文档内容
人教版初中数学八年级下册
19.2.1 正比例函数的概念 教学设计
一、教学目标：
1.理解正比例函数的概念；
2.会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题.
二、教学重、难点：
重点：正确理解正比例函数的概念.
难点：根据己知条件写出正比例函数解析式.
三、教学过程：
问题引入
问题：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下
问题：
(1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时(结果保留小数
点后一位)？
(2)京沪高铁列车的行程 y(单位：km)与运行时间 t(单位：h)之间有何数量关系？
(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已 经过了距离始发站1100km的南京南站？
解：(1)京沪高铁列车全程运行时间约需1318÷300≈4.4(h)
(2)京沪高铁列车的行程 y是运行时间 t 的函数，函数解析式为：y=300t (0≤t≤4.4)
(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h的行程，是当 t =2.5时函数 y=300t 的值，即
y=300×2.5=750(km)这时列车尚未到达距始发站1100km的南京南站.
思考：y=300t 中自变量与常量用什么运算符号连接起来？
知识精讲
思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.(1)圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化；________.
(2)铁的密度为 7.8g/cm3，铁块的质量 m(单位:g)随它的体积 V(单位:cm3)变化而变化；
________.
(3)每本练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h(单位:cm)随这些练习本的
本数 n 的变化而变化；________.
(4)冷冻一个 0℃的物体，使它每分下降 2℃，物体的温度 T(单位:℃)随冷冻时间 t(单
位:min)的变化而变化.________.
认真观察以上出现的四个函数有什么共同特点？
(1) l=2πr (2) m=7.8V (3) h=0.5n (4) T=-2t
正如函数 y=300t 一样，上面这些函数都是常数与自变量的积的形式.
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：(1)k是常数，且k≠0；(2)自变量x的次数是1；(3)自变量x的取值范围是一切实数；
(4)y=kx，则称y与x成正比例；反之，若y与x成正比例，则可设y=kx.
典例解析
例1.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？
x 2
（1）y=3x; （2）y=2x+1; （3）y=- ; （4）y= ; （5）y=πx； （6）y=-❑√3x.
2 x
解：（1）是正比例函数，比例系数为3；
（2）不是正比例函数；
1
（3）是正比例函数，比例系数为- ；
2
（4）不是正比例函数；
（5）是正比例函数，比例系数为π；
（6）是正比例函数，比例系数为-❑√3；
【针对练习】下列式子，哪些y是x的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k的值．
x
(1)y＝－0.1x； (2)y ＝ ；(3)y＝2x2； (4)y2＝4x
2
(5)y＝－4x＋3； (6)y＝2（x－x2 ）＋2x2.
解：(1)是正比例函数，正比例系数是-0.1
1
(2)是正比例函数，正比例系数是
2(3)不是正比例函数
(4)不是正比例函数
(5)不是正比例函数
(6)是正比例函数，正比例系数是2
例2.已知y=(m+2)x|m|-1，当m为何值时，y是x的正比例函数？
{m+2≠0
解：由题意得， ，
|m|-1=1
解得m=2
∴当m=2时，y是x的一次函数．
【针对练习】若y=(m-2)x+m2-4是y关于x的正比例函数，求该正比例函数的解析式．
解：∵y=(m-2)x+m2-4是y关于x的正比例函数，
∴m-2≠0,m2-4=0，
解得m=-2．
∴该正比例函数的解析式为y=-4x．
例3.已知y= y + y ，且y -3与x成正比例，y 与x-2成正比例，当x=2时，y=7，当x=1时，
1 2 1 2
y=0.
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)计算x=4时，y的值．
（1）解：由题意可设y -3=k x，y =k (x-2)，
1 1 2 2
∵y= y + y ，
1 2
∴y=k x+3+k (x-2)，
1 2
∵当x=2时，y=7，当x=1时，y=0，
{ 2k +3=7 ，解得{k =2，
∴ 1 1
k +3-k =0 k =5
1 2 2
∴y=2x+3+5(x-2)=7x-7，
即y与x之间的函数关系式为y=7x-7．
（2）解：将x=4代入y=7x-7得：y=7×4-7=21．
【针对练习】已知y+5与x成正比例，当x=1时，y=2
(1)求y与x的函数表达式； (2)当x=-1时，求函数值y；
(3)当y=16时，求自变量x的值．
（1）解：∵y+5与x成正比例，∴y+5=kx．
∴y=kx-5．
∵当x=1时，y=2，
∴k-5=2．
∴k=7．
∴y与x的函数表达式为y=7x-5；
（2）当x=-1时，y=7×(-1)-5=-12；
（3）当y=16时，7x-5=16．
∴x=3．
例4.已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15L．所使用的汽油为5元/ L ．
（1）写出汽车行驶途中所耗油费 y（元）与行程 x（km）之间的函数关系式，并指出 y是x
的什么函数；
（2）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少？
解：（1）y=5×15x÷100，
3
即 y= x(x≥0)，y是x的正比例函数.
4
（2）当x=220时，
3
y= ×220=165
4
答：该汽车行驶220 km所需油费是165元．
【针对练习】列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数．
（1）正方形的边长为xcm，周长为ycm.
解： y=4x 是正比例函数；
（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元．
解： y=12x 是正比例函数；
（3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm ，体积为ycm3.
解： y=3x 是正比例函数.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测1.下列关系中，是正比例函数的是( )
60
A. y=3x B.y=-x2 C. y= D. y=5x-2
x
2. y是x的正比例函数，当x=2时， y=4, 那么当x=- 1时，y的值为( )
A.2 B. 1 C.-2 D. -1
3.如果每盒圆珠笔有12支，售价18元，用y(元)表示圆珠笔的售价，x(支)表示圆珠笔的支
数，那么y与x之间的关系应该是( )
2 3
A. y=12x B. y=18x C. y= x D. y= x
3 2
4.若y= (m-2)x+ (m2-4)是关于x的正比例函数，则m的值是( )
A.2 B.-2 C.±2 D.任意实数
5.若y=-(m-1)x|m|是关于x的正比例函数，则m的值为( )
A. m≠1 B. m=1 C. m=±1 D. m=- 1
6.下列说法中不成立的是( )
A. y=3x- 1中y+1与x成正比例 B.在y=x+3中y与x成正比例
x
C.在y=2 (x+1)中y与x+1成正比例 D. y=- 中y与x成正比例
2
7.比例系数为-3的正比例函数的解析式是________.
8.如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k必须满足________.
9.如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数，则k =____.
10.如果y=3x+k-4， 是y关于x的正比例函数，则k=_____.
11.已知y与x成正比例，且当x=4时，y=-6， 则y与x的函.数解析式_________.
12.根据下表写出x，y之间的一个关系式:
x，y之间的函数解析式为_________，由此断定y是x的________函数.
13.下列函数中哪些是正比例函数?并指出正比例函数的比例系数.
5
(1) y=x； (2) y=3x-5； (3) y= - +1；
7x
1 3x
(4) y= ； (5) y=- ； (6) y=(x-3)2.
x 1314.已知y与x+2成正比例，当x=4时， y=12.
(1)写出y与x之间的函数解析式;
(2)求当x=5时，y的值;
(3)求当y=36时，x的值.
15.如图，△ABC的边AB=8cm， 当AB边上的高从小到大变化时，△ABC的面积也随之变化.
(1)设AB边上的高为h (cm)，请写出△ABC的面积S (cm2)与高h(cm)的关系式和h的取值范
围;
(2)用表格表示当h由5cm变到15cm时(每次增加2cm)，S的对应值;
(3)当h每增加2cm时，S如何变化?
【参考答案】
1. A
2. C
3. D
4. B
5. D
6. B
7. y=3x
8. k≠1
9. 2
10. 4
11. y=-1.5x
12. y=-2x,正比例
13.解:(1) y=x是正比例函数，比例系数是1;
3x 3
(5) y=- 是正比例函数，比例系数是- .
13 13
14. 解:(1)设y=k (x+2)∵当x=4时，y=12
∴k×(4+2)=12， 解得k=2
∴y=2 (x+2)=2x+4
(2)当x=5时，y=2×5+4=14
(3)当y= 36时， 2x+4=36， 解得x=16
1 1
解: (1)S= · AB · h= ×8 · h=4h
2 2
即S与h之间的关系式是S=4h(h>0)
解: (2)列表格如下:
(3)由(2)可看出，当h每增加2cm时，S增加8cm2.
四、教学反思：
本节课在教师引导下使学生通过自己的观察、研究、自学和小组的探索、讨论来发现问题、
解决问题，再通过教师的点拨、总结进行知识归纳，理论提升的教学方法. 由学生亲自来发
现事物的特征和规律，更能使学生产生兴奋感、自信心，激发学生兴趣，产生自主学习的内
在动力，更有利于发展学生的创造性思维能力.
