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专题13 几何图形初步复习（原卷版）
第一部分 教学案
【知识点一】 立体图形与平面图形
区别：立体图形各部分不都在同一平面内；平面图形各部分都在同一平面内.
联系：立体图形可以展开成平面图形，平面图形可以旋转成立体图形.
考点：(1)从不同方向看立体图形.(2)立体图形的平面展开图.
例1 （2022秋•即墨区校级月考）如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．从左
面看到的几何体的形状图为（ ）
A． B． C． D．
针对练习
1．（2020秋•江门期末）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有
“建”字一面的相对面上的字是 ．
2．（2021•东明县二模）如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020秋•秦淮区期末）如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的
侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿 AB剪开，所得的圆
柱侧面展开图是（ ）
A． B． C． D ．
4．（2021秋•天台县期末）如图1，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？请完成下列问题：
（1）图2是将立方体表面展开的一部分，请将图形补充完整；（画一种即可）
（2）在图2中画出点A到点B的最短爬行路线；
（3）在图2中标出点C，并画出A、C两点的最短爬行路线（画一种即可）．
【知识点二】直线、射线、线段
1．直线、射线、线段的区别和联系：
区别：（1）端点个数不同：直线没有端点，射线一个端点，线段两个端点.
（2）延伸方向不同，直线向两方延伸，射线向一个方向延伸，线段无延伸.
联系：（1）都可以用两个点的大写字母表示，直线是用任意两点字母，没有先后顺序；射线是
用一个端点字母和任一点字母，端点字母在前；线段只能用两端点字母，没有先后顺序.
（2）线段可以度量，直线和射线不可度量.
2．两个性质、一个中点：
（1）直线的性质：两点确定一条直线.
（2）线段的性质：两点之间，线段最短.
（3）线段的中点：把一条线段平均分成两条相等线段的点.
例2（2020秋•永嘉县）如图，直线l上有A、B两点，AB＝24cm，点O是线段AB上的一
点，OA＝2OB．
（1）OA＝ cm，OB＝ cm．
（2）若点C是线段AO上一点，且满足AC＝CO+CB，求CO的长．
（3）若动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速
度为1cm/s，设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ＝8．
②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cm/s的速度也向右运动．当点M追上
点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后立即返回，又以同样的速度向
点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动．在此过程中，点M行
驶的总路程为 cm．针对练习
1．（ 南充模拟）已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝3cm，则线段AC
＝ ．
2．（2019秋•鄞州区期末）已知点C是线段AB的中点，点D是线段BC上一点，下列条
件不能确定点D是线段BC的中点的是（ ）
1
A．CD＝DB B．BD= AD C．2AD＝3BC D．3AD＝4BC
3
3．（2021秋•德江县期末）如图，C是线段AB上的一点，M是线段AC的中点，若AB＝
8cm，BC＝2cm，则MC的长是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
4．（2021秋•长乐区）如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这
样做的道理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．两点之间直线最短 D．垂线段最短
5．如图，在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离和OA+OB+OC+OD
最小，并说出你的理由，由本题你得到什么数学结论？举例说明它在实际中的应用．
2 4
6．点O是线段AB＝28cm的中点，而点P将线段AB分为两部分，AP：PB= ： ，求线
3 15
段OP的长．
7．（太谷县校级期末）如图，已知C，D两点在线段AB上，AB＝10cm，CD＝6cm，M，
N分别是线段AC，BD的中点，则MN＝ cm．
1
8．（2019秋•北仑区期末）如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的 多5，P、
4Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度在射线AB
上沿AB方向运动，当点P运动到点B时，两点同时停止运动，运动时间为t（s），M
1
为BP的中点，N为MQ的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当BP=
2
BQ时，t＝12；④M，N两点之间的距离是定值．其中正确的结论 （填写序号）
9．（2021秋•易县期末）如图，在数轴上有A，B两点，且AB＝8，点A表示的数为6；动
点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q从点A出发，以
每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
（1）写出数轴上点B表示的数是 ；
（2）当t＝2时，线段PQ的长是 ；
（3）当0＜t＜3时，则线段AP＝ ；（用含t的式子表示）
1
（4）当PQ= AB时，求t的值．
4
【知识点三】 角的比较与运算
1．比较角大小的方法：度量法、叠合法.
2．互余、互补反映两角的特殊数量关系.
3．方位角中经常涉及两角的互余.
4．计算两角的和、差时要分清两角的位置关系.
例3（2020秋•和平区期末）如图：∠AOB：∠BOC：∠COD＝2：3：4，射线OM、ON，
分别平分∠AOB与∠COD，又∠MON＝84°，则∠AOB为（ ）
A．28° B．30° C．32° D．38°
例4（2021秋•北辰区期末）如图所示，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，若∠1
＝26°，则∠2的度数为 ．
针对练习1．如图，直线AB、CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD＝76°，则∠BOM等于
（ ）
A．38° B．104° C．142° D．144°
2．（通辽中考）4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（ ）
A．55° B．65° C．70° D．以上结论都不对
3．（渝北区期末）如图，直角三角板的直角顶点在直线上，则∠1+∠2＝（ ）
A．60° B．90° C．110° D．180°
4．（2021春•未央区月考）如图，要测量两堵围墙形成的∠AOB的度数，但人不能进入围
墙，可先延长BO得到∠AOC，然后测量∠AOC的度数，再计算出∠AOB的度数．其中
依据的原理是（ ）
A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．等角的余角相等 D．同角的补角相
等
5．计算：①33°52′+21°54′＝ ；②36°27′×3＝ ．
6．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠ 与∠ 互余？在哪种摆放
方式中∠ 与∠ 互补？在哪种摆放方式中∠ 与∠ 相等？
α β
α β α β
7．（2012秋•襄城区期末）如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东
60°方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它北偏东30°的方向上，试在图中确定这
艘船的位置．8．（2019 秋•东莞市期末）直角三角板 ABC 的直角顶点 C 在直线 DE 上，CF 平分
∠BCD．
（1）在图1中，若∠BCE＝40°，∠ACF＝ ；
（2）在图1中，若∠BCE＝ ，∠ACF＝ （用含 的式子表示）；
（3）将图 1中的三角板 ABC绕顶点 C 旋转至图 2的位置，若∠BCE＝150°，试求
α α
∠ACF与∠ACE的度数．
9．（2019秋•梁园区期末）如图，已知∠AOB＝60°，∠AOB的边OA上有一动点P，从距
离O点18cm的点M处出发，沿线段MO、射线OB运动，速度为2cm/s；动点Q从点O
出发，沿射线OB运动，速度为1cm/s；P、Q同时出发，同时射线OC绕着点O从OA
上以每秒5°的速度顺时针旋转，设运动时间是t（s）．（1）当点P在MO上运动时，
PO＝ cm（用含t的代数式表示）；
（2）当点P在线段MO上运动时，t为何值时，OP＝OQ？此时射线OC是∠AOB的角
平分线吗？如果是请说明理由．
（3）在射线OB上是否存在P、Q相距2cm？若存在，请求出t的值并求出此时∠BOC
的度数；若不存在，请说明理由．
第二部分 配套作业
1．（2021•芜湖模拟）如图，甲、乙都是由大小相同的小正方体搭成的几何体，关于它们
的视图，判断正确的是（ ）A．仅主视图相同 B．左视图与俯视图相同
C．主视图与左视图相同 D．主视图与俯视图相同
2．（2020秋•大丰区月考）如图，三个正方体的六个面都按相同规律涂有红、黄、蓝、白、
黑、绿六种颜色，那么涂绿色的对面是 色．
3．（2010秋•洛江区期末）如图，把左边的图形折叠起来，它会变为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021秋•成都期中）下列图形是正方体的表面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2017秋•江岸区校级期末）如图，线段AB上有E、D、C、F四点，点E是线段AC的
1 1
中点，点F是线段DB的中点，有下列结论：①EF= AB；②EF= （AB﹣CD）；
2 2
1 1
③DE= （DA﹣DC）；④AF= （DA+AB），其中正确的结论是 ．
2 2
6．（2020秋•奉化区校级期末）如图，已知线段 AB＝8，点C是线段AB是一动点，点D
是线段AC的中点，点E是线段BD的中点，在点C从点A向点B运动的过程中，当点
C刚好为线段DE的中点时，线段AC的长为（ ）
16
A．3.2 B．4 C．4.2 D．
7
7．（2021秋•济南期末）如图，线段AB＝16cm，在AB上取一点C，M是AB的中点，N
是AC中点，若MN＝3cm，则线段AC的长是（ ）A．6 B．8 C．10 D．12
8．（2006•巴中）巴广高速路的设计者准备在西华山再设计修建一个隧道，以缩短两地之
间的里程，其主要依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线
9．如图，公路上有A 、A 、A 、A 、A 、A 、A 七个村庄，现要在这段公路上设一车站，
1 2 3 4 5 6 7
使这七个村庄到车站的路程总和最小，车站应建在何处？
10．（2018秋•昌平区校级期末）如图，已知线段AB＝20cm，CD＝2cm，线段CD在线段
AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点．
（1）若AC＝4cm，则EF＝ cm．
（2）当线段CD在线段AB上运动时，EF的长度是否改变，如果变化，请说明理由．
11．（2011秋•成都期末）如图，C、D将线段AB分成2：3：4三部分，E、F、G分别是
AC、CD、DB的中点，且EG＝12cm，则AF的长＝ ．
12．（2020秋•开远市期末）已知点C是直线AB上一点，AB＝6cm，BC＝2cm，那么AC
的长是 ．
13．（2021春•泰山区期中）射线OM是∠AOB内的一条射线，下面的四个等式中，不能
判定OM一定是∠AOB角平分线的是（ ）
1
A．∠AOM= ∠AOB B．∠AOM+∠MOB＝∠AOB
2
C．∠AOM＝∠MOB D．∠AOB＝2∠AOM
14．（2010秋•攀枝花期末）已知∠ ＝27.2°，则它的余角＝ ° ′．
15．（2021春•饶平县校级期末）如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，
α
∠COF＝34°，OF平分∠AOE，则∠AOC的大小为（ ）
A．56° B．34° C．22° D．20°16．（2020秋•永嘉县校级期末）钟表在7点55分时，它的时针和分针所构成的角（小于
平角）的度数是（ ）
A．122.5° B．117.5° C．87.5° D．92.5°
17．（湘西州中考）一个角是80°，它的余角是（ ）
A．10° B．100° C．80° D．120°
18．如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O，下列选项中与∠AOC互为
余角的是（ ）
A．∠AOC B．∠COE C．∠EOB D．∠COB
19．（2016秋•邵阳县期末）计算：35°31′+42°51′＝ ．
20．（2020秋•靖江市校级月考）数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以
用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．
如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示
﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动
点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到
点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点 Q从点C出发，以1单
位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点 B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之
后也立刻恢复原速．当点P到达点C时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，问：
（1）t＝3秒时，点P在“折线数轴”上所对应的数是 ；点P到点Q的距离是
个单位长度；
（2）动点Q从点C运动至A点需要 秒；
（3）P、Q两点相遇时，t＝ 秒；此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是
；
（4）如果动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等，
请求出t的值．
21．（2021秋•金寨县期末）如图 1，点O为直线 AB上一点，过点 O作射线 OC，使
∠AOC：∠BOC＝2：1，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方．
（1）在图1中，∠AOC＝ ，∠BOC＝ ；
（2）将上述直角三角板按图2的位置放置，使得OM在∠BOC的内部，且∠BOM＝
x°，求∠BON﹣∠COM的度数；
（3）将图1中的三角板以每秒5°的速度绕点O顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，
第n秒时，直线ON恰好平分∠AOC，则n的值为 （直接写出答案）．22．请你用电话把如图所示的从A到C的路线图告诉你的同学，你将怎样说明白？
23．（2020秋•南岗区校级月考）如图，点O为直线MN上一点，∠BOM＝∠AOC＝90°，
OD平分∠COM．
（1）若∠COD＝x°，则∠BOC＝ °，∠AOB＝ °．（用含x的代数式表
示）
1
（2）在（1）的条件下，若∠AOB= ∠BOD，求∠AON的度数．
2
24．（2018秋•雨花区月考）概念：
当点C在线段AB上，AC＝n•AB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作d
C﹣AB
＝n．
理解：
1 1 1 1
如点C是AB的中点时，即AC=
2
AB，则d
C﹣AB
=
2
；反过来，当d
C﹣AB
=
2
，则有AC=
2
AB．因此，我们可以这样理解：“d
C﹣AB
＝n”与“AC＝n•AB”具有相同的含义．
应用：
2
（1）已知C在线段AB上，若d
C﹣AB
=
3
，则AC＝ AB；若AC＝3BC，则d
C﹣AB
＝ ．
（2）已知线段AB＝10cm，点P，Q分别从点A，B同时出发，相向运动，点P到达点B
时，点P，Q都停止运动，设运动时间为ts．
①若点P，Q的运动速度均为1cm/s，试用含t的式子表示d
P﹣AB
和d
Q﹣AB
．
②若点P和点Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，点Q到达点A后立即以原速返回，t
4
为何值时，d P﹣AB +d Q﹣AB = 5 ？
