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第 02 讲 特殊角的锐角三角函数
课程标准 学习目标
1. 掌握特殊角的锐角三角函数值，能够自行推导并记住特殊角
①特殊角的锐角三角函数
的锐角三角函数值，并在解决问题时灵活运用。
知识点01 特殊角的锐角三角函数值
1. 特殊角的锐角三角函数：
锐角三角函数 30° 45° 60°
锐角α
sinα
cosα
tanα 1由表可知，若∠A与∠B互余，则sinA＝cosB，sinB＝cosA。
【即学即练1】
1．计算：sin60°+tan45°﹣cos30°•tan60°．
【分析】先将特殊角三角函数值代入，按照实数运算法则计算即可．
【解答】解：sin60°+tan45°﹣cos30°•tan60°
＝ +1﹣ ×
＝ +1﹣
＝ ﹣
＝ ．
【即学即练2】
2．若 为锐角，且2cos ＝ ，则 等于（ ）
A．0° B．30° C．45° D．60°
α α α
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算，即可解答．
【解答】解：∵ 为锐角，且2cos ＝ ，
α α
∴cos ＝ ，
∴ ＝30°，
α
故选：B．
α
【即学即练3】
3．△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝ ，cosB＝ ，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出答案．
【解答】解：∵sinA＝ ，cosB＝ ，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝75°，
∴△ABC的形状是锐角三角形．
故选：C．题型01 求特殊角的锐角三角函数
【典例1】计算：cos30°+tan60°＝ ；sin30°•tan30°+cos60°•tan60°＝ ．
【分析】把特殊角的三角函数值，代入进行计算即可解答．
【解答】解：cos30°+tan60°
＝ +
＝ ；
sin30°•tan30°+cos60°•tan60°
＝ × + ×
＝ +
＝ ，
故答案为： ； ．
【变式1】2cos60°的值等于（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
【解答】解：2cos60°＝2× ＝1．
故选：B．
【变式2】sin30°的相反数是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C． D．
【分析】先求出30度角的正弦值，再根据相反数的定义进行求解即可．
【解答】解：∵ ，
∴sin30°的相反数是 ．
故选：C．
【变式3】计算：（1）2sin30°﹣sin45°•cos45°；
（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．
【分析】将特殊锐角三角函数值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝ ；
（2）原式＝
＝
＝ ．
【变式4】计算：
（1）sin245°+tan60°•cos30°；
（2）2sin60°﹣cos60°﹣sin30°•tan45°．
【分析】（1）利用特殊锐角三角函数值计算即可；
（2）利用特殊锐角三角函数值计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（ ）2+ ×
＝ +
＝2；
（2）原式＝2× ﹣ ﹣ ×1
＝ ﹣ ﹣
＝ ﹣1．
题型02 根据锐角三角函数求角度
【典例1】若∠A是锐角，cosA＝ ，则∠A＝ 45 ° ．
【分析】根据∠A是锐角，cosA＝ ，即可求得∠A的度数．
【解答】解：∵∠A是锐角，cosA＝ ，
∴∠A＝45°．故答案为：45°．
【变式1】已知 为锐角，且sin（ ﹣10°）＝ ，则 等于（ ）
A．70° B．60° C．50° D．30°
α α α
【分析】根据特殊角的三角函数值可得 ﹣10°＝60°，进而可得 的值．
α α
【解答】解：∵sin（ ﹣10°）＝ ，
∴ ﹣10°＝60°，
α
∴ ＝70°．
α
故选：A．
α
【变式2】已知 为锐角，若 ，则 的度数为 60 ° 或 30 ° ．
【分析】先求出tan 的值，在确定 的度数．
α α
【解答】解：原方程α可化为：（tanα﹣ ）（ tan ﹣1）＝0，
α α
则tan ＝ 或tan ＝
∵ 为锐角，
α α
∴ ＝60°或30°．
α
故答案为：60°或30°．
α
【变式3】若锐角x满足tan2x﹣（ +1）tanx+ ＝0，则x＝ 45 ° 或 60 ° ．
【分析】先利用因式分解的方法来解方程，再用特殊角的三角函数值求解即可．
【解答】解：∵tan2x﹣（ +1）tanx+ ＝0，
∴（tanx﹣1）（tanx﹣ ）＝0，
∴tanx＝1或 ，
当tanx＝1时，x＝45°；
当tanx＝ 时，x＝60°．
故x＝45°或60°．
【变式4】在锐角△ABC中， ，则∠A＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质结合特殊角的三角函数值得出∠C＝60°，∠B＝45°，
进而得出答案．
【解答】解：∵ ，
∴tanC＝ ，sinB＝ ，
∴∠C＝60°，∠B＝45°，
∴∠A＝75°．故选：D．
题型03 判断三角形的形状
【典例1】在△ABC中，若∠A，∠B满足 + ＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰（非等边）三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【分析】先根据非负数的性质及特殊教的三角函数值∠A和∠B，即可作出判断．
【解答】解：根据题意得：sinA﹣ ＝0且cosB﹣ ＝0，
则sinA＝ ，cosB＝ ，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
故选：B．
【变式1】若 ，那么△ABC的形状是 等边三角形 ．
【分析】根据非负数的性质可得cosA﹣ ＝0，tanB﹣ ＝0，然后利用特殊角的三角函数值可得∠A＝
60°，∠B＝60°，进而可得答案．
【解答】解：由题意得：cosA﹣ ＝0，tanB﹣ ＝0，
∴cosA＝ ，tanB＝ ，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，
∴∠C＝60°，
∴△ABC的形状是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
【变式2】若 +|2cosB﹣1|＝0，则△ABC是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．含有60°的任意三角形
D．顶角为钝角的等腰三角形
【分析】先根据非负数的性质得出 tanA与cosB的值，再由特殊角的三角函数值求出∠A与∠B的值，
进而可得出结论．
【解答】解：∵ +|2cosB﹣1|＝0，∴ tanA﹣3＝0，2cosB﹣1＝0，
∴tanA＝ ，cosB＝ ，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
故选：B．
【变式3】若 ， 是一个三角形的两个锐角，且满足|sin ﹣ |+（ ﹣tan ）2＝0，则此三角形的形状
是（ ）
α β α β
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【分析】根据非负数的性质可知sin ＝ ，tan ＝ ；根据 ， 都是锐角可知 ＝60°， ＝60°，从
而判断三角形的形状．
α β α β α β
【解答】解：∵|sin ﹣ |+（ ﹣tan ）2＝0，
α β
∴sin ﹣ ＝0， ﹣tan ＝0，
α β
∴sin ＝ ，tan ＝ ，
又∵ ， 都是锐角，
α β
∴ ＝60°， ＝60°，
α β
∴此三角形的形状是等边三角形．
α β
故选：C．
1．已知∠A是锐角，且∠A＝60°，则sinA等于（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】根据sin60°＝ 解答即可．
【解答】解：∵∠A＝60°，sin60°＝ ，
∴sinA＝ ．故选：D．
2． 的数值大小为（ ）
A． B． C． D．
【分析】把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解： ，
故选：A．
3．tan60°+3tan30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用特殊锐角三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝ +3×
＝ +
＝2 ，
故选：B．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝2，BC＝1，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不确定
【分析】根据余弦的定义、60°的余弦值是 解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝2，BC＝1，
则cosB＝ ＝ ，
∴∠B＝60°，
故选：C．
5．已知实数a＝tan30°，b＝cos60°，c＝sin45°，则下列判断正确的是（ ）
A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b
【分析】分别求出各三角函数的值，然后比较他们的大小即可．
【解答】解：∵a＝tan30°＝ ，b＝cos60°＝ ，c＝sin45°＝ ，
∵ ＞ ＞ ，
∴c＞a＞b．
故选：B．
6．若tan（ ﹣10°）＝1，则锐角 的度数是（ ）
α αA．40° B．35° C．55° D．70°
【分析】根据45度角的正切值为1得到 ﹣10°＝45°，则 ＝55°．
【解答】解：根据题意可知，tan45°＝1，且 为锐角，
α α
∴ ﹣10°＝45°，
α
解得： ＝55°．
α
故选：C．
α
7．在△ABC中，tanA＝1，cosB＝ ，则△ABC的形状（ ）
A．一定是锐角三角形 B．—定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．无法确定
【分析】先根据△ABC中，tanA＝1，cosB＝ 求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，tanA＝1，cosB＝ ，
∴∠A＝45°，∠B＝45°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选：B．
8．在△ABC中，若∠A，∠B均为锐角，且|sinA﹣ |+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性得出sinA﹣ ＝0且1﹣tanB＝0，求出∠A和∠B的度数，再求
出∠C即可．
【解答】解：∵∠A，∠B均为锐角，且|sinA﹣ |+（1﹣tanB）2＝0，
∴sinA﹣ ＝0且1﹣tanB＝0，
∴sinA＝ ，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，
故选：C．
9．在△ABC中，三边之比为a：b：c＝1： ：2．则sinA+tanA等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据三角形三边之比判断出三角形的形状，再根据直角三角形的性质求出∠A的度数，运用特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：∵△ABC中，三边之比为a：b：c＝1： ：2，
∴a2+b2＝1+3＝4＝c2，△ABC是直角三角形，且c为斜边．
∵a＝ c，∴ ＝ ＝sinA，
∴∠A＝30°．
sinA+tanA＝sin30°+tan30°＝ + ＝ ．
故选：A．
10．关于三角函数有如下公式：
sin（ + ）＝sin cos +cos sin ，sin（ ﹣ ）＝sin cos ﹣cos sin
cos（ + ）＝cos cos ﹣sin sin ，cos（ ﹣ ）＝cos cos +sin sin
α β α β α β α β α β α β
α β α β α β α β α β α β
tan（ + ）＝ （1﹣tan tan ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转
化为特殊角的三角函数来求值，如 sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30℃os60°+cos30°sin60°＝
α β α β
＝1
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝ ，②tan105°＝﹣2﹣ ，③sin15°＝
，④cos90°＝0
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案．
【解答】解：①sin105°＝sin（45°+60°）
＝sin60°cos45°+cos60°sin45°
＝ × + ×
＝ ，故此选项正确；
②tan105°＝tan（60°+45°）
＝
＝
＝
＝﹣2﹣ ，故此选项正确；③sin15°＝sin（60°﹣45°）
＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°
＝ × ﹣ ×
＝ ，故此选项正确；
④cos90°＝cos（45°+45°）
＝cos45°cos45°﹣sin45°sin45°
＝ × ﹣ ×
＝0，故此选项正确；
故正确的有4个．
故选：D．
11．已知 为锐角，且sin ＝ ，则 ＝ 3 0 度．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
α α α
【解答】解：∵sin30°＝ ，∴ ＝30°．
α
12．在锐角△ABC中，若|sinA﹣ |+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的度数是 75 ° ．
【分析】根据非负数的性质可以求得sinA，与tanB的值，即可求得∠A与∠B的度数，然后根据三角形
的内角和即可求解．
【解答】解：根据题意得：sinA﹣ ＝0，1﹣tanB＝0，
∴sinA＝ ，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故答案为：75°．
13．若∠A为锐角，且tan2A+2tanA﹣3＝0，则∠A＝ 4 5 度．
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【解答】解：tan2A+2tanA﹣3＝0，
（tanA﹣1）（tanA+3）＝0，
解得tanA＝﹣3（舍去），tanA＝1．
∴∠A＝45°．
14．在△ABC中，∠A、∠B满足： ，则△ABC的形状为 等边三角形 ．
【分析】先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，最后根据三个内角的关系判断出其形状．
【解答】解：∵（2sinA﹣ ）2+|2cosB﹣1|＝0，
∴2sinA﹣ ＝0，2cosB﹣1＝0，
∴sinA＝ ，cosB＝ ，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，
∴∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为等边三角形．
15．已知 为锐角，当 无意义时，tan（ +15°）﹣tan（ ﹣15°）的值是 ．
【分析】根据特殊角的三角函数值和分式有意义的条件求解．
α α α
【解答】解：当 无意义时，tan ＝1，
∠ ＝45°，
α
α
则tan（ +15°）﹣tan（ ﹣15°）＝tan60°﹣tan30°＝ ﹣
α α
＝ ．
故答案为： ．
16．求下列各式的值：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°；
（2）tan60°﹣（4﹣ ）0+2cos30°+（ ）﹣1．
【分析】（1）依据特殊角的三角函数值，即可得到计算结果；
π
（2）依据特殊角的三角函数值，零指数幂以及负整数指数幂即可得出计算结果．
【解答】解：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
＝2× +3× ﹣4×1
＝1+ ﹣4
＝﹣ ；
（2）tan60°﹣（4﹣ ）0+2cos30°+（ ）﹣1．
π
＝ ﹣1+2× +4＝ ﹣1+ +4
＝ +3．
17．（1）已知3tan ﹣2cos30°＝0，求锐角 ；
（2）已知2sin ﹣3tan30°＝0，求锐角 ．
α α
【分析】（1）先求出tan 的值，然后求出角的度数；
α α
（2）先求出sin 的值，然后求出角的度数．
α
【解答】解：（1）3tan ﹣2cos30°＝0，
α
α
3tan ＝2× ，
∴3tαan ＝ ，
α
解得：tan ＝ ，
则 ＝30°；
α
（2）2sin ﹣3tan30°＝0，
α
α
2sin ＝3× ，
∴2sαin ＝ ，
α
解得：sin ＝ ，
则 ＝60°．
α
α
18．已知△ABC中，∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|cosB﹣ |＝0．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求（1+sinA）2﹣2 ﹣（3+tanC）0的值．
【分析】（1）根据非负数的和等于零，可得函数值，可得角的度数，根据角的大小，可得答案．
（2）根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：（1）由题意，得
tanA＝1，cosB＝ ．
∠A＝45°，∠B＝60°．
∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，
△ABC是锐角三角形；
（2）原式＝（1+ ）2﹣2 ﹣1＝ ﹣1＝ ．
19．规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx•cosy+cosx•siny．据此
（1）判断下列等式成立的是 ②③ （填序号）．①cos（﹣60°）＝﹣ ；②sin2x＝2sinx•cosx；③sin（x﹣y）＝sinx•cosy﹣cosx•siny．
（2）利用上面的规定求①sin75° ②sin15°．
【分析】（1）根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断；
（2）利用已知进而将原式变形求出答案．
【解答】解：（1）①cos（﹣60°）＝cos60°＝ ，命题错误；
②sin2x＝sinx•cosx+cosx•sinx＝2sinx•cosx，命题正确；
③sin（x﹣y）＝sinx•cos（﹣y）+cosx•sin（﹣y）＝sinx•cosy﹣cosx•siny，命题正确．
故答案为：②③；
（2）① sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°•cos45°+cos30°•sin45°＝ × + × ＝ + ＝
；
②sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°•cos30°﹣cos45°•sin30°
＝ × ﹣ ×
＝ ．
20．对于钝角 ，定义它的三角函数值如下：
sin ＝sin（180°﹣ ），cos ＝﹣cos（180°﹣ ）
α
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
α α α α
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2
﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
【分析】（1）按照题目所给的信息求解即可；
（2）根据题意可知sinA+cosB＝ ，sinA•cosB＝﹣ ，则cosB＜0，从而确定∠B＝120°，∠A＝30°，m
＝2﹣2 ．
【解答】解：（1）由题意得，
sin120°＝sin（180°﹣120°）＝sin60°＝ ，
cos120°＝﹣cos（180°﹣120°）＝﹣cos60°＝﹣ ，
sin150°＝sin（180°﹣150°）＝sin30°＝ ；
（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，∴三个内角分别为30°，30°，120°，
∵sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，
∴sinA+cosB＝ ，sinA•cosB＝﹣ ，
∴cosB＜0，
∴∠B＝120°，
∴∠A＝30°，
∴m＝2﹣2 ．
