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第 02 讲 一次函数与正比例函数
课程标准 学习目标
1．掌握正比例函数的概念；
①掌握正比例函数的概念
2．掌握一次函数的概念，能根据条件写出一次函数的
②掌握一次函数的概念
关系式；
知识点01 一次函数的定义
一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的
函数.
【即学即练1】
1．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）下列函数中，y是x的一次函数的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）已知 是 关于 的一次函数，则一次函数解析式是 ．
知识点02 正比例函数的定义
正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数.
函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个
点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立.
【即学即练1】
1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·重庆·期中）一个正比例函数 的图象经过点 ．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)当 时，求 的值．
题型01 正比例函数的定义
【典例1】（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）下列函数（1） ；（2） ；（3） ；
（4） 中，是正比例函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1】（23-24八年级下·全国·期末）下列y关于x的函数中，属于正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）下列函数中，表示 是 的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）下列函数：① ；② ；③ ；④
；⑤ ．其中y是x的正比例函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型02 一次函数的识别【典例2】（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）函数① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ．是一次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）有下列函数：① ；② ；③ ；④
．其中是一次函数的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【变式3】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）有下列函数：① ；② ；③ ；④
；⑤ ．其中，是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
题型03 根据一次函数的定义求参数
【典例3】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）已知函数 是关于x的一次函数，则
．
【变式1】（23-24八年级下·宁夏吴忠·期末）已知 是y关于x的一次函数，则
．
【变式2】（23-24八年级下·重庆巴南·期末）若 是关于x的一次函数，则实数
．
【变式3】（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知 是一次函数，则 的值是
题型04 求一次函数自变量或函数值
【典例4】（23-24八年级下·上海·单元测试）若直线 经过点 ，则 ．
【变式1】（23-24八年级下·广东·阶段练习）已知一次函数 的图象经过点 ，则 ．
【变式2】（23-24九年级上·吉林长春·开学考试）当 时，y与x的函数解析式为 ，则y的
范围是 ．
【变式3】（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）已知函数 ．
(1)求当 时，函数y的值；(2)求当 时，自变量x的值．
题型05 列一次函数解析式并求值
【典例5】已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S．
(1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；
(2)当S=12时，求P的坐标．
【变式1】甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表
示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离．
（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；
（2）当x=0.5时，求y的值．
【变式2】如图，甲、乙两地相距 ，现有一列火车从乙地出发，以 的速度向丙地行驶．
设 表示火车行驶的时间， 表示火车与甲地的距离．
（1）写出 与 之间的关系式，并判断 是否为 的一次函数；
（2）当 时，求 的值．
【变式3】尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，
某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，
多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本
笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和 本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为
元，选择第二种方案购买所需费用为 元．
(1)请分别写出 ， 与x之间的关系式；
(2)若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为
优惠．题型06 根据正比例函数的定义求函数表达式
【典例6】（23-24八年级下·吉林·期中）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)若点 在这个函数的图象上，求 的值．
【变式1】（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设点 在（1）中函数的图象上，求a的值．
【变式2】（23-24八年级下·广东中山·期中）已知y与 成正比例，当 时 ；
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当 时，求x的值．
【变式3】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知 与 成正比例，当 时， ．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)设点 在这个函数的图象上，求a的值．
(3)试判断点 是否在此函数图像上，说明理由．一、单选题
1．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）下列函数中，正比例函数是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）下列各点中，在函数 图象上的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）下列函数中：① ；② ；③ ；④ ，
其中 是 的一次函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知点 ， 都在函数 的图象上，下
列对于a与b的关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）【新考向】已知y是x的函数；若函数图象上存在一点 ，
满足 ，则称点M为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线 上存在的“姐妹点” ．
直线 上的“姐妹点”的坐标是（ ）
A． B． C． D．(2,−1)
二、填空题
6．（22-23八年级下·福建泉州·阶段练习）函数 中，当x=1时， ．
7．（23-24八年级上·广西百色·期中）已知一次函数 ，则 ．
8．（24-25九年级上·全国·课后作业）无论 取何值，直线 （ 为常数， ）恒过一定点，
则该定点的坐标为 ．
9．（2024·广东东莞·模拟预测）直线 经过点 ，则 的值为 ．
10．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，点 在直线 的图象上，它们的横
坐标分别为 ， ， ， ， ， ，分别过这些点作 轴、 轴的平行线，则图中阴影部分的面积之
和为 ．三、解答题
11．（2023·浙江衢州·模拟预测）写出下列各题中 与 之间的关系式，并判断 是否为 的一次函数，是
否为 的正比例函数．
①等边三角形的周长 与边长 之间的关系；
②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量 （升）与已行驶的
距离 （千米）之间的关系；
③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步
价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用
（元）与乘车距离 （千米）（ ）之间的函数关系；
④设一长方体盒子高为 ，底面是正方形，求这个长方体的体积 （ ）与底面边长 （ ）之间
的关系．
12．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求 与 的函数关系式；
(2)求当 时的函数值．
13．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知 .
(1)当m，n为何值时， 是 的一次函数？
(2)当m，n为何值时， 是 的正比例函数？14．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知 与 成正比例，且 时， ．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)判断点 是否是上述函数图像上的点，说明理由．
15．（23-24八年级上·安徽池州·期中）在平面直角坐标系 中，对于点 和 给出如下定义：
如果 ，那么我们称点 为点 的“关联点”，例如：点 的“关联点”为 ，点
的“关联点”为点 ．
(1)点 的“关联点”为 ，则 __________；
(2)如果点 的“关联点” 在一次函数 上，求 的值．
16．（2024·山东临沂·模拟预测）某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，
已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
品名 甲蔬菜 乙蔬菜
批发价/（元/kg）
零售价/（元/kg）
(1)若他批发甲、乙两种蔬菜共 花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
(2)若他批发甲、乙两种蔬菜共 花m元，设批发甲种蔬菜 ，求m与n的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于 元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
