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专题 13 分式方程应用题重难点题型分类-高分必刷题（解析版）
专题简介：本份资料包含分式方程的应用题在各次期中、期末中常考的主流题型，所选题目源自各名校
期中、期末试题中的典型考题，具体包含四类题型：商品购买类、抽象工程问题、具体工程问题、路程
问题，本专题资料适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生月考、期末考前刷题时使
用。
题型一：商品购买类（考查次数最多）
解题思路：已知总金额，设A单价为x，并表示出B单价，用总金额除以单价表示出A、B
的数量，用题目中给出的数量关系列方程
1．（2022·深圳）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．
已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的
棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买
时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可
购买多少棵乙种树苗？
【详解】（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，
依题意有 ，解得：x=30，经检验，x=30是原方程的解，x+10=30+10=40，
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；
（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，
解得y≤11 ，∵y为整数，∴y最大为11，答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
2．（2021·株洲）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用
6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多
少元？
【详解】（1）设第一批饮料进货单价为 元，则： 解得：
经检验： 是分式方程的解
答：第一批饮料进货单价为8元．（2）设销售单价为 元，则： ，化简得： ，
解得： ，答：销售单价至少为11元．
3．（2022·广东）“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商
家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去
年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元；
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的
两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应
如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．
【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得：
，解得：x=2000．经检验，x=2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元，由题意，得
y=（2000-1500-200）a+（2400-1800）（60-a），y=－300a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，∴60-a≤2a，∴a≥20．∵y=－300a+36000．
∴k=－300＜0，∴y随a的增大而减小．∴a=20时，y =30000元．∴B型车的数量为：60-20=40辆．
最大
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
4．（2022·江苏）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以
“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，
用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒
进价的1.4倍．
（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？
（2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每
盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折
销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶
各多少盒？
【详解】解：（1）设A种茶叶每盒进价为 元，则B种茶叶每盒进价为 元．
根据题意，得 ．解得 ．经检验： 是原方程的根．
∴ （元）．∴A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元．（2）设第二次A种茶叶购进 盒，则B种茶叶购进 盒．打折前A种茶叶的利润为
．
B种茶叶的利润为 ．打折后A种茶叶的利润为 ．B种茶叶的利润为
0．
由题意得： ．解方程，得： ．∴ （盒）．
∴第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．
5．（2020·广东）东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又
用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．
（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；
（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是
多少元？
详解：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，
根据题意得： ，解得：x=25，经检验，x=25是原分式方程的解．
答：第一批悠悠球每套的进价是25元．
（2）设每套悠悠球的售价为y元，
根据题意得：500÷25×（1+1.5）y-500-900≥（500+900）×25%，解得：y≥35．
答：每套悠悠球的售价至少是35元．
6．（2022·安徽）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．
已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的
数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最
多购进多少个甲种粽子？
【详解】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：
，解得： ，经检验 是原方程的解，
答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：
，解得： ，∵m为正整数，∴m的最大值为87；答：最多购进87个甲种粽子．
题型二： 抽象工程问题类
解题思路：已知工作总量为1，设某一队的工作时间为x，并表示出另一队的工作时间，用1
除以工作时间表示出两队的工作效率，用“甲队的工作效率×工作时间+乙队的工作效率×
工
作时间=1”来列方程.
7．（2022·四川）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工 程队投标，经测算：甲队单独完成
这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完
成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该
工程省钱？
【详解】解：（1）设乙队单独完成需x天．
根据题意，得： ．解这个方程得：x=90．经检验，x=90是原方程的解．
∴乙队单独完成需90天．
（2）设甲、乙合作完成需y天，则有 ，解得，y=36；
①甲单独完成需付工程款为：60×3.5=210（万元）．
②乙单独完成超过计划天数不符题意，
③甲、乙合作完成需付工程款为：36×（3.5+2）=198（万元）．
答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．
8．（2022·陕西）某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用
天时间完成整个工程．当一号施工队工作 天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举
行，要求比原计划提前 天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果
按通知要求如期完成整个工程．
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
【详解】（1）设二号施工队单独施工需要 天，根据题意得： ，
解得： ，经检验， 是原分式方程的解
∴若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要 天；
（2）一号、二号施工队同时进场施工需要的天数为x天根据题意得： ，∴ ，
∴若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要 天．
9．（2020·四川）为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程一
项地基基础加固处理工程由2、8两个工程公司承担建设，已知2工程公司单独建设完成此项工程需要
180天 工程公司单独施工45天后， 工程公司参与合作，两工程公司又共同施工 天后完成了此项工
程．
（1）求 工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？
（2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时
开工， 工程公司建设其中一部分用了 天完成， 工程公司建设另一部分用了 天完成，其中 ， 均
为正整数，且 ， ，求 、 两个工程公司各施工建设了多少天？
【详解】解：（1）设 工程公司单独建设完成这项工程需要 天，由题意得： ，
解之得 ，经检验 是原方程的解且符合题意．
答： 工程公司单独建设需要 天完成；
（2）∵ 工程公司建设其中一部分用了 天完成， 工程公司建设另一部分用了 天完成，
∴ ，即 又∵ ， ，∴ ，解得 ，
∵ 为正整数，∴ ；而 也为正整数，∴ ， ；
答： 工程公司施工建设了 天， 工程公司施工建设了 天．
10．（2019·云南）某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工
程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施
工方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．
据上述条件解决下列问题：
①规定期限是多少天？写出解答过程；
②在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款?
【详解】解：设规定期限x天完成，则有：， 解得x=20．
经检验得出x=20是原方程的解； 答：规定期限20天．
方案（1）：20×1.5=30（万元）
方案（2）：25×1.1=27.5（万元 ），
方案（3）：4×1.5＋1.1×20=28（万元）．
所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．
所以方案（3）最节省．
11．（2022·重庆）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施
工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．
(1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天?
(2)若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，
甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单
独施工多少天?
【详解】解：（1）设乙队单独完成此项任务需x天，则甲队单独完成此项任务需(x+10)天，
根据题意得 ，解得，x=20，经检验x=20是原方程的解．∴x+10=30．
答：甲队单独完成此项任务需30天，乙队单独完成此颊任务需20天．
（2）设甲队再单独施工a天 ，解得 ≥3，答：甲队至少再单独施工3天．
12．（2019·四川）在开任公路改建工程中，某工程段将由甲，乙两个工程队共同施工完成，据调查得知，
甲，乙两队单独完成这项工程所需天数之比为2:3，若先由甲，乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队做
15天完成.
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）此项工程由两队合作施工，甲队共做了m天，乙队共做了n天完成.已知甲队每天的施工费为15万
元，乙队每天的施工费用为8万元，若工程预算的总费用不超过840万元，甲队工作的天数与乙队工作的
天数之和不超过80天，请问甲、乙两队各工作多少天，完成此项工程总费用最少？最少费用是多少？
【详解】（1）设甲、乙两队单独完成这取工程各需2x，3x天，
由题意得： ，解得： ，经检验： 是原方程的根，∴ ，
，
答：甲、乙两队单独完成这取工程各需60，90天；（2）由题意得： ，
令施工总费用为w万元，则 ．
∵两队施工的天数之和不超过80天，工程预算的总费用不超过840万元，
∴ ， ，∴ ，
∴当 时，完成此项工程总费用最少，此时 ， 元，
答：甲、乙两队各工作20，60天，完成此项工程总费用最少，最少费用是780万元.
题型三：具体工程类
解题思路：已知工作总量，设某一队的速度x，并表示出另一队的速度，用工作总量除以工
作速度表示出两队的工作时间，用题目中给出的时间关系来列方程.
13．（2019·广西）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙
两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样
长的道路少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改
造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？
【详解】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为 x米，
根据题意得： ，解得：x=40，经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，
∴ x= ×40=60，答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米；
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作 天，
根据题意得：7m+5× ≤145，解得：m≥10，
答：至少安排甲队工作10天．
14．（2022·云南）在“旅游示范公路”建设的的中，工程队计划在海边某路段修建一条长 的步行道，由于采用新的施工方式平均每天修建步行道的长度是计划的 倍，结果提前 天完成任务，求计划
平均每天修建的长度．
【详解】解：设计划平均每天修建步行道的长度为xm，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长
度为1.5xm，
依题意，得： ，解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
答：计划平均每天修建步行道的长度为80m．
15．（2022·福建）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的 1.5 倍，两人各
加工 600 个这种零件，甲比乙少用 5 天．
（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是 150 元和 120 元，现有 3000 个这种零件的加
工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过 7800 元，那
么甲至少加工了多少天？
【详解】（1）设乙每天加工x个零件,则甲每天加工1.5x个零件
，化简得：600×1.5=600+5×1.5x，解得x=40，
经检验，x=40是分式方程的解且符合实际意义．1.5x=60
答：甲每天加工60个零件，乙每天加工40个零件.
（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，则由题意得
由①得y=75-1.5x ③将③代入②得：150x+120（75-1.5x）≤7800
解得：x≥40，当x=40时，y=15，符合问题的实际意义．
答：甲至少加工了40天．
16．（2022·河南）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在
规定时间内可以多生产300个零件．
（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．
（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水
线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零
件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
【详解】解：（1）解：设原计划每天生产零件x个，由题意得，，解得x=2400，经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意．
∴规定的天数为24000÷2400=10（天）．答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天；
（2）设原计划安排的工人人数为y人，由题意得，
[5×20×（1+20%）× +2400] ×（10-2）=24000,
解得，y=480．经检验，y=480是原方程的根，且符合题意．
答：原计划安排的工人人数为480人．
17．（2019·江西）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑
路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的 倍，甲队比乙队多筑路20天．
（1）求乙队筑路的总公里数；
（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．
【详解】试题分析：（1）根据乙队筑路总千米数是甲队筑路总千米数的 倍列式计算即可得；
（2）设甲队平均每天筑路5x千米，则乙队平均每天筑路8x千米，根据题意可得等量关系：甲队筑路用
的天数-20=乙队筑路用的天数，列出方程解方程即可．
试题解析：(1)60× ＝80(千米)，即乙队筑路的总千米数为80千米．
(2)设甲队平均每天筑路5x千米，则乙队平均每天筑路8x千米，
根据题意，得 ，解得x＝ ，经检验，x＝ 是原分式方程的解且符合题意，
×8＝ ，答：乙队平均每天筑路 千米．
18．（2022·黑龙江）甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程
队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的
1.5倍．
（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
（2）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路
总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？
【详解】（1）设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.5）千米，
根据题意，可列方程： ，解得x=1.5，经检验x=1.5是原方程的解，且x﹣0.5=1，
答：甲每天修路1.5千米，则乙每天修路1千米；（2）设甲修路a天，则乙需要修（15﹣1.5a）千米，
∴乙需要修路 （天），由题意可得0.5a+0.4（15﹣1.5a）≤5.2，解得a≥8，
答：甲工程队至少修路8天．
题型四：路程问题类
解题思路：已知路程，设某车的速度x，并表示出另车的速度，用路程除以速度表示出两车
的时间，用题目中给出的时间关系来列方程.
19．（2021·河南）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学
校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教
育”基地开展扫黑除恶教育活动，已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速
度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速
度.
【详解】设甲校师生所乘大巴车的平均速度为xkm/h，则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5xkm/h.根
据题意得
，解得x＝60，经检验，x＝60是原分式方程的解且符合实际意义，1.5x＝90，
答：甲、乙两校师生所乘大巴车的平均速度分别为60km/h和90km/h.
20．（2022·山东）2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车
时速更快，安全性更好．已知“太原南﹣北京西”全程大约500千米，“复兴号”G92次列车平均每小时
比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的 （两列车中途停
留时间均除外）．经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分
钟．求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间．
【详解】设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x小时，则“和谐号”列车的行驶时
间需要 x小时，根据题意得： ，解得：x= ，经检验，x= 是原分式方程的解，∴x+ =
，
答：乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要 小时．
21．（2022·山东烟台）列方程解应用题：小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚
骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人
的速度．
【详解】设小明的速度是 米/分钟，则小刚骑自行车的速度是 米/分钟，根据题意可得：
，
解得： ，
经检验得： 是原方程的根，故 ，
答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．
22．（2020·河北）如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3千米，
王老师家到学校的路程为0.5千米.由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校，王老
师每天骑自行车送小刚上学.已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比平时步行上班多用了20分
钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？
【详解】设王老师的步行速度是 ，则王老师骑自行车是 ，
由题意可得： ，解得： ，
经检验， 是原方程的根，
∴
答：王老师的步行速度是 ，则王老师骑自行车的速度是 .
23.（北雅）甲乙两人分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行，甲从A出发到1千米时发现有东西
遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点处相遇．已知甲比乙
每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？
【解答】解：设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为（x+0.5）km/h，由题意得：
＝ ，解得：x＝4.5，经检验x＝4.5是原方程的解，∴4.5+0.5＝5，
答：乙的速度为4.5km/h，则甲的速度为5km/h．
24.（师大）农机厂职工到距离工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走半小时后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，问两种车的速度各是多少千米/小时？
【解答】解：设自行车的速度为x千米/时，则汽车的速度为3x千米/时，由题意得：
＝ + ，解得：x＝20，经检验：x＝20是原分式方程的解，
3×20＝60（千米/时），答：自行车的速度为20千米/时，则汽车的速度为60千米/时．
