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专题13 几何图形初步复习（解析版）
【知识点一】 立体图形与平面图形
区别：立体图形各部分不都在同一平面内；平面图形各部分都在同一平面内.
联系：立体图形可以展开成平面图形，平面图形可以旋转成立体图形.
考点：(1)从不同方向看立体图形.(2)立体图形的平面展开图.
例1 （2022秋•即墨区校级月考）如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．从左
面看到的几何体的形状图为（ ）
A． B． C． D．
思路引领：根据解答组合体三视图的画法画出该组合体从左面看到的图形即可．
解：从左面看这个几何体，所得到的图形为：
故选：D．
解题秘籍：本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的
画法是正确解答的前提．
针对练习
1．（2020秋•江门期末）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有
“建”字一面的相对面上的字是 ．
思路引领：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作
答．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“建”与“会”是相对
面．
故答案为：会．
解题秘籍：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相
对面入手，分析及解答问题．
2．（2021•东明县二模）如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（ ）A． B． C． D．
思路引领：将A、B、C、D分别展开，能和原图相对应的即为正确答案．
解：A、展开得到 ，不能和原图相对应，故本选项错误；
B、展开得到 ，能和原图相对，故本选项正确；
C、展开得到 ，不能和原图相对应，故本选项错误；
D、展开得到 ，不能和原图相对应，故本选项错误．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了展开图折叠成几何体，熟悉其侧面展开图是解题的关键．
3．（2020秋•秦淮区期末）如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的
侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿 AB剪开，所得的圆
柱侧面展开图是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
解：因圆柱的侧面展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C．故选：A．
解题秘籍：此题主要考查圆柱的侧面展开图，以及学生的立体思维能力．
4．（2021秋•天台县期末）如图1，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点
B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？请完成下列问题：
（1）图2是将立方体表面展开的一部分，请将图形补充完整；（画一种即可）
（2）在图2中画出点A到点B的最短爬行路线；
（3）在图2中标出点C，并画出A、C两点的最短爬行路线（画一种即可）．
思路引领：（1）根据题意画出正方体的展开图即可；
（2）根据线段的性质画出图形即可；
（3）根据线段的性质画出图形即可．
解：（1）如图所示，
（2）如图所示，连接AB，线段AB的即为点A到点B的最短爬行路线；
（3）如图所示，线段AC即为A、C两点的最短爬行路线．
解题秘籍：此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，几何体的展开图，线段的性质：
两点之间线段最短，正确的画出图形是解题的关键．
【知识点二】直线、射线、线段
1．直线、射线、线段的区别和联系：
区别：（1）端点个数不同：直线没有端点，射线一个端点，线段两个端点.
（2）延伸方向不同，直线向两方延伸，射线向一个方向延伸，线段无延伸.
联系：（1）都可以用两个点的大写字母表示，直线是用任意两点字母，没有先后顺序；射线是
用一个端点字母和任一点字母，端点字母在前；线段只能用两端点字母，没有先后顺序.
（2）线段可以度量，直线和射线不可度量.
2．两个性质、一个中点：
（1）直线的性质：两点确定一条直线.
（2）线段的性质：两点之间，线段最短.
（3）线段的中点：把一条线段平均分成两条相等线段的点.
例2（2020秋•永嘉县校级期末）如图，直线 l上有A、B两点，AB＝24cm，点O是线段
AB上的一点，OA＝2OB．
（1）OA＝ cm，OB＝ cm．（2）若点C是线段AO上一点，且满足AC＝CO+CB，求CO的长．
（3）若动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速
度为1cm/s，设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ＝8．
②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cm/s的速度也向右运动．当点M追上
点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后立即返回，又以同样的速度向
点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动．在此过程中，点M行
驶的总路程为 4 8 cm．
思路引领：（1）由OA＝2OB，OA+OB＝24即可求出OA、OB．
（2）设OC＝x，则AC＝16﹣x，BC＝8+x，根据AC＝CO+CB列出方程即可解决．
（3）①分两种情形①当点P在点O左边时，2（16﹣2t）﹣（8+t）＝8，当点P在点
O右边时，2（2t﹣16）﹣（8+x）＝8，解方程即可．
②点M运动的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间，设点M运动的时间为ts由
题意得：t（2﹣1）＝16由此即可解决．
解：（1）∵AB＝24，OA＝2OB，
∴20B+OB＝24，
∴OB＝8，0A＝16，
故答案分别为16，8．
（2）设CO＝x，则AC＝16﹣x，BC＝8+x，
∵AC＝CO+CB，
∴16﹣x＝x+8+x，
8
∴x= ，
3
8
∴CO= ．
3
16
（3）①当点P在点O左边时，2（16﹣2t）﹣（8+t）＝8，t= ，
5
当点P在点O右边时，2（2t﹣16）﹣（8+t）＝8，t＝16，
16
∴t= 或16s时，2OP﹣OQ＝8．
5
②设点M运动的时间为ts，由题意：t（2﹣1）＝16，t＝16，
∴点M运动的路程为16×3＝48cm．
故答案为48cm．
解题秘籍：本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，找等量关系列出方程
是解决问题的关键，属于中考常考题型．
针对练习1．（ 南充模拟）已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝3cm，则线段AC
＝ ．
思路引领：由于C点的位置不能确定，故要分两种情况考虑AC的长，注意不要漏解．
解：由于C点的位置不确定，故要分两种情况讨论：
当C点在B点右侧时，如图所示：
AC＝AB+BC＝8+3＝11cm；
当C点在B点左侧时，如图所示：
AC＝AB﹣BC＝8﹣3＝5cm；
所以线段AC等于11cm或5cm，
故答案为：11cm或5cm．
解题秘籍：本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此
题的关键．
2．（2019秋•鄞州区期末）已知点C是线段AB的中点，点D是线段BC上一点，下列条
件不能确定点D是线段BC的中点的是（ ）
1
A．CD＝DB B．BD= AD C．2AD＝3BC D．3AD＝4BC
3
思路引领：根据线段中点的定义，结合图形判断即可．
解：如图，
∵CD＝DB，
∴点D是线段BC的中点，A不合题意；
∵点C是线段AB的中点，
∴AC＝BC，
1
又∵BD= AD，
3
∴点D是线段BC的中点，B不合题意；
∵点C是线段AB的中点，
∴AC＝BC，2AD＝3BC，
∴2（BC+CD）＝3BC，
∴BC＝2CD，
∴点D是线段BC的中点，C不合题意；
3AD＝4BC，不能确定点D是线段BC的中点，D符合题意．
故选：D．
解题秘籍：本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的定义、灵活运用数形结
合思想是解题的关键．3．（2021秋•德江县期末）如图，C是线段AB上的一点，M是线段AC的中点，若AB＝
8cm，BC＝2cm，则MC的长是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
思路引领：由图形可知AC＝AB﹣BC，依此求出AC的长，再根据中点的定义可得MC
的长．
解：由图形可知AC＝AB﹣BC＝8﹣2＝6cm，
∵M是线段AC的中点，
1
∴MC= AC＝3cm．
2
故MC的长为3cm．
故选：B．
解题秘籍：考查了两点间的距离的计算；求出与所求线段相关的线段AC的长是解决本
题的突破点．
4．（2021秋•长乐区期末）如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，
这样做的道理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．两点之间直线最短 D．垂线段最短
思路引领：根据线段的性质：两点之间线段最短进行解答．
解：把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是两点之间
线段最短，
故选：B．
解题秘籍：此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短，是需要记忆内
容．
5．如图，在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离和OA+OB+OC+OD
最小，并说出你的理由，由本题你得到什么数学结论？举例说明它在实际中的应用．
思路引领：连接AC、BD相交于点O，则点O就是所要找的点；取不同于点O的任意一点P，连接PA、PB、PC、PD，根据两点之间，线段最短，即可得到 PA+PB+PC+PD＞
OA+OB+OC+OD，从而可得点O就是所要找的四边形ABCD内符合要求的点．
解：要使OA+OB+OC+OD最小，则点O是线段AC、BD的交点．
理由如下：如果存在不同于点O的交点P，连接PA、PB、PC、PD，
因为点P有可能在AC上，
所以PA+PC也有可能等于AC，即PA+PC≥AC，
同理，PB+PD≥BD，
但因为点P不同于点O，
所以点P不可能同时在AC、BD上，
所以“PA+PC＝AC“与“PB+PD＝BD“不可能同时出现，
所以PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，
由本题得到：两点之间，线段最短．
实际应用：把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
解题秘籍：本题考查了两点之间，线段最短，作出图形更助于问题的解决，把问题转化
为求两条线段的和是解决问题的关键．
2 4
6．点O是线段AB＝28cm的中点，而点P将线段AB分为两部分，AP：PB= ： ，求线
3 15
段OP的长．
思路引领：根据线段的比例的性质，可得AP：PB＝10：4，根据按比例分配，可得AP
的长，根据线段中点的性质，可得AO的长，根据线段的和差，可得答案．
解：由比例的性质，得
AP：PB＝10：4．
按比例分配，得
10
AP：28× =20（cm）．
10+4
由线段中点的性质，得
1
AO= AB＝14（cm）．
2
OP＝AP﹣AO
＝20﹣14＝6（cm）．
解题秘籍：本题考查了两点间的距离，利用了比例的性质，线段中点的性质，线段的和差．
7．（2017春•太谷县校级期末）如图，已知C，D两点在线段AB上，AB＝10cm，CD＝
6cm ， M ， N 分 别 是 线 段 AC ， BD 的 中 点 ， 则 MN ＝ cm ．
1 1
思路引领：结合图形，得MN＝MC+CD+ND，根据线段的中点，得MC= AC，ND=
2 2
DB，然后代入，结合已知的数据进行求解．
解：∵M、N分别是AC、BD的中点，
1 1 1 1 1
∴MN＝MC+CD+ND= AC+CD+ DB= （AC+DB）+CD= （AB﹣CD）+CD= ×
2 2 2 2 2
（10﹣6）+6＝8．
故答案为：8．
解题秘籍：此题考查的知识点是两点间的距离，关键是利用线段的中点结合图形，把要
求的线段用已知的线段表示．
1
8．（2019秋•北仑区期末）如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的 多5，P、
4
Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度在射线AB
上沿AB方向运动，当点P运动到点B时，两点同时停止运动，运动时间为t（s），M
1
为BP的中点，N为MQ的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当BP=
2
BQ时，t＝12；④M，N两点之间的距离是定值．其中正确的结论 （填写序号）
思路引领：根据线段中点的定义和线段的和差关系即可得到结论．
1
解：∵AB＝30，AC比BC的 多5，
4
∴BC＝20，AC＝10，
∴BC＝2AC；故①正确；
∵P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度，
∴BP＝30﹣2t，BQ＝t，
∵M为BP的中点，N为MQ的中点，
1 1
∴PM= BP＝15﹣t，MQ＝MB+BQ＝15，NQ= MQ＝7.5，
2 2
∴AB＝4NQ；故②正确；
1
∵BP=30-2t，BQ=t，BP= BQ，
2
t
∴30-2t= ，解得：t＝12，故③正确，
2∵BP＝30﹣2t，BQ＝t，
1
∴BM= PB＝15﹣t，
2
∴MQ＝BM+BQ＝15﹣t+t＝15，
1 15
∴MN= MQ= ，
2 2
∴MN的值与t无关是定值，
故答案为：①②③④．
解题秘籍：本题考查两点间的距离，解题的关键是求出P到达B点时的时间，以及点P
与Q重合时的时间，涉及分类讨论的思想．
9．（2021秋•易县期末）如图，在数轴上有A，B两点，且AB＝8，点A表示的数为6；动
点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q从点A出发，以
每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
（1）写出数轴上点B表示的数是 ；
（2）当t＝2时，线段PQ的长是 ；
（3）当0＜t＜3时，则线段AP＝ ；（用含t的式子表示）
1
（4）当PQ= AB时，求t的值．
4
思路引领：（1）根据两点间的距离公式即可求出数轴上点B表示的数；
（2）先求出当t＝2时，P点对应的有理数为2×2＝4，Q点对应的有理数为6+1×2＝8，
再根据两点间的距离公式即可求出PQ的长；
（3）先求出当0＜t＜3时，P点对应的有理数为2t＜6，再根据两点间的距离公式即可
求出AP的长；
（4）由于t秒时，P点对应的有理数为2t，Q点对应的有理数为6+t，根据两点间的距
1
离公式得出PQ＝|2t﹣（6+t）|＝|t﹣6|，根据PQ= AB列出方程，解方程即可求解．
4
解：（1）6+8＝14．
故 数轴上点B表示的数是14；
（2）当t＝2时，P点对应的有理数为2×2＝4，Q点对应的有理数为6+1×2＝8，
8﹣4＝4．
故线段PQ的长是4；
（3）当0＜t＜3时，P点对应的有理数为2t＜6，
故AP＝6﹣2t；
（4）根据题意可得：1
|t﹣6|= ×8，
4
解得：t＝4或t＝8．
故t的值是4或8．
故答案为：14；4；6﹣2t．
解题秘籍：此题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所
表示的数之间的关系，（4）中解方程时要注意分两种情况进行讨论．
【知识点三】 角的比较与运算
1．比较角大小的方法：度量法、叠合法.
2．互余、互补反映两角的特殊数量关系.
3．方位角中经常涉及两角的互余.
4．计算两角的和、差时要分清两角的位置关系.
例3（2020秋•和平区期末）如图：∠AOB：∠BOC：∠COD＝2：3：4，射线OM、ON，
分别平分∠AOB与∠COD，又∠MON＝84°，则∠AOB为（ ）
A．28° B．30° C．32° D．38°
思路引领：首先设出未知数，然后利用角的和差关系和角平分线的定义列出方程，即可
求出∠AOB的度数．
解：设∠AOB＝2x°，则∠BOC＝3x°，∠COD＝4x°，
∵射线OM、ON分别平分∠AOB与∠COD，
1
∴∠BOM= ∠AOB＝x°，
2
1
∠CON= ∠COD＝2x°，
2
又∵∠MON＝84°，
∴x+3x+2x＝84，
x＝14，
∴∠AOB＝14°×2＝28°．
故选：A．
解题秘籍：本题主要考查了角平分线的定义和角的计算，解题时要能根据图形找出等量
关系列出方程，求出角的度数．
例4（2021秋•北辰区期末）如图所示，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，若∠1
＝26°，则∠2的度数为 ．思路引领：由图示可得，∠1与∠BOC互余，结合已知可求∠BOC，又因为∠2与
∠COB互补，即可求出∠2的度数．
解：∵∠1＝26°，∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝64°，
∵∠2+∠BOC＝180°，
∴∠2＝116°．
故答案为：116°．
解题秘籍：此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是掌握互余的两角之和为
90°，互补的两角之和为180°．
针对练习
1．（2019•隆化县二模）如图，直线AB、CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD
＝76°，则∠BOM等于（ ）
A．38° B．104° C．142° D．144°
思路引领：根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的
度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
解：∵∠BOD＝76°，
∴∠AOC＝∠BOD＝76°，
∵射线OM平分∠AOC，
1 1
∴∠AOM= ∠AOC= ×76°＝38°，
2 2
∴∠BOM＝180°﹣∠AOM＝180°﹣38°＝142°．
故选：C．
解题秘籍：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键．
2．（通辽中考）4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（ ）
A．55° B．65°
C．70° D．以上结论都不对
思路引领：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，找出4点
10分时针和分针分别转动角度即可求出．解：∵4点10分时，分针在指在2时位置处，时针指在4时过10分钟处，由于一大格
10
是30°，10分钟转过的角度为 ×30°=5°，因此4点10分时，分针与时针的夹角是
60
2×30°+5°＝65°．
故选：B．
解题秘籍：本题考查钟表时针与分针的夹角．用到的知识点为：钟表上12个数字，每
相邻两个数字之间的夹角为30°．
3．（渝北区期末）如图，直角三角板的直角顶点在直线上，则∠1+∠2＝（ ）
A．60° B．90° C．110° D．180°
思路引领：由三角板的直角顶点在直线l上，根据平角的定义可知∠1与∠2互余，从而
求解．
解：如图，三角板的直角顶点在直线l上，
则∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了余角及平角的定义，正确观察图形，得出∠1与∠2互余是解题
的关键．
4．（2021春•未央区月考）如图，要测量两堵围墙形成的∠AOB的度数，但人不能进入围
墙，可先延长BO得到∠AOC，然后测量∠AOC的度数，再计算出∠AOB的度数．其中
依据的原理是（ ）
A．对顶角相等 B．同角的余角相等
C．等角的余角相等 D．同角的补角相等
思路引领：根据邻补角的定义以及同角的补角相等得出答案．
解：如图，由题意得，∠AOC+∠AOB＝180°，
即∠AOC与∠AOB互补，
因此量出∠AOC的度数，即可求出∠AOC的补角，
根据同角的补角相等得出∠AOB的度数，
故选：D．
解题秘籍：本题考查邻补角的定义、同角的补角相等，理解同角的补角相等是正确判断
的前提．
5．（2015秋•庆云县期末）计算：①33°52′+21°54′＝ ；②36°27′×3＝
．
思路引领：①利用度加度，分加分，再进位即可；②利用度和分分别乘以3，再进位．
解：①33°52′+21°54′＝54°106′＝55°46′；
②36°27′×3＝108°81′＝109°21′；
故答案为：55°46′；109°21′．
解题秘籍：此题主要考查了度分秒的计算，关键是掌握在进行度、分、秒的运算时也应
注意借位和进位的方法．
6．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠ 与∠ 互余？在哪种摆放
方式中∠ 与∠ 互补？在哪种摆放方式中∠ 与∠ 相等？
α β
α β α β
思路引领：根据每个图中的三角尺的摆放位置，容易得出∠ 与∠ 的关系．
解：（1）根据平角的定义得：∠ +90°+∠ ＝180°，
α β
∴∠ +∠ ＝90°，
α β
即∠ 与∠ 互余；
α β
（2）根据两个直角的位置得：∠ ＝∠ ；
α β
（3）根据三角尺的特点和摆放位置得：
α β
∠ +45°＝180°，∠ +45°＝180°，
∴∠ ＝∠ ；
α β
（4）根据图形可知∠ 与∠ 是邻补角，
α β
∴∠ +∠ ＝180°；
α β
综上所述：（1）中∠ 与∠ 互余；（4）中∠ 与∠ 互补；（2）（3）中，∠ ＝
α β
∠ ．
α β α β α
解题秘籍：本题考查了余角和补角的定义；仔细观察图形，弄清两个角的关系是解题的
β
关键．7．（2012秋•襄城区期末）如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东
60°方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它北偏东30°的方向上，试在图中确定这
艘船的位置．
思路引领：根据方向角的概念分别画出过点A与点B的射线，两条射线的交点即为这艘
船的位置．
解：如图所示：作∠1＝60°，∠2＝30°，两射线相交于P点，则点P即为所求．
解题秘籍：本题考查的是方位角的画法，解答此题的关键是熟知方向角的描述方法，即
用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，
故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西，偏多少度．
8．（2019 秋•东莞市期末）直角三角板 ABC 的直角顶点 C 在直线 DE 上，CF 平分
∠BCD．
（1）在图1中，若∠BCE＝40°，∠ACF＝ ；
（2）在图1中，若∠BCE＝ ，∠ACF＝ （用含 的式子表示）；
（3）将图 1中的三角板 ABC绕顶点 C 旋转至图 2的位置，若∠BCE＝150°，试求
α α
∠ACF与∠ACE的度数．
思路引领：（1）、（2）结合平角的定义和角平分线的定义解答；
（3）根据角平分线的定义、平角的定义以及角的和差关系解答即可．
解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠BCE＝40°，∴∠ACD＝180°﹣90°﹣40°＝50°，∠BCD＝180°﹣40°＝140°，
又CF平分∠BCD，
1
∴∠DCF＝∠BCF= ∠BCD＝70°，
2
∴∠ACF＝∠DCF﹣∠ACD＝70°﹣50°＝20°；
故答案为：20°；
（2）如图1，∵∠ACB＝90°，∠BCE＝ °，
∴∠ACD＝180°﹣90°﹣ °＝90°﹣ ，∠BCD＝180°﹣ ，
α
又CF平分∠BCD，
α α α
1 1
∴∠DCF＝∠BCF= ∠BCD＝90°- ，
2 2
1 1 α
∴∠ACF＝90°- ﹣90°+ = ；
2 2
1 α α α
故答案为： ；
2
（3）如图2，α∵∠BCE＝150°，
∴∠BCD＝30°，
∵CF平分∠BCD，
1
∴∠BCF= ∠BCD=15°，
2
∴∠ACF＝90°﹣∠BCF＝75°，
∠ACD＝90°﹣∠BCD＝60°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACD＝120°．
解题秘籍：考查了角的计算和角平分线的定义，主要考查学生的计算能力，求解过程类
似．
9．（2019秋•梁园区期末）如图，已知∠AOB＝60°，∠AOB的边OA上有一动点P，从距
离O点18cm的点M处出发，沿线段MO、射线OB运动，速度为2cm/s；动点Q从点O
出发，沿射线OB运动，速度为1cm/s；P、Q同时出发，同时射线OC绕着点O从OA
上以每秒5°的速度顺时针旋转，设运动时间是t（s）．（1）当点P在MO上运动时，
PO＝ cm（用含t的代数式表示）；
（2）当点P在线段MO上运动时，t为何值时，OP＝OQ？此时射线OC是∠AOB的角
平分线吗？如果是请说明理由．（3）在射线OB上是否存在P、Q相距2cm？若存在，请求出t的值并求出此时∠BOC
的度数；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）先确定出PM＝2t，即可得出结论；
（2）先根据OP＝OQ建立方程求出t＝6，进而求出∠AOC＝30°，即可得出结论；
（3）分P、Q相遇前相距2cm和相遇后2cm两种情况，建立方程求解，接口得出结论．
解：（1）当点P在MO上运动时，由运动知，PM＝2t，
∵OM＝18cm，
∴PO＝OM﹣PM＝（18﹣2t）cm，
故答案为：（18﹣2t）；
（2）由（1）知，OP＝18﹣2t，
当OP＝OQ时，则有18﹣2t＝t，
∴t＝6
即t＝6时，能使OP＝OQ，
∵射线OC绕着点O从OA上以每秒5°的速度顺时针旋转，
∴∠AOC＝5°×6＝30°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°＝∠AOC，
∴射线OC是∠AOB的角平分线，
（3）分为两种情形．
当P、Q相遇前相距2cm时，
OQ﹣OP＝2
∴t﹣（2t﹣18）＝2
解这个方程，得t＝16，
∴∠AOC＝5°×16＝80°
∴∠BOC＝80°﹣60°＝20°，
当P、Q相遇后相距2cm时，OP﹣OQ＝2
∴（2t﹣18）﹣t＝2
解这个方程，得t＝20，
∴∠AOC＝5°×20＝100°∴∠BOC＝100°﹣60°＝40°，
综合上述t＝16，∠BOC＝20°或t＝20，∠BOC＝40°．
解题秘籍：此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义，旋转的性质，用方程
的思想解决问题是解本题的关键．
配套作业
1．（2021•芜湖模拟）如图，甲、乙都是由大小相同的小正方体搭成的几何体，关于它们
的视图，判断正确的是（ ）
A．仅主视图相同 B．左视图与俯视图相同
C．主视图与左视图相同 D．主视图与俯视图相同
思路引领：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，
依据三视图进行判断即可．
解：如图所示：
由图可得，主视图与俯视图相同．
故选：D．
解题秘籍：本题考查简单组合体的三视图，掌握三视图的定义是解答本题的关键．
2．（2020秋•大丰区月考）如图，三个正方体的六个面都按相同规律涂有红、黄、蓝、白、
黑、绿六种颜色，那么涂绿色的对面是 色．
思路引领：根据与“白”相邻的是黄、黑、红、绿判断出“白”的对面是“蓝”，与
“黄”相邻的是白、黑、蓝、红判断出“绿”的对面是“黄”．
解：由图可知，与“白”相邻的是黄、黑、红、绿，所以，“白”的对面是“蓝”，
与“黄”相邻的是白、黑、蓝、红，
所以，“绿”的对面是“黄”．
故答案为：黄．
解题秘籍：此题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，此题关键
是抓住图中出现了2次的颜色红和黄的邻面颜色的特点，推理得出它们的对面颜色分别
是黑和绿．
3．（2010秋•洛江区期末）如图，把左边的图形折叠起来，它会变为（ ）
A． B． C． D．
思路引领：本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形展开图的认识．
在本题的解决过程中，学生可以动手进行具体折纸、翻转活动，也可以．
解：通过实际动手操作可知正确的为B．
故选：B．
解题秘籍：本题虽然是选择题，但答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然
学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动，较好
地考查了学生空间观念．另外，本题通过考查正方体的侧面展开图，展示了这样一个教
学导向，教学中要让学生确实经历活动过程，而不要将活动层次停留于记忆水平．我们
有些老师在教学“展开与折叠”时，不是去引导学生动手操作，而是给出几种结论，这
样教出的学生肯定遇到动手操作题型时就束手无策了．
4．（2021秋•成都期中）下列图形是正方体的表面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
思路引领：正方体共有11种表面展开图，利用正方体及其表面展开图的特点判断即可．
解：A选项能围成正方体；B和C折叠后缺少一个面，故不能折成正方体；D出现了
“田”字格，故不折成正方体能．
故选：A．
解题秘籍：本题考查了几何体的展开图，同时考查了学生的立体思维能力．解题时注意，
只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．
5．（2017秋•江岸区校级期末）如图，线段AB上有E、D、C、F四点，点E是线段AC的
1 1
中点，点F是线段DB的中点，有下列结论：①EF= AB；②EF= （AB﹣CD）；
2 2
1 1
③DE= （DA﹣DC）；④AF= （DA+AB），其中正确的结论是 ．
2 21 1
思路引领：根据中点定义可得：AE＝EC= AC，DF＝FB= DB；对于①②，结合图
2 2
形，依据线段的和差关系即可判断正误；同理再判断③和④的正误．
解：如图，∵点E是线段AC的中点，点F是线段DB的中点，
1 1
∴AE＝EC= AC，DF＝FB= DB，
2 2
∴EF＝AB﹣AE﹣FB
1
＝AB- （AC+DB）
2
1
＝AB- （AB+CD）
2
1
= （AB﹣CD），
2
故结论①错误，结论②正确；
DE＝EC﹣DC
1
= AC﹣DC
2
1
= （AD+DC）﹣DC
2
1
= （AD﹣DC），
2
故结论③正确；
AF＝AB﹣BF
1
＝AB- BD
2
1
＝AB- （AB﹣DA）
2
1
= （AB+DA），
2
故结论④正确．
故答案为：②③④．
解题秘籍：本题主要考查了线段中点定义及线段和差的计算，解题时要结合图形认真观
察分析，数形结合，理清相关线段之间的关系是解题关键．
6．（2020秋•奉化区校级期末）如图，已知线段 AB＝8，点C是线段AB是一动点，点D
是线段AC的中点，点E是线段BD的中点，在点C从点A向点B运动的过程中，当点
C刚好为线段DE的中点时，线段AC的长为（ ）16
A．3.2 B．4 C．4.2 D．
7
思路引领：由已知条件可得：AD＝CD＝CE，CD＝CE，则 AB＝AD+DC+CE+BE＝
3AD+BE＝3AD+DE＝3AD+2CD＝5AD即可求．
解：∵点D是线段AC的中点，
∴AD＝CD，
∵点E是线段BD的中点，
∴BE＝DE，
∵点C为线段DE的中点，
∴CD＝CE，
∴AD＝CD＝CE，
∵AB＝AD+DC+CE+BE＝3AD+BE＝3AD+DE＝3AD+2CD＝5AD，
∴AD＝1.6，
∴AC＝2AD＝3.2，
故选：A．
解题秘籍：本题考查了线段中点的定义，熟悉线段的和差关系是解题的关键．
7．（2021秋•济南期末）如图，线段AB＝16cm，在AB上取一点C，M是AB的中点，N
是AC中点，若MN＝3cm，则线段AC的长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
思路引领：设CM＝a，可得CN＝CM+MN＝a+3，由M是AB的中点，N是AC中点，可
1
得 AM= AB，AN＝CN＝a+3，由 AM＝AN+MN＝8，即可算出 a 的值，根据 AC＝
2
AM+CM代入计算即可得出答案．
解：设CM＝a，CN＝CM+MN＝a+3，
∵M是AB的中点，N是AC中点，
1 1
∴AM= AB= ×16=8，AN＝CN＝a+3，
2 2
∵AM＝AN+MN＝8，即a+3+3＝8，
∴a＝2，
∴AC＝AM+CM＝8+2＝10．
故选：C．
解题秘籍：本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算是
解决本题的关键．
8．（2006•巴中）巴广高速路的设计者准备在西华山再设计修建一个隧道，以缩短两地之
间的里程，其主要依据是（ ）A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线
思路引领：此题为数学知识的应用，由题意设计巴广高速路，肯定要尽量缩短两地之间
的里程，就用到两点间线段最短定理．
解：要想缩短两地之间的里程，就尽量是两地在一条直线上，因为两点间线段最短．
故选：B．
解题秘籍：此题考查知识点两点间线段最短．
9．如图，公路上有A 、A 、A 、A 、A 、A 、A 七个村庄，现要在这段公路上设一车站，
1 2 3 4 5 6 7
使这七个村庄到车站的路程总和最小，车站应建在何处？
思路引领：根据“当点数为奇数个点时，应设在中点上；当点数为偶数时，应设在中间
相邻的两点或其两点之间的任何地方，距离之和为最小”的规律，本题有7个村庄，应
设在中点A 上．
4
解：因为有7个村庄，是奇数个点，所以应设在中间点上，即设在A 点上．
4
如下图：
解题秘籍：此题主要考查了线段的性质，属于最短路线问题，考查学生“当点数为奇数
个点时，应设在中点上；当点数为偶数时，应设在中间相邻的两点或其两点之间的任何
地方，距离之和为最小”的规律的掌握情况．
10．（2018秋•昌平区校级期末）如图，已知线段AB＝20cm，CD＝2cm，线段CD在线段
AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点．
（1）若AC＝4cm，则EF＝ 1 1 cm．
（2）当线段CD在线段AB上运动时，EF的长度是否改变，如果变化，请说明理由．
思路引领：（1）先求出线段BD，然后再利用线段中点的性质求出AE，BF即可；
（2）利用线段中点的性质证明EF的长度不会发生改变．
解：（1）∵AB＝20cm，CD＝2cm，AC＝4cm，
∴BD＝AB﹣CD﹣AC＝14cm，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
1 1
∴CE= AC＝2cm，DF= BD＝7cm，
2 2
∴EF＝CE+CD+DF＝11cm；
（2）不改变，理由：∵AB＝20cm，CD＝2cm，
∴AC+BD＝AB﹣CD＝18cm，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
1 1
∴CE= AC，DF= BD，
2 2
1 1
∴CE+DF= AC+ BD＝9cm，
2 2
∴EF＝CE+CD+DF＝11cm；
解题秘籍：本题考查了两点间距离，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
11．（2011秋•成都期末）如图，C、D将线段AB分成2：3：4三部分，E、F、G分别是
AC、CD、DB的中点，且EG＝12cm，则AF的长＝ ．
思路引领：首先根据C、D将线段AB分成2：3：4三部分，则可以设AC＝2x，则CD
＝3x，DB＝4x．根据EG＝12cm即可求得x的值，进而求得AF的长．
解：∵C、D将线段AB分成2：3：4三部分．
∴设AC＝2x，则CD＝3x，DB＝4x．
∴EC＝x，DG＝2x．
∴EG＝x+3x+2x＝6x＝12cm．
∴x＝2cm．
1 3
∴AF＝AC+CF＝2x+ CD＝2x+ x＝7cm．
2 2
故答案是：7cm．
解题秘籍：本题主要考查了线段的计算，正确理解中点的定义，把求线段的长的问题转
化为解方程的问题是解题关键．
12．（2020秋•开远市期末）已知点C是直线AB上一点，AB＝6cm，BC＝2cm，那么AC
的长是 ．
思路引领：分类讨论：C在线段AB上，C在线段AB的延长线上，根据线段的和差，可
得答案．
解：当C在线段AB上时，AC＝AB﹣BC＝6﹣2＝4（cm）；
当C在线段AB的延长线上时，AC＝AB+BC＝6+2＝8（cm）；
综上所述：线段AC的长度是4cm或8cm，
故答案为：4cm或8cm．
解题秘籍：本题考查了两点之间的线段，利用线段的和差是解题关键，要分类讨论，以
防遗漏．
13．（2021春•泰山区期中）射线OM是∠AOB内的一条射线，下面的四个等式中，不能
判定OM一定是∠AOB角平分线的是（ ）1
A．∠AOM= ∠AOB B．∠AOM+∠MOB＝∠AOB
2
C．∠AOM＝∠MOB D．∠AOB＝2∠AOM
思路引领：利用角平分线的定义，可以得出∠AOM＝∠MOB，进而得出∠AOB＝
1
2∠AOM和∠AOM= ∠AOB，即可得出答案．
2
1
解：选项A：∵∠AOM= ∠AOB，
2
∴OM平分∠AOB，
∴OM是∠AOB的角平分线，正确，
故不符合题意；
选项B：∵∠AOM+∠MOB＝∠AOB，
∴假如∠AOM＝30°，∠MOB＝40°，∠AOB＝70°，
符合上式，但是OM不是∠AOB的角平分线，
故符合题意；
选项C：∵∠AOM＝∠MOB，
∴OM平分∠AOB，
∴OM是∠AOB的角平分线，正确，
故不符合题意；
选项D：∵∠AOB＝2∠AOM，
∴OM平分∠AOB，
∴OM是∠AOB的角平分线，正确，
故不符合题意；
故选：B．
解题秘籍：本题考查角平分线的定义，注意角平分线的表示方法．
14．（攀枝花期末）已知∠ ＝27.2°，则它的余角＝ ° ′．
思路引领：根据互为余角的两个角的和为90度作答．
α
解：根据定义∠ 的余角度数是90°﹣27.2°＝62.8°＝62°48′．
故答案为：62，48．
α
解题秘籍：本题考查角互余的概念：和为90度的两个角互为余角．属于基础题，较简
单
15．（2021春•饶平县校级期末）如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，
∠COF＝34°，OF平分∠AOE，则∠AOC的大小为（ ）A．56° B．34° C．22° D．20°
思路引领：直接利用互余的性质得出∠FOE的度数，再利用角平分线的定义得出答案．
解：∵∠COE是直角，∠COF＝34°，
∴∠FOE＝90°﹣34°＝56°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝56°，
∴∠AOC＝56°﹣34°＝22°．
故选：C．
解题秘籍：此题主要考查了互余的性质以及角平分线的定义，正确得出∠AOF的度数是
解题关键．
16．（2020秋•永嘉县校级期末）钟表在7点55分时，它的时针和分针所构成的角（小于
平角）的度数是（ ）
A．122.5° B．117.5° C．87.5° D．92.5°
思路引领：根据钟面平均分成12份，可得每份是30°．7点55分时，时针分针间隔（3
5
+ ）份，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
60
5
解：7点55分时，时针与分针的夹角的度数是30°×（3+ ）＝92.5°，
60
故选：D．
解题秘籍：本题考查了钟面角，解决问题的关键是利用时针与分针间隔的份数乘以每份
的度数．
17．（湘西州中考）一个角是80°，它的余角是（ ）
A．10° B．100° C．80° D．120°
思路引领：两角互余，则这两个角的和为90°，∴80°角的余角为10°．
解：∵90°﹣80°＝10°．
故选：A．
解题秘籍：此题考查的是角的性质，两角互余和为90°，互补和为180°．
18．如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O，下列选项中与∠AOC互为
余角的是（ ）A．∠AOC B．∠COE C．∠EOB D．∠COB
思路引领：根据垂直定义可得∠COD＝90°，从而得∠AOC+∠EOB＝90°即可解答．
解：∵OE⊥CD，
∴∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠EOB＝90°，
∴∠AOC的所有余角为：∠EOB，
故答案为：C．
解题秘籍：本题考查了垂线，余角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
19．（2016秋•邵阳县期末）计算：35°31′+42°51′＝ ．
思路引领：依据度加度，分加分进行计算，然后再进行进位即可．
解：35°31′+42°51′＝77°82′＝78°22′．
故答案为：78°22′．
解题秘籍：本题主要考查的是度分秒的计算，熟练掌握相关知识是解题的关键．
20．（2020秋•靖江市校级月考）数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以
用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．
如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示
﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动
点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到
点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点 Q从点C出发，以1单
位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点 B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之
后也立刻恢复原速．当点P到达点C时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，问：
（1）t＝3秒时，点P在“折线数轴”上所对应的数是 ；点P到点Q的距离是
个单位长度；
（2）动点Q从点C运动至A点需要 秒；
（3）P、Q两点相遇时，t＝ 秒；此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是
；
（4）如果动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等，
请求出t的值．
思路引领：（1）由路程、速度、时间三者关系，数轴上两点之间的距离与有理数的关系求出对应数为﹣4，距离为22个单位长度；
（2）由路程、速度、时间三者关系分三段求出各段时间，再相加求出总时间为19秒；
31
（3）由路程、速度、时间三者关系求出P、Q两点相遇的时间为 秒，确定相遇点M
3
16
对应的数是 ；
3
（4）由路程、速度、时间三者关系，根据PO＝QB分类求出三种情况下的时间为2秒
13
或 秒或11秒或17秒．
2
解：（1）设动点P从点A出发，运动3秒后的点对应数为x，
∵点P以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，
∴AP＝2×3＝6，
又∵x﹣（﹣10）＝4，
解得：x＝﹣4，
又∵同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，
∴QC＝3×1＝3，
又∵AC＝28，AC＝AO+OB+BC，
∴点P到点Q的距离＝28﹣6﹣3＝19；
故答案为：﹣4，19；
（2）由图可知：动点Q从点C运动至A分成三段，分别为AO、OB、BC，
AO段时间为10÷1＝10（秒），OB段时间为10÷（2×1）＝5（秒），BC段时间为8÷1
＝8（秒），
∴动点Q从点C运动至A点需要时间为10+5+8＝23（秒），
故答案为：23；
（3）依题意得：
y﹣5+2（y﹣8）＝10，
31
解得：y= （秒），
3
31 16
此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是为18﹣8﹣2×（ -8）= ；
3 3
31 16
故答案为： ， ；
3 3
（4）当点P在AO，点Q在BC上运动时，依题意得：
10﹣2t＝8﹣t，
解得：t＝2，
当点P、Q两点都在OB上运动时，t﹣5＝2（t﹣8）
解得：t＝11，
当P在OB上，Q在BC上运动时，
8﹣t＝t﹣5，
13
解得：t= ；
2
当P在BC上，Q在OA上运动时，
t﹣8﹣5+10＝2（t﹣5﹣10）+10，
解得：t＝17；
13
即PO＝QB时，运动的时间为2秒或 秒或11秒或17秒．
2
解题秘籍：本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、
速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用，易错点是分类计
算时不重不漏．
21．（2021秋•金寨县期末）如图 1，点O为直线 AB上一点，过点 O作射线OC，使
∠AOC：∠BOC＝2：1，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，
另一边OM在直线AB的下方．
（1）在图1中，∠AOC＝ ，∠BOC＝ ；
（2）将上述直角三角板按图2的位置放置，使得OM在∠BOC的内部，且∠BOM＝
x°，求∠BON﹣∠COM的度数；
（3）将图1中的三角板以每秒5°的速度绕点O顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，
第n秒时，直线ON恰好平分∠AOC，则n的值为 （直接写出答案）．
思路引领：（1）根据∠AOC：∠BOC＝2：1，可以求得∠AOC和∠BOC的度数；
（2）根据∠BOC＝60°，∠MON＝90°，∠BON＝∠MON﹣∠BOM，∠COM＝∠BOC﹣
∠BOM，可以得到∠BON﹣∠COM的度数；
（3）分两种情况：ON的反向延长线平分∠AOC或射线ON平分∠AOC，分别根据角平
分线的定义以及角的和差关系进行计算即可．
解：（1）∵点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝2：1，
∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝120°，∠BOC＝60°
故答案为：120°，60°；
（2）由图可知：∠BOC＝60°，∠MON＝90°，∠BON＝∠MON﹣∠BOM，∠COM＝∠BOC﹣∠BOM，
则，∠BON＝90°﹣x°，∠COM＝60°﹣x°，
则，∠BON﹣∠COM＝90°﹣x°﹣（60°﹣x°）＝30°，
即∠BON﹣∠COM的度数是30°；
（3）如图，
∵直线ON恰好平分∠AOC，
1 1
∴∠AON= ∠AOC＝60°或∠AON＝180°- ∠AOC＝120°．
2 2
∵三角板以每秒5°的速度绕点O顺时针方向旋转一周，
60° 360°-120°
∴三角板绕点O的运动最短时间为 =12（秒）或 =48（秒）．
5° 5°
∴三角板绕点O的运动时间为12秒或48秒．
故答案为：12或48．
解题秘籍：本题考查角的计算，旋转的性质，解题的关键是找出各个角之间的关系，与
已知条件建立关系，然后求出所求角的度数．
22．请你用电话把如图所示的从A到C的路线图告诉你的同学，你将怎样说明白？
思路引领：针对各点标出坐标系（南北方向），再判断方位角．
解：从A点出发向东走40米，再向南偏东30°走50米，再向东走30米，最后向南走20
米到C．解题秘籍：先标出南北方向，再将实际问题结合方位角来回答，很方便．
23．（2020秋•南岗区校级月考）如图，点O为直线MN上一点，∠BOM＝∠AOC＝90°，
OD平分∠COM．
（1）若∠COD＝x°，则∠BOC＝ °，∠AOB＝ °．（用含x的代数式表
示）
1
（2）在（1）的条件下，若∠AOB= ∠BOD，求∠AON的度数．
2
思路引领：（1）根据角平分线的定义以及角的和差关系计算即可；
（2）根据题意求出∠COD的度数，即可求出∠AON的度数．
解：（1）因为OD平分∠COM，
所以∠DOM＝∠COD＝x°，
所以∠BOC＝∠BOM﹣（∠DOM+∠COD）＝（90﹣2x）°；
因为∠COM+∠BOC＝∠BOC+∠AOB＝90°，
所以∠AOB＝∠COM＝2x°；
故答案为：（90﹣2x）；2x；
1
（2）因为∠AOB= ∠BOD，
2
1
所以2x= [（90﹣2x）+x]，
2
解得x＝18，
所以∠AON＝∠BON﹣∠AOB＝90°﹣2×18°＝54°．
解题秘籍：本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
24．（2021秋•雨花区月考）概念：
当点C在线段AB上，AC＝n•AB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作d
C﹣AB＝n．
理解：
1 1 1 1
如点C是AB的中点时，即AC=
2
AB，则d
C﹣AB
=
2
；反过来，当d
C﹣AB
=
2
，则有AC=
2
AB．因此，我们可以这样理解：“d
C﹣AB
＝n”与“AC＝n•AB”具有相同的含义．
应用：
2
（1）已知C在线段AB上，若d
C﹣AB
=
3
，则AC＝ AB；若AC＝3BC，则d
C﹣AB
＝
．
（2）已知线段AB＝10cm，点P，Q分别从点A，B同时出发，相向运动，点P到达点B
时，点P，Q都停止运动，设运动时间为ts．
①若点P，Q的运动速度均为1cm/s，试用含t的式子表示d
P﹣AB
和d
Q﹣AB
．
②若点P和点Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，点Q到达点A后立即以原速返回，t
4
为何值时，d P﹣AB +d Q﹣AB = 5 ？
思路引领：（1）当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点
值，记作d
C﹣AB
＝n，据此进行判断即可；
（2）①由定义可求解；
t 10-2t 2t-10
②由定义可得d
P﹣AB
=
10
，d
Q﹣AB
=
10
（0≤t＜5），d
Q﹣AB
=
10
（5≤t≤10），
4
由d P﹣AB +d Q﹣AB = 5 ，列出方程可求解．
2
解：（1）∵d
C﹣AB
=
3
，
2
∴AC= AB，
3
∵AC＝3BC，
3
∴AC= AB，
4
3
∴d
C﹣AB
=
4
．
2 3
故答案为： ， ；
3 4
（2）①∵点P、Q的运动速度均为1cm/s，
∴AP＝t（cm），AQ＝（10﹣t）（cm），
t 10-t
∴d
P﹣AB
=
10
，d
Q﹣AB
=
10
，
②∵点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，∴AP＝t（cm），AQ＝（10﹣2t）cm（0≤t＜5），AQ＝2t﹣10（cm）（5≤t≤10），
t 10-2t 2t-10
∴d
P﹣AB
=
10
，d
Q﹣AB
=
10
（0≤t＜5），d
Q﹣AB
=
10
（5≤t≤10），
4
∵d P﹣AB +d Q﹣AB = 5 ，
t 10-2t 4 t 2t-10 4
∴ + = 或 + = ，
10 10 5 10 10 5
解得t＝2或6．
4
故t为2或6时，d P﹣AB +d Q﹣AB = 5 ．
解题秘籍：本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义，并能运用是本题的关键．
