ，且 为增函数．
因为 ，
所以 ，所以 ，
即 的取值范围为 ．
故选：A．【变式3】（2024·重庆·模拟预测）若函数 在 上单
调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数单调性的规则以及函数在 上有意义列不等式求解即可.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
所以 ，解得 .
故选：B.
题型三 对数函数的性质及应用
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域
二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
命题点1 比较对数式的大小
【例题3】（2024·云南·一模）已知 ，若 ，则
（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据 将 进行转化，再利用 在 上为增函数进行判断
即可.
【详解】由 得： ， ，
，
因为 在 上为增函数，
所以 ，
即 .
故选：B.
【变式1】（2024·全国·二模）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数、对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.
【详解】因为 ， ，又 ，
所以 ，又 ，
所以 .
故选：A
【变式2】（2024·浙江温州·二模）已知 ，则 的大小关系
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，利用导数法求最值得 ，从而有 ，再利用函数 单调递减得 ，利用函数 单调递增得 ，即可比较大小.
【详解】对 ，因为 ，则 ，即函数 在
单调递减，
且 时， ，则 ，即 ，所以 ，
因为 且 ，所以 ，
又 ，所以 .
故选：B
【变式3】（2024·重庆·模拟预测）设 ， ， ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的性质得到 最大，再利用作差法，结合基本不等式得到 ，从
而得解.
【详解】由对数函数的性质知 ，
，
，
所以 ， ， ；
当 时， ，
所以，
取 ，则 ，
所以
，即 ，
综上，
命题点2 解对数方程、不等式
【例题4】（2023·山东·模拟预测）已知集合 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解一元二次不等式及对数不等式后结合并集定义计算即可得.
【详解】由 ，可得 ，解得 ，
即 ，
由 ，即 ，即 ，
即 ，故 .
故选：A.
【变式1】（2024·上海青浦·二模）已知 ， ，若
，则满足条件的 的取值范围是 ．
【答案】 ；【分析】由绝对值等式可知 ，代入函数后解不等式再结合对数的运算和取值
范围求出结果即可.
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
解得 或 ，
所以 的取值范围是 ，
故答案为： .
【变式2】（2024·湖北·一模）已知函数 ，则关于x的不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】根据分段函数的性质及对数函数的单调性解不等式可得结果.
【详解】当 时， 得 ，
当 时， ，得 ，所以 ，
综上： 的解集为 ，
故答案为： .
【变式3】（23-24高三下·北京·开学考试）函数 的定义域是 .
【答案】
【分析】结合函数解析式得到不等式组，进而可得到答案.【详解】由题意，得 ，即 ，
所以 ，所以定义域为 .
故答案为：
命题点3 对数函数的性质及应用
【例题5】（2024·广东·一模）已知集合 ，若 且互不相等，
则使得指数函数 ，对数函数 ，幂函数 中至少有两个函数在 上
单调递增的有序数对 的个数是（ ）
A．16 B．24 C．32 D．48
【答案】B
【分析】分类讨论单调性，结合排列数、组合数运算求解.
【详解】若 和 在 上单调递增， 在 上单调递减，
则有 个；
若 和 在 上单调递增， 在 上单调递减，
则有 个；
若 和 在 上单调递增， 在 上单调递减，
则有 个；
若 、 和 在 上单调递增，则有 个；综上所述：共有 个.
故选：B.
【点睛】方法点睛：两个计数原理的应用技巧
（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又
可能用到分类加法计数原理．
（2）对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、
直观化．
【变式1】（2024·江西九江·二模）若函数 在（1，2）上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复合函数的单调性结合函数求解.
【详解】函数 在 上单调递减，
由函数 在定义域内单调递增，所以函数 在 上单调递减且恒大于
0，
则有 ，解得 .
故选：C
【变式2】（2024·全国·模拟预测）在区间 内随机取一个数b，则函数
在区间 上单调递减的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意根据复合函数的单调性可得 在区间 上单调递减，且在区间 上恒成立，即可得到 ，从而求出 的取值范围，
再根据几何概型的概率公式计算可得.
【详解】若 在区间 上单调递减，
又函数 在定义域上是增函数，
所以 在区间 上单调递减，且 在区间 上恒成立，
所以 ，解得 ，故所求的概率 .
故选：D.
【变式3】（2024·辽宁·一模）若函数 使得数列 ， 为递减数列，则称
函数 为“数列保减函数”，已知函数 为“数列保减函数”，则a的取
值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】易知 对任意的 恒成立，参变分离即可求解.
【详解】由题可知 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
因为 在 时单调递减， 在 时单调递增，
在 时单调递减，
在n＝1时取最大值,且最大值为 ，.
故选：B.
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2023高三上·四川·学业考试）函数 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数定义域及函数值的正负判断即可.
【详解】因为 的定义域为 ，故BD错误；
又 ，故C错误；故A正确.
故选：A
2．（2024·广西·二模）已知函数 为偶函数，则 的
最小值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】由函数 为偶函数，求得 ，得到 ，结合对数函数的性质，
进而求得函数的最小值，得到答案.
【详解】由函数 ，可得 ，
因为函数 为偶函数，可得 ，
可得 ，即 ，
当 时，函数 取得最小值，最小值为 .
故选：A.
3．（2024·湖南·一模）已知 ，且 ，则 是 的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用不等式的性质、对数运算及充分、必要条件的定义判定即可.
【详解】若 ，符合 ，但此时 ，不满足充分性，
若 ，符合 ，但是 ，不满足必要性.
故选：D
4．（2024·浙江·二模）若函数 为偶函数，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】A
【分析】根据偶函数满足的关系即可化简求解.
【详解】 的定义域为 ，
，
由于 为偶函数，故 ，即
，故 ，解得
故选：A
二、多选题
5．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 ， ，且 ，则
下列说法正确的是（ ）
A． B． C． 的最小值为 D．
【答案】AD
【分析】根据题意，由 ，得到 ，可判定A正确、B不正确；由基本不
等式，求得 ，可得判定C不正确；结合 ，
结合基本不等式，可判定D正确.
【详解】由函数 ，且 ，如图所示，可得 ，
所以 ，即 ，可得 ，解得 ，故A正确；B错误；
由 ，当且仅当 时等号成立，
因为 ，所以 ，故C错误；
由 ，
当且仅当 时等号成立，因为 ，所以 ，故D正确．
故选：AD．6．（2024·甘肃武威·模拟预测）函数 的图象恒过定点 ，若点
在直线 上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据对数函数的性质可得定点，得出 ，利用均值不等式判断A，重要不
等式判断B，转化为二次函数判断C，根据“1”的变形技巧及均值不等式判断D.
【详解】由题得点 ，即 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时取等号，故A错误；
，当且仅当 时取等号，故B正确；
，故C正确；
由 ， ，
，且取不到等号，
故 ，故D正确．
故选：BCD
三、填空题
7．（2024·云南红河·二模）已知 是定义在R上的奇函数，当 时， ，
则 .
【答案】【分析】根据奇函数的定义和 时的解析式分别求出 和 的值即可.
【详解】因为 是定义域为R的奇函数，
所以 ，得 ，
，
所以 .
故答案为： .
8．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知 （ 且 ，函数
的图象恒过定点 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】令 即可求出定点.
【详解】令 得 ，
此时 ，
所以函数 的图象恒过定点 ，即点 .
故答案为： .
四、解答题
9．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）已知 ， ， ，比较 、 、
的大小.
【答案】
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小即可.
【详解】因 ，所以 ，
因 ，所以 ，
因 ，所以 ，
所以10．（23-24高三上·上海长宁·期中）已知函数 ，其中常数 且 .
(1)判断上述函数在区间 上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论；
(2)若 ，利用上述函数在区间 上的单调性，讨论 和 的大小关系，并
述理由.
【答案】(1)函数在区间 上的单调递减，证明见解析；
(2)当 时， ，当 且 时， .
【分析】（1）利用定义法结合对数函数单调性即可得到其单调性；
（2）利用（1）中的结论即可得到大小关系.
【详解】（1） 在区间 上单调递减，
证明：当 时，任取 ，
则 ，
因为 ，则 ，所以 ，
即 ，即 ，所以此时 在区间 上单调递减，
当 时，任取 ，
因为 ，则 ，所以 ，
即 ，即 ，所以此时 在区间 上单调递减，综上所述， 在区间 上单调递减，
（2）当 时， 时，函数 在 上单调递增，
当 时，函数 在 上单调递增，
由（1） 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
，
，即 ，
，
当 时， ， ， ，且 ，
所以 ，
综上，当 时， ，
当 且 时， .
11．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）已知 ．
(1)若 ，求 的值域；(2)若 在 上单调递减，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的性质及对数函数的性质，即可求解；
（2）根据复合函数单调性结合条件可得 ，进而即得.
【详解】（1）若 ，则 ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
可知 的定义域为 ，
且 在定义域内单调递减，可得 ，
所以 的值域为 .
（2）因为 在定义域内单调递减，
由题意可知： 在 上单调递增，且 在 上恒成立，
可得 ，解得 ，
所以a的取值范围 .
综合提升练
一、单选题
1．（2024高三上·全国·竞赛） （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D【分析】对数运算可解.
【详解】 .
故选：D
2．（2024·陕西西安·一模）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出 ， ，然后求出 ，从而可求解，
【详解】由题意得 ，解得 或 ，所以 ，
由 的值域为 ，所以 ，即 ，
所以 ，故C正确.
故选：C.
3．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知函数 ，设
，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先研究函数 的性质，利用奇偶性对函数值进行等价变形，最后利
用单调性进行比较大小.
【详解】解：已知 的定义域为 ，且 ，
所以函数 为偶函数，
当 时，函数 为增函数，
所以 ， .因为 在定义域上为单调递增函数，
所以 ，即 ，
因为 在 上为增函数，
所以 ，
因为 在定义域上为单调递增函数，
所以 ，所以 ，
根据函数 在 上为增函数，
所以 ，所以 .
故选：A．
4．（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）已知 是定义在 上周期为2的奇函数，当
时， ，则 在 上是（ ）.
A．增函数且 B．增函数且
C．减函数且 D．减函数且
【答案】A
【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得 的解析式，再由其周期即可得到
的图像，即可判断.
【详解】因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，
当 时， ，设 ，则 ，
所以 ，则 ，且 ，所以 ，
又 是周期为2的函数，
所以 在 的图像与 的图像相同，且为增函数，且 .
故选：A
5．（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数 ，则函数
的零点个数是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】令 ，先求出使 时的 的值，然后画出函数 和函数 ，
其中 的图象，观察其交点个数即可得答案.
【详解】由已知 ，
令 ，即 ，
当 时，得 或 ，
当 时，明显函数 在 上单调递减，且
， ，
故存在 ，使 ，画出 的图象如下，
再画出直线 ，其中 ，
观察图象可得交点个数为 个，
即函数 的零点个数是 .
故选：D.
6．（2024·全国·模拟预测）下列结论中错误的个数为（ ）
① （其中 为自然对数的底数）；② ；③ ；④
（其中 ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由对数函数的单调性即可判断①，由指数的运算即可判断②，由对数的运算即可
判断③④
【详解】对于①：由于 ，又 是增函数，故①正确．
对于②：由于 ，所以②错误．
对于③：对 两边同时取常用对数，得 ，即 ，显然
正确，故③正确．对于④： ，故④正确．
综上，错误结论的个数为1.
故选：B．
7．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若对于任意正数 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对不等式分离参数得到 ，令 ，构造函数 ，
，则 ，通过导数研究 单调性求出最大值即可.
【详解】由不等式 恒成立，且 ，
分离参数得 ，所以 ，即 ，
设 ，得 ， ，设 ， ，则 .
，由 得 ，当 时， ， 单调递增；当
时， ， 单调递减；
所以 .
所以 .
故选：C.
8．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】分别求解 时的解，比较解与 的大小，代入计算可判断 与0的关
系.
【详解】解： ，解得 ，
令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ， ，则有 ，
即 恒成立，所以 在 上单调递增，
则有 ，
所以 ，
，
所以 .
故选：D
二、多选题
9．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在 上的函数 ，
，其中 ， 分别是将一枚质地均匀的骰子抛掷两次得到的点数．设
“函数 的值域为 ”为事件A，“函数 为偶函数”为事件B，则下列结论
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据给定条件，求出事件 的所有可能结果，并求出概率，再结合事件的和与积、条件概率逐项分析即可.
【详解】将一枚质地均匀的骰子抛掷两次出现的点数共有 种情况，
函数 的值域为 ，即函数 的最小值为1，则
，
满足 的 有 ， ，共2种情况，则 ，
，
由函数 为偶函数，得 ，
满足 的 有 ， ， ， ， ， ，共6种情况，
，
对于A，满足事件A，B同时发生的 有 ， ，A错误；
对于B，事件 包含的 有 ， ， ， ， ， ， ，共
7种情况，
因此 ，B正确；
对于C， ，C正确；
对于D，满足事件 ，B同时发生的 有 ， ， ， ， ，共5种
情况，
因此 ，则 ，D错误．故选：BC
10．（23-24高三上·江苏淮安·期中）已知函数 ，则下列说法中正确
的是（ ）
A．函数 的图象关于 轴对称 B．函数 的图象关于原点对称
C．函数 在 上是增函数 D．函数 的值域为
【答案】ACD
【分析】利用对数的运算性质将函数解析式化简为 ，利用函数奇偶性
的定义可判断AB选项；利用函数单调性的定义以及复合函数的单调性可判断C选项；利用
函数 的单调性求出函数 的值域，可判断D选项.
【详解】因为 ，
对于A选项，对任意的 ， ，则函数 的定义域为 ，
，所以，函数 为偶函数，A对B错；
对于C选项，任取 、 且 ，即 ，则 ，
，则 ，
所以，
，即 ，
所以， ，
故函数 在 上是增函数，C对；对于D选项，因为函数 为 上的偶函数，且在 上为增函数，
故函数 在 上为减函数，所以， ，
故函数 的值域为 ，D对.
故选：ACD.
11．（2023·全国·模拟预测）已知 （ 且 ），则下列说法正确的
是（ ）
A．当 时，
B．当 时，
C．当 时，
D．当 时，
【答案】CD
【分析】根据对数函数的图象与性质，画出函数的图象，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】由满足 的情况有以下六种：
（1）如图1所示，可得 ，
（2）如图2所示，可得 ，（3）如图3所示，可得 ，
（4）如图4所示，可得 ，
（5）如图5所示，可得 ，（6）如图6所示，可得 ，
对于A中，当 时，第（4）种情况不满足 ，所以A错误；
对于B中，当 时，第（1）种和第（5）种情况不满足 ，所以B错误；
对于C中，当 时，第（2）种、第（3）种和第（6）种情况均有 ，
所以C正确；
对于D中，当 时，如第（1）种情况，则 ，所以 成立，所以D正
确.
故选：CD．
三、填空题
12．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）由函数的观点，不等式 的解集是
.
【答案】
【分析】由不等式 可得 ，构建函数 ，利用函数单调性解不等式.
【详解】由不等式 ，可得 ，
令 ，可知 的定义域为 ，
因为 在定义域 上单调递增，
可知 在定义域 上单调递增，且 ，
对于不等式即为 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 .
故答案为： .
13．（2024高三·全国·专题练习）已知 是方程 的两个根，则
【答案】10
【分析】根据指数和对数函数的性质，结合指数函数和对数函数的图象，数形结合，即可
求得结果.
【详解】由题可知， 也是 与 图象交点的横坐标，
在同一坐标系中，作图如下：
数形结合可知， 为 两点对应的横坐标；根据指数函数和对数函数的性质可知， 关于 对称；
又 与 垂直，故 与 的交点 为线段 的中点，
联立 ，可得 ，即 ，故 ，解得 .
故答案为： .
14．（2024·天津·一模）已知定义在 上的函数 满足 ，当
时， .若在区间 内，函数 有三个不同零点，则实数 的取
值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意得到 画出函数图像，计算直线 与函数相切
和过点 时的斜率，根据图像得到答案.
【详解】函数 满足 ，当 ，
所以当 ，
故 ， ，
画出函数图像，如图所示，观察图像可知，要使函数 有三个不同零点，
则直线 应在图中的两条虚线之间，
上方的虚线为直线与 相切时，
下方的虚线是直线 经过点 时，当直线 与 相切时，
，设切点为 ，
则斜率 ，此时 ，
当直线 经过点 时， ，
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题的关键点在于先求出 ，再画出函数图像，
计算直线 与函数相切和过点 时的斜率，根据图象得到答案.
四、解答题
15．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数 的定义域
为 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)若 ，函数 在 上的最大值与最小值的和为 ，求实数 的值.
【答案】(1) ；
(2) 或 .
【分析】（1）利用对数函数定义列出不等式，再利用恒成立的不等式求解即可.（2）利用函数单调性求出最大最小值，列式求解即可.
【详解】（1）由 的定义域为 ，得 对任意的 恒成立，
当 时， 恒成立，则 ；
当 时， ，解得 ，则 ，
所以实数 的取值范围是 ，即 .
（2）令 ，显然函数 在 上单调递减，在 上
单调递增，
而函数 在 上单调递增，因此函数 在 上单调递减，在 上单调递
增，
于是 ，而 ，则
，
依题意， ，即 ，解得 或 ，
所以实数 的值是 或 .
16．（2023·陕西·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 及函数 的定义域；
(2)求函数 的零点．
【答案】(1) ，定义域为
(2)【分析】（1）利用 的值求得 ，解分式不等式求得 的定义域.
（2）通过解对数方程求得正确答案.
【详解】（1）依题意 ，
所以 ，由 得 ，
解得 ，所以 的定义域为 .
（2） ，
则 ，所以 的定义域为 ，
令 得 ，
所以 ， ，则 .
17．（23-24高三上·湖北·期中）记 是各项均为正数的数列 的前 项积，已知 ，
.
(1)求 的通项公式；
(2)证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由 与 关系 ，转化为递推关系 ，再构造
数列求解即可；（2）由 ，放缩后累乘可证.
【详解】（1）因为数列 的各项均为正数，故 ，
由 可得， ，
即 .
所以有 ，
故 是公比为2，首项为 的等比数列，
所以 ， .
（2）方法1：由（1）可知， .
所以 .
方法2：由（1）可知，
.
当 时， ，
所以 .
18．（2023高三·全国·专题练习）设函数 的定义域为D，若命题
p：“ ， ”为假命题，则a的取值范围是?
【答案】
【分析】根据特称命题为假命题转化为全称命题是真命题，进而转化为恒成立问题，利用恒成立问题即可求解.
【详解】命题p：“ ， ”为假命题，则“ ， ”为真命题.
则函数 的图象要恒在 图象的上方（两个函数需都有意义）.
的图象可看做 平移得到，由于 的图象以 为渐近
线，
故作图可知，只有当 时，才能满足要求.
所以a的取值范围是 .
故答案为： .
19．（23-24高三上·安徽淮南·阶段练习）（1）已知函数 ，
若对 ，使得 ，求实数 的取值范围；
（2）若命题 ：函数 （ 且 ）在区间 内单调递增是真
命题，求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【分析】（1）由题意只需 ，由函数的单调性求出最小值即可.
（2）由题意首先由真数大于0求出 的取值范围，然后对底数 进行分类讨论结合复合函
数单调性即可求解.【详解】（1）因为 ，使得 ，
所以只需 ，
因为 在 上单调递增，
所以 在 上的最小值 ，
因为 在 上单调递增，
所以 在 上的最小值 ，
所以 ，解得 .
所以实数 的取值范围为 .
（2）由题意真数 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，所以 ，且注意到 ，
由题意函数 （ 且 ）在区间 内单调递增，
不妨设 ， ，
接下来分以下两种情形来求 的取值范围：
情形一：当 时，函数 关于 单调递减，
由复合函数单调性可知，只需 在区间 内单调递减，
即 在区间 上恒成立，所以 ，
又 ，所以此时有 .情形二：当 时，函数 关于 单调递增，
由复合函数单调性可知，只需 在区间 内单调递增，
即 在区间 上恒成立，所以 ，
又 ，所以此时 不存在.
综上所述：符合题意的 的取值范围为 .
拓展冲刺练
一、单选题
1．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知实数a，b满足 ，则（ ）
A． B． C． D．a，b的大小无法判
断
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造函数 ，利用单调性并借助媒介数比较大小.
【详解】函数 在 上单调递增，且 ，则由 ，得
，
又 ，所以 .
故选：A
2．（2024·湖南岳阳·二模）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数性质得出 ， ， ，然后利用作差法比较 与 的大小
关系即可.【详解】因为 ，所以 ，即 ，所以 ，即 ；
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，即 ；
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，即 ；
又因为 ，
且 ，
所以 ，所以 ，所以 ；
综上所述， .
故选：A.
3. （ 2024· 陕 西 西 安 · 一 模 ） 已 知 函 数 ， 若 满 足
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】判断函数 的奇偶性和单调性，结合函数性质将已知的不等式转化为
，再利用奇偶性和单调性求解即可.
【详解】 的定义域为 ， ，
为偶函数，
， ，
当 时， ， ， ， ，在 上单调递增，
，
即 ，
即 ，也就是 ，
在 单调递增且为偶函数，
，
，即 ，解得 .
实数 的取值范围为 .
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，解答本题的关键是得
出 为偶函数和在 上单调递增，由对数的性质结合函数为偶函数将不等式化为
，再由单调性求解.
4．（23-24高三下·江西·开学考试）142857被称为世界上最神秘的数字，
，所得结果是这些数字反复出现，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设 ，利用导数研究函数 的单调性可得 ，结合 可得 ，则 ；由 得
，进而 ，即可求解.
【详解】由题意知， ，
设 ， ，
当 时， 单调递增，
所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，
得 ，所以 ，即 ；
由 ，得 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 .
综上 .
故选：D.
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤：
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数 ；
(3)利用导数研究 的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
常用的不等式： ， ，
， ， .
5．（23-24高三上·山东日照·阶段练习）已知函数 ，则不等式 成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断的对称性，然后利用导数讨论其单调性，结合对称性即可求解，注意最后
的范围要考虑定义域..
【详解】由 得的定义域为 ，
因为
， ， 所 以
，所以 的图象关于 对称.
记 ，
当 时，由复合函数单调性易知 单调递增，
记 ，则 ，
记 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，所以 ，所以 在
上单调递增，所以 在 上单调递增，
综上， 在 上单调递增，图象关于 对称，
由此可知，要使 ，必有 ，两边平方整理得 ，
解得 ，
又 ，得 或 或 ，所以 的解集为 .
故选：B.
二、多选题
6．（2024高三·全国·专题练习）（多选）若实数a，b满足log a＜log b，则下列各式一定
3 3
正确的是（ ）
A．3a＜3b B．（ ）a－b＞1
C．ln （b－a）＞0 D．loga3＜logb3
【答案】AB
【详解】解析：因为函数y＝log x为（0，＋∞）上的增函数，由log a＜log b，可得b＞a
3 3 3
＞0.由于函数y＝3x为R上的增函数，则3a＜3b，故A正确；函数y＝（ ）x为R上的减函
数，且a－b＜0，则（ ）a－b＞（ ）0＝1，故B正确；由对数的性质可得b－a＞0，但b－
a与1的大小关系不确定，故ln （b－a）与0的大小关系不确定，故C错误；取a＝3，b
＝9，则有log 3＝1＞ ＝log 3，即loga3＞logb3，故D错误．
3 9
7．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）已知实数a，b满足 ， ， ，且 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C． D．
【答案】ABC
【分析】构造函数，利用导数判断单调性，结合对数函数的性质进行求解判断即可.
【详解】因为 ，
令函数 ，则 ，则函数 在 上单调递增，且 ，
可知当 时， ；当 时， ；
且 ，则有：
当 时， ，即 ，可得 ，故A正确；
当 时， ，即 ，可得 ，故B正确；
又因为当 时， 在定义域内单调递减，可得 ；
当 时， 在定义域内单调递增，可得 ，
所以C正确，D错误．
故选：ABC.
【点睛】关键点睛：构造函数 ，利用导数判断单调性，结合单调性进行
求解运算是解题的关键.
三、填空题
8．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知正实数 满足： ，则 与 大小
关系为 .
【答案】
【分析】由题意可得 ，令 ，则有 ，
根据函数的单调性即可得答案.
【详解】解：因为 ，所以 ，
设 ，又因为 与 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以 .故答案为：
9．（2022·全国·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，若 表示不超过 的最大
整数，如 ， ，则数列 的前2022项的和为 ．
【答案】3848
【分析】由题意 ，由 解不等式，对 分类讨
论，结合分组求和即可得解.
【详解】 ，
数列 的2022项的和为 ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；当
时， ，
数列 的前2022项的和为
．
故答案为：3848.
【点睛】关键点点睛：关键是由 的定义由 分类讨论即可顺
利得解.
四、解答题
10．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数 是奇函数.
(1)求实数 的值；
(2)当 ， ，解关于 的不等式 .
【答案】(1)1
(2)答案见解析【分析】（1）根据函数奇偶性的定义列方程，解方程得到 的值.
（2）利用函数的单调性列不等式，分类讨论解不等式，得到 取值范围即可.
【详解】（1）因为 是奇函数，
所以 ，
即 ，解得 ，
又 时 ，其定义域为 ，此时 为非奇非偶函数，
所以 .
（2）由（1）得 ，所以 ，即 ，
根据对数函数的定义域和单调性可得 ，由于 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因此，当 ，即 时，不等式的解为 ，
当 ，即 时，不等式的解为 ，
综上所述，当 时，不等式解集为 ，当 时，不等式解集为
.
11．（2023·上海·模拟预测）已知 .记 ，其中常数m，
.
(1)证明：对任意m， ，曲线 过定点；
(2)证明：对任意s， ， ；(3)若对一切 和一切使得 的函数 ， 恒成立，求实数 的取值范
围.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3) .
【分析】（1）常数m， ，当 时， ，故曲线 过原点.
（2） ，由 等价于 ，用作差法构
造函数 ，对函数 进行求导，判断函数 的单调性，得
，从而可得证.
（3）用作差法证明对数平均不等式，函数 ，通过求导和基本不等式可得
出 ，得出结论；
【详解】（1） ，故曲线 过原点.
（2）当 时， ，故 等价于 .
考虑 .则 .
令
当 时， 所以 在 单调递增， ，
所以 ，即 ，
所以 ，而 ，且 时， ，
故 ，函数 在 上严格增.
因此当 时， .特别地， .证毕.
（3）首先证明对数平均不等式：当 时， .
考虑函数 ，则 ，等号成立当且仅当
.
故当 时， .
因为 ，所以由 得 .
下证当 时， 对任意 和一切使得 的函数 成立.
由题意， ，故 .
令 ，考虑函数 .
则 .
当 且 时， .由对数平均不等式， .
故 ，
从而函数 在 上严格增，得 ，即证.
综上，所求范围为 .
【点睛】关键点睛：用作差法构造函数和对数平均不等式是解题的关键，通过求出构造函
数的单调性讨论及最值，从而得出结论，考查分类讨论思想，整体思想，属于较难题.
