文档内容
考点 17 导数与函数的单调性（3 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调
性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大
小，求参数的取值范围等简单应用
【知识点】
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增
函数y＝f(x)在区间(a，
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减
b)上可导
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f′(x)在各区间上的
正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
常用结论
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，
b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在
(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解
【核心题型】
题型一 不含参函数的单调性
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不
能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则 的单调递
增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间．
【详解】由 得： ，即 的定义域为 ；
，
当 时， ；当 时， ；
的单调递增区间为 ．
故选：A．
【变式1】（2024·四川成都·三模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时，
，则当 时， 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先利用导数求出函数在 上的单调性，再根据奇函数的性质得到函数在
上的单调性，即可判断.
【详解】当 时， ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又函数 是定义在 上的奇函数，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
故选：D【变式2】（2024·四川巴中·一模）已知奇函数 的导函数为 ，若当 时
，且 .则 的单调增区间为 .
【答案】
【分析】根据题意，由条件可得 ，即可求得 在 上的单调增区间，再由函
数的奇偶性即可得到 在 上的单调增区间，即可得到结果.
【详解】因为 时 ，则 ，
又 ，则 ，即 ，
所以 ，
令 ，即 ，即 ，
又 ，则 ，解得 ，
令 ，即 ，即 ，
即 ，解得 ，
所以 在 单调递增，
又 为奇函数，
当 时， 在 单调递增，
所以 的单调增区间为 .
故答案为：【变式3】（2024·河南开封·三模）已知函数 ， 为 的导函数．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间和极值．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用导数求出 ， ，，代入直线的点斜式方程即可求出切线
方程；
（2）求出导函数，用列表法求出极值即可．
【详解】（1）因为 的定义域为 ， ，
所以 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）依题意， ，则
，
令 ，解得 或 ．
当 变化时， ， 的变化情况如表所示：
1 2
＋ 0 － 0 ＋
单调递 单调递
极大值 极小值 单调递增
增 减
函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ．故 的极小值为 ， 的极大值为 ．
题型二 含参数的函数的单调性
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断
点
【例题2】（多选）（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数
（ ）的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】先求得 ，根据判别式对 进行分类讨论，由此确定正确答案.
【详解】因为 的定义域为 ， ．
当 ，即 时， 对任意 恒成立，
所以 在 上单调递增，故C正确；
当 ，即 或 时，
设方程 的两根为 ，且 ，可知 ，可知 同号，
令 ，得 ；令 ，得 或 ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调
递增，
故A，B正确，D错误.
故选：ABC.
【变式1】（2024·天津·二模）已知 ，
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)若函数 存在极大值，且极大值为1，求证： ．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数，求切点处切线的方程；
（2）利用导数，分类讨论函数的单调性；
（3）由极大值，求出 的值，通过构造函数求最值的方法证明不等式.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
又 ，则切线的斜率 ，
所求切线方程为 ，即 ．
（2）函数 的定义域为 ，
．
①当 时， ， 在 上单调递增．②当 时，
时， ， 函数 在 上单调递增；
时， ， 函数 在 上单调递减．
③当 时，
时， ，函数 在 上单调递增；
时， ，函数 在 上单调递减．
综上可得，
当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
（3）证明：由（2）可知，当 时， 存在极大值，且极大值为 ，
则 ，即 ，
整理得 ，从而 ，设 ，则 ．
令 ，所以 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增．而 ，所以 的根为 ， 从而 ．
因此 ，即证 成立，
也就是证 ，即证 ，
也就是证 ，设 ，即证 ．
设 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增．
，即 恒成立，
恒成立．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的
单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零
点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，证明不等式，构造一个适当
的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.
【变式2】（2024·陕西商洛·三模）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，若函数 和 的图象在 上有交点，求实数 的
取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）求出函数导数，分类讨论确定 的符号，得出单调区间；（2）换元转化后，问题可化为 在 上有零点，根据 单调性并分类讨论即可得
解.
【详解】（1）函数 的定义域为 ， ．
令 ，得
①当 时， ， 在 上单调递减；
②当 时，列表如下：
0
极大
值
所以 在 上递增， 在 上递减；
③当 时，列表如下
0
极大值
所以 在 上递增， 在 上递.
综上，当 时， 在 上递减；当 时， 在 上递增， 在
上递减；当 时， 在 上递增， 在 上递减.
（2）当 时，设
函数 和 的图象在 有交点，
等价于函数 和 的图象在 上有交点，即函数 和 的图象在 上有交点，
等价于 的图象在 有零点，
的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
，由（1）知
当 时， 在 为增函数， 在 上有零点，则
或 ， ；
当 时， 在 递增，在 递减，
，
即 ，
综合得：实数 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于通过令 换元，转化为函数 和
的图象在 上有交点，再转化为 的图象在 有零点，通过转化即
可利用 的单调性求解
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．（参考数据： ）
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分 和 讨论单调性即可；
（2）先求出 的最小值，然后构造函数，根据导数求出最值来证明即可.【详解】（1）由题意得 ，
当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递减，
当 时，令 ，解得 ．
当 时， ，当 ， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
综合得：当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）由（1）可知，当 时， 的最小值为 ．
要证 成立，需 成立，
即证 ．
令 ，则 ．
令 ，得 （负值舍去）．
当 时， ；当 时， ．
因此 在 上单调递减，在 ，上单调递增．
所以当 时， 取得最小值， ，
故当 时，
题型三 函数单调性的应用
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解
集
命题点1 比较大小或解不等式
【例题3】（2024·四川成都·模拟预测）若函数 对任意的 都有 恒成立，
则 与 的大小关系正确的是（ ）A． B．
C． D．无法比较大小
【答案】C
【分析】构造函数 ，利用导数可得 在 上单调递减，从而得到
，进而得解.
【详解】令 ，则 ，
因为对任意的 都有 成立，
所以 ，即 在 上单调递减，又 ，
故 ，即 ，可得 .
故选：C.
【变式1】（2023·全国·模拟预测）比较 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，其中 ， ，其中 ，
，其中 ，利用导数分析各函数的单调性，由 的单调性可得出 、
的大小关系，由 的单调性可得出 、 的大小关系，由 的单调性可得出 、
的大小关系，综合可得出 、 、 的大小关系.
【详解】构造函数 ，其中 ，则 ，所以，函数 在 上为增函数，
所以， ，
所以， ，
令 ，其中 ，
则 对任意的 恒成立，
所以，函数 在 上为增函数，
所以， ，即 ，
令 ，其中 ，则 对任意的 恒成立，
所以，函数 在 上为增函数，则 ，则 ，
所以， ，
综上所述， .
故选：D.
【变式2】（23-24高三上·湖南衡阳·期末）已知函数 .
(1)证明：当 时， 对 恒成立.
(2)若存在 ，使得 ，比较 与 的大小，并说明理
由.
【答案】(1)证明见解析
(2) ，理由见解析
【分析】（1）构造函数 ，通过导函数判断单调性可得 ，进而利用放缩和导数证明 在 上为增函数即可；
（2）由 ，得 ，要证明 ，即证
，构造
，再利用导数证明即可.
【详解】（1）设函数 ，则 ，当 时， ，
所以 为增函数，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，当 时， ，
所以 ，所以 在 上为增函数，
故 ，即当 时， 对 恒成立.
（2） ，
证明如下：
不妨设 ，由 ，得 ，
要证明 ，只需证 ，
即证 ，
即证 ，
设函数 ，则 ，（方法一）设函数 ，则 .
当 时， ；当 时， ，
所以 ，所以 ，
由（1）可知 ，所以 ，所以 在 上单调递减，
又 ，所以 ，
则 ，
从而 得证.
（方法二）设函数 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
因为此连不等式的两个等号的取等条件不同，所以 ，
从而 ，所以 ，所以 在 上单调递减，
又 ，所以 ，
则 ，
从而 得证.
【点睛】研究双变量问题往往通过某等量关系得出两变量之间的关系式，将双变量问题转
化为单变量问题，再通过构造函数利用导数判断出函数单调性进行问题求解.
【变式3】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数 .(1)当 时，比较 与 的大小；
(2)若函数 ，且 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）构造 ，利用导数可得 ，即
；
（2）构造函数 ，从而推得 ，再利用导数得到 的单
调性，从而得到 ，进而将问题转化为证 ，再利用导数证得 ，由此
得证.
【详解】（1）设函数 ，
则 ，
当 时， ，
则 在 上单调递增，
所以 ，从而 ，即 ；
（2）设函数 ，
当 时， ， ，则 恒成立，则由 ，得 ，
又 ，所以 ,
因为 ，所以 ，
令 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ， ，所以 ,
要证 ，只需证 ，
即证 ．
因为 ，所以 ．
设函数 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，从而 得证．
【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中
数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用
命题点2 根据函数的单调性求参数
【例题4】（2023·全国·模拟预测）若对任意的 ， ，且 ，
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意易知 ，变形 可得 ，故构造函数
，根据函数单调性的定义可得函数 在 上单调递减，由 即
可得解.
【详解】对任意的 ， ，且 ， ，易知 ，
则 ，所以 ，
即 ．
令 ，则函数 在 上单调递减．
因为 ，由 ，可得 ，
所以函数 的单调递减区间为 ，
所以 ，故 ，
即实数 的取值范围为 ．故选：C
【变式1】（23-24高三上·广东汕头·期中）设 ，若函数 在
递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把函数 在 递增利用导数转化为 在 上恒成立，
利用指数函数单调性得 ，解对数不等式即可得解.
【详解】因为函数 在 递增，
所以 在 上恒成立，
则 ，即 在 上恒成立，
由函数 单调递增得 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 即 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：B
【变式2】（多选）（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 ，下列命
题正确的是（ ）
A．若 是函数 的极值点，则B．若 ，则 在 上的最小值为0
C．若 在 上单调递减，则
D．若 在 上恒成立，则
【答案】AB
【分析】根据 为函数的极值点可对A判断；由 可求得 即可对B判断；由
在 上单调递减等价于 在区间 上恒成立，即可对C判断；
由 在 上恒成立等价于 ，构造函数 ，
，再利用导数从而求出 ，即可对D判断．
【详解】对于A，由 ，得 ，因为 是函数 的
极值点，
所以 ，得 ，经检验 是函数 的极小值点，故A正确．
对于B，由选项A，由 ，得 ，可知 ，
则 ，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 递增，在 上递减，
所以当 时， 时， 取得最小值 ，故B正确．
对于C，因为 在 上单调递减，所以 ，即 ，
得 在 上恒成立，令 ，则 ，
所以 在 单调递增，所以 ，即 ，所以 ，故C不正
确．对于D，由 在 上恒成立，得 在 上
恒成立，
即 在 上恒成立，令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，所以 ，故D不正
确．
故选：AB
【变式3】（23-24高三上·山东青岛·期末）若函数 在 上单调递增，
则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分 与 两种情况，求导，然后参变分离，构造函数，求出最值，得到
答案.
【详解】 ，
当 时， ，
令 得 ，
令 ， ，
在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
又 ，所以 ，解得 ；
当 时， ，
令 得 ，令 ， ，
在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
其中 ，故 ，解得 ，
由于 ，即 在 处连续，
综上， .
故答案为：
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小
值为（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【分析】根据 在 上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知， 在 上恒成立，显然 ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
，故 ，即 ，即a的最小值为 ．
故选：C．
2．（23-24高三上·山西大同·阶段练习）设 在 上为增函数，则实数
取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】问题化为 在 上恒成立求参数范围.
【详解】由题意， 在 上恒成立，即 恒成立，
而 ，故 .
故选：D
3．（2024·云南楚雄·一模）若 ，则函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对比选项可知 ，由题意 ， （ ）是函数 的零
点， （ ）都是函数 的极值点，由此可以排除A，
C；进一步对 和0的大小关系分类讨论，得出函数在 处附件的增减变换情况即可.
【详解】对比各个选项可知 ，
由三次函数图象与性质可得 ， （ ）是函数 的零点，
令 ，可知 （ ）且 ， 都是函数 的极值点，由此
可以排除A，C；
若 ，则函数 的图象形状为增减增，
具体为 在 单调递增，在 单调递减，在 单
调递增，可知B符合；
若 ，则函数 的图象形状为减增减，
具体为 在 单调递减，在 单调递增，在 单
调递减，可知D不符合．
故选：B.
4．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ，若有且只
有两个整数 使得 ，且 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得 ，分 和 ，两种情况讨论，结合
的值，得出 ，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，其中 ，
若 时， ，则 在 上单调递增，且 ，
所以 有无数个整数解，不符合题意，
若 时，当 时， ；当 时， ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，所以 ，
所以 ，综上可得，实数 的取值范围为 .
故选：B.
5．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦函数和对数函数单调性，结合临界值 可比较出 大小关系；构造函
数 ，利用导数可得 单调性，得到 ，由此可得
大小关系，从而得到结果.
【详解】 ，又 ， ，即 ；
， ，即 ， ；
， 可令 ，
， 在 上单调递增，
，即 ， ；
综上所述： .
故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数单调性比较大小的问题，解题关键是能够根据数
字特征，采用构造函数的方式，将问题转化为函数单调性的求解问题.
二、多选题
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A．函数 是偶函数 B． 是曲线 的切线
C．存在正数 在 不单调 D．对任意实数 ，
【答案】CD
【分析】先求出导函数，再逐项分析.
【详解】 是奇函数， 是偶函数，因此 是奇函数，A错误；
因为 ，又 ，所以 在 处的切线是 ，即
，B错误；
令 ，得 ，当 时， ，当 时， ，因此
在 和 单调递增，当 时， ，在 单调递减，故当
时， 在区间 不单调，C正确；
因为 ，故对任意实数 ， ，D正确；
故选：CD.
7．（23-24高三上·江西宜春·期中）下列函数中，是奇函数且在区间 上是减函数的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据所给条件，逐一分析各选项中函数的奇偶性及其在区间 上的增减性即可.【详解】对于A，函数 的定义域为R，是增函数，A不对；
对于B，函数 的定义域为R，是奇函数，并且在 上单调递减，B对；
对于C，函数 的定义域为 ，是奇函数，并且在 上单调递减，
C对；
对于D，函数 的定义域为R，且 ，是奇函
数，对函数求导 ，
当 ，函数单调递减，即 ，解得 ，所以 递减
区间是 .D不对．
故选：BC
三、填空题
8．（2024·云南大理·模拟预测）函数 的最大值为 .
【答案】 /
【分析】分类讨论去解析式中的绝对值，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数
的最大值.
【详解】函数 ，定义域为 ，
当 时， ， ，
在 为减函数，此时 ；
当 时， ， ，当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
此时 ，
综上可知， .
故答案为： .
9．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若方程 有三个不同的
实根，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】通过求导得出函数的单调性和极值，即可得出有三个实根时实数 的取值范围.
【详解】由题意，
在 中， ，
当 时，解得 或 ，
当 即 时， 单调递减，
当 即 ， 时， 单调递增，
∵ ， ，
当 ，
方程 有三个不同的实根，
∴ 即 ，
故答案为： .【点睛】易错点点点睛：本题考查函数求导，两函数的交点问题，在研究函数的图象时很
容易忽略 这个条件.
四、解答题
10．（2024·江西南昌·一模）已知函数 .
(1)求 的单调递减区间；
(2)求 的最大值.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）求导得 ，令 可求 的单调递减区间；
（2）由（1）易判断 在 时单增， 在 时单减，进而求出
.
【详解】（1） ，令 ，得 ，即 ，
所以 的单调递减区间为 ；
（2）当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减，
所以 ，即 的最大值为 .
11．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若不等式 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）讨论 的正负，从而根据导数的正负判断函数的单调性即可；
（2）分离参数，然后将恒成立问题转化为函数最值问题即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
当 时， ，
故 恒成立，所以 ；
当 时，令 ，
解得 （舍去负根），
令 ，得 ，此时 单调递增；
令 ，得 ，此时 单调递减．
综上所述：当 时， 在 上单调递减;
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）由 恒成立，得 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立．
令 ，
则 ．
令 ，易知 在 上单调递减且 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，即 的取值范围为
综合提升练
一、单选题
1．（2023·贵州毕节·一模）给出下列命题：
①函数 恰有两个零点；
②若函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是 ；
③若函数 满足 ，则 ；
④若关于x的方程 有解，则实数m的取值范围是 .
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
【答案】D
【分析】对于①，由零点存在性定理得到 有1个零点，结合 ，①错误；
对于②，转化为导函数在 大于等于0，参变分离后进行求解；对于③，求出
，从而分组求和即可；对于④，先计算出 ，从而得到答案.
【详解】对于①， ，故 为函数的两个零点，
又当 时， 单调递增， 单调递减，故 在 上单调递增，且 ， ，
由零点存在性定理可知： ，使得 ，
故函数 零点个数多于2个，
故①错误；
对于②，由题意得 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
因为在 上， ，故 ，故实数a的取值范围是 ，②正确；
对于③，函数 满足 ，
令 ，则 ，解得 ，
则
，③正确；
由题意得 有解，其中 ，
故实数m的取值范围是 ，④错误.
故选：D
2．（2023·江西·模拟预测）已知函数 的大致图象如图所示，则
（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据图形，结合函数的单调性和极值点的概念以及韦达定理，计算即可求解.
【详解】由图可知，函数 有两个递增区间，一个递减区间，
所以函数 图象开口方向朝上，且于x轴有两个交点，
故 ；
又函数 的极大值点在y轴左侧，极小值点在y轴右侧，且极大值点离y轴较近，
所以方程 的两根 满足 ，
即 ，得 ，
因此 .
故选；B.
3．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递增，
则a的最小值为（ ）
A． B． C．e D．
【答案】A
【分析】 在 上恒成立，即 ，构造函数 ， ，求
导得到其单调性，得到 ，得到 ，求出答案.【详解】由题意得 在 上恒成立，
，故 ，
即 ，
令 ， ，
则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
故 ，
故 ，故a的最小值为 .
故选：A
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， 为 的导函数，
，则（ ）
A． 的极大值为 ，无极小值
B． 的极小值为 ，无极大值
C． 的极大值为 ，无极小值
D． 的极小值为 ，无极大值
【答案】C
【分析】本题考查利用导数判断函数的极值，考查考生的运算求解能力，可按下列顺序求
解：
的单调性 的极值情况【详解】 的定义域为 ， ，
所以 ，
求导得 ，令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，且当 时， 取
得极大值 ，无极小值．
故选：C．
5．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则它们之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，求导判断单调性即可得 大小，再构造
函数 ， ，根据两个函数过点 ，及两图象特点，在同一
坐标系画出两函数图象，即可得 大小，从而可得结论.
【详解】构造函数 ，则 （
，当 时取等号），
所以 在 上单调递减，所以 ，所以 ；
构造函数 ， ．易知点 都在函数 与 的图像上．
作出函数 与 的大致图像，如图：由图易得 ，所以 ．综上可知， ．
故选B．
6．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数 在区间 上单调递增，则 的可能取
值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】由 ，结合题意 在 上恒成立求范围，即可判断所能
取的值.
【详解】由题设 在区间 上单调递增，所以 恒成立，
所以 上 恒成立，即 恒成立，
而 在 上递增，故 .
所以A符合要求.
故选：A
7．（2024·全国·模拟预测）若 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合已知要比较函数值的结构特点，构造函数 ，利用导数研究函数单调性，通过函数单调性比较大小即可.
【详解】构造函数 ，则 ， ， ，
由 ，令 得 ，令 得 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减．
因为 ，所以 ，所以 ；
因为 ，所以 ，所以 ；
令 ，且 ，则 ，
令 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，所以 ，所以 ，
因为 ，且 ，所以 ，所以 .
故选：B
8．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数 有两个大于1的零点，则 的取
值范围可以是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】由函数 有两个大于1的零点，得 在 不单调，然后利用导数研究
函数 的单调性即可求解.
【详解】因为函数 有两个大于1的零点，所以 在 不单调.
由 得 ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，不符合题意；
当 时，显然 在 上单调递增，而 ，
当 时，当 时， ，所以 在 上单调递增，不符合
题意，此时可排除ABC；
当 时，因为 ，
所以存在 ，使得 ，即 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 在 处取得极小值，也是最小值.
而 ，当 趋向正无穷时， 趋向正无穷，
所以当函数 有两个大于1的零点时，只要 即可，
，
设 ，则 ，所以 单调递增；设 ，则 ，当 时， ， 单调递减；
对于D，当 时，由 知 ，
当 时， ，所以 ，满足题意；
故选：D.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结
合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
二、多选题
9．（22-23高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数 ，则（ ）
A．函数的极大值点为 B．函数的极小值点为
C．函数在 上单调递增 D．函数在 上单调递减
【答案】AD
【分析】先求出函数的导数，然后由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的
极值.
【详解】定义域为
由 ，得
，当 或 时， ，当 或 时， ，
所以函数在 和 上递增，在 和 上递减，
所以当 为极大值点， 为极小值点，
所以AD正确，BC错误，
故选：AD
10．（2023·云南昆明·模拟预测）已知函数 ，其中 ，下列选项中，
能使函数 有且仅有一个零点的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】ABD
【分析】由题意可得 ，问题转化为函数 的图象与直线 有且只有
一个交点.利用导数，分类讨论函数 的单调性.结合选项，分析函数 的性质即可求
解.
【详解】由 ，得 ，设 ，
将问题转化为函数 的图象与直线 有且只有一个交点，
，当 时 ， 在R上单调递增，
当 时， 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，所以函数 极大值为 ，极小值为 ，
若 ，则 在R上单调递增，其图象与直线 有且只有一个交点，故A正确；
若 ，则 在R上单调递增，其图象与直线 有且只有一个交点，故B正确；
若 ，则函数 的极大值为 ，极小值为 ，如图，
由图可知，函数 图象与直线 有2个交点，故C错误；
若 ，函数 的极大值为 ，极小值为 ，
所以函数 图象与直线 有且只有1个交点，故D正确.
故选：ABD．
11．（2023·山东泰安·一模）已知函数 有两个极值点 ，
，则（ ）
A． B． C． D． ，
【答案】ACD
【分析】求出 ，根据已知得 有两个变号零点，令 ，求出 ，
分类讨论根据其正负得出 单调性，令其满足有两个变号零点，当 时，不满足题意，当 时，则 ，即可解出 的范围，判断A；
根据已知可得 有两个变号零点 ， ，而函数 在 上单调递增，
在 上单调递减，则 ，即可判断B；
，则 ，根据不等式的性质即可得出 范围，判断C；
根据 得出函数 单调性，结合 ，且 ，列不等式，即可判断D.
【详解】对于A： ，定义域 ，
，
函数 有两个极值点 ， ，
则 有两个变号零点，
设 ，
则 ，
当 时， ，则函数 单调递增，则函数 最多只有一个变号零点，不
符合题意，故舍去；
当 时， 时， ， 时， ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
若 有两个变号零点，则 ，解得： ，
此时 由正趋向于 时， 趋向于 ， 趋向于 时， 趋向于 ，则 有两个变号零点，满足题意，
故 的范围为： ，故A正确；
对于B：函数 有两个极值点 ， ，
即 有两个变号零点 ， ，
则 ，故B错误；
对于C：当 时， ，
则 ，即 ， ，
则 ，故C正确；
对于D： 有两个变号零点 ， ，且函数 先增后减，
则函数 在 与 上单调递减，在 上单调递增，
，且 ，
，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常转化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形
结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理；
再利用导数研究函数单调性、极值或最值时，如果一次求导无法求解，可考虑多次求导来
进行求解，求解过程要注意原函数和对于的导函数的关系，不能混淆.
三、填空题
12．（2024·四川成都·三模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时，，则当 时， 的单调递增区间为 ．
【答案】
【分析】利用导数求当 时 的单调递增区间，再根据奇函数的对称性求得结果.
【详解】当 时， ,
由 ，解得 ，所以 在区间 上单调递增，
因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以函数 图象关于原点对称，
所以 在区间 上单调递增.
故答案为： .
13．（2023·湖南·模拟预测）已知函数 ，对于任意 ，都有
，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】换元，求导，利用导数研究函数的单调性，把 转化为
，利用函数最值建立不等关系求解即可.
【详解】当 时， ，符合题意；
当 时，令 ，则 ，
可化为 ，
令 ，则 ，时， 单调递减， 时， 单调递增，
所以 的最小值为 ，
对于任意 ，都有 ，
等价于 ，即 ，
对于①：由 在 上单调递增，且 ，
可知 ，即 且 ，
在 且 的条件下，对②：由 时， 单调递减，
可得 ，②成立，
综上可知：实数 的取值范围为 .
故答案为：
14．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数 恰有两个零
点，则 .
【答案】
【分析】利用导数，求出 的单调区间，由函数 恰有两个零点即函数 与x轴
有两个不同的交点，从而建立等量关系求解可得.
【详解】因为 ，
所以
令 ，则 ，令 ，
故当 时 ，函数 为增函数，当 时 ，函数 为减函数，
即当 时函数 有最小值 ，
若 ，即 时 ，此时函数 在R上为增函数，与题意不符，
且当 时， 的零点为1；
若 ，即 时，此时函数 与x轴有两个不同交点，
设交点为 ，且 ，即 ，
所以当 或 时 ，即 ，此时函数 为增函数，
当 时 ，即 ，此时函数 为减函数，
依题意，函数 恰有两个零点即函数 与x轴有两个不同的交点，即 或
，
所以 或 ，
所以 ，所以 ，
故答案为： .
【点睛】根据函数零点个数求解参数范围的问题的一般方法：
设
方法一：转化为函数 与x轴交点个数问题，通过求解 单调性构造不等式求解；
方法二：转化为函数 的交点个数问题求解.四、解答题
15．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 ， 时，求 的单调区间；
(2)若函数 在 处取得极值 ，求曲线 在点 处的切线方程．
【答案】(1) 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）代入 ， ，根据导数求单调区间即可；
（2）根据极值点处导数为0，以及导数的几何意义求解即可.
【详解】（1）当 ， 时， ．定义域为 ．
则 ．
令 ，则 ， ，所以，当 或 时， ；
当 时， ．
因此， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ．
（2）依题意知 的定义域为 ，对 求导，得 ．
由已知得 解得 ，
所以 ．
可知 在 上单调递增，在 上单调递减，满足 在 处取得极值，
．
切点 为 ， ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，整理可得 .
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的正负，判断导数的正负，即可求得答案；
（2）由（1）可得函数的最小值，要证明 ，及证
；方法一，构造函数 ，利用导数
求其最小值，说明大于等于0即可；方法二，利用 进行放缩，证明
即可.
【详解】（1） 的定义域为 ， ．
若 ，则 ， 在 上单调递减：
若 ，则由 得 ，当 时， ；当 时， ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增；
故当 时， 在 上单调递减：
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）方法1，当 时，由（1）知，当 时， 取得最小值．
所以 ，从而 ．
设 ，则 ．
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故当 时． ，故当 时， ，即 ；
方法2：当 时，由（1）知，当 时， 取得最小值，
所以 ，从而 ，
令 ， ，
当 时， ；当 时， ；
故 ，当 等号成立；
所以，当 时， ，
即 .
17．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导得 ，再分 和 两种情况讨论即可．
（2）由（1）知 ，从而 ，即证明 ，
再构造新函数 ，利用导数得证．
【详解】（1） ，
当 在 上恒成立，故 在 上单调递增；
当 时，令 得 ；
令 得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减．（2）证明：由（1）知，当 时， ，
所以 ．
令 ，
则 ．
令 ，
则 ．
因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增．
又 ，所以 ，
所以 在 上单调递减．
因为 ，所以 ，
所以 ，
即当 时， ．
18．（2024·青海·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有3个不同的零点，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，分 与1的大小关系讨论即可；（2）分别讨论 与 的大小时，利用导数求出函数的极值，再求 有3个零点时极值
的范围即可求出结果.
【详解】（1） ，
令 ，解得 或 ，
①当 ，即 时，
由 得 或 ；由 得 ，
所以 在 和 上单调递增；在 上单调递减；
②当 ，即 时，
恒成立，所以 在 上单调递增；
③当 ，即 时，
由 得 或 ；由 得 ，
所以 在 和 上单调递增；在 上单调递减；
综上，
当 时， 在 和 上单调递增；在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增；在 上单调递减.
（2）因为 有3个零点，所以 ，
当 时，极大值 ；极小值 ，
所以 ，解得 且 ，
当 时，极大值 ；极小值 ，所以 ，解得 ，
综上， 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：
（1）带参数的单调性讨论问题可按照如下步骤求解：求导，讨论方程的性质，根的个数，
根的大小，根与给定区间的关系；
（2）已知方程根的个数求参数时，可求导分析极值，利用极值范围求解.
19．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，其中 为自然对数的底数．
(1)若 在区间 上不是单调函数，求 的取值范围．
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）首先对原函数求导，方法一：通过讨论a的范围得到函数的单调区间，只需
要极值点在区间 内即可求出a的范围；方法二：求出函数恒单调时a的取值范围，取
其补集即可；
（2）原不等式整理后可得 在 上恒成立，构造新函数
， ，通过二次求导结合分类讨论思想即可得到答案.
【详解】（1）方法一 由 ，得 ．
若 ，则 恒成立， 为增函数，不符合题意．
若 ，令 ，得 ，令 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 在区间 上不是单调函数，所以 ，
所以 ，所以 ．
方法二 由 ，得 ．
若 在区间 上是单调函数，
则 或 在 上恒成立．
若 在 上恒成立，则 在 上恒成立，所以 ．
若 在 上恒成立，则 在 上恒成立，所以 ．
所以若 在区间 上不是单调函数，则 ．
（2）当 时， ，即 ，
整理得 在 上恒成立．
令 ， ，则 ．
令 ，则 ．
因为 ，所以 ，所以 在 上为增函数，
所以 在 上为增函数．
所以 ．
所以 ．
当 ，即 时， 恒成立，所以 在 上为增函数，所以 ，即 恒成立．
当 ，即 时，因为 在 上单调递增，所以 ，使得
．
即当 时， ，当 时， ．
又因为 ，所以 在 上不恒成立．
综上可知， 的取值范围是 ．
【点睛】第二问转化为 在 上恒成立，其实只要注意到
，必有 成立，可以得到 这个必要条件，然后再论证 是满足题
意也是可行的
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）下列函数是奇函数且在 上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数奇偶性定义可排除A，利用特殊值法可排除B，利用导数求函数单调性可
排除C，根据函数奇偶性定义及复合函数单调性可得结果.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，
即 为非奇非偶函数，故排除A．
对于B，因为 ， ，所以 ，所以 在 上不是单调递减的，故排除B．
对于C，对 求导，得 ．令 ，解得 ．
令 ，解得 或 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故排除C．
对于D，易得 的定义域为 ，
且
，所以 为奇函数．
令 ，则 ．易知 在 上单调递增，
在 上单调递减．由复合函数的单调性，得
在 上单调递减．
故选：D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 且 在区间
上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对数函数的单调性与底数有关，分 和 两种情况讨论，此外还要注意对
数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性
结合题干中“在区间 上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得 的取值范围.
【详解】设函数 ，则 ．
①若 ，则 在定义域上单调递减．
又 在区间 上单调递减，所以 在区间 上单调
递增，故 对任意的 恒成立．
又 ，所以对任意的 显然成立．
又因为 对任意 恒成立，所以 0，故 ．
②若 ，则 在定义域上单调递增．
又 在区间 上单调递减，所以 在区间 上单调
递减，故 对任意的 恒成立．
因为抛物线 的开口向上，所以 不可能对任意的 恒成立．
所以 的取值范围为 ．
故选：A．
3．（2024·甘肃兰州·三模）函数 ，若 在 是减函数，则
实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求导，导函数小于等于0恒成立，分离参数求新函数最值即可求解．
【详解】函数 ，若函数在区间 上是减函数，则 在 恒成立，
即 在 恒成立，
由对勾函数性质可知 在 单调递减，故 ，所以 .
故选：C.
4．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数利用导数证明得当 时，有 ，从而可证得
，同理当 时，有 ，从而
，另一方面注意到 ，
由此即可得解.
【详解】设 ，则 ，
所以 在 单调递增，所以 ，即当 时，有 ，
所以 ．同理可得 ，
所以 ，即 ．
设 ，则 0，
所以 在 单调递增，所以 ，即当 时，有 ，所以 ．
又因为 ，所以 ．
综上可知， ．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：在比较 的大小关系时，关键是找到适当的中间值，然后通过适
当的放缩比较大小即可顺利得解.
二、多选题
5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 为 上的单调函数，则
B．若 时， 在 上有最小值，无最大值
C．若 为奇函数，则
D．当 时， 在 处的切线方程为
【答案】BCD
【分析】A选项利用导数恒正或恒负可解得；B选项求导，判断单调区间和单调性得出极值；
C选项利用奇函数的性质求出；D选项利用导数的意义结合点斜式求出.
【详解】A：若 为 上的单调函数，则 ， ，则
，故A错；
B：当 时， ，令 ，得 ，
，则 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 处取最
小值，无最大值，故B对；
C：由于 ，则 为奇函数时，，故C对；
D：当 时， ， ，则 ，切点为 ，切线方程为
，故D对；
故选：BCD．
6．（2024·云南曲靖·一模）下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用函数 的单调性可判断A选项；利用函数 的单调
性可判断B选项；利用函数 在 上的单调性可判断C选项；利用函数
在 上的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，令 ，则 ，
当 时， ，则函数 在 上单调递减，
因为 ，则 ，即 ，即 ，即 ，
所以， ，A对；
对于B选项，令 ，则 ，
当 时， ，即函数 在 上为增函数，
所以， ，即 ，B对；对于C选项，令 ，其中 ，
则 对任意的 恒成立，
所以，函数 在 上为增函数，因为 ，则 ，
所以， ，C对；
对于D选项，令 ，其中 ，则 ，
令 ，
由C选项可知， 对任意的 恒成立，
所以，函数 在 上单调递增，则 ，
则函数 在 上单调递增，
因为 ，则 ，即 ，
又因为 ，即 ，D错.
故选：ABC.
【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：
（1）判断各个数值所在的区间；
（2）利用函数的单调性直接解答.
数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.
三、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，且 ，则a，b，
c的大小关系为 ．（用“ ”连接）
【答案】
【分析】由已知条件得到 ， ，令 ，利用导数法得到 ，从而 ， ，再设 ，由 的单调性判断即可.
【详解】∵ ， ， ，且实数a，b，c满足 ，
∴ ， ，∴ ， ．
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，
即 ，∴ ，∴ ．
设 ，则 ， ，
∴ 在 上单调递减，
∴ ．综上， ．
故答案为：
8．（2023·安徽·二模）若不等式 对 恒成立，则实数a的取值
范围为 ．
【答案】
【分析】用构造法解决含参不等式的恒成立问题，求解实数a的取值范围.
【详解】设 ，则 ．当 时， 恒成立，
则函数 在 上单调递增，
，不合题意，舍去；
当 时，由 得 ．
当 时， ，当 时， ，则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
，令 ，易得 在 上单调递减，
，则 的解集为 ，即实数a的取值范围是 ．
故答案为： .
四、解答题
9．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数 ，当 时， 取得极
值 ．
(1)求 的解析式；
(2)求 在区间 上的最值．
【答案】(1)
(2) 的最小值为 ，最大值为 .
【分析】（1）利用极值定义可求得 ，可得解析式；
（2）利用导函数判断出函数 在区间 上的单调性，比较端点处的值可得结论.
【详解】（1）依题意可得 ，
又当 时， 取得极值 ，所以 ，即 ；
解得 ；
所以 ；
（2）由（1）可知 ，令 ，可得 或 ，
当 变化时， 的变化情况如下表所示：
单调递
单调递增 单调递增
减
因此，在区间 上， 的最小值为 ，最大值为 .
10．（2024·陕西西安·三模）已知函数 ，函数
在区间 上为增函数．
(1)确定 的值，求 时曲线 在点 处的切线方程；
(2)设函数 在 上是单调函数，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ， ；
(2) 或 ./
【分析】（1）求出函数 的导数，利用给定单调性列出不等式求出 ；求出 的导数，
利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）由（1）求出函数 的解析式，利用导数结合单调性求出 的范围.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，求导得
，
由函数 在 上为增函数，得 ，由 ，得 ，
因此 对 恒成立，而 恒成立，则 ，因此 ，所以 ；
当 时， ，求导得 ，则 ，而 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）由（1）知，函数 ，
求导得 ，由函数 在 上是单调函数，
得 ， 或 恒成立，
即 或 对 恒成立，而当 时，恒有 ，
且 ，当且仅当 时取等号，因此 或 ，
所以实数 的取值范围 或 .
【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
①若函数 在区间 上单调递增，则 在区间 上恒成立；
②若函数 在区间 上单调递减，则 在区间 上恒成立；
③若函数 在区间 上不单调，则 在区间 上存在极值点；
④若函数 在区间 上存在单调递增区间，则 ，使得 成立；
⑤若函数 在区间 上存在单调递减区间，则 ，使得 成立.
11．（2024·辽宁丹东·一模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，数列 满足 ，
①求证： ；②求证： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）根据题意，求得 ，分 和 ，两种情况讨论，即可求解；
（2）①令 ，可得 ，由（1）得到函数 在 的单
调性，证得 ，得到 ，即 ，进而证得结论；
②根据题意，求得 ，进而得到 ，结合对数的
运算性质，求得 ，即可得证.
【详解】（1）解：由函数 ，可得其定义域为 ，且
，
当 时， ，可得 在 上单调递增；
当 时，令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）证明：①当 时， ，
令 ，可得由（1）知，当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
又由函数 在 为单调递增函数，
因为 ，则 ，
所以 ，即 ，所以 .
②因为 ，且 ，可得
当 时， ， ， ，
，所以 ，所以 ，
所以当 时， ，
所以 ，
则 ，
所以 ，所以 .
【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
