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专题 18 数轴上的动点专题（解析版）
第一部分 教学案
类型一 数轴上的和差倍分问题
例1 （2020秋•京山市期中）已知数轴上有A、B两个点对应的数分别是a、b，且满足|a+3|+
（b﹣9）2＝0；
（1）求a、b的值；
（2）点M是数轴上A、B之间的一个点，使得MA＝2MB，求出点M所对应的数；
（3）点P，点Q为数轴上的两个动点，点P从A点以3个单位长度每秒的速度向右运
动，点Q同时从B点以2个单位长度每秒的速度向左运动，设运动时间为 t秒，若
AP+BQ＝2PQ，求时间t的值．
思路引领：（1）先根据非负数的性质求出a，b的值即可；
（2）先根据两点间的距离公式可求AB，再根据题意即可得出结论；
（3）先用t表示出AP，BQ及PQ的值，再根据AP+BQ＝2PQ列出关于t的方程，求出
t的值即可．
解：（1）∵|a+3|+（b﹣9）2＝0，
∴a+3＝0，b﹣9＝0，解得a＝﹣3，b＝9；
（2）AB＝9﹣（﹣3）＝12，
∵MA＝2MB，
2
∴点M所对应的数是﹣3+12× =5；
3
（3）∵点P从A点以每秒3个单位的速度向右运动，点Q同时从B点出发以每秒2个
单位的速度向左运动，
∴AP＝3t，BQ＝2t，PQ＝12﹣5t．
∵AP+BQ＝2PQ，
8
∴3t+2t＝24﹣10t，解得t= ；
5
还有一种情况，当P运动到Q的右边时，PQ＝5t﹣12，方程变为3t+2t＝2（5t﹣12），
24
解得t= ．
5
8 24
故时间t的值为 或 ．
5 5
总结提升：本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
变式训练
1．（2020秋•包河区期末）点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+5|+（b﹣3）2＝0．
（1）求点A，B所表示的数；
（2）点P在直线AB上点B右边一点，且AP＝bPB，点Q为PB的中点，求线段AQ的
长．
思路引领：（1）根据a、b满足|a+5|+（b﹣3）2＝0，即可得到a、b的值，从而可以得
到点A，B所表示的数；
（2）设点P表示的数为m，先根据中点的定义表示点Q，根据数轴上两点的距离表示
AP＝bPB，列方程可得结论．
解：（1）∵|a+5|+（b﹣3）2＝0，
∴a+5＝0，b﹣3＝0，
解得a＝﹣5，b＝3，
即点A，B所表示的数分别为﹣5，3；
（2）设点P表示的数为m，
∵点P在直线AB上点B右边一点，
∴m＞3，
∵点Q为PB的中点，
m+3
∴点Q表示的数为 ，
2
∵AP＝bPB，
∴m+5＝b（m﹣3），
∵b＝3，
∴m＝7，
m+3 7+3
∴AQ＝AB+BQ= +5= +5＝10．
2 2
总结提升：本题考查一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴，解答本题的关键是明
确题意，利用数轴上两点的距离表示线段的长．
类型二 数轴上的两点间的距离问题
例2（2020秋•铁西区校级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1，3，点P为数
轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的
值．若不存在，请说明理由？
（3）当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位
长度向左运动，点B以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P
点到点A、点B的距离相等？思路引领：（1）根据点P到点A、点B的距离相等，结合数轴可得答案；
（2）此题要分两种情况：①当P在AB左侧时，②当P在AB右侧时，然后再列出方
程求解即可；
（3）点P、点A、点B同时向左运动，点B的运动速度最快，点P的运动速度最慢．故
P点总位于A点右侧，B可能追上并超过A．P到A、B的距离相等，应分两种情况讨论．
解：（1）如图，若点P到点A、点B的距离相等，P为AB的中点，BP＝PA．
依题意得3﹣x＝x﹣（﹣1），
解得x＝1；
（2）由AB＝4，若存在点P到点A、点B的距离之和为5，P不可能在线段AB上，只
能在A点左侧，或B点右侧．
①P在点A左侧，PA＝﹣1﹣x，PB＝3﹣x，
依题意得（﹣1﹣x）+（3﹣x）＝5，
解得 x＝﹣1.5；
②P在点B右侧，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝x﹣3，
依题意得（x+1）+（x﹣3）＝5，
解得x＝3.5；
（3）设运动t分钟，此时P对应的数为﹣t，B对应的数为3﹣20t，A对应的数为﹣1﹣
5t．
①B未追上A时，PA＝PB，则P为AB中点．B在P的右侧，A在P的左侧．
PA＝﹣t﹣（﹣1﹣5t）＝1+4t，PB＝3﹣20t﹣（﹣t）＝3﹣19t，
依题意有1+4t＝3﹣19t，
2
解得 t= ；
23
②B追上A时，A、B重合，此时PA＝PB．A、B表示同一个数．
依题意有﹣1﹣5t＝3﹣20t，
4
解得t= ．
15
2 4
即运动 或 分钟时，P到A、B的距离相等．
23 15
总结提升：此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出
两点之间的距离，利用数形结合法列出方程．
变式训练
1．（2022秋•上杭县期中）已知M、N在数轴上，M对应的数是﹣3，点N在M的右边，
且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点．
（1）直接写出点N所对应的数： ；（2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，点P对应的数是多少？
（3）如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，
先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q
对应的数各是多少？
思路引领：（1）根据向右就做加法，列式求解；
（2）根据两点间的距离公式列方程求解；
（3）设P点运动时间为t，列方程求出t的值，再求P，Q对应的数．
解：（1）﹣3+4＝1，
故答案为：1；
（2）设P点表示的数为x，则|x+3|+|x﹣1|＝5，
解得：x＝﹣3.5或x＝1.5；
（3）设P点运动的时间为t秒，则Q运动的时间为（t﹣5）秒，
由题意得：|（﹣3﹣2t）﹣[1﹣3（t﹣5）]|＝2，
解得：t＝17或t＝21，
当t＝17时，P表示的数为：﹣3﹣34＝﹣37，Q表示的数为：1﹣36＝﹣35，
当t＝21时，P表示的数为：﹣3﹣42＝﹣45，Q表示的数为：1﹣48＝﹣47．
总结提升：本题考查了数轴，方程思想和分类讨论思想是解题的关键．
类型三 数轴上的行程问题
例3（2020秋•香河县期末）数轴上A点对应的数为﹣5，B点在A点右边，电子蚂蚁甲、
乙在B分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度向左运动，电子蚂蚁丙在 A以3个单
位/秒的速度向右运动．
（1）若电子蚂蚁丙经过5秒运动到C点，求C点表示的数；
（2）若它们同时出发，若丙在遇到甲后1秒遇到乙，求B点表示的数；
（3）在（2）的条件下，设它们同时出发的时间为t秒，是否存在t的值，使丙到乙的
距离是丙到甲的距离的2倍？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．
思路引领：（1）根据电子蚂蚁丙运动速度与时间来计算相关线段的长度；
（2）设B表示的数为x，则B到A的距离为|x+5|，点B在点A的右边，故|x+5|＝x+5，
根据时间差为1秒列出方程并解答；
（3）分相遇前和相遇后两种情况进行解答．
解：（1）由题知：
C：﹣5+3×5＝10 即C点表示的数为10；（2）设B表示的数为x，则B到A的距离为|x+5|，点B在点A的右边，故|x+5|＝x+5，
x+5 x+5
由题得： - = 1，
3+1 3+2
即x＝15；
10
（3）①在电子蚂蚁丙与甲相遇前，2（20﹣3t﹣2t）＝20﹣3t﹣t，此时t= （s）；
3
30
②在电子蚂蚁丙与甲相遇后，2×（3t+2t﹣20）＝20﹣3t﹣t，此时t= （s）；
7
10 30
综上所述，当t= s或t= s时，使丙到乙的距离是丙到甲的距离的2倍．
3 7
总结提升：此题考查一元一次方程的运用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直
观解决问题即可．
针对训练
1．（2014秋•拱墅区校级期末）如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AC＝2AB，点A对
应的数是400．
（1）若AB＝600，求点C到原点的距离；
（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从C、A同时出发，其中P、Q向右运动，R向
左运动如图2，已知点Q的速度是点R速度2倍少5个单位长度/秒，点P的速度是点R
的速度的3倍，经过20秒，点P、Q之间的距离与点Q、R的距离相等，求动点Q的速
度．
思路引领：（1）根据AB＝600，AC＝2AB，得出AC＝1200，利用点A对应的数是
400，即可得出点C对应的数；
（2）假设点R速度为x单位长度/秒，根据点P、Q之间的距离与点Q、R的距离相等，
得出等式方程求出即可．
解：（1）∵AB＝600，AC＝2AB，
∴AC＝1200，
∵A点对应400，
∴C点对应的数为：400﹣1200＝﹣800，即点C到原点的距离为800；
（2）设点R速度为x单位长度/秒，依题意有
20（3x﹣5）＝1200﹣20[3x﹣（2x﹣5）]，
解得x＝15，
2x﹣5＝2×15﹣5＝25．
或20（3x﹣5）＝20[3x﹣（2x﹣5）]﹣1200，
解得x＝﹣25（舍去）．答：动点Q的速度为25单位长度/秒．
总结提升：此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的等量关系是解
题关键，此题阅读量较大应细心分析．
类型四 数轴上的动点定值问题
例4（2020秋•双流区校级期中）如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB＝120，点A对
应的数是80．
1
（1）若AB= AC，求点C在数轴上对应的数；
2
（2）如图2，在（1）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点
R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2
倍少10个单位长度/秒，经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求
动点Q的速度；
（3）如图3，在（1）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向
左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为10个单位长度/秒、
2个单位长度/秒、4个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N
PR+OT
为线段OR的中点，请问 的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；
MN
若变化，请说明理由．若其它条件不变，将R的速度改为5个单位长度/秒，求10秒后
PR+OT
的值．
MN
思路引领：（1）由题意可知，点A在点B的右侧，点C在点B的左侧，先确定点B表
示的数为﹣40，再求出点C表示的数；
（2）设点R的速度为x单位长度/秒，则点P的速度为3x单位长度/秒，点Q的速度为
（2x﹣10）单位长度/秒，根据题意列方程求出x的值，再求点Q的速度；
（3）设运动的时间为t秒，用含t的代数式分别表示出点P、点T和点R对应的数，再
根据线段中点的意义求出点M和点N对应的数，然后用含t的代数式表示线段PR、OT
和MN的长，即可求得结果．
解：根据题意可知，点A在点B的右侧，点C在点B的左侧，
因为点A对应的数是80，AB＝120，
所以80﹣120＝﹣40，
所以点B表示的数是﹣40．
1
（1）若AB= AC，则AC＝2AB＝2×120＝240，
2
所以80﹣240＝﹣160，
所以点C表示的数是﹣160．（2）设点R的速度为x单位长度/秒，则点P的速度为3x单位长度/秒，点Q的速度为
（2x﹣10）单位长度/秒，
由经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等可知，此时点P与点R重
合，
根据题意得5×3x+5x＝240，
解得x＝12，
所以2×12﹣10＝14（单位长度/秒），
所以点Q的速度为14单位长度/秒．
（3）设运动的时间为t秒，
根据题意可知，点P表示的数为﹣160﹣10t，点T表示的数为﹣2t，点R表示的数为
80+4t，
(-160-10t)+(-2t)
所以点M表示的数为 ，
2
即﹣80﹣6t，
80+4t
点N表示的数为 ，
2
即使40+2t，
所以PR＝（80+4t）﹣（﹣160﹣10t）＝240+14t，OT＝2t，MN＝（40+2t）﹣（﹣80﹣
6t）＝120+8t，
PR+OT (240+14t)+2t
所以 = =2，
MN 120+8t
PR+OT
所以 的值不变，它的值为2；
MN
若R的速度为5个单位长度/秒，则点R表示的数为80+5t，
80+5t
所以点 N 表示的数为 ，PR＝（80+5t）﹣（﹣160﹣10t）＝240+15t，MN
2
80+5t 240+17t
= -（﹣80﹣6t）= ，
2 2
240+17×10
当t＝10时，PR＝240+15×10＝390，OT＝2×10＝20，MN= =205，
2
PR+OT 390+20
所以 = = 2．
MN 205
总结提升：此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的
求解等知识与方法，解题的关键是弄清楚点运动的方向、速度和时间，并且正确地用代
数式表示有关的点对应的数．
类型五 数轴上的动点规律问题
例5（2020秋•洞头区期中）如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如
下移动：第1次向左移动3个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位
长度至E点，…，依此类推，则点E在数轴上所表示的数为 ，这样第 次移
动到的点到原为2020．
思路引领：根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，
进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两
数都相差3），写出表达式就可解决问题．
解：第1次点A向左移动3个单位长度至点B，则B表示的数为1﹣3＝﹣2；
第2次从点B向右移动6个单位长度至点C，则C表示的数为﹣2+6＝4；
第3次从点C向左移动9个单位长度至点D，则D表示的数为4﹣9＝﹣5；
第4次从点D向右移动12个单位长度至点E，则点E表示的数为﹣5+12＝7；
第5次从点E向左移动15个单位长度至点F，则F表示的数为7﹣15＝﹣8；
…；
1
由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：- （3n+1），
2
3n+2
当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足： ，
2
1 4039
当移动次数为奇数时，- （3n+1）＝﹣2020，n = （不合题意舍去），
2 3
3n+2
当移动次数为偶数时， = 2020，解得：n＝1346，
2
故答案为：7；1346．
总结提升：本题考查了数轴，以及用正负数可以表示具有相反意义的量，还考查了数轴
上点的坐标变化和平移规律（左减右加），考查了一列数的规律探究．对这列数的奇数
项、偶数项分别进行探究是解决这道题的关键．
11．（2021秋•天宁区校级期中）【阅读理解】点 A、B、C为数轴上三点，如果点C在
A、B之间且到A的距离是点C到B的距离4倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．
例如，如图1，点A表示的数为﹣4，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是
4，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣3的点D到点A的距
离是1，到点B的距离是4，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．
【知识运用】如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣4，点N所表示的数为
6．
（1）数 所表示的点是{M，N}的奇点；数 所表示的点是{N，M}的奇点；
（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现
有一动点P从点B出发向左运动，当P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰
有一个点为其余两点的奇点？思路引领：（1）设数x所表示的点是{M，M}的奇点，由题意可得x+4＝4（6﹣x），求
出x即可；设数y所表示的点是{N，M}的奇点，由题意可得6﹣y＝4（y+4），求出y即
可；
（2）设P点表示的数是a，分四种情况讨论：当P是{A，B}的奇点时，a＝14；当P时
{B，A}的奇点时，a＝﹣34；当A是{B，P}的奇点时，a＝﹣70；当A是{P，B}的奇点
时，a＝﹣370．
解：（1）设数x所表示的点是{M，N}的奇点，
∴x+4＝4（6﹣x），
解得x＝4，
∴数4所表示的点是{M，N}的奇点；
设数y所表示的点是{N，M}的奇点，
∴6﹣y＝4（y+4），
解得y＝﹣2，
∴数﹣2所表示的点是{N，M}的奇点，
故答案为：4；﹣2；
（2）设P点表示的数是a，
当P是{A，B}的奇点时，PA＝4PB，
∴a+50＝4（30﹣a），
解得a＝14；
当P时{B，A}的奇点时，PB＝4PA，
∴4（a+50）＝30﹣a，
解得a＝﹣34；
当A是{B，P}的奇点时，AB＝4AP，
∴80＝4（﹣50﹣a），
解得a＝﹣70；
当A是{P，B}的奇点时，4AB＝AP，
∴320＝﹣50﹣a，解得a＝﹣370；
当B是{A，P}的奇点时，AB＝4BP，
∴80＝4（a﹣30），
解得a＝50；
当B是{P，A}的奇点时，BP＝4AB，
∴a﹣30＝4×80，
解得a＝350；
综上所述，P点表示的数为14或﹣34或﹣70或﹣370或50或350时，P、A、B中恰有
一个点为其余两点的奇点．
总结提升：本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，数轴上两点间距离的求法，
弄清定义是解题的关键．
第二部分 配套作业
1．已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足（c﹣5）2+|a+b|＝0．a、b、c所对应的点分
别为A、B、C．
（1）请求出a、b、c的值；
（2）点 P 为动点，其对应的数为 x，当点 P 在原点到 2 对应的点之间运动时（即
0≤x≤2时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|；（写出化简过程）；
（3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单
位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的
速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为
AB．设运动时间为t秒，请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，
请说明理由；若不变，请求其值．
思路引领：（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，
几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；
（2）根据x的范围，确定x+1，x﹣1的符号，然后根据绝对值的意义即可化简；
（3）先求出BC﹣AB＝2，从而得出BC﹣AB的值不随着时间t的变化而变化．
解：（1）依题意得b＝﹣1，c﹣5＝0，a+b＝0，
解得a＝﹣1，b＝1，c＝5；
（2）当点P在原点到2对应的点之间运动时（即0≤x≤2时），
因此，当0≤x≤1时，x+1≥0，x﹣1≤0，原式＝x+1+x﹣1＝2x；
当1＜x≤2时，x+1＞0，x﹣1＞0，原式＝x+1﹣（x﹣1）＝2．
（3）不变．因为点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度
的速度向右运动．所以A，B每秒增加3个单位长度；
因为点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，所以B，C
每秒增加3个单位长度；所以BC﹣AB＝2，BC﹣AB的值不随着时间t的变化而变化．
总结提升：此题考查一元一次方程的实际运用，以及数轴与绝对值，正确理解AB，BC
的变化情况是关键．
2．（2015秋•渝北区期末）如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别是﹣10、10、2．
（Ⅰ）如图1，点P在数轴上自A向B以2个单位长度/秒的速度运动，同时，点Q在数
轴上自B向A以3个单位长度/秒的速度运动，经过 秒，P、Q两点到原点的距离
相等，此时，P、Q两点表示的数分别是 ；
（Ⅱ）如图1，若点P在数轴上自A向B以2个单位长度/秒的速度运动，同时，点Q在
数轴上自B向A以3个单位长度/秒的速度运动，问经过几秒P、Q相距5个单位长度？
并求出此时P、Q两点表示的数分别是多少？
（Ⅲ）如图2，O为圆心，点P从点C开始，以OC为半径、以60度/秒的速度逆时针旋
转一周停止，同时，点Q沿直线BA自B向A运动，若P、Q两点能相遇，求点Q运动
的速度．
思路引领：（Ⅰ）设t秒后P、Q两点到原点的距离相等，则点P表示的数为﹣10+2t，
点Q表示的数为10﹣3t，根据P、Q两点到原点的距离相等即可得|﹣10+2t|＝|10﹣3t|，
求解即可；
（Ⅱ）P、Q相距5个单位长度可分为相遇前和相遇后两种情况，根据两点间距离公式
得出关于t的方程，求解即可得；
（Ⅲ）分“点P运动半周时与点Q相遇”和“点P运动一周时与点Q相遇”两种情况，
先求出点P运动时间及点P所表示的数，再根据速度＝距离÷时间即可求得．
解：（Ⅰ）设t秒后P、Q两点到原点的距离相等，
则点P表示的数为﹣10+2t，点Q表示的数为10﹣3t，
根据题意，得：|﹣10+2t|＝|10﹣3t|，
解得：t＝4或t＝0（舍），
此时点P表示的数为﹣10+8＝﹣2，点Q表示的数为10﹣12＝﹣2，
故答案为：4，﹣2、﹣2；
（Ⅱ）①当P和Q相遇以前相距5个单位长度时，
10﹣3t﹣（﹣10+2t）＝5，
解得：t＝3，
此时点P表示﹣4，点Q表示1；
②当P和Q相遇以后相距5个单位长度时，
﹣10+2t﹣（10﹣3t）＝5，解得：t＝5，
此时点P表示0，点Q表示﹣5；
（Ⅲ）①若点P运动半周时与点Q相遇，此时点P运动时间为180÷60＝3（秒），点P
表示的数为﹣2，
10-(-2)
∴点Q的运动速度为 =4（单位长度/秒）；
3
当点P运动一周时于点Q相遇，此时点P运动时间为：360÷60＝6（秒），点P表示的
数为2，
10-2 4
∴点Q的运动速度为 = （单位长度/秒）．
6 3
总结提升：本题主要考查数轴、两点间距离公式及一元一次方程的应用，根据题意全面
而且准确地分类讨论是解题的关键．
3．（2022秋•鲤城区校级期中）已知，A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且|a﹣
20|+（b+10）2＝0，数轴上动点P对应的数用x表示．
（1）在数轴上标出A、B的位置，并直接写出A、B之间的距离；
（2）写出|x﹣a|+|x﹣b|的最小值；
（3）已知点C在点B的右侧且|BC|＝9，当数轴上有点P满足PB＝2PC时，
①求P点对应的数x的值；
②数轴上另一动点Q从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单
位长度，第三次向左移动5个单位长第四次向右移动7个单位长度，…．点Q能移动到
与①中的点P重合的位置吗？若都不能，请直接回答．若能，请直接指出，第几次移
动可以重合．
思路引领：（1）求出a、b的值，在数轴表示即可，求出AB的距离；
（2）|x﹣20|+|x+10|的最小值，就是数轴上表示20的点，与表示﹣10的点之间的距离；
（3）①求出c的值，设出点P对应的数，用距离列方程求解即可；
②点Q移动时，每一次对应的数分别列举出来，发现规律，得出结论．
解：（1）|a﹣20|+（b+10）2＝0，解得：a＝20，b＝﹣10；
∴AB＝20﹣（﹣10）＝30；
（2）|x﹣a|+|x﹣b|＝|x﹣20|+|x+10|，
当x位于点A与点B之间时，即，﹣10≤x≤20时，|x﹣20|+|x+10|的值最小，最小值为
AB＝30，
答：|x﹣20|+|x+10|的最小值为30；
（3）①点C在点B的右侧且|BC|＝9，因此点C所表示的数为﹣1，
设点P表示的数为x，|x+10|＝2|x+1|，解得x＝8或x＝﹣4；
②点Q每次移动对应在数轴上的数，
第1次：﹣1，第3次：﹣3，第5次：﹣5，……
第2次：2，第4次：4，第6次：6，……
因此点Q能移动到与①中的点P重合的位置，与8重合时，移动第8次，不可能与﹣4
重合，
答：点Q能移动到与①中的点P重合的位置，移动的次数为8次．
总结提升：考查数轴表示数的意义和方法，理解数轴上两点之间距离的计算方法，是解
决问题的关键．
4．（2021秋•延庆区期末）已知点P是图形M上的任意点，点Q是图形N上的任意点．
给出规定：
如果P，Q两点的距离有最小值，那么我们称这个最小值为图形 M﹣N的亲和距离；记
作：d（图形M，图形N）．特别地，当P，Q两点重合时，d（图形M，图形N）＝0．
举例说明：
如图，数轴上的点A表示的数是1，点B，C表示的数分别是2与3，那么d（点A，线
段BC）＝1．
根据以上定义完成下列问题：
数轴上的点D，点E表示的数分别是x，x+1，点O为原点．
（1）当x＝1时，d（原点O，线段DE）＝ ；
（2）如果d（原点O，线段DE）＝3，那么x＝ ；
（3）数轴上的点F，点G表示的数分别是y，y+4，如果d（线段DE，线段FG）＝2，
直接写出x﹣y的值．
思路引领：（1）当x＝1时，点D表示的数是1，点E表示的数是2，根据亲和距离的
定义可得答案；
（2）分两种情况：点D在原点右侧和点E在原点左侧，分别列方程即可；
（3）分两种情况：当点F在点E右侧和当点D在点G右侧，分别列方程y﹣（x+1）＝
2和x﹣（y+4）＝2，整理即可．
解：（1）当x＝1时，点D表示的数是1，点E表示的数是2，
∴d（原点O，线段DE）＝1﹣0＝1，
故答案为：1；
（2）∵d（原点O，线段DE）＝3，
∴x﹣0＝3或0﹣（x+1）＝3，
解得x＝3或﹣4，故答案为：3或﹣4；
（3）当点F在点E右侧时，
y﹣（x+1）＝2，
整理得y﹣x＝3，
即x﹣y＝﹣3；
当点D在点G右侧时，
x﹣（y+4）＝2，
整理得x﹣y＝6．
综上，x﹣y的值是﹣3或6．
总结提升：本题考查数轴，正确理解题意并利用一元一次方程解决是解题关键，注意分
情况讨论．
5．（2018秋•江阴市期末）在数轴上，图中点A表示﹣36，点B表示44，动点P、Q分别
从A、B两点同时出发，相向而行，动点P、Q的运动速度比之是3：2（速度单位：1个
单位长度/秒）．12秒后，动点P到达原点O，动点Q到达点C，设运动的时间为t（t＞
0）秒．
（1）求OC的长；
（2）经过t秒钟，P、Q两点之间相距5个单位长度，求t的值；
（3）若动点P到达B点后，以原速度立即返回，当P点运动至原点时，动点Q是否到
达A点，若到达，求提前到达了多少时间，若未能到达，说明理由．
思路引领：（1）设P、Q速度分别为3m、2m，根据OB﹣BC＝OC解答．
（2）分类讨论：当A、B在相遇前、后且相距5个单位长度，由两点间的距离公式解答．
36+44 80
（3）P运动到原点时，Q点已到达A点．Q点已到达A点的时间为： = =40
2 2
s．通过作差求得答案．
解：（1）设P、Q速度分别为3m、2m，
12×3m＝36，
∴m＝1
∴P、Q速度分别为3、2．
∴BC＝12×2＝24．
∴OC＝OB﹣BC＝44﹣24＝20．
（2）当A、B在相遇前且相距5个单位长度时：3t+2t+5＝44+36，5t＝75，
∴t＝15s．
当A、B在相遇后且相距5个单位长度时：3t+2t﹣5＝44+36，5t＝85，∴t＝17s．
综上：t＝15s或17s．
36+44+44 124 124 248
（3）P 运动到原点时，t= = s，此时 QB＝2× = ＞44+38＝
3 3 3 3
80．
∴Q点已到达A点．
36+44 80
∴Q点已到达A点的时间为： = =40s．
2 2
124 4
故提前的时间为： - 40 = s．
3 3
总结提升：本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比
较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在
数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．
6．（2016秋•澄海区期末）如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB＝60，点A对应的数
是40．
（1）若BC：AC＝4：7，求点C到原点的距离；
（2）如图2，在（1）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点
R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2
倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求
动点Q的速度；
（3）如图3，在（1）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向
左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒、
1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N
为线段OR的中点．请问PT﹣MN的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；
若变化，请说明理由．
思路引领：（1）根据AB＝60，BC：AC＝4：7，得出BC＝80，利用点A对应的数是
40，即可得出点C对应的数；
（2）假设点R速度为x单位长度/秒，根据点P、Q之间的距离与点Q、R的距离相等，
得出等式方程求出即可；
（3）分别表示出PR，MN的值，进而求出PT﹣MN的值．
解：（1）如图1，∵AB＝60，BC：AC＝4：7，
BC 4
∴ = ，
BC+60 7
解得：BC＝80，∵AB＝60，点A对应的数是40，
∴B点对应的数字为：﹣20，
∴点C到原点的距离为：80﹣（﹣20）＝100；
（2）如图2，设R的速度为每秒x个单位，则
R对应的数为40﹣5x，
P对应的数为﹣100+15x，
Q对应的数为10x+15，
PQ＝5x﹣115或115﹣5x
QR＝15x﹣25
∵PQ＝QR
∴5x﹣115＝15x﹣25或115﹣5x＝15x﹣25
解得：x＝﹣9（不合题意，故舍去）或x＝7
∴动点Q的速度是2×7﹣5＝9个单位长度/秒，
（3）如图3，设运动时间为t秒
P对应的数为﹣100﹣5t，T对应的数为﹣t，R对应的数为40+2t，
PT＝100+4t，
M对应的数为﹣50﹣3t，N对应的数为20+t，
MN＝70+4t
∴PT﹣MN＝30，
∴PT﹣MN的值不会发生变化，是30．
总结提升：此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的等量关系是解
题关键，此题阅读量较大应细心分析．
7．（2020秋•公安县期中）小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了 3km到达小彬家，
继续向东跑了1.5km到达小红家，然后又向西跑了6km到达学校，最后又向东跑回到自
己家．
（1）以小明家为原点，向东为正方向，用 1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，
分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家，用点C表示出学校的位置；
（2）如果小明跑步的速度是150米/分钟，那么小明跑步一共用了多长时间？
思路引领：（1）根据题意可知，小明家、小彬家、小红家、学校在数轴上对应的数分
别是0、3，4.5、﹣1.5，将这四个点分别用O、A、B、C表示即可；（2）设小明跑步一共用了x分钟，计算出小明跑步的总路程为12km，即12000m，可列
方程150x＝12000，解方程求出x的值即可．
解：（1）如图，原点O、点A、点B、点C分别表示小明家、小彬家、小红家、学校．
（2）设小明跑步一共用了x分钟，
|+3|+|+1.5|+|﹣6|+|+1.5|＝12，
所以小明跑步的总路程是12km，即12000m，
根据题意得150x＝12000，
解得x＝80，
答：小明跑步一共用了80分钟．
总结提升：此题重点考查数轴在实际问题中的应用、解一元一次方程、列一元一次方程
解应用题等知识，正确地用代数式表示小明跑步的总路程是解题的关键．
8．（2021秋•海陵区校级月考）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进 3
步后退2步的程序运动．设该机器人每秒运动1步，并且每步的距离为一个单位长度，
x 表示第n秒时机器人在数轴上位置所对应的数．则下列结论中正确的有 （只需
n
填入正确的序号）①x ＝3；②x ＝1；③x ＜x ；④x ＜x ．
3 5 101 102 2019 2020
思路引领：“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，
从数据找寻规律：第一个循环节末位的数即x ＝1，第二个循环节末位的数即x ＝2，
5 10
第三个循环节末位的数即x ＝3，…，第m个循环节末位的数就是第5m个数，即x ＝
15 5m
m．然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应的数值．
解：根据题意可知：
x ＝1，x ＝2，x ＝3，x ＝2，x ＝1，
1 2 3 4 5
x ＝2，x ＝3，x ＝4，x ＝3，x ＝2，
6 7 8 9 10
x ＝3，x ＝4，x ＝5，x ＝4，x ＝3，
11 12 13 14 15
…，
由上可知：第一个循环节末位的数即x ＝1，第二个循环节末位的数即x ＝2，第三个
5 10
循环节末位的数即x ＝3，…，即第m个循环节末位的数即x ＝m．
15 5m
∵x ＝20，
100
∴x ＝21，x ＝22，x ＝23，x ＝22，x ＝21，
101 102 103 104 105
故x ＜x ，
101 102
∵x ＝403，
2015
∴x ＝404，x ＝405，x ＝406，x ＝405，x ＝404，
2017 2018 2019 2020 2021
故x ＞x ，
2019 2020
所以正确的结论是①x ＝3；②x ＝1；③x ＜x ．
3 5 102 103故答案为：①②③．
总结提升：此题主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．解决此
题的关键是算出前面的数得出5个数一个循环．
9．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数 表示的点重合；
（2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为12（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，
求A、B两点表示的数是多少？
思路引领：（1）先确定折痕为原点，即可得结论；
-1+3
（2）①先确定折痕： =1，即可得结论；
2
②设折痕为点C，则AC＝BC＝6，根据左边减，右边加可得结论．
解：（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则折痕为原点，
∴﹣2表示的点与数2表示的点重合；
故答案为：2；
-1+3
（2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，则折痕为 =1，
2
①5表示的点与数﹣3表示的点重合；
故答案为：﹣3；
②设折痕为点C，则AC＝BC＝6，
∴点A表示的数为1﹣6＝﹣5，
点B表示的数为1+6＝7．
总结提升：本题主要考查的是数轴上两点的距离和直观折叠的认识，掌握数轴的定义和
点的对称性是解题的关键．
10．（2014秋•宝安区校级期末）已知：如图在数轴上有A，B两点，它们分别对应着﹣12
和8．A、B两点同时出发，B点以每秒2个单位的速度向右运动，A点则以每秒4个单
位的速度向右运动．
（1）A点在多少秒后追上B点；
（2）A点追上B点时所对应的数是多少？
思路引领：（1）利用两点行走的距离差为20个单位，进而得出等式求出即可；
（2）利用（1）中所求得出A点位置．
解：（1）设x秒后A点在x秒后追上B点，根据题意可得：4x＝12+8+2x，
解得：x＝10，
答：10秒后A点在x秒后追上B点；
（2）由（1）得，10秒后A点行走了40个单位，此时他对应的数为28
总结提升：此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关
键．
11．（2022秋•香洲区校级月考）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示﹣3，﹣1.5，
0，4．请回答下列问题．
（1）在数轴上描出A，B，C，D四个点．
（2）B，C两点间距离是多少？A，D两点间的距离是多少？
（3）现在把数轴的原点取在点B处，其余都不变，那么点A，C，D分别表示什么数？
思路引领：（1）根据数轴上数的特点，在数轴上表示数即可；
（2）根据两点间距离的求法直接求解即可；
（3）分别求出AB＝1.5，BC＝1.5，BD＝5.5，再结合题意求解即可．
解：（1）如图：
（2）∵BC＝|0﹣（﹣1.5）|＝1.5，
∴B、C两点间距离是1.5，
∵AD＝|﹣3﹣4|＝7，
∴A、D两点间的距离是7；
（3）∵AB＝|﹣3﹣（﹣1.5）|＝1.5，BC＝|﹣1.5﹣0|＝1.5，BD＝|4﹣（﹣1.5）|＝5.5，
∴A点表示的数是﹣1.5，B点表示的数是0，C点表示的数是1.5，D点表示的数是5.5．
总结提升：本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法是解题
的关键．
12．如图1，有A、B两动点在线段MN上各自做不间断往返匀速运动（即只要动点与线段
MN的某一端点重合则立即转身以同样的速度向 MN的另一端点运动，与端点重合之前
动点运动方向、速度均不改变），已知A的速度为3米/秒，B的速度为2米/秒．
（1）已知MN＝100米，若B先从点M出发，当MB＝10米时A从点M出发，A出发后
经过 秒与B第一次重合；
（2）已知MN＝200米，若A、B同时从点M出发，经过 秒A与B第一次重合；
（3）如图2，若A、B同时从点M出发，A与B第一次重合于点E，第二次重合于点
F，且EF＝30米，设MN＝s米，列方程（组）求s．思路引领：（1）可设A出发后经过x秒与B第一次重合，根据等量关系：路程差＝速
度差×时间，列出方程求解即可；
（2）可设经过y秒A与B第一次重合，根据等量关系：路程和＝速度和×时间，列出方
程求解即可；
（3）由于若A、B同时从点M出发，A与B第一次重合共走了2个MN，第二次重合共
2 4 2 2
走了4个MN，可得ME= ×2MN= MN，MF＝2MN- ×4MN= MN，根据EF
3+2 5 3+2 5
＝30米，列出方程求解即可．
解：（1）设A出发后经过x秒与B第一次重合，依题意有
（3﹣2）x＝10，
解得x＝10．
答：A出发后经过10秒与B第一次重合；
（2）设经过y秒A与B第一次重合，依题意有
（3+2）x＝200×2，
解得x＝80．
答：经过80秒A与B第一次重合；
（3）由于若A、B同时从点M出发，A与B第一次重合共走了2个MN，第二次重合共
2 4 2 2
走了4个MN，可得ME= ×2MN= MN，MF＝2MN- ×4MN= MN，
3+2 5 3+2 5
4 2
依题意有： s - s＝30，
5 5
解得s＝75．
答：s＝75米．
故答案为10；80．
总结提升：本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根
据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
