文档内容
考点 25 简单的三角恒等变换（3 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进
行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
【知识点】
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S ：sin 2α＝ .
2α
(2)公式C ：cos 2α＝ ＝ ＝ .
2α
(3)公式T ：tan 2α＝ .
2α
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝ ，1＋cos α＝ .(升幂公式)
(2)1±sin α＝ .(升幂公式)
(3)sin2α＝ ，cos2α＝ ，tan2α＝ .(降幂公式)
【核心题型】
题型一 三角函数式的化简
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找
式子和三角函数公式之间的联系点．
【例题1】（2024·河北承德·二模）函数 的图象的对称
轴方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023·广东珠海·模拟预测） ．【变式2】（2023·河北·一模）函数 的最小值为 .
【变式3】（2024·吉林长春·模拟预测）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，已知该三角形的面积 ．
(1)求角 的大小；
(2)线段 上一点 满足 ， ，求 的长度．
题型二 三角函数式的求值
(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间
的联系寻找转化方法．
(2)给值(角)求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
命题点1 给角求值
【例题2】（20-21高三·江苏南京·阶段练习）设 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022·广东汕头·二模）若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高三上·安徽·期中） ．
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图像关于直线 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为 ．
(1)求 和 的值；
(2)若 ，求 的值．
命题点2 给值求值
【例题3】（2024·四川眉山·三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·陕西铜川·三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知 为锐角，满足
，则 ，
．
【变式3】（23-24高三下·江西赣州·期中）已知函数 （ ， ，
），函数 和它的导函数 的图象如图所示.(1)求函数 的解析式；
(2)已知 ，求 的值.
命题点3 给值求角
【例题4】（2024·江西九江·二模）已知 ， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的正半轴重合，
点 在角 的终边上，则 （ ）A． B． C． D．
【变式2】（2024·海南海口·模拟预测）已知 ，写出符
合条件的一个角 的值为 .
【变式3】（2024·北京平谷·模拟预测）已知函数 ，其中
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使 存在，
并完成下列两个问题．
(1)求 的值；
(2)若 ，函数 在区间 上最小值为 ，求实数 的取值范围．
条件①：对任意的 ，都有 成立；
条件②： ；
条件③： ．
题型三 三角恒等变换的综合应用
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公
式的逆用和变形使用．
(2)形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
【例题5】（2024·贵州贵阳·二模）已知 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ，
若 ，则直线 与 的图象的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2】（2024·山西晋城·二模）已知 ， ，则
．
【变式3】（2024·天津红桥·二模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
已知 ， ，且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·河南三门峡·模拟预测）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东·二模）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）．
A．函数 的最大值是
B．函数 在 上单调递增
C．该函数的最小正周期是
D．该函数向左平移 个单位后图象关于原点对称
3．（2023·重庆·模拟预测）式子 化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·贵州毕节·一模）已知函数 的零点
从小到大分别为 .若 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
二、多选题
5．（2024·江西赣州·二模）已知函数，则（ ）
A．若 相邻两条对称轴的距离为 ，则
B．当 的最小正周期为 ， 时，
C．当 时， 的图象向右平移 个单位长度得到函数解析式为
D．若 在区间 上有且仅有两个零点，则
6．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）下列代数式的值为 的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知 ， ，则
.
8．（2024·辽宁·二模）已知 ，则 ．
9．（2023·贵州六盘水·模拟预测）设 ， ，且 ，
则 .
四、解答题
10．（2024·天津·一模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，， .
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
11．（2023·广东·模拟预测）已知函数 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 且 ，求 的周长.
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·重庆·模拟预测） 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江西南昌·二模）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．3．（23-24高三上·河北廊坊·期中）设 ，且 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知 为锐角， ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·辽宁·二模）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·安徽合肥·二模）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．则 面积的最大值为（ ）A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·浙江金华·三模）已知函数 的
部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 在区间 的最小值为
10．（2024·安徽合肥·二模）已知函数 ，则（ ）
A．函数 在 上单调递减
B．函数 为奇函数
C．当 时，函数 恰有两个零点
D．设数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，则
11．（2024·全国·模拟预测）在单位圆 上任取一点 ，圆O与x轴正半轴
的交点是A，设将 绕原点O旋转到 所成的角为 ，记x，y关于 的表达式分别为
，则下列说法中正确的是（ ）A． 是偶函数， 是奇函数
B． 对于 恒成立
C．设 ，若 在 上有且仅有3个极值点，则
D．函数 的最大值为
三、填空题
12．（2024·江西·模拟预测）已知 ， ，则
.
13．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在区间 内恰
有2个极值点和3个零点，则 的取值范围是 ．
14．（2024·上海嘉定·二模）已知 ， ，则函数 的最小
值为 ．
四、解答题
15．（2023·安徽合肥·模拟预测）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已
知 .
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的值.16．（2023·天津津南·模拟预测）在 中， .
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
17．（2023·江苏徐州·模拟预测）在 中， ．
(1)若 ，求 ；
(2)设 是 边上一点，若 ， ，求 ．
18．（2024·云南·二模） 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B是 与 的等
差中项.
(1)若 ，判断 的形状;
(2)若 是锐角三角形，求 的取值范围.19．（2024·全国·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 .已知
．
(1)求 ；
(2)若 为 的中点，且 ，求 ．
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·安徽池州·二模）已知 ，则 （ ）
A．7 B．-7 C． D．
2．（2023·山东·模拟预测）若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江苏无锡·三模）已知 ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．4．（2024·全国·模拟预测）在锐角 中，若 ，且
，则 能取到的值有（ ）
A．5 B．4 C． D．3
二、多选题
5．（2024·浙江·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．关于点 中心对称
C．最大值为 D．在区间 上单调递减
6．（2024·湖南·二模）在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，
则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若 ，则 为直角三角形
C．若 为锐角三角形， 的最小值为1
D．若 为锐角三角形，则 的取值范围为
三、填空题
7．（2024·广西南宁·一模）已知 ，则
．
8．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知 ，则 ．
9．（2024·山西晋中·三模）已知函数 的最大值为，则满足条件 的整数 的个数为 ．
四、解答题
10．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）计算求值：
(1) ；
(2)已知 ， 均为锐角， ， ，求 的值．
11．（2024·海南海口·二模）已知函数 ，等差数列 的前 项和为 ，
记 .
(1)求证： 的图象关于点 中心对称；
(2)若 ， ， 是某三角形的三个内角，求 的取值范围；
(3)若 ，求证： .反之是否成立?并请说明理由.
