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专题13 二次函数中的将军饮马
类型一 在对称轴上找点用将军饮马求解
1．如图，已知抛物线 与x轴的交点A（-3，0），B（1，0），与y轴的交点是点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上一点，当PB＋PC的值最小时，求点P的坐标；
(1)
解：将A（-3，0），B（1，0）代入 ，得：
，
解得： ，∴抛物线的解析式为 ；
(2)
解：∵点P是抛物线对称轴上一点，
∴ ，
∴ ，
∴连接AC，AC与对称轴的交点即为点P，如图．
∵对于 ，令 ，则 ，
∴C(0，-6)，
设直线AC的解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为 ．
∵抛物线对称轴为 ，
∴对于 ，
令 ，则 ，∴P(-1，-4)；
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为抛物线对称轴上一点，求△PBC周长取得最小值时点P的坐标；
(1)
由于抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1），
将C点坐标（0，﹣3）代入，得：a（0+3）（0﹣1）＝﹣3，
解得 a＝1，
则y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，
所以抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
(2)
如图1中，连接AC交对称轴于P，
∵PB＝PA，
∴PB+PC＝PB+PA，∴此时PB+PC最短，△PBC的周长最短，
设直线AC解析式为y＝kx+b，则 ．
解得 ，
∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣3，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y= 2，
∴点P坐标（﹣1，−﹣2）．
3．如图，已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，且AB=2，抛物线的对称轴为直线
x=2；
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如果抛物线的对称轴上存在一点P，使得△APC周长的值最小，求此时P点坐标及△APC周长；
试题解析：（1）∵AB=2，对称轴为直线x=2，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，
∴1，3是方程x2+bx+c=0的两个根，
由根与系数的关系，得1+3=﹣b，1×3=c，
∴b=﹣4，c=3，
∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3．
（2）连接AC，BC，BC交对称轴于点P，连接PA，如图1，由（1）知抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3，点A，B的坐标分别为（1，0），（3，0），
∴点C的坐标为（0，3），
∴BC= =3 ，AC= = ．
∵点A，B关于对称轴直线x=2对称，
∴PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC，此时，PB+PC=BC，
∴当点P在对称轴上运动时，PA+PC的最小值等于BC，
∴△APC周长的最小值=AC+AP+PC=BC+AC=3 + ．
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（-3，0），B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D为
抛物线的顶点．
（1）直接写出抛物线的函数表达式；
（2）如图，抛物线的对称轴上是否存在点F，使得△BCF周长最小，若存在求点F坐标，并求周长的最小
值；若不存在，请说明理由；
解:(1)将A（-3，0），B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c
得: ,解得:
所以抛物线的函数表达式: y=-x2-2x+3
(2)存在；∵抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3，
∴抛物线的对称轴x=-1,C(0,3)，
∴ C (-2,3)，
1
设直线BC 的解析式为：y=kx+b，
1
∵B（1，0），
∴ 解得 ，
∴ 直线BC 的解析式为：y=-x+1 ，
1
把x=-1代入直线BC 的解析式y=-x+1，得y=2，
1
∴F (-1,2)；
∴
∴类型二 在x轴上找点用将军饮马求解
5．已知抛物线 的图象与 轴交于点 、 （ 在 的左侧），与 轴交于点 ，
顶点为 ．
（ ）试确定 的值，并直接写出 点的坐标．
（ ）试在 轴上求一点 ，使得 的周长取最小值．
试题解析：（ ）∵图像过 点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（ ）如图，
∵ ，
∵ ，，
∴ ．
6．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另
一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使△EDC的周长最小，求符合条件的E点坐标；
【详解】
(1)直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，
令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，
∴点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，3)，
将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：
，解得： ，
故函数的表达式为：y=﹣x2+2x+3；
(2)如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，此时EC+ED为最小，则△EDC的周长最小，令x=0，则﹣x2+2x+3=0，
解得： ，
∴点A的坐标为(-1，0)，
∵y=﹣x2+2x+3 ，
∴抛物线的顶点D的坐标为(1，4)，则点C′的坐标为(0，﹣3)，
设直线C′D的表达式为 ，
将C′、D的坐标代入得 ，
解得： ，
∴直线C′D的表达式为：y=7x﹣3，
当y=0时，x= ，
故点E的坐标为( ，0)；
7．已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中
A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．
（1）求m的值及这个二次函数的解析式；
（2）在x轴上找一点Q，使△QAB的周长最小，并求出此时Q点坐标；解：（1）设抛物线的解析式为y=a(x-1)2，
∵点A(3，4)在抛物线上，则4=a(3-1)2，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=(x-1)2，
∵点A(3，4)也在直线y=x+m，即4=3+m，
解得m=1；
（2）直线y=x+1与y轴的交点B的坐标为B(0，1)，
B点关于x轴的对称点B′点的坐标为B′(0，-1)，
设直线AB′的解析式为y=kx+b，
将A、B′两点坐标代入y=kx+b，得
，
解得k= ，b=-1，
∴直线AB′的解析式为y= x-1，
当A、Q、B′三点在一条直线上时，
AQ+BQ的值最小，即△QAB的周长最小，
Q点即为直线AB′与x轴的交点，
当y=0时，0= x-1，
解得x= ，
Q点坐标为Q( ，0)；类型三 在y轴上找点用将军饮马求解
8．在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ，点 为抛物线的顶点，点 在 轴上，
且 ，直线 与抛物线在第一象限交于点 ，如图．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线 的函数解析式为______，点 的坐标为______， ______．
（3）在 轴上找一点 ，使得 的周长最小．请求出点 的坐标；
【详解】
解：（1）将点 、 的坐标代入抛物线表达式得： ，
解得
故抛物线的表达式为： ；
（2）点 ， ，故点 ，设直线AB的解析式为： ，
，解得，
∴直线 的表达式为： ；
对于 ，函数的对称轴为 ，
把x=2代入 ，
∴顶点 ；
如图，设抛物线的对称轴交AB于点E，连接OE，
把x=-2代入 ，得y=2，
，
为线段AB的中点， ，
在 中，OA=OB，
，
，
，
在 中，故答案为： ；（-2，-2）； ；
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在
y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB的函数解析式为 ，点M的坐标为 ，连接OC，若过点O的直线交线段
AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为 ；
（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小，则点Q的坐标为 ；
解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式
，
解得 ，
故直线AB的表达式为：y x2+2x；
（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x+4；
对于y x2+2x，函数的对称轴为x＝﹣2，故点M（﹣2，﹣2）；
OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP AC或 AC，则 ，即 ，解得：yP＝2或4，
故点P（﹣2，2）或（0，4）；
（3）如图所示，作点 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴交于点 ，连接 、 、
△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，
点A′（4，0），
设直线A′M的表达式为：y＝kx+b，则 ，解得 ，
故直线A′M的表达式为：y x ，
令x＝0，则y ，故点Q（0， ）；
10．如图，已知二次函数y＝－ x2＋4x－6．
（1）直接写出抛物线与坐标轴的交点坐标；（2）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得 PAD的周长最小？若存在，求出 PAD的周
长；若不存在，请说明理由． △ △
【详解】
当 时,与,与 轴交于点B, ,即
当 时, 与 轴交于点A、E,有
解得 ,即 、
综上: 、 、
（2）存在．（ 长度固定，只需找到点 使 最小即可，找到点 关于 轴的对称点 ，连接
，则 与 轴的交点即是点 的位置．）
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 周长最小值 ．
【点睛】
本题考查二次函数的运用，掌握二次函数的性质，拿出交点坐标和对称轴，结合题意，通过分析可解.
类型四 在已知直线上找点用将军饮马求解
11．如图，抛物线 交x轴于 两点，交y轴于点C ，点Q为线段 上
的动点．（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的最小值；
解：（1）∵抛物线交x轴于A（−2，0），B（6，0）两点，
∴设y＝a（x＋2）（x−6），将C（0，−6）代入，
得：−12a＝−6，
解得：a＝ ，
∴y＝ （x＋2）（x−6）＝ x2−2x−6，
∴抛物线的解析式为 x2−2x−6；
（2）如图1，作点O关于直线BC的对称点O′，连接AO′，QO′，CO′，BO′，∵OB＝OC＝6，∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝45°，
∵O、O′关于直线BC对称，
∴BC垂直平分OO′，
∴OO′垂直平分BC，
∴四边形BOCO′是正方形，
∴O′（6，−6），
在Rt△ABO′中，AO′＝ ，
∵QA＋QO′≥AO′，QO′＝QO，
∴QO＋QA＝QA＋QO′≥AO′＝5，即点Q位于直线AO′与直线BC交点时，
QO＋QA有最小值10；12．如图抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于点 ，顶点为 ．
（1）求点 、 、 、 的坐标；
（2）把 绕 的中点 旋转 ，得到四边形 ；
①求 的坐标；
②试判断四边形 的形状，并说明理由；
（3）试探求：在直线 上是否存在一点 ，使得 的周长最小，若存在，求出点 的坐标，若不存
在，请说明理由．
【答案】（1） ， ， ， ；（2）① ；②四边形 是矩形，理
由见解析；（3）存在， ， .
【解析】
【分析】
（1）分别令x=0以及y=0求出A、B、C三点的坐标，再根据二次函数表达式求出顶点D的坐标；
（2）①依题意得出BC∥AE，又已知A、B、C的坐标易求出点E的坐标，
②根据旋转的性质证明四边形AEBC是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，可得四边形
AEBC是矩形；
（3）作点A关于BC的对称点A′，连接A′D与直线BC交于点P．则可得点P是使△PAD周长最小的点，然
后求出直线A′D，直线BC的函数解析式联立方程求出点P的坐标．
【详解】
解：（1） ，令 ，得
令 ，
即 ，
即 ，
， ，
∴（-3+1）÷2=-1，
将x=-1代入 ，得y= ，
， ， ，D点的坐标分别为 ， ， ， ；
（2）①过点 作 于 ，
，
，
，
，
，
；
②四边形 是矩形．
理由：∵△ABE是由△ABC旋转得到，
∴AC=BE，AE=BC，∴四边形ACBE是平行四边形，
由 ， ， ， ，
可知：AC= ，AB=4，BC= ，
∴ ，
∴∠ACB=90°，
四边形 是矩形；
（3）存在．
作出点 关于 的对称点 ，连接 与直线 交于点 ，
则点 是使 周长最小的点，
，
，
，
，
求得 ， ，
过 、 的直线 ，
过 、 的直线 ，
两直线的交点 ， ．
【点睛】
本题综合考查了二次函数的有关知识以及利用待定系数法求出函数解析式，难度中上．13．已知，如图，二次函数 图象的顶点为 ，与 轴交于 、 两点( 点在 点
右侧)，点 、 关于直线 ： 对称.
(1)求 、 两点的坐标，并证明点 在直线 上；
(2)求二次函数解析式；
(3)过点B作直线 交直线 于K点，M、N分别为直线AH和直线 上的两个动点，连结HN、NM、
MK，求HN+NM+MK的最小值.
【答案】【小题1】 点坐标为 , 点坐标为
【小题2】
【小题3】8
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程求得A点坐标，代入直线求证，（2）通过点H、B关于直线L对称，求得H的坐标，
从而解出二次函数的解析式，(3)先求出HN+MN的最小值是MB, 再求出BM+MK的最小值是BQ,即
和的最小值
【详解】
(1)依题意,得ax2+2ax−3a=0(a≠0)，
两边都除以a得：
即x2+2x−3=0，
解得x1=−3,x2=1，
∵B点在A点右侧，
∴A点坐标为(−3,0),B点坐标为(1,0)，答：A. B两点坐标分别是(−3,0),(1,0).
证明：
∵直线l:y= ，
当x=−3时,y= ，
∴点A在直线l上．
(2)∵点H、B关于过A点的直线l:y= 对称,
∴AH=AB=4，
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，
则AC= ，
∴顶点H ，
代入二次函数解析式,解得a= ，
∴二次函数解析式为 ，
答：二次函数解析式为 .(3)直线AH的解析式为 ，
直线BK的解析式为 ，
由
解得 ，
即K(3,2 )，
则BK=4，
∵点H、B关于直线AK对称,K(3,2 )，
∴HN+MN的最小值是MB，
过K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，
则QM=MK,QE=EK=2 ，AE⊥QK，
∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90 ，
∘
由勾股定理得QB=
∴HN+NM+MK的最小值为8，
答：HN+NM+MK和的最小值是8.【点睛】
考核知识点：二次函数综合运用.
14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x﹣ 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2﹣
x+c（a≠0）经过A，B，C三点．
(1)求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；
(2)试探究在直线AC上是否存在一点M，使得 MBF的周长最小？若存在，求出M点的坐标；若不存在，
请说明理由． △
(1)
∵直线y＝﹣ x﹣ 与x轴交于点A，与y轴交于点C
∴点A（﹣1，0），C（0，﹣ ）
∵点A，C都在抛物线上，
∴
∴
∴抛物线的解析式为∴顶点F（1，﹣ ）．
(2)
存在
理由：
延长BC到点B′，使B C＝BC，连接B F交直线AC于点M，则点M就是所求的点，
∵过点B′作B H⊥AB于点H，
∵B点在抛物线 上，
∴B（3，0），
在Rt△BOC中，tan∠OBC＝
∴∠OBC＝30°，BC＝2
在Rt△B′BH中，B′H＝ BB′＝2
BH＝ B′H＝6，∴OH＝3，
∴B′（﹣3，﹣2 ）．
设直线B′F的解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得 ，
∴ ．
，
解得 ，
∴M（ ）
∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（ ）．
【点睛】
考查代数几何的综合运用能力，体现数学知识的内在联系和不可分割的特点．
15．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．直线 经过抛物线上两点
， ．已知点 ， 的横坐标分别为 ， 且满足 ，直线 的表达式为 ．
（1）求 的值及抛物线的表达式；（2）设点 是直线 上一动点，问：点 在什么位置上时， 的周长最小？求出点 的坐标及
周长的最小值；
解：（1）当 时，抛物线 ，
∴ （0，4），
∵点 在直线 上： 上，
∴ ，
∵直线 与 轴交点为 ， ，
解得： ，
∴ （4，0），
∵点 在抛物线上，
∴ ①，
∵ ，
∴ 轴，点 、 关于抛物线对称轴对称，
∵ ，
∴抛物线对称轴为：直线 ，
∴ ②，
联立方程①②，
，
解得： ，
∴抛物线的表达式为 ．
（2）连接 ，如图1，∵ （0，4），点 是直线 上一动点，
∴ 、 关于直线 对称，∴ ，
∴当点 、 、 在同一直线上时， 最短，
当 时，解得： ，
∴此时， （2，2），
∵ ，
∴ ，
∴ 周长最小值为： ．
16．如图，抛物线 与 轴交于 、 ，与 轴交于点 ，点 为 的中点，
点 、 分别为 轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接 、 、 ，求四边形 周长最小时
点 、 的坐标．
【答案】当四边形 周长最小时，点 的坐标 ，点 的坐标为 ．
【解析】
【分析】
作点 关于 轴的对称点 ，作点 关于抛物线对称轴的对称点 ，连接 ，交对称轴于点 ，交
轴于点 ．求出直线 的解析为 ，进一步可得出结论．【详解】
如图，作点 关于 轴的对称点 ，作点 关于抛物线对称轴的对称点 ，连接 ，交对称轴于点 ，
交 轴于点 ．由对称知 ， ，
此时四边形 的周长为 ．
此时四边形 的周长最小，最小值为 ．
， ，
抛物线对称轴为直线 ．
．
为 的中点， ．
．
设直线 的解析式为 ．
将点 、 的坐标代入可得 解得
直线 的解析为 ．
令 ，则 ， 点 的坐标为 ．
令 ，则 ， 点 的坐标为 ．
当四边形 周长最小时，点 的坐标 ，点 的坐标为 ．
【点睛】
此题考查了待定系数法求函数解析式，四边形与二次函数的结合，线段的和差最值与二次函数的结合，将不共线的线段转化为共线为解题关键．
