文档内容
考点 21 利用导数研究函数的零点（3 种核心题型+基
础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围．高考常
考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解
答题的压轴题出现
【核心题型】
题型一 利用函数性质研究函数的零点
利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定
函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条
件．
【例题1】（2024·全国·模拟预测）若函数 有两个零点，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·陕西西安·一模）若不等式 恒成立，则实数 的取值范
围为 .
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ，若 存在两个不同的零点 ， ，
且 .
（i）证明： ；
（ii）证明： .【变式3】（2024·辽宁·三模）已知 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明：函数 有且仅有两个零点 ，且 .
题型二 数形结合法研究函数的零点
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，
用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数．
【例题2】（2024·北京房山·一模）若函数 ，则函数
零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或3
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．若
有三个不同的根，则 的取值范围为 ．
【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 在点 处的切线与直线 垂直，求a的值；(2)当 时，讨论函数 零点的个数．
【变式3】（2024·河北邯郸·二模）已知函数 ．
(1)是否存在实数 ，使得 和 在 上的单调区间相同？若存在，求出 的取
值范围；若不存在，请说明理由．
(2)已知 是 的零点， 是 的零点．
①证明： ，
②证明： ．
题型三 构造函数法研究函数的零点
涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数
零点的个数寻找函数在给定区间内的极值以及区间端点的函数值与 0的关系，从而求得参
数的取值范围
【例题3】（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数 满足：①定义
域为 ；② ；③有且仅有两个不同的零点 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A．当 时， 有极小值 B．当 时， 有极大值
C．若 ，则 D．函数 的零点最多有1个
【变式2】（2024·全国·模拟预测）设函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)设函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围.（其中 是自然对数的底数）
【变式3】（2024·广东·二模）已知 .
(1)求 的单调区间；
(2)函数 的图象上是否存在两点 （其中 ），使得直线 与函
数 的图象在 处的切线平行？若存在，请求出直线 ；若不存在，请说明
理由.
【课后强化】
基础保分练一、单选题
1．（2023·四川资阳·模拟预测）将函数 在 上的所有极值点按照由
小到大的顺序排列，得到数列 （其中 ），则（ ）
A． B．
C． D． 为递减数列
2．（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习） 的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2023·四川成都·二模）若指数函数 （ 且 ）与幂函数 的图象恰好
有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 存在零点，则实数
的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ，则（ ）
A．若 有极值点，则
B．当 时， 有一个零点
C．D．当 时，曲线 上斜率为2的切线是直线
6．（2024·辽宁抚顺·三模）已知定义在 上的奇函数 连续，函数 的导函数为
．当 时， ，其中 为自然对数的底数，则
（ ）
A． 在 上为减函数 B．当 时，
C． D． 在 上有且只有1个零点
三、填空题
7．（2024·内蒙古包头·一模）已知函数 ，若 存在唯一的零
点，则k的取值范围是 .
8．（2024·四川成都·模拟预测）若函数 在 上有2个极值点，
则实数 的取值范围是 .
四、解答题
9．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知 ， .
(1)讨论 的单调性.
(2)若 使得 ，求参数 的取值范围.
10．（2024·宁夏固原·一模）已知函数 ．
(1)求 的最小值；
(2)若 有两个零点，求 的取值范围．11．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，且 有两个相异零点 ．
(1)求实数a的取值范围．
(2)证明： ．
12．（2024·湖北黄石·三模）已知函数 有两个零点 ， .
(1)求实数 的取值范围；
(2)如果 ，求此时 的取值范围.
综合提升练
一、单选题
1．（2023·湖南·模拟预测）有甲、乙两个物体同时从A地沿着一条固定路线运动，甲物体的运动路程 （千米）与时间t（时）的关系为 ，乙物体运动的路程 （千
米）与时间t（时）的关系为 ，当甲、乙再次相遇时，所用的时间t（时）属于区
间（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数 的零点所在的
大致区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）若函数 有两个零点，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·江西·阶段练习）函数 有且只有一个零点，则 的
取值可以是（ ）
A．2 B．1 C．3 D．
5．（2024·陕西汉中·二模）已知函数 ， 有4个
零点，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 恰有一个零点 ，且 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．7．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数 ，若方程 存在三个不
相等的实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·陕西·二模）已知 ，且 时， ，则下列选项正确
的是（ ）
A．
B．当 时，
C．若 ， 为常函数，则 在区间 内仅有1个根
D．若 ，则
二、多选题
9．（2024·辽宁·三模）已知函数 为实数，下列说法正确的
是（ ）
A．当 时，则 与 有相同的极值点和极值
B．存在 ，使 与 的零点同时为2个
C．当 时， 对 恒成立
D．若函数 在 上单调递减，则 的取值范围为
10．（2024·河北唐山·一模）已知函数 ，则（ ）
A．直线 是曲线 的切线B． 有两个极值点
C． 有三个零点
D．存在等差数列 ，满足
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ，下列命题正确的是
（ ）
A．若 ，则 有且只有一个零点
B．若 ，则 在定义域上单调，且最小值为0
C．若 ，则 有且只有两个零点
D．若 ，则 为奇函数
三、填空题
12．（2023·四川内江·模拟预测）若函数 有两个零点，则 的取值范围为
．
13．（2024·四川泸州·二模）若函数 有零点，则实数 的取值范围是
．
14．（2024·广东佛山·二模）若函数 （ ）有2个不同的
零点，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题
15．（23-24高三上·河南·期末）已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；(2)若 ，研究函数 在 上的单调性和零点个数．
16．（2024·四川泸州·三模）已知函数 （ ），
(1)讨论函数 的零点个数；
(2)若 恒成立，求函数 的零点 的取值范围．
17．（2024·四川·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，求证： ．
18．（2024·北京朝阳·一模）已知函数 .(1)讨论 的单调性；
(2)若关于 的不等式 无整数解，求 的取值范围.
19．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，函数 ．
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)当 时，求函数 的零点个数．
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·云南·模拟预测）已知函数 ，若 在 有实数
解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数 有且仅有两个零点，则 的
取值范围是（ ）A． B．
C． D．
3．（2024·四川成都·二模）函数 ，下列说法不正确的是
（ ）
A．当 时， 恒成立
B．当 时， 存在唯一极小值点
C．对任意 在 上均存在零点
D．存在 在 上有且只有一个零点
4．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数 有3个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·重庆·一模）已知函数 ，则 在 有两个不同零
点的充分不必要条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数 ，下列说法正确的有
（ ）
A．当 时，则 在 上单调递增
B．当 时，函数 有唯一极值点C．若函数 只有两个不等于1的零点 ，则必有
D．若函数 有三个零点，则
三、填空题
7．（2023·湖北·一模）若函数 在 处的切线与 的图像有
三个公共点，则 的取值范围 ．
8．（2023·河南·模拟预测）已知函数 有三个零点，且它们的和为0，
则 的取值范围是 .
四、解答题
9．（2024·北京丰台·二模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 有两个零点，求 的取值范围．
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求证： 在 上有唯一的极大值点；
(2)若 恒成立，求a的值；
(3)求证：函数 有两个零点．
