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考点 12 等式与不等式（核心考点讲与练）
一、等式与不等式的性质
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则b＝a.
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.
(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.
3.不等式的性质
(1)对称性：a＞b b＜a；
(2)传递性：a＞b⇔，b＞c a＞c；
(3)可加性：a＞b a＋c⇒＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b⇔，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜⇒0 ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0 an ⇒＞bn(n∈N，n≥1)； ⇒ ⇒
(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).
⇒
二、均值不等式及其应用
1.均值不等式：≤
(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号.
(3)其中称为正数 a，b的算术平均数，称为正数 a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2a b (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x ＝ y 时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当 x ＝ y 时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
三、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程
有两相异实根x， 有两相等实根x＝x
ax2＋bx＋c＝0 1 1 2 没有实数根
x(x＜x) ＝－
2 1 2
(a＞0)的根
ax2＋bx＋c＞0
R
(a＞0)的解集
ax2＋bx＋c＜0
{x |x ＜ x ＜ x } ∅ ∅
1 2
(a＞0)的解集
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
解集
不等式
ab
(x－a)·(x－b)>0 {x |x b } {x |x ≠ a } {x |x a }
(x－a)·(x－b)<0 {x |a 0(<0) f ( x )· g ( x )>0(<0 ).
(2)≥0(≤0⇔) f ( x )· g ( x )≥0(≤0 ) 且 g ( x ) ≠ 0.
⇔
1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.
2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一
定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.
3.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常
常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选
择好利用均值不等式的切入点.
4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，
例如：ab≤≤，≤≤(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
5.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时
的情形.
6.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，
需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.
7.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数
在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.不等式的性质
1.（2021新疆乌鲁木齐市第四中学检测）下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
不等式的解法
2.（2021陕西省西安中学检测）不等式 的解集为 ，则不等式
的解集为（）
A． B．
C． D．
基本不等式以及应用
3.（2021辽宁省葫芦岛市模拟）已知向量 ，若 则 的
最小值为（ ）
A．12 B． C．15 D．
4.（2021吉林省实验中学检测）若函数 在 处取最小值，则 等于（ ）
A. 3 B. C. D. 41.（2020•新全国1山东）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A. B.
C. D.
2.（2019（新课标Ⅱ））若a>b，则
A. ln(a−b)>0 B. 3a<3b
C. a3−b3>0 D. │a│>│b│
3.（2020•江苏卷）已知 ，则 的最小值是_______．
一、单选题
1.（2022·广东·模拟预测）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. 13 B. 19 C. 21 D. 27
2.（2022·福建宁德·模拟预测）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. 8 C. D. 10
3.（2022·重庆·一模）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题4.（2022·全国·模拟预测）已知实数x，y满足 ， ，且 ，则（ ）
A. xy的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为1 D. 的最小值为
5.（2022·广东汕头·一模）已知正实数a，b满足 ，则以下不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.（2022·江苏泰州·一模）下列函数中最小值为6的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题
7.（2022·全国·模拟预测（文））已知正数 、 满足 ，则 的最小值是___________.
8.（2022·江西九江·一模（理））若a，b为正实数，直线 与直线 互
相垂直，则ab的最大值为______．
