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第 02 讲 特殊角的锐角三角函数
课程标准 学习目标
1. 掌握特殊角的锐角三角函数值，能够自行推导并记住特殊角
①特殊角的锐角三角函数
的锐角三角函数值，并在解决问题时灵活运用。
知识点01 特殊角的锐角三角函数值
1. 特殊角的锐角三角函数：
锐角三角函数 30° 45° 60°
锐角α
sinα
cosα
tanα
由表可知，若∠A与∠B互余，则sinA＝cosB，sinB＝cosA。【即学即练1】
1．计算：sin60°+tan45°﹣cos30°•tan60°．
【即学即练2】
2．若 为锐角，且2cos ＝ ，则 等于（ ）
A．0° B．30° C．45° D．60°
α α α
【即学即练3】
3．△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝ ，cosB＝ ，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
题型01 求特殊角的锐角三角函数
【典例1】计算：cos30°+tan60°＝ ；sin30°•tan30°+cos60°•tan60°＝ ．
【变式1】2cos60°的值等于（ ）
A． B．1 C． D．
【变式2】sin30°的相反数是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C． D．
【变式3】计算：
（1）2sin30°﹣sin45°•cos45°； （2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．
【变式4】计算：（1）sin245°+tan60°•cos30°； （2）2sin60°﹣cos60°﹣sin30°•tan45°．
题型02 根据锐角三角函数求角度
【典例1】若∠A是锐角，cosA＝ ，则∠A＝ ．
【变式1】已知 为锐角，且sin（ ﹣10°）＝ ，则 等于（ ）
A．70° B．60° C．50° D．30°
α α α
【变式2】已知 为锐角，若 ，则 的度数为 ．
【变式3】若锐角α x满足tan2x﹣（ +1）tanx+ ＝0，则x＝ α ．
【变式4】在锐角△ABC中， ，则∠A＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
题型03 判断三角形的形状
【典例1】在△ABC中，若∠A，∠B满足 + ＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰（非等边）三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【变式1】若 ，那么△ABC的形状是 ．
【变式2】若 +|2cosB﹣1|＝0，则△ABC是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．含有60°的任意三角形
D．顶角为钝角的等腰三角形
【变式3】若 ， 是一个三角形的两个锐角，且满足|sin ﹣ |+（ ﹣tan ）2＝0，则此三角形的形状
是（ ）
α β α β
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形1．已知∠A是锐角，且∠A＝60°，则sinA等于（ ）
A． B．1 C． D．
2． 的数值大小为（ ）
A． B． C． D．
3．tan60°+3tan30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝2，BC＝1，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不确定
5．已知实数a＝tan30°，b＝cos60°，c＝sin45°，则下列判断正确的是（ ）
A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b
6．若tan（ ﹣10°）＝1，则锐角 的度数是（ ）
A．40° B．35° C．55° D．70°
α α
7．在△ABC中，tanA＝1，cosB＝ ，则△ABC的形状（ ）
A．一定是锐角三角形 B．—定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．无法确定
8．在△ABC中，若∠A，∠B均为锐角，且|sinA﹣ |+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
9．在△ABC中，三边之比为a：b：c＝1： ：2．则sinA+tanA等于（ ）
A． B． C． D．
10．关于三角函数有如下公式：
sin（ + ）＝sin cos +cos sin ，sin（ ﹣ ）＝sin cos ﹣cos sin
cos（ + ）＝cos cos ﹣sin sin ，cos（ ﹣ ）＝cos cos +sin sin
α β α β α β α β α β α β
α β α β α β α β α β α β
tan（ + ）＝ （1﹣tan tan ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转
化为特殊角的三角函数来求值，如 sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30℃os60°+cos30°sin60°＝
α β α β
＝1利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝ ，②tan105°＝﹣2﹣ ，③sin15°＝
，④cos90°＝0
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知 为锐角，且sin ＝ ，则 ＝ 度．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
α α α
【解答】解：∵sin30°＝ ，∴ ＝30°．
α
12．在锐角△ABC中，若|sinA﹣ |+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的度数是 ．
13．若∠A为锐角，且tan2A+2tanA﹣3＝0，则∠A＝ 度．
14．在△ABC中，∠A、∠B满足： ，则△ABC的形状为 ．
15．已知 为锐角，当 无意义时，tan（ +15°）﹣tan（ ﹣15°）的值是 ．
16．求下列各式的值：
α α α
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°；
（2）tan60°﹣（4﹣ ）0+2cos30°+（ ）﹣1．
π
17．（1）已知3tan ﹣2cos30°＝0，求锐角 ；（2）已知2sin ﹣3tan30°＝0，求锐角 ．
α α α α18．已知△ABC中，∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|cosB﹣ |＝0．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求（1+sinA）2﹣2 ﹣（3+tanC）0的值．
19．规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx•cosy+cosx•siny．据此
（1）判断下列等式成立的是 （填序号）．
①cos（﹣60°）＝﹣ ；②sin2x＝2sinx•cosx；③sin（x﹣y）＝sinx•cosy﹣cosx•siny．
（2）利用上面的规定求①sin75° ②sin15°．20．对于钝角 ，定义它的三角函数值如下：
sin ＝sin（180°﹣ ），cos ＝﹣cos（180°﹣ ）
α
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
α α α α
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2
﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
