文档内容
考点 33 复 数（3 种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓
展冲刺练）
【考试提醒】
1.通过方程的解，认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
【知识点】
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 是复数 z的实部，
是复数z的虚部，i为虚数单位．
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di⇔ (a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：
a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔ (a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：
向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作 或 ，即|z|＝|a＋
bi|＝ (a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ.
3．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
1 2
①加法：z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
1 2
②减法：z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
1 2
③乘法：z·z＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
1 2
④除法：＝＝＝ (c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ ZZ 可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，
1 2
即OZ＝ ，Z1Z2＝ .
常用结论
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆
【核心题型】
题型一 复数的概念
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，
只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
【例题1】（2024·四川·模拟预测）已知复数 （ 为虚数单位），则 的虚部为
（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·辽宁·三模）已知复数 在复平面上对应的点为 ，若 ，则实数
的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．1或
【变式2】（2023·江苏·三模）设 为复数（ 为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则【变式3】（2024·山东日照·二模）设 为虚数单位．若集合 ，
，且 ，则 ．
题型二 复数的四则运算
(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分
母同乘以分母的共轭复数．
【例题2】（2024·湖北·模拟预测）已知复数 ， 为虚数单位)，若 且
，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【变式1】（2024·山东·模拟预测）已知复数 满足 ，且 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【变式2】（2024·福建福州·三模）已知复数 满足： ， ，
则（ ）
A． 的最小值是1 B． 的最大值是2
C． 的最大值是3 D． 的最大值是4
【变式3】（2024·湖南·模拟预测）已知 是复数的虚数单位，且 ，
则 的值为 ．
题型三 复数的几何意义
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在
一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观
【例题3】（2024·全国·模拟预测）如图，复数 对应的向量为 ，且 ，则向量
在向量 上的投影向量的坐标为（ ）A． B． C． D．
【变式1】（2024·海南海口·二模）在复平面内， 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2】（2024·湖南长沙·二模）在复平面内，复数 和 对应的点分别为 ，则
.
【变式3】（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数 ，且
．
(1)求函数 的解析式；
(2) 为坐标原点，复数 ， 在复平面内对应的点分别为 ， ，求
面积的取值范围．【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数 在复平面内对应的点在直线
上，则复数 在复平面对应的点在（ ）
A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴
2．（2024·河南·三模）已知 为虚数单位， （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，则
（ ）
A． B．i C． D．
4．（2024·吉林长春·模拟预测）已知 ，则 的虚部为（ ）
A．2i B． C． D．2
二、多选题
5．（2024·湖南·二模）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若复数 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则D．复数 在复平面内对应的点为 ，若 ，则点 的轨迹是一个椭圆
6．（2024·广东广州·模拟预测）已知复数 ， ，下列结论正确的有（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则 为纯虚数
三、填空题
7．（2024·山西·三模）已知复数 在复平面内对应的点位于第四象限，则实
数m的取值范围是 ．
8．（2024·四川成都·模拟预测）设 ，则 的虚部为 ．
9．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知复数 ，则 的虚部为
.
四、解答题
10．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平
最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主
画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—
14下方的“ ”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也
可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，求 及 的值．11．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知函数 ，且 .
(1)求 的最大值；
(2)从①②中任选一个作答.若选择多个分别作答.按第一个解答计分.
① 为函数 图象与 轴的交点，点 ， 为函数 图象的最高点或者最低点，求
面积的最小值.
② 为坐标原点，复数 ， 在复平面内对应的点分别为 ， ，求
面积的取值范围.
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设复数 ,则 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北·模拟预测）若 ，则（ ）
A． B．
C． 或 D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．i B． C． D．
4．（2024·江西·模拟预测）在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则
（ ）
A． B． C． D．5．（2024·四川成都·模拟预测）复数 在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数
的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山西运城·三模）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知 是虚数单位，若 是纯虚数，则实数
（ ）
A． B．2 C． D．
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）复平面内 三点所对应的复数分别为 ，
若四边形 为平行四边形，则点 对应的复数为（ ）
A．2 B． C．1 D．
二、多选题
9．（2024·江苏南通·模拟预测）已知 ， 都是复数，下列正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
10．（2024·广东江门·一模）下列说法正确的是（ ）
A． ，
B．
C．若 ， ，则 的最小值为1
D．若 是关于x的方程 的根，则
11．（2024·河南·三模）在复平面内，设 为坐标原点，复数 对应的点分别为 ， ，若 ，则 可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．（2023·天津南开·一模） 是虚数单位，复数 .
13．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知复数z满足 ，则 的值为 .
14．（2024·福建厦门·三模）复数 满足 ， ，则 .
四、解答题
15．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知关于 得二次方程：
.
(1)当方程有实数根时，求点 的轨迹方程；
(2)求方程实数根的取值范围.
16．（2022·浙江·模拟预测）在正三棱台 中， 是边长为 的等边三角形，
且 .已知 ， ， ， 分别是线段 ， 的中点，当直线上一动点 在射线 上时， ， .
(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)连接 ， ，已知点 在平面 投影是 ，平面 是一个分别以 ， 作为
， 轴的复平面， .当 时，请直接写出 的虚部（不要求写出过程）.
17．（2021·上海·模拟预测）已知关于 的方程 的虚数根为 、 .
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的值.18．（2021·黑龙江大庆·模拟预测）已知复数 （ ），且 为纯虚数（
是 的共轭复数）.
（1）设复数 ，求 ；
（2）复数 在复平面对应的点在第一象限，求实数 的取值范围.
19．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）对于无穷数列 ，我们称
（规定 ）为无穷数列 的指数型母函
数．无穷数列1，1，…，1，…的指数型母函数记为 ，
它具有性质 ．
(1)证明： ；
(2)记 ．证明： （其中
i为虚数单位）；
(3)以函数 为指数型母函数生成数列 ，
．其中 称为伯努利数．证明：．且 ．
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·浙江温州·二模）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
2．（2024·全国·模拟预测）已知 为虚数单位，且复数 ，则下列说法中正确的是
（ ）.
A．复数 为实数 B．
C．复数 为纯虚数 D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知复数 满足： （ 为虚数单位），则 在
复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2024·辽宁葫芦岛·一模）设 ， 为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 且C．若 ，则
D．若 ，且 ，则 在复平面对应的点在一条直线上
二、多选题
5．（2024·辽宁丹东·二模）已知复数 的虚部与 的实部均为2，则下列说法正确的是
（ ）
A． 是虚数
B．若 ，则
C．若 ，则 与 对应的点关于x轴对称
D．若 是纯虚数，则
6．（2024·山东青岛·一模）已知复数z，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则z为实数 B．若 ，则
C．若 ，则 的最大值为2 D．若 ，则z为纯虚数
三、填空题
7．（2024·上海普陀·二模）已知复数 ，其中 为虚数单位，则 在复平面内所对应
的点的坐标为 .
8．（2023·北京海淀·二模）在复平面内，复数z所对应的点为 ，则 ．
9．（2024·上海杨浦·二模）设复数 与 所对应的点为 与 ，若 ， ，
则 .
四、解答题
10．（2022·甘肃兰州·一模）实数 取什么值时，复数 是
(1)实数？
(2)虚数？(3)纯虚数？
11．（2024·贵州黔南·二模）1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：
任何复系数一元 次多项式方程在复数域上至少有一根（ ）.此定理被称为代数基本定
理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论： 次复系数
多项式方程在复数域内有且只有 个根（重根按重数计算）.对于 次复系数多项式
，其中 ， ， ，若方程 有 个复根
，则有如下的高阶韦达定理：
(1)在复数域内解方程 ；
(2)若三次方程 的三个根分别是 ， ， （ 为虚数单
位），求 ， ， 的值；
(3)在 的多项式 中，已知 ， ， ，
为非零实数，且方程 的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含 的式
子表示）.
