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专题18 旋转模型之费马点型
1．若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时
该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内
部，此时 ， 的值最小．
(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求
的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到 处，连接 ，
此时 ，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，
从而求出 ______．
(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使 ，
，求证： ．
(3)如图4，在直角三角形ABC中 ， ， ， ，点P为直角三角形ABC
的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出 的值．
2．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一
点，将 ABG绕点B逆时针旋转60°得到 EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（ ）
△ △A． B． C． D．
3．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则
MA＋MD＋ME的最小值为______．
4．问题背景：如图，将 绕点 逆时针旋转60°得到 ， 与 交于点 ，可推出结
论：
问题解决：如图，在 中， ， ， ．点 是 内一点，则点
到 三个顶点的距离和的最小值是___________
5．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为
2 ，则BC＝_____．
6．如图，四边形 是菱形， B 6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，
CM，则AM+BM+CM 的最小值为______=__．7．【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：
求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”．
如图，点 是 内的一点，将 绕点 逆时针旋转60°到 ，则可以构造出等边
，得 ， ，所以 的值转化为 的值，当 ， ，
， 四点共线时，线段 的长为所求的最小值，即点 为 的“费马点”．
(1)【拓展应用】
如图1，点 是等边 内的一点，连接 ， ， ，将 绕点 逆时针旋转60°得到
．
①若 ，则点 与点 之间的距离是______；
②当 ， ， 时，求 的大小；(2)如图2，点 是 内的一点，且 ， ， ，求 的最小
值．
8．背景资料：在已知 所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个
问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费
马点”．如图1，当 三个内角均小于120°时，费马点P在 内部，当
时，则 取得最小值．
(1)如图2，等边 内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求 的度
数，为了解决本题，我们可以将 绕顶点A旋转到 处，此时 这样就可以利用旋转变换，将三条线段 、 、 转化到一个三角形中，从而求出 _______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧
作等边三角形并连接等边三角形的顶点与 的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．
请同学们探索以下问题．
(2)如图3， 三个内角均小于120°，在 外侧作等边三角形 ，连接 ，求证：
过 的费马点．
(3)如图4，在 中， ， ， ，点P为 的费马点，连接 、
、 ，求 的值．
(4)如图5，在正方形 中，点E为内部任意一点，连接 、 、 ，且边长 ；求
的最小值．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
10．【问题提出】
（1）如图1，四边形 是正方形， 是等边三角形，M为对角线 （不含B点）上任
意一点，将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 、 ， ．若连接 ，则
的形状是________．
（2）如图2，在 中， ， ，求 的最小值．
【问题解决】
（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园 ， 千米， ，
公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条 ，求三条路的长度和（即 ）最小时，平行四边形公园 的面积．
11．在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB= ；
（1）如图1，将 ADE绕点D逆时针旋转90°得到 DCF，连接EF；
①把图形补充完整△（无需写画法）； ②求 的△取值范围；
(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
12．如图1，点M为锐角三角形 内任意一点，连接 ．以 为一边向外作等边
三角形 ，将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 的值最小，则称点M为 的费马点．若点M为 的费马点，求此
时 的度数；
（3）受以上启发，你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗？请利用图2画出草图，并说明
作法以及理由．
13．若点P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费
马点．当三角形的最大角小于120°时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最
小的点“．即PA+PB+PC最小．
（1）如图1，向△ABC外作等边三角形△ABD，△AEC．连接BE，DC相交于点P，连接AP．
①证明：点P就是△ABC费马点；
②证明：PA+PB+PC＝BE＝DC；（2）如图2，在△MNG中，MN＝4 ，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，则点O到
△MNG三个顶点的距离和的最小值是 ．
14．如图，在 中， ，在 内部有一点P，连接 、 、
．（加权费马点）求：
（1） 的最小值；
（2） 的最小值
（3） 的最小值；
（4） 的最小值
（5） 的最小值；
（6） 的最小值
（7） 的最小值；
（8） 的最小值
