文档内容
第 08 讲 一次函数（13 个知识点+13 种题型+强化训练）
知识导图知识清单
知识点1．一次函数的定义
（1）一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
（2）注意：
①又一次函数的定义可知：函数为一次函数 其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）
的形式． ⇔
②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．
④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．
知识点2．正比例函数的定义
（1）正比例函数的定义：
一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是
常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
（2）正比例函数图象的性质
正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．
当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k
＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，
k≠0）的图象．
知识点3．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣ ，0）或（1，k+b）作直线y＝
kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，
所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不
平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x
＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位
而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
知识点4．正比例函数的图象
正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是
k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条
过原点的直线．
知识点5．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到
右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴
交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
知识点6．正比例函数的性质
单调性
当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），
为增函数；[1]
当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），
为减函数．
对称性
对称点：关于原点成中心对称．[1]
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．
知识点7．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴
交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
知识点8．一次⇔函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是
（﹣ ，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
知识点9．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
知识点10．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的
方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函
数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
知识点11．待定系数法求正比例函数解析式
步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系
数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式．
知识点12．一次函数与一元一次方程
一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数
函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标．
知识点13．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范
围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标
所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣ ，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞ ，不等式kx+b＜0的解为：x＜ ；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜ ，不等式kx+b＜0的解为：x＞ ．
知识复习
一．一次函数的定义（共3小题）
1．（2023春•阳西县期末）已知函数 是关于 的一次函数，则 的值为
．
2．（2023•宁明县期中）下列是 关于 的函数，其中是一次函数的为
A． B． C． D．
3．（2023春•益阳期末）已知函数 ．
（1）当 为何值时， 是 的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则 为何值时， 的值为3？
二．正比例函数的定义（共3小题）
4．（2023春•沧州期末）若 关于 的函数 是正比例函数，则 ， 应满足
的条件是
A． B． C． 且 D． 且
5．（2023春•巨野县期末）已知函数 是正比例函数，则 ．
6．（2023春•临清市月考）已知关于 的函数 ．
（1）当 ， 为何值时，此函数是一次函数？
（2）当 ， 为何值时，此函数是正比例函数？
三．一次函数的图象（共3小题）
7．（2023•金安区一模）一次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
8．（2023•温江区模拟）已知一次函数 的图象如图所示，则 ．
9．（2023春•安达市校级期末）画出函数 的图象．四．正比例函数的图象（共3小题）
10．（2023春•红谷滩区校级期末）一次函数 与正比例函数 在同一坐标
系中的图象大致是
A． B．
C． D．
11．（2023春•双辽市期末）函数 与 的图象如图所示，则 ．
12．（2023春•津南区期中）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数 的图象．
（1）列表：
0 1 2
（2）描点并连线．五．一次函数的性质（共3小题）
13．（2023秋•余江区期末）若直线 经过第一、二、四象限，则函数 的
大致图象是
A． B．
C． D．
14．（2024 春•闵行区期中）一次函数 ，当 时，函数值 的范围是
，那么代数式 的值是 ．
15．（2023春•方城县期中）已知直线 ．
（1）请用两点法列表、描点并连线画出该函数的图象；
（2）结合所画图象，分别找出满足下列条件的点，并写出它的坐标：
①横坐标是 ；②和 轴的距离是2个单位．
六．正比例函数的性质（共3小题）
16．（2023•金山区二模）已知函数 ， 为常数）的函数值 随 值的增大而减
小，那么这个函数图象可能经过的点是
A． B． C． D．
17．（2023•范县一模）写出一个 随 的增大而减小的正比例函数的表达式 ．
18．（2023春•陵城区校级月考）已知 与 成正比例函数关系，且当 时，
．
（1）写出 与 之间的函数解析式；
（2）若点 在这个函数的图象上，求 的值；
（3）若 的取值范围为 ，求 的取值范围．
七．一次函数图象与系数的关系（共3小题）
19．（2023•龙泉驿区模拟）若一次函数 不经过第二象限，则 的取值范围为
．
20．（2023春•云安区期中）已知正比例函数 ，若 的值随 的增大而减小，
则点 在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
21．（2023春•永年区期末）已知一次函数 ，当 为何值时，
（1） 随 值增大而减小；
（2）直线过原点；
（3）直线与 轴交于点 ；
（4）直线不经过第一象限；（5）直线与 轴交于点 ．
八．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题）
22．（2023春•大安市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 上一点 关于
轴的对称点为 ，则 的值为
A． B．1 C．2 D．3
23．（2023春•平谷区期末）如图，直线 与 轴和 轴分别交于 ， 两点，射
线 于点 ，若点 是射线 上的一个动点，点 是 轴上的一个动点，且以 ，
， 为顶点的三角形与 全等，则 的长为 ．
24．（2023春•巫溪县校级期中）在直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分
别交于点 ，点 ．直线 与 交于点 ．若点 坐标为 ．
（1）求 的坐标和 的值；
（2）点 在直线 上，若 ，求点 的坐标．九．一次函数图象与几何变换（共3小题）
25．（2023春•雨花区期末）在平面直角坐标系中，把直线 向左平移2个单位长度，
平移后的直线解析式是
A． B． C． D．
26．（2023春•陵城区校级月考）将函数 的图象平移，使它经过点 ，则平移
后的函数表达式是 ．
27．（2023春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系 中，将经过点 的直线
向下平移5个单位得直线 ，直线 经过点 ，
（1）求直线 的解析式及点 的坐标；
（2）直线 与 轴交于点 ，求 的面积；
（3）若直线 与线段 有公共点，直接写出 的取值范围．
一十．待定系数法求一次函数解析式（共3小题）28．（2023春•攸县期末）一次函数 的图象经过点 和 ，那么这个一次
函数的解析式为
A． B． C． D．
29．（2023春•南开区期末）一次函数 的图象经过点 ，则 ．
30．（2023春•思明区校级期中）如图，在平面直角坐标系 中，直线 经过点
与 ，点 为 的中点，平行四边形 的顶点 在 轴上，顶点 在直线 上．
（1）求直线 的函数解析式；
（2）求 的面积．
一十一．待定系数法求正比例函数解析式（共3小题）
31．（2023春•樊城区期末）已知 是正比例函数，且 随 的增大而减小，
那么这个函数的解析式为
A． B． C． D．
32．（2023春•同安区期末）正比例函数的图象经过点 ，则函数的表达式为 ．
33．（2023春•荆门期末）已知 与 成正比例， 且 时 ，
（1） 求 与 之间的函数关系式；
（2） 设点 在这个函数的图象上， 求 ．一十二．一次函数与一元一次方程（共3小题）
34．（2023•路桥区一模）如图，直线 与 轴交点的横坐标为1，则关于
的方程 的解为
A．1 B． C．2 D．
35．（2023春•凤山县期末）如图，直线 与 相交于点 ，则关于 的
方程 的解是 ．
36．（2023春•石狮市校级期中）已知一次函数 ，完成下列问题：
（1）在所给直角坐标系中画出此函数的图象；
（2）根据函数图象回答：方程 的解是 ；
当 时， ；当 时，相应 的取值范围是 ．一十三．一次函数与一元一次不等式（共3小题）
37．（2023•陇西县校级模拟）一次函数 的图象如图所示，点 在该
函数的图象上，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
38．（2023春•老城区校级月考）如图，直线 与直线 交于点 ，则
关于 的不等式 的解集是 ．
39．（2023春•薛城区期中）已知一次函数 、 为常数，且 的图象（如图
．（1）方程 的解为 ，不等式 的解集为 ；
（2）正比例函数 为常数，且 与一次函数 相交于点 （如图 ，
则不等式组 的解集为 ；
（3）比较 与 的大小（直接写出结果）．
强化训练
一、单选题
1．（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于 的函数 是正比例函
数，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（22-23八年级下·河北保定·期末）直线 沿 轴向上平移 个单位长度后，图
象与 轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期末）若正比例函数 中y随x的增大而增大，则一次
函数 的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
4．（22-23八年级下·山东德州·阶段练习）如图为一次函数 的图象，则一次函数
的图象大致是（ ）A． B．
B．C． D．
5．（22-23八年级下·河南开封·期末）若一次函数 的图象如图所示，则下列说法正
确的是（ ）
A． B． C． 随 的增大而增大 D． 时，
6．（20-21八年级下·辽宁丹东·期末）如图，一次函数 图象经过点 ，与正
比例函数 的图象交于点 ，则不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
7．（22-23八年级下·四川泸州·期末）对于一次函数 （k，b为常数），表中给出5
组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（
）
x 0 1 3
y 3 1 0
A． B．0 C．1 D．3
8．（22-23八年级下·全国·期末）如图，点A的坐标为 ，直线 与x轴交于点
B，与y轴交于点C，点D在直线 上运动，当线段 取得最小值时，点D的坐标
为（ ）
A． B． C． D．
9．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知一次函数 的图象如图所示，则 ，
的取值范围是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
10．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，一次函数 与 的图象
相交于点 ，则关于 ， 的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若直线 的图象经过第一、三象限，则
的取值范围是
12．（八年级下·湖北武汉·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝|3x－1|＋2的图
象记为l ，y＝x－7的图象记为l ，把l 、l 组成的图形记为图形M．若直线y＝kx－5与图
1 2 1 2
形M有且只有一个公共点，则k应满足的条件是
13．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，
沿 轴向右平移后得到 ，点 的对应点 在直线 上，则点 与其对应点 间的距离为 ．
14．（22-23八年级下·江苏南通·期中）若一次函数 与 的图象交于点 ，
则关于 的方程 的解为 ．
15．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）一次函数 上有两个点A，B，且
，则m，n的大小关系为m n．
16．（20-21八年级下·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的边 落
在x轴的正半轴上，且点 ，点 ，直线 以每秒1个单位长度的速度沿
y轴向下平移，经过 秒该直线可将 分成面积相等的两部分．
17．（22-23八年级下·山东聊城·期末）如图，在直角坐标系中，矩形 的顶点 在坐
标原点，顶点 ， 分别在 轴， 轴上， ， 两点坐标分别为 ， ，线段
在边 上移动，保持 ，当四边形 的周长最小时，点 的坐标为 ．18．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线 与y轴交于
点 ，按如图方式作正方形 ， ， ，…， ，点 ， ，
，…， 在直线 上，点 ， ， ，… 在x轴上，连接 ， ，…，
，则直线 的解析式为 ．
三、解答题
19．（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）若y与x成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当 时，x的值是多少？
20．（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）已知一次函数 （k为常数， ）的
图象经过点 和 ．(1)求该一次函数的解析式，并画出其图象；
(2)当 时，求x的取值范围．
21．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知正比例函数 ．
(1)若点 和点 为函数图象上的两点，且 ，求a的取值范围；
(2)若函数的图象经过点 ．
①求此函数解析式；
②如果x的取值范围是 ，求y的取值范围．
22．（20-21八年级·全国·假期作业）正方形的面积S是边长x的函数，它的表达式是S＝x2．如果正方形的边长的变化范围很小，例如x从1变到1.08，我们来观察面积S的变化情
况：
x 1 1.02 1.04 1.06 1.08
S 1 1.040 1.082 1.124 1.166
（1）分别计算x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，
面积S增大了多少；
（2）根据第（1）题的计算结果，当边长x从1变到1.08时，正方形的面积S可不可以看
成边长x的一次函数？由此受到启发，你能做出什么猜测？
23．（22-23八年级下·吉林长春·期中）已知关于x的一次函数 ．
(1)若函数图象经过点 ，求a的值；
(2)若函数图象经过第一、三、四象限，求a的取值范围．
24．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知 ， ，画出函数图像并根据图像回答下列问题：
(1)当 时，x______；
(2)当 时，x_______；
(3)当 时，x_______；
(4)当 时，x________；25．（22-23八年级下·河南南阳·阶段练习）八年级某数学兴趣小组在学习了一次函数的图
象与性质后，进一步研究了函数 的图象与性质．其探究过程如下：
(1)绘制函数图象，
列表：下表是x与y的几组对应值，其中 ．
x … 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 1 2 3 m …
描点：根据表中各组对应值 ，在平面直角坐标系中描出各点
连线：顺次连接各点，请你把图象补充完整；
(2)通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是： ，（填写代号）
①函数值y随x的增大而减小；
② 关于y轴对称；
③ 有最小值1．26．（22-23八年级下·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线 （ 为常
数）．
(1)当 时，直线 与坐标轴围成的三角形的面积为______．
(2)当 时，求图象的最高点与最低点的纵坐标的差；
(3)点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，以 为对角线作矩形 ，使矩形
的边与坐标轴垂直，并且点 在 轴上．
①直线 与矩形 的对角线互相平行或垂直时，求 的值；
②直接写出直线 与矩形的边 共有两个交点时 的取值范围．
