文档内容
考点 13 函数的图像（3 种核心题型+基础保分练+综合提升
练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
【知识点】
1．利用描点法作函数图象的方法步骤： 、 、 ．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)―――――→y＝ ．
②y＝f(x)―――――→y＝ ．
③y＝f(x)―――――→y＝ ．
④y＝ax (a>0，且a≠1)―――――→y＝ ．
(3)翻折变换
①y＝f(x)―――――――――→y＝ .
②y＝f(x)――――――――――→y＝ ．
常用结论
1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．
如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
2. 函数图象自身的对称关系
(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝
对称．
(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．
3．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
【核心题型】
题型一 作函数图象
函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图．
(2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画．
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，
则可利用图象变换作图．
(4)画函数的图象一定要注意定义域．
【例题1】（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)画出函数 的图象；
(2)求关于 的不等式 的解集．
【变式1】（2024·陕西西安·二模）设函数 .
(1)在坐标系中画出函数 的图象；(2)若 对任意 恒成立，求 的取值范围.
【变式2】（2024·四川南充·二模）已知函数 ．
(1)当 时，画出 的图象，并根据图象写出函数 的值域；
(2)若关于x的不等式 有解，求a的取值范围．
【变式3】（2024·陕西西安·三模）已知函数 （其中 ）．(1)在给定的平面直角坐标系中画出 时函数 的图象；
(2)求函数 的图象与直线 围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时 的值．
题型二 函数图像的识别
识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断．
(2)利用函数的零点、极值点等判断．
(3)利用特殊函数值判断．
【例题2】（2024·四川成都·三模）函数 的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【变式1】（2024·湖北·模拟预测）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）函数 的部分图象为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（多选）（2024·安徽合肥·一模）函数 的图象可能是
（ ）
A． B．C． D．
题型三 函数图象的应用
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时
常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
命题点1 利用图象研究函数的性质
【例题3】（2023·贵州·模拟预测）已知函数 ，下列结论正确的是（ ）
A． 是偶函数
B． 在 上单调递增
C． 的图象关于直线 对称
D． 的图象与 轴围成的三角形面积为2
【变式1】（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）若函数 为奇函数，且在 单调递减，
则下列函数在 一定单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（多选）（22-23高三上·湖北·阶段练习）已知函数 ， ，下
列判断中，正确的有（ ）
A．存在 ，函数 有4个零点B．存在常数 ，使 为奇函数
C．若 在区间 上最大值为 ，则 的取值范围为 或
D．存在常数 ，使 在 上单调递减
【变式3】（多选）（2023·全国·模拟预测）小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线．
为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记
忆保持量y与时间 （单位：天）之间的函数关系 ．则
下列说法中正确的是（ ）
A．随着时间的增加：小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C． 天后，小菲的单词记忆保持量不低于40%
D． 天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
命题点2 利用图象解不等式
【例题4】（23-24高三下·山西·阶段练习）已知函数 若
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【变式1】（22-23高三上·贵州贵阳·开学考试）已知函数 若关于
的不等式 恒成立， 则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023·安徽·模拟预测）定义在 上的函数 满足：对 ，
且 都有 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·四川成都·模拟预测）定义：设不等式 的解集为M，若M中只有
唯一整数，则称M是最优解．若关于x的不等式 有最优解，则实数
m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
命题点3 利用图象求参数的取值范围
【例题5】（2024·四川泸州·三模）已知函数 （ ）在 有且仅
有三个零点，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【变式1】（2024·山西长治·一模）已知函数 的部分
图象如图所示，若方程 在 上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·安徽合肥·二模）已知函数 ，若关于 的方程
至少有两个不同的实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若关于 的方程
有3个不相等的实数根，则 的取值范围是 ．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题1．（2024·辽宁抚顺·三模）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·海南·模拟预测）已知正实数 满足 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）若方程 在区间 上有解， ，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（
）A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，
，若函数 恰有6个零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2023·山西·模拟预测）已知函数 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．函数 在 上单调递减
B．函数 的值域是
C．若方程 有5个解，则 的取值范围为
D．若函数 有3个不同的零点 ，则 的取值范围
为
7．（2023·福建泉州·模拟预测）函数 的大致图像可能为（ ）A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2023·北京房山·一模）设函数 给出下列四个结论：①函数
的值域是 ；② ，方程 恰有3个实数根；③ ，使得
；④若实数 ，且 .则
的最大值为 .其中所有正确结论的序号是 .
9．（23-24高三上·河南漯河·期末）已知函数 ，若关于 的不等式
恰有一个整数解，则实数 的取值范围为 .
四、解答题
10．（2022高三上·河南·专题练习）设 ．
(1)在如图坐标系中作出函数 的图象，并根据图象求不等式 的解集；(2)若存在实数 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．
11．（23-24高三上·新疆阿克苏·阶段练习）定义域为R的奇函数满足 .
(1)求 解析式；
(2)求不等式 的解集.
综合提升练
一、单选题1．（23-24高三上·北京昌平·期末）设函数 的定义域为 ，则“
”是“ 为减函数”的（ ）
A．充分必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·四川德阳·二模）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·四川·模拟预测）函数 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·天津·二模）函数 的图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）A． B．
C． D．
5．（2024·四川成都·三模）若函数 大于0的零点有且只有一个，则实数 的
值为（ ）
A．4 B． C． D．
6．（2024·陕西西安·一模）已知函数 ，若存在实数
满足 ，则错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）函数 的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
8．（2024·北京顺义·二模）若函数 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）若函数 的定义域为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B． 是偶函数
C． D．若方程 有4个不同的实数根，则
10．（2024·云南昆明·一模）已知函数 ， ，则
（ ）
A．当 时， 有2个零点
B．当 时， 有2个零点
C．存在 ，使得 有3个零点
D．存在 ，使得 有5个零点11．（2024·河北沧州·一模）已知函数 的定义域为 ，且 ，都有
， ， ， ，当
时， ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．
C．
D．函数 与函数 的图象有8个不同的公共点
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）若不等式 或 只有一个整数解，则称不等式为
单元集不等式．已知不等式 为单元集不等式，则实数a的取值范围是
．
13．（2024 高三·上海·专题练习）已知函数 ，则不等式
的解集是
14．（2022·北京海淀·三模）已知函数 ，给出下列四个结
论：
① 是偶函数；
② 有4个零点；
③ 的最小值为 ；④ 的解集为 .
其中，所有正确结论的序号为 .
四、解答题
15．（2023·四川乐山·三模）已知函数 ．
(1)画出f（x）的图象，并写出 的解集；
(2)令f（x）的最小值为T，正数a，b满足 ，证明： ．
16．（2023·江西宜春·模拟预测）设 ， ，且a、b为函数 的
极值点(1)判断函数 在区间 上的单调性，并证明你的结论；
(2)若曲线 在 处的切线斜率为 ，且方程 有两个不等的实根，
求实数m的取值范围.
17．（2023·四川乐山·一模）已知 ， .
(1)若曲线 与直线 围成的图形面积为 ，求 的值；
(2)求不等式 的解集.
18．（2023·陕西榆林·模拟预测）已加 ．
(1)解不等式 ；
(2)令 ，若 的图象与 轴所围成的图形的面积为 ，求实数 的值．19．（2024·全国·模拟预测）设函数 ．
(1)作出函数 的图象；
(2)若 的最大值为 ，正实数 满足 ，求 的最小
值．
拓展冲刺练
一、单选题
1．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）设函数 ，则 （ ）
A．是偶函数，且在 上单调递增 B．是奇函数，且在 上单调递减
C．是偶函数，且在 上单调递增 D．是奇函数，且在 上单调递减
2．（23-24 高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数 ，若函数
有3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）函数 的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·天津河北·一模）函数 的导数为 ，则 的部分图
象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·模拟预测）已知关于x的不等式 的解集中只有1个整数，
则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．C． D．
二、多选题
6．（2024高三·全国·专题练习）（多选）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，
为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记
忆保持量f（x）与时间x（天）之间的函数关系f（x）＝ 则下列说
法正确的是（ ）
A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%
D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
7．（22-23高三下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数 ，则下列说法
正确的是（ ）
A． 的单调减区间为
B．若 有三个不同实数根 ， ， ，则
C．若 恒成立，则实数 的取值范围是
D．对任意的 ， ，不等式 恒成立
三、填空题8．（2024高三·全国·专题练习）若关于x的不等式 的解集中恰有2个整
数，则 的取值范围是 ．
9．（2024高三下·北京·专题练习）已知函数 ，则下列说法正确的
有
①． 的单调减区间为
②．若 有三个不同实数根 ， ， ，则
③．若 恒成立，则实数 的取值范围是
④．对任意的 ， ，不等式 恒成立
四、解答题
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)画出 的图象；
(2)求不等式 的解集．11．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数 .
(1)画出 的图象；
(2)求不等式 的解集．
