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第 03 讲 全等三角形的判定（ASA、AAS、HL）
课程标准 学习目标
①角边角（ASA）判定三角形全等
②角角边（AAS）判定三角形全等 1. 掌握ASA、AAS以及HL的定义以及判定方法，能够熟练
③斜边与直角边（HL）判定直角 通过题目的已知条件选择合适的判定方法三角形的全等。
三角形全等
知识点01 角边角（ASA）判定三角形全等
1. 角边角（ASA）判定三角形全等的概念：
若两个三角形的 两个角及其夹边 对应相等，则这两个三角形全等。
2. 数学语言：
如图，在△ABC与△DEF中：
=∠ AB DE
{∠A D
¿
{
= ¿¿¿¿
∴△ABC≌△DEF。【即学即练1】
1．如图，已知∠CAB＝∠DBA，若用“ASA”证明△ABC≌△BAD，还需要加上条件（ ）
A．∠C＝∠D B．∠1＝∠2 C．AC＝BD D．BC＝AD
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【解答】解：需要加上条件∠1＝∠2，
在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（ASA），
故选：B．
【即学即练2】
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，点E在DB的延长线上，DE＝BC，∠1＝∠2，求
证：DF＝AB．
【分析】根据余角的性质，可得∠E＝∠C，根据ASA得出△DEF≌△BCA，可得答案．
【解答】证明：∵BD⊥AC于D，
∴∠EDF＝90°，
∵∠1＝∠2，∠1+∠C＝90°，∠2+∠E＝90°，
∴∠E＝∠C．
在△DEF和△BCA中，
，
∴△DEF≌△BCA（ASA），
∴DF＝AB．知识点02 角角边（AAS）判定三角形全等
1. 角角边（AAS）判定三角形全等的概念：
若两个三角形的 两个角 及其 其中一个角的对边 对应相等，则这两个三角形全等。
2. 数学语言：
如图，在△ABC与△DEF中：
=∠ =∠
{∠A D
¿
{∠B E
¿¿¿¿
∴△ABC≌△DEF。
【即学即练1】
3．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，如果由“AAS”可以判定△ABC≌△ADE，
则需补充条件 ∠ C ＝∠ E ．
【分析】由∠CAE＝∠BAD可得∠EAD＝∠CAB，再添加一个角即可．
【解答】解：添加∠C＝∠E．
∵∠CAE＝∠BAD，
∴∠CAE+∠CAD＝∠BAD+∠CAD，即∠EAD＝∠CAB，
在△ABC和△ADE中， ，
∴△ABC≌△ADE．
故答案为：∠C＝∠E．
【即学即练2】
4．已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝65°，∠D＝115°，求证：△ABC≌△EAD．
【分析】由∠ECB＝65°得∠ACB＝115°，再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合已知条件AB＝AE，
可利用AAS证得△ABC≌△EAD．
【解答】证明：∵∠ECB＝65°，∴∠ACB＝180°﹣∠ECB＝115°．
又∵∠D＝115°，
∴∠ACB＝∠D．
∵AB∥DE，
∴∠CAB＝∠E．
在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（AAS）．
知识点03 斜边与直角边（HL）判定直角三角形全等
1. 斜边与直角边（HL）判断全等的概念：
直角三角形的 斜边与其中一条斜边 对应相等的两个三角形全等。
2. 数学语言：
如图：在Rt△ABC与Rt△DEF中：
{AC
=
DF
¿¿¿¿
∴Rt△ABC≌Rt△DEF。
【即学即练1】
5．如图，已知△ABC的两条高AD、BE交于F，AE＝BE，若要运用“HL”说明△AEF≌△BEC，还需添
加条件： AF ＝ BC ．
【分析】根据垂直定义求出∠AEF＝∠BEC＝90°，∠ADC＝90°，根据三角形内角和定理求出∠EAF＝
∠CBE，根据HL推出两三角形全等即可．
【解答】解：AF＝BC，
理由是：∵△ABC的两条高AD、BE交于F，
∴∠AEF＝∠BEC＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠EAF+∠C＝90°，∠CBE+∠C＝90°，
∴∠EAF＝∠CBE，
在Rt△AEF和Rt△BEC中∴Rt△AEF≌Rt△BEC（HL），
故答案为：AF＝BC．
【即学即练2】
6．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．
【分析】由∠1＝∠2得DE＝EC，进而可依据“HL”判定Rt△ADE和Rt△BEC全等．
【解答】证明：∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE和△BEC均为直角三角形，
∵∠1＝∠2，
∴DE＝EC，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）．
知识点04 三角形全等判定的灵活应用
1. 三角形全等的灵活应用：
针对不同的已知条件，所选择求证的第三个已知条件也不同，总结如下：【即学即练1】
7．如图1，AB与CD相交于点O，且OA＝OB，要添加一个条件，才能使得△AOC≌△BOD，那么可以添
加的一个条件是：
添加： OC ＝ OD ，判断三角形全等的依据是SAS；
添加：∠A＝∠B，判断三角形全等的依据是 ASA ；
添加： ∠ C ＝∠ D ，判断三角形全等的依据是 AA S ；
练习：如图2，若有AD⊥BC于点D这个条件，要证△ABD≌△ACD，则需补充的条件是：
添加：BD＝CD，判断三角形全等的依据是 SA S ；
添加： AB ＝ AC ，判断三角形全等的依据是HL；
添加： ∠ B ＝∠ C ，判断三角形全等的依据是 AA S ．
【分析】结合图形，找准条件，根据全等三角形的判定解答即可．
【解答】解：添加：OC＝OD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS）；
添加：∠A＝∠B，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（ASA）；
添加：∠C＝∠D，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS）；故答案为：OC＝OD；ASA；∠C＝∠D；AAS；
练习：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
添加：BD＝CD，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；
添加：AB＝AC，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ABD≌△ACD（HL）；
添加：∠B＝∠C，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ABD≌△ACD（AAS）；
故答案为：SAS；AB＝AC；∠B＝∠C；AAS．
题型01 添加条件形成ASA判定全等
【典例1】工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB
上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射
线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【分析】根据题目中的条件，可以得到 OC＝OD，MC＝MD，再根据 OM＝OM，即可得到△OMC≌△OMD，并写出依据即可．
【解答】解：由题意可得，
OC＝OD，MC＝MD，
又∵OM＝OM，
∴△OMC≌△OMD（SSS），
故选：A．
【变式1】如图，△ABC与△DEF的边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，且BE＝CF，请添加一个条件，
使△ABC≌△DEF，全等的依据是“ASA”，则需要添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠F B．AC＝DF C．AC∥DF D．AB＝DE
【分析】由平行线的性质得∠B＝∠DEF，再证∠F＝∠ACB，然后由ASA证△ABC≌△DEF即可．
【解答】解：A、若∠A＝∠F，不是对应角相等，显然不能证明△ABC≌△DEF，不符合题意；
B、∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
∵AC＝DF，
∴不符合全等三角形的判定定理，不符合题意；
C、∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
∵AC∥DF，
∴∠F＝∠ACB，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），符合题意；
D、∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），不符合题意，
故选：C．
【变式2】如图，点B在AE上，∠CBE＝∠DBE，要通过“ASA”判定△ABC≌△ABD，可补充的一个条
件是（ ）
A．∠CAB＝∠DAB B．∠ACB＝∠ADB C．AC＝AD D．BC＝BD
【分析】先根据等角的补角相等得到∠ABC＝∠ABD，加上AB为公共边，然后根据“ASA”的判定方
法对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠CBE＝∠DBE，
∴∠ABC＝∠ABD，
∵AB＝AB，
∴当添加∠CAB＝∠DAB时，△ABC≌△ABD（ASA）．
故选：A．
【变式3】如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠EAD，AC＝AE．添加下列条件之一，可以直接利用
“ASA”判定△ABC≌△ADE的是（ ）
A．AB＝AD B．BC＝DE C．∠C＝∠E D．∠ABC＝∠D
【分析】根据“ASA”的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠CAB＝∠EAD，AC＝AE，
∴当添加∠C＝∠E时，△ABC≌△ADE（ASA）．
故选：C．
【变式4】如图，AC与BD相交于点O，AB＝CD，∠A＝∠D，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依
据是（ ）A．SSS B．SAS C．HL D．AAS
【分析】由“AAS”可证△ABO≌△DCO．
【解答】解：在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（AAS），
故选：D．
【变式5】如图，已知∠1＝∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件（ ）
A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．∠DAB＝∠CBA
【分析】根据图形找出公共边AB＝BA，再根据全等三角形的判定定理AAS得出即可．
【解答】解：A．AD＝BC，BA＝AB，∠1＝∠2 不符合全等三角形的判定定理，不能推出
△ACB≌△BDA，故本选项不符合题意；
B．AB＝BA，∠1＝∠2，AC＝BD，符合全等三角形的判定定理SAS，不符合AAS定理，故本选项不符
合题意；
C．∠D＝∠C，∠1＝∠2，AB＝BA，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ACB≌△BDA，故本
选项符合题意；
D．∠DAB＝∠CBA，AB＝BA，∠1＝∠2，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ACB≌△BDA，
故本选项不符合题意；
故选：C．
题型02 添加条件形成AAS判定全等
【典例1】如图，∠ACB＝∠DBC，要依据“AAS”判定△ABC≌△DCB，则还需要添加的条件是 ∠ A
＝∠ D ．【分析】根据AAS添加∠A＝∠D即可．
【解答】解：∵∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，
∴添加∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DCB（AAS）；
故答案为：∠A＝∠D．
【变式1】如图，已知∠1＝∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件（ ）
A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．∠DAB＝∠CBA
【分析】根据图形找出公共边AB＝BA，再根据全等三角形的判定定理AAS得出即可．
【解答】解：A．AD＝BC，BA＝AB，∠1＝∠2 不符合全等三角形的判定定理，不能推出
△ACB≌△BDA，故本选项不符合题意；
B．AB＝BA，∠1＝∠2，AC＝BD，符合全等三角形的判定定理SAS，不符合AAS定理，故本选项不符
合题意；
C．∠D＝∠C，∠1＝∠2，AB＝BA，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ACB≌△BDA，故本
选项符合题意；
D．∠DAB＝∠CBA，AB＝BA，∠1＝∠2，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ACB≌△BDA，
故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式2】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，且AB＝AC，要依据“AAS”判定△ABE≌△ACD，则
还需要添加的条件是 ∠ ADC ＝∠ AEB ．
【分析】添加条件是∠ADC＝∠AEB，根据AAS推出△ABE≌△ACD即可．
【解答】解：添加的条件是∠ADC＝∠AEB，
理由是：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
故答案为：∠ADC＝∠AEB．题型03 添加条件形成HL判定直角三角形全等
【典例1】如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．ASA D．HL
【分析】根据HL证明Rt△ABD和Rt△CDB全等即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故选：D．
【变式1】如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，
则还需要添加一个条件是（ ）
A．∠CAB＝∠DBA B．AC＝BD C．AB＝BD D．∠ABC＝∠BAD
【分析】根据已知公共边为AB，根据HL只要找到对应的直角边AD＝BC或AC＝BD，即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC与Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
故选：B．
【变式2】如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝
∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（
）A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．BA∥EF D．AC＝DF
【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．AB＝DE，∠B＝∠DEF，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS（不是两直角三角
形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（SAS），故本选项不符合题意；
B．∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠DEF，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS（不是两直角三角形全
等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（AAS），故本选项不符合题意；
C．∵BA∥EF，
∴∠A＝∠ACF，
由AB＝DE，∠B＝∠DEF不能推出Rt△ABC≌Rt△DEF，故本选项不符合题意；
D．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠DEF＝90°，AC＝DF，AB＝DE，符合两直角三角形全等的判
定定理HL，能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故本选项符合题意．
故选：D．
【变式3】如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件
AB ＝ AC ．
【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或
“HL”）可得需要添加条件AB＝AC．
【解答】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB＝AC．
题型04 利用ASA判定三角形全等
【典例1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，在BD上取两点E，F，使DF＝BE，连接AE，CF．若
AE∥CF，试说明△ABE≌△CDF．【分析】根据平行线的性质求出∠ABE＝∠CDF，∠AEB＝∠CFD，由“ASA”可证△ABE≌△CDF．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE∥CF，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
【变式1】如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠AEB＝∠DFC，BE＝CF，证明：△ABE≌△DCF．
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠C，利用ASA证明△ABE≌△DCF即可．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA）．
【变式2】补充完成下列推理过程：
如图，在△ABC中，D为线段AC中点，AB＝5，BC＝9，求BD的取值范围．
解：作CE∥AB交BD的延长线于点E．
∵AB∥CE，
∴∠A＝∠ACE．（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵D为线段AC中点，
∴AD＝CD．（ 线段中点的定义 ）
∵在△ABD与△CED中，
，
∴△ABD≌△CED，（ ASA ）
∴AB＝CE，BD＝ED．（ 全等三角形的对应边相等 ）
在△BCE中，BC﹣CE＜BE＜BC+CE，∴ ，
∵ ，BC＝9，AB＝5，
∴ 2 ＜BD＜ 7 ．
【分析】作CE∥AB交BD的延长线于点E，根据“两直线平行，内错角相等”得∠A＝∠ACE，根据线
段的中点的定义得AD＝CD．而∠ADE＝∠CDE，即可由“ASA”证明△ABD≌△CED，根据“全等三
角形的对应角相等”证明AB＝CE，BD＝ED．由BC﹣CE＜BE＜BC+CE，得 （BC﹣AB）＜ BE＜
（BC+AB），则2＜BD＜7，于是得到问题的答案．
【解答】解：作CE∥AB交BD的延长线于点E，
∵AB∥CE，
∴∠A＝∠ACE．（ 两直线平行，内错角相等）
∵D为线段AC中点，
∴AD＝CD．（线段中点的定义）
在△ABD与△CED中，
，
∴△ABD≌△CED，（ASA）
∴AB＝CE，BD＝ED．（全等三角形的对应边相等）
在△BCE中，BC﹣CE＜BE＜BC+CE，
∴ （BC﹣AB）＜ BE＜ （BC+AB），
∵BD＝ED＝ BE，BC＝9，AB＝5，
∴2＜BD＜7．
故答案为：两直线平行，内错角相等，线段中点的定义，ASA，全等三角形的对应边相等，2，7．
【变式3】如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且CE∥BF．
（1）△ECD与△FBD全等吗？请说明你的理由；
（2）若AD＝6，DF＝2，△BDF的面积为3，请直接写出△AEC的面积．【分析】（1）由“ASA”可证△ECD≌△FBD；
（2）由全等三角形的性质可得S△ECD ＝S△FBD ＝3，DF＝DE＝2，由线段的数量关系可求S△ABD ＝3S△BDF
＝9，S△ABD ＝S△CDA ＝9，即可求解．
【解答】解：（1）△ECD与△FBD全等，理由如下：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵CE∥BF，
∴∠DCE＝∠DBF，
在△ECD和△FBD中，
，
∴△ECD≌△FBD（ASA）；
（2）∵△ECD≌△FBD，
∴S△ECD ＝S△FBD ＝3，DF＝DE＝2，
∵AD＝6，DF＝DE＝2，
∴S△ABD ＝3S△BDF ＝9，
∵BD＝CD，
∴S△ABD ＝S△CDA ＝9，
∵AE＝AD﹣DE＝4，
∴S△AEC ＝9× ＝6．
【变式4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线
于点F．
（1）求证：△DAE≌△CFE；
（2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF．【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE；
（2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE＝EF，AD＝CF，由于AB＝BC+AD，等量代换得到AB＝
BC+CF，即AB＝BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论．
【解答】证明：（1）△DAE≌△CFE理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE＝EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）由（1）知△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF，
∵AB＝BC+AD，
∴AB＝BC+CF，
即AB＝BF，在△ABE与△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（SSS），
∴∠AEB＝∠FEB＝90°，
∴BE⊥AE；
题型05 利用AAS判定三角形全等
【典例1】如图，点F在AB上，BC∥AD，AD＝AC，∠AED＝∠B．求证：△ABC≌△DEA．【分析】先根据平行线的性质得到∠C＝∠DAE，然后根据“AAS”可判断△ABC≌△DEA．
【解答】解：∵BC∥AD，
∴∠C＝∠DAE，
在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（AAS）．
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交
AC于点E，CB的延长线于点F，试说明：△FBD≌△ABC．
【分析】根据EF⊥AC，得∠F+∠C＝90°，再由已知得∠A＝∠F，从而AAS证明△FBD≌△ABC．
【解答】证明：∵EF⊥AC，
∴∠F+∠C＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠F，
在△FBD与△ABC中，
，
∴△FBD≌△ABC（AAS）．
【变式2】如图，在△ABC中，点D在边BA的延长线上，过点D作射线DM∥BC，点E是射线DM上一
个定点．
（1）尺规作图：在射线DM上方求作∠DEF，使得∠DEF＝∠C，与BA的延长线交于点F．（保留作
图痕迹）
（2）在（1）问条件下，若BD＝AF，求证：AC∥FE．请把以下的解题过程补充完整．
证明：∵DM∥BC（已知），
∴∠B＝∠FDE（① 两直线平行，同位角相等 ），
∵BD＝AF（已知），
∴BD﹣AD＝② AF ﹣ AD （等式的性质），即AB＝FD，
在△ABC和△FDE中，
，
∴△ABC≌△FDE（AAS），
∴③ ∠ BAC ＝∠ DFE （全等三角形的对应角相等），
∴AC∥FE（④ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】（1）作∠DEF＝∠ACB即可；
（2）根据题干信息逐步填写推理过程与推理依据即可．
【解答】（1）解：如图，∠DEF即为所求作的角；
．
（2）证明：∵DM∥BC（已知），
∴∠B＝∠FDE（两直线平行，同位角相等），
∵BD＝AF（已知），
∴BD﹣AD＝AF﹣AD（等式的性质），
∴AB＝FD，
在△ABC和△FDE中，，
∴△ABC≌△FDE（AAS），
∴∠BAC＝∠DFE（全等三角形的对应角相等），
∴AC∥FE（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：①两直线平行，同位角相等；②AF﹣AD；③∠BAC＝∠DFE；④同位角相等，两直线平
行．
【变式3】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点A作AD⊥CB于点D，延长DA至点E，使得DE＝AC，过
点E作EF∥AB，交CB的延长线于点F，连接CE．
（1）求证：△ACB≌△DEF；
（2）若∠FCE＝50°，∠CEF＝70°，求∠FCA的度数．
【分析】（1）根据垂直定义、平行线的性质求出∠FDE＝90°＝∠BAC，∠CBA＝∠F，利用AAS即可
证明△ACB≌△DEF；
（2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵AD⊥CB，∠BAC＝90°，
∴∠FDE＝90°＝∠BAC，
∵EF∥AB，
∴∠CBA＝∠F，
在△ACB和△DEF中，
，
∴△ACB≌△DEF（AAS）；
（2）解：∵△ACB≌△DEF，
∴∠FCA＝∠FED，
∵∠FCE＝50°，∠CEF＝70°，
∴∠F＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵∠FDE＝90°，
∴∠FED＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠FCA＝30°．
【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD、DE，若AD＝
DE，AC＝CD．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．
【分析】（1）根据AAS可证明△ABD≌△DCE；
（2）得出AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，求出AC＝5，则AE可求出．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝DE，AC＝CD，
∴∠AED＝∠DAE＝∠ADC，
∴∠C+∠2＝∠B+∠1，
∴∠1＝∠2，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABD≌△DCE，
∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，
∵AC＝AB＝5，
∴AE＝AB﹣EC＝5﹣3＝2．
题型06 利用HL判定直角三角形全等
【典例1】如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：
Rt△ABE≌Rt△BCD．【分析】根据题意利用HL判定Rt△ABE≌Rt△BCD即可得到本题答案．
【解答】证明：∵AE⊥BD，CD⊥BD，
∴∠AEB＝∠BDC＝90°，
在Rt△ABE和Rt△BCD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCD（HL）．
【变式1】在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF＝AE，BC＝DA．
求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．
【分析】根据全等三角形的判定定理HL证得Rt△ADC≌Rt△CBA，在该全等三角形的对应边相等：DC
＝BA，然后再由HL来证得Rt△ABE≌Rt△CDF．
【解答】解：如图，
在Rt△ADC与Rt△CBA中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL），
∴DC＝BA．
又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．
【变式2】如图，已知∠C＝∠F＝90°，∠A＝51°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DEF．（2）求∠BOF．
【分析】（1）根据HL证明两个三角形全等即可；
（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论．
【解答】（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，
∵∠C＝∠F＝90°，
在Rt△ACB和Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣51°＝39°，
由（1）知：Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，
∴∠DEF＝39°，
∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°，
∴∠BOF的度数为78°．
【变式3】已知：如图，∠B＝∠C＝90°，且AF＝DE，BE＝CF．
（1）求证：AB＝DC；
（2）若∠A＝55°，求∠DEF的度数．
【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABF≌Rt△DCE，可得AB＝DC；
（2）由直角三角形的性质可求∠AFB＝35°，由全等三角形的性质可得∠AFB＝∠DEF＝35°．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BF+EF＝CE+FE，
∴BF＝CE，
在Rt△ABF与Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），∴AB＝DC；
（2）解：∵∠B＝90°，∠A＝55°，
∴∠AFB＝35°，
∵Rt△ABF≌Rt△DCE，
∴∠AFB＝∠DEF＝35°．
【变式4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，延长BC至点F，过点F作EF∥CD交
AC于点E，AB＝EF，且CB＝CE，过点C作CH∥AB．
（1）求证：∠ACH＝∠BCD；
（2）求证：CD＝CH．
【分析】（1）由直角三角形的性质得∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°，则∠A＝∠BCD，再由平行线
的性质得∠ACH＝∠A，即可得出结论；
（2）证明Rt△ACB≌Rt△FCE（HL），得∠B＝∠CEH，再证明△BCD≌△ECH（ASA），即可得出结
论．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵CH∥AB，
∴∠ACH＝∠A，
∴∠ACH＝∠BCD；
（2）∵∠ACB＝90°，
∴∠FCE＝180°﹣90°＝90°，
在Rt△ACB和Rt△FCE中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△FCE（HL），
∴∠B＝∠CEH，
在△BCD和△ECH中，，
∴△BCD≌△ECH（ASA），
∴CD＝CH．
1．根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝6，BC＝7，CA＝8 B．AB＝6，∠B＝50°，BC＝8
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝40° D．∠A＝60°，∠B＝40°，AB＝8
【分析】根据全等三角形的判定定理进行逐个判断即可求解．
【解答】解：A、AB＝6，BC＝7，CA＝8，符合全等三角形的判定定理（SSS），能画出唯一的三角形
ABC，故不符合题意；
B、AB＝6，∠B＝50°，BC＝8，符合全等三角形的判定定理（SAS），能画出唯一的三角形ABC，故不
符合题意；
C、AB＝4，BC＝3，∠A＝40°，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形ABC，故符合
题意；
D、∠A＝60°，∠B＝40°，AB＝8，符合全等三角形的判定定理（ASA），能画出唯一的三角形ABC，
故不符合题意；
故选：C．
2．如图，AD和CE是△ABC的高，交于点F，且BD＝FD＝4，CD＝7，则AF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先证明∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，则∠BAD＝∠FCD＝90°﹣∠B，即可根据全等三角形
的判定定理“AAS”证明△ABD≌△CFD，根据全等三角形的对应边相等证明AD＝CD＝7，则AF＝AD
﹣FD＝3．
【解答】解：∵AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD＝∠FCD＝90°﹣∠B，
在△ABD和△CFD中，，
∴△ABD≌△CFD（AAS）．
∴AD＝CD，
∵AD＝7，
∴AF＝AD﹣FD＝7﹣4＝3，
∴AF的长是3．
故选：A．
3．如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸
边点B处，选对岸正对的一棵树A，然后沿河岸直行20m到达树C，继续前行20m到达点D处，再从点
D处沿河岸垂直的方向行走．当到达树A正好被树C速挡住的点E处时，停止行走，此时DE的长度即
为河岸AB的宽度．小开这样判断的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【分析】利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
【解答】解：由题意知∠ABC＝∠CDE＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝DE．
故选：D．
4．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ）
A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去
【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．【解答】解：A、带①②去，符合ASA判定，选项符合题意；
B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
故选：A．
5．数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对△ABC及△A′B′C′的对
应边或对应角添加一组等量条件（点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，
若能判定△ABC与△A′B′C′全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
轮次 行动者 添加条件
1 甲 AB＝A'B'＝2cm
2 乙 ∠A＝∠A'＝35°
3 甲 …
表格记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（ ）
①若第3轮甲添加BC＝B′C′＝3cm，则甲必胜；
②若第3轮甲添加∠C＝∠C′＝45°，则甲获胜；
③若第2轮乙添加条件修改为∠A＝∠A'＝90°，则乙必胜；
④若第2轮乙添加条件修改为BC＝B′C′＝3cm，则此游戏最多四轮必分胜负．
A．①③ B．②④ C．①④ D．③④
【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解．
【解答】解：①若第3轮甲添加BC＝B'C'＝3cm，满足边边角，不能判定△ABC与△A'B'C'全等，则甲
获胜，正确，符合题意；
②若第3轮甲添加∠C＝∠C'＝45°，可根据角角边判定△ABC与△A'B'C'全等，则乙获胜，不符合题意；
③若第2轮乙添加条件修改为∠A＝∠A'＝90°，
若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定△ABC与△A'B'C'全等，则乙获胜，
若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定△ABC与△A'B'C'全等，则乙获胜，
故乙必胜，故本说法正确，符合题意；
④若第2轮乙添加条件修改为BC＝B'C'＝3cm，
第3轮甲只能添加∠A＝∠A'或∠C＝∠C'其中之一，此时已有边边角．无论第4轮乙添加对应边相等还
是对应角相等，都会有边边边或角角边或角边角来判定出全等，则乙必输，甲必胜．所以最多4轮必分
胜负，本说法正确，不符合题意．
故选：A．
6．如图，将两块相同的三角板（含30°角）按图中所示位置摆放，若BE交CF于点D，AC交BE于点M，
AB交CF于点N，则下列结论中错误的是（ ）A．∠EAC＝∠FAB B．CM＝BN C．△ACN≌△ABM D．FN＝DN
【分析】由△ABE≌△AFC，根据全等三角形的性质可得∠E A B＝∠C A F，A C＝A B，∠C＝
∠B，继而可得∠EAC＝∠FAB，可判断A正确；利用ASA可证明△ACN≌△ABM，可判断C正确；根
据全等三角形的性质可得AM＝AN，可判断B正确，无法得到FN＝DN，由此即可得答案．
【解答】解：∵△ABE≌△AFC，
∴∠EAB＝∠FAC，AC＝AB，∠C＝∠B，
∴∠EAB﹣∠CAB＝∠FAC﹣∠CAB，
∴∠EAC＝∠FAB，故选项A正确；
在△ACN与△ABM中
，
∴△ACN≌△ABM（ASA），故选项C正确；
∴AM＝AN，
∵AC﹣AM＝AB﹣AN，
∴CM＝BN，故选项B正确；
无法得到FN＝DN，故选项D错误．
故选：D．
7．如图，已知∠BAC＝∠DAC 请你在下面四个备选条件：① AB＝AD；② CB＝CD；③∠BCA＝
∠DCA；④∠B＝∠D中任选一个备选条件和已知条件组合，组合后仍然不能证明△ABC≌△ADC的备
选条件是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可．
【解答】解：A．在△ABC和△ADC中，
∵AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，AC＝AC，
∴根据SAS可以判定△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；
B．根据CB＝CD，AC＝AC，∠BAC＝∠DAC，不能判定△ABC≌△ADC，故本选项符合题意；C．在△ABC和△ADC中，
∵∠BAC＝∠DAC，AC＝AC，∠BCA＝∠DCA，
∴根据ASA可以判定△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；
D．在△ABC和△ADC中，
∵∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC，AC＝AC，
∴根据AAS可以判定△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意．
故选：B．
8．如图，小马用高度都是2cm的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙AD与BE，木墙之间
刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，直角三角板的直角
顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知AC＝BC，∠ACB＝
90°，则两面木墙之间的距离为（ ）
A．30cm B．24cm C．20cm D．18cm
【分析】由题意易得∠ADC＝∠CEB＝90°，则有∠BCE＝∠DAC，进而可证△ADC≌△CEB，然后根据
全等三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm．
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
即：两堵木墙之间的距离为20cm．
故选：C．
9．如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点
B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s），当点Q的运动速度为
（ ）cm/s时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等．A．1或 B．1或 C．2或 D．1
【分析】设点Q的运动速度是x cm/s，有两种情况：①AP＝BP，AC＝BQ，②AP＝BQ，AC＝BP，
列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设点Q的运动速度是x cm/s，
∵∠CAB＝∠DBA＝60°，
∴A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等，有两种情况：
①AP＝BP，AC＝BQ，
则1×t＝6﹣1×t，
解得：t＝3，
则4＝3x，
解得：x＝ ；
②AP＝BQ，AC＝BP，
则1×t＝tx，6﹣1×t＝4，
解得：t＝2，x＝1，
故选：A．
10．如图，在△ABC中，分别延长AC，AB边上的中线BD，CE到F，G，使DF＝BD，EG＝CE，则下列
说法：①GA＝AF；②GA∥BC；③GB＝AC；④四边形GBCF的面积是△ABC面积的3倍．其中正
确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由AE＝BE，∠AEG＝∠BEC，GE＝CE，根据“SAS”证明△AEG≌△BEC，得GA＝BC，
∠AGE＝∠BCE，所以GA∥BC，可判断②正确；同理△ADF≌△CDB，△BEG≌△AEC，所以AF＝
BC，∠AFD＝∠CBD，GB＝AC，则AG＝AF，AF∥BC，可判断①正确，③正确；由AG∥BC，
AF∥BC，证明G、A、F三点在同一条直线上，则GF∥BC，设两条平行线GF与BC之间的距离为h，
则 GA•h＝ AF•h＝ BC•h，可证明S四边形GBCF ＝3S△ABC ，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵CE是△ABC的中线，∴AE＝BE，
在△AEG和△BEC中，
，
∴△AEG≌△BEC（SAS），
∴GA＝BC，∠AGE＝∠BCE，
∴GA∥BC，
故②正确；
同理△ADF≌△CDB（SAS），
∴AF＝BC，∠AFD＝∠CBD，
∴AG＝AF，AF∥BC，
故①正确；
∵AG∥BC，AF∥BC，
∴G、A、F三点在同一条直线上，
∴GF∥BC，
设两条平行线GF与BC之间的距离为h，
∵GA＝AF＝BC，
∴ GA•h＝ AF•h＝ BC•h，
∴S△ABG ＝S△ACF ＝S△ABC ＝ S四边形GBCF ，
∴S四边形GBCF ＝3S△ABC ，
故④正确；
在△BEG和△AEC中，
，
∴△BEG≌△AEC（SAS），
∴GB＝AC，
故③正确，
故选：D．
11．如图，已知∠B＝∠DEF，AB＝DE，要证明△ABC≌△DEF．
（1）若以“ASA”为依据，还缺条件 ∠ A ＝∠ D ；
（2）若以“AAS”为依据，还缺条件 ∠ ACB ＝∠ DFE ．【分析】（1）因为夹AB的两角为∠A和∠B，所以再加上∠A＝∠D，可以证明△ABC≌△DEF；
（2）因为 AB 与 DE 的对角分别为∠ACB 和∠DFE，所以再加上∠ACB＝∠DFE，证明
△ABC≌△DEF．
【解答】解：（1）∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，
∴再加上∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：∠A＝∠D；
（2）∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，
∴再加上∠ACB＝∠DFE，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故答案为：∠ACB＝∠DFE．
12．如图，BE⊥AE，CF⊥BE，垂足分别为E，F，D是线段EF的中点，CF＝BF，若AE＝4，DE＝3，则
△ABC的面积是 2 8 ．
【分析】由△ADE≌△CDF（ASA），推出AE＝CF＝4，由CF＝BF，推出BF＝4，推出BE＝2DE+BF
＝9，△ABC的面积＝△ABE的面积+△BCF的面积，即可求得．
【解答】解：∵BE⊥AE，CF⊥BE，
∴∠E＝∠CFD＝90°，
∵DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF＝4，
∵CF＝BF，
∴BF＝4，
∴BE＝2DE+BF＝6+4＝10，
∴△ABC的面积＝ AE•BE+ BF•CF＝ ×4×10+ ×4×4＝28，
故答案为：28．
13．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝ 7 ．
【分析】可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE＝BC，则AB＝AD+BC．
【解答】解：∵MN∥PQ，AB⊥PQ，
∴AB⊥MN，
∴∠DAE＝∠EBC＝90°，
在Rt△ADE和Rt△BCE中，
，
∴△ADE≌△BEC（HL），
∴AE＝BC，
∵AD+BC＝7，
∴AB＝AE+BE＝AD+BC＝7．
故答案为7．
14．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，垂足分别
是D、E，若CE＝3，BD＝7，则DE＝ 4 ．
【分析】只要利用已知条件证明△ADB≌△CEA即可求出DE的长．
【解答】解：∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAE＝90°﹣∠CAE，
在△AEC中，∠ACE＝∠AEC﹣∠CAE＝90°﹣∠CAE，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△ADB和△CEA中，AB＝AC
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴CE＝AD，BD＝AE，
∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE＝7﹣3＝4．
故填空答案：4．15．如图所示．A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD＝1km，DC＝
1km，村庄AC，AD间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC＝3km，只有AB之间由于间隔了一个
小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得 AE＝1.2km，BF＝0.7km．试求建
造的斜拉桥长至少有 1. 1 km．
【分析】根据BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°，AD＝AD，得出△ADB≌△ADC，进而得出AB＝AC＝
3，这样可得出斜拉桥长度．
【解答】解：由题意知：BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°，
∵在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴AB＝AC＝3km，
故斜拉桥至少有3﹣1.2﹣0.7＝1.1（km）．
故答案为：1.1．
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）如果∠BDC＝75°，求∠ADB的度数．
【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△ECB；
（2）由全等三角形的性质可得BD＝BC，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（ASA）；
（2）解：∵△ABD≌△ECB，
∴BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝75°，
∴∠DBC＝30°，
∴∠ADB＝∠CBD＝30°．
17．如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作
BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．
（1）求证：EF＝CF﹣BE．
（2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？
画图并直接写出你的结论．
【分析】（1）由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根据∠BAC＝90°就可以求出∠BAE
＝∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出结论；
（2）如图2，同样由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根据∠BAC＝90°就可以求出
∠BAE＝∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出结论EF＝BE+CF．
【解答】解：（1）证明：∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°．
∴∠FAC+∠ACF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，
∴∠BAE＝∠ACF．
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE＝CF，BE＝AF．
∵EF＝AE﹣AF，∴EF＝CF﹣BE；
（2）EF＝BE+CF
理由：∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°．
∴∠FAC+∠ACF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，
∴∠BAE＝∠ACF．
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE＝CF，BE＝AF．
∵EF＝AE+AF，
∴EF＝BE+CF．
18．如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，
它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，
设DC与BE的交点为F．
（1）求证△ACD≌△CBE；
（2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由．
【分析】（1）根据小蚂蚁的速度相同求出AD＝CE，再利用“边角边”证明△ACD和△CBE全等即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠EBC＝∠ACD，然后表示出∠BFC，再根据等边三角形的性质
求出∠ACB，从而得到∠BFC．
【解答】（1）证明：∵小蚂蚁同时从A、C出发，速度相同，
∴t（s）后两只小蚂蚁爬行的路程AD＝CE，∵在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵△ACD≌△CBE，
∴∠EBC＝∠ACD，
∵∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD，
∴∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD，
＝180°﹣∠ACB，
∵∠A＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BFC无变化．
19．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、
F．
（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求：FE长．
【分析】（1）此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结
论；
（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了．
【解答】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，
∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠EBA+∠EAB＝90°，
∴∠CAF＝∠EBA，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC，
∴△BEA≌△AFC（AAS）．
∴EA＝FC，BE＝AF．∴EF＝EB+CF．
（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，
∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°，
∴∠CAF＝∠ABE，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC，
∴△BEA≌△AFC（AAS）．
∴EA＝FC＝3，BE＝AF＝10．
∴EF＝AF﹣CF＝10﹣3＝7．
20．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；
（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；
（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，
∴∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；
（3）延长BF到G，使得FG＝FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，
∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA（AAS），
∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，
∴CD＝2BF+DE．
