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考点 12 等式与不等式（核心考点讲与练）
一、等式与不等式的性质
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则b＝a.
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.
(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.
3.不等式的性质
(1)对称性：a＞b b＜a；
(2)传递性：a＞b⇔，b＞c a＞c；
(3)可加性：a＞b a＋c⇒＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b⇔，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜⇒0 ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0 an ⇒＞bn(n∈N，n≥1)； ⇒ ⇒
(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).
⇒
二、均值不等式及其应用
1.均值不等式：≤
(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号.
(3)其中称为正数 a，b的算术平均数，称为正数 a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2a b (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x ＝ y 时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当 x ＝ y 时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
三、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程
有两相异实根x， 有两相等实根x＝x
ax2＋bx＋c＝0 1 1 2 没有实数根
x(x＜x) ＝－
2 1 2
(a＞0)的根
ax2＋bx＋c＞0
R
(a＞0)的解集
ax2＋bx＋c＜0
{x |x ＜ x ＜ x } ∅ ∅
1 2
(a＞0)的解集
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
解集
不等式
ab
(x－a)·(x－b)>0 {x |x b } {x |x ≠ a } {x |x a }
(x－a)·(x－b)<0 {x |a 0(<0) f ( x )· g ( x )>0(<0 ).
(2)≥0(≤0⇔) f ( x )· g ( x )≥0(≤0 ) 且 g ( x ) ≠ 0.
⇔
1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.
2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一
定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.
3.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常
常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选
择好利用均值不等式的切入点.
4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，
例如：ab≤≤，≤≤(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
5.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时
的情形.
6.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，
需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.
7.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数
在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.不等式的性质
1.（2021新疆乌鲁木齐市第四中学检测）下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】D
【分析】利用特殊值法和不等式的性质来判断各选项的正误.
【详解】对于A选项，当 时， ，A选项错误；
对于B选项，取 ， ， ， ，则 ， ， 不成立，B选项
错误；
对于C选项，取 ， ， ， ，则 ， ， 不成立，C选项错误；
对于D选项，当 时，则 ，由于 ，所以， ，D选项正确.
故选：D.
不等式的解法
2.（2021陕西省西安中学检测）不等式 的解集为 ，则不等式
的解集为（）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】将不等式的解代入不等式对应方程，得到 的关系，判断 为负数，将 的关系代入后
一个不等式，解得答案.
【详解】由题意知： 是方程 的两个解，代入方程得到
， ，
不等式 可化为： ，
即 解得 .
故选B.
基本不等式以及应用
3.（2021辽宁省葫芦岛市模拟）已知向量 ，若 则 的
最小值为（ ）
A．12 B． C．15 D．
【答案】D
【分析】因为 ，所以3a+2b=1，再利用基本不等式求最小值.
【详解】因为 ，所以3a+2b=1，
所以 .
当且仅当 时取到最小值.
.
故选：D【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示和利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌
握水平，属于基础题.
4.（2021吉林省实验中学检测）若函数 在 处取最小值，则 等于（ ）
A. 3 B. C. D. 4
【答案】A
【分析】将函数 的解析式配凑为 ，再利用基本不等式求出该函数的
最小值，利用等号成立得出相应的 值，可得出 的值.
【详解】当 时， ，则
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，因此， ，故选A.
【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、
三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.
1.（2020•新全国1山东）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【分析】根据 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A， ，当且仅当 时，等号成立，故A正确；
对于B， ，所以 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学
运算的核心素养.
2.（2019（新课标Ⅱ））若a>b，则
A. ln(a−b)>0 B. 3a<3b
C. a3−b3>0 D. │a│>│b│
【答案】C
【分析】本题也可用直接法，因为 ，所以 ，当 时， ，知A错，因为
是增函数，所以 ，故B错；因为幂函数 是增函数， ，所以 ，知C正确；
取 ，满足 ， ，知D错．
【详解】取 ，满足 ， ，知A错，排除A；因为 ，知B错，排
除B；取 ，满足 ， ，知D错，排除D，因为幂函数 是增函数，，所以 ，故选C．
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算
能力素养，利用特殊值排除即可判断．
3.（2020•江苏卷）已知 ，则 的最小值是_______．
【答案】
【分析】根据题设条件可得 ，可得 ，利用基本不等式即可求解.
【详解】∵
∴ 且
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号.
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一
正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值
（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参
数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.
一、单选题1.（2022·广东·模拟预测）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. 13 B. 19 C. 21 D. 27
【答案】D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.
【详解】 ，当且仅当 ，即
，b＝6时，等号成立，故 的最小值为27
故选：D
2.（2022·福建宁德·模拟预测）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. 8 C. D. 10
【答案】D
【分析】对方程变形，再利用基本不等式进行求解.
【详解】 整理为： ，由基本不等式得： ，即
，解得： 或 ，由于 ，所以 舍去，
从而 的最小值是10
故选：D
3.（2022·重庆·一模）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【分析】先利用 消元，再利用基本不等式求得 的最小值即可
【详解】将 代入 ，可得：
（当且仅当 时，取得等号）
故选：D
二、多选题
4.（2022·全国·模拟预测）已知实数x，y满足 ， ，且 ，则（ ）
A. xy的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为1 D. 的最小值为
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式及其变形逐项分析A，B，D；由条件得 ， ，从而由二次函数
的图象与性质分析C.
【详解】对于A， ，当且仅当 时等号成立，所以A正确；
对于B， ，当且仅当 时等号成立，
所以B正确；
对于C，因为 ， ，且 ，所以 ， ，（根据x，y的关系得到x的取值
范围）则 ，所以C错误；
对于D， ，当且仅当
，即 ， 时等号成立，所以 ，所以D正确.
故选：ABD.
5.（2022·广东汕头·一模）已知正实数a，b满足 ，则以下不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【分析】对于A，对 两边同除以 进行判断，对于B，利用基本不等式分析判断，对于 C，
由 可 得 ， 产 生 矛 盾 ， 对 于 D ， 由 已 知 可 得 ， 所 以
，化简后利用基本不等式求解
【详解】对于A，因为正实数a，b满足 ，所以 ，即 ，所以A错误，
对于B，因为 ， ，所以 ，当且仅当 时取等
号，所以 ，因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，所以B
正确，
对于C，若 ，则 ，所以 ，所以 ，而由选项B可知 ，所以 不成立，所以C错误，
对于D，因为正实数a，b满足 ，所以 ，即 ，所以
，当且仅当 ，即 时取等
号，所以D正确，
故选：BD
6.（2022·江苏泰州·一模）下列函数中最小值为6的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.
【详解】解：对于A选项，当 时， ，此时 ，故A不正确.
对于B选项， ，当且仅当 ，即 时取“ ”，故
B正确.
对于C选项， ，当且仅当 ，即 时取“ ”，故C正确.
对于D选项， ，
当且仅当 ，即 无解，故D不正确.
故选：BC.
三、填空题7.（2022·全国·模拟预测（文））已知正数 、 满足 ，则 的最小值是___________.
【答案】 ##
【分析】利用基本不等式可求得 的最小值.
【详解】因为 、 为正数，由基本不等式可得 ，所以， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，故 的最小值为 .
故答案为： .
8.（2022·江西九江·一模（理））若a，b为正实数，直线 与直线 互
相垂直，则ab的最大值为______．
【答案】 ##0.5
【分析】根据两直线垂直的a、b关系，再用基本不等式可解.
【详解】由两直线垂直得 ，即 ， ，
当且仅当 ， 时，等号成立，故 的最大值为 ．
故答案为：
