文档内容
考点 14 函数的零点与方程的解（3 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
【知识点】
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有 ⇔函数y＝f(x)的图象与 有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，
函数y＝f(x)在区间 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这
个c也就是方程f(x)＝0的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所
在区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的
方法叫做二分法．
常用结论
1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号
【核心题型】
题型一 函数零点所在区间的判定
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否
有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
【例题1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）设方程 的两根为 ， ，则（ ）
A． ， B．
C． D．
【变式1】（2023·河北·模拟预测）已知函数 有一个零点 ，则 属于
下列哪个区间（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·海南·模拟预测）函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·辽宁葫芦岛·一模）请估计函数 零点所在的一个区间
.
题型二 函数零点个数的判定
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零
点个数．
【例题2】（2024·天津·二模）已知函数 ，关于 有下
面四个说法：
的图象可由函数 的图象向右平行移动 个单位长度得到；
在区间 上单调递增；
当 时， 的取值范围为 ；在区间 上有 个零点．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】（2024·湖南·模拟预测）已知函数 满足 ，
，当 时， ，则函数 在
内的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2】．（2024·青海西宁·二模）记 是不小于 的最小整数,例如
,则函数 的零点个数为 .
【变式3】（2024·北京西城·一模）关于函数 ，给出下列三个命题：
① 是周期函数；
②曲线 关于直线 对称；
③ 在区间 上恰有3个零点．
其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型三 函数零点的应用
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结
合求解.
命题点1 根据零点个数求参数
【例题3】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数（其中 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A． ，使函数 恰有1个零点
B． ，使函数 恰有3个零点
C． ，函数 都有零点
D．若函数 有2个零点，则实数 的取值范围为
【变式1】（2024·安徽黄山·二模）若函数 有两个零点，则实数
的取值范围是 .
【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）若方程 在 上有两个不同的根，
则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·上海徐汇·二模）已知函数 ，其中 .
(1)求证： 是奇函数；
(2)若关于 的方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围.
命题点2 根据函数零点的范围求参数
【例题4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 在区间
上单调递减，且 在区间 上只有1个零点，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【变式1】（2024·四川巴中·一模）若函数 在区间 内恰有一个零
点，则实数a的取值集合为（ ）
A． B． 或 .
C． D． 或 .
【变式2】（2023·河南·模拟预测）已知函数 在区间 上有且仅有一
个零点，则实数 的取值范围为 .
【变式3】（2023·全国·模拟预测）将函数 的图像向右平移 个单
位长度得到函数 的图像．若 在区间 内有零点，无极值，则 的取值范围
是 ．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2023·浙江宁波·一模）已知函数
的零点分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·贵州毕节·模拟预测）若函数 有唯一零点，则实
数 （ ）A．2 B． C．4 D．1
3．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知函数 ，若存在 ，使得
，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． 在 内有零点 D．若 在 内有零点，则
4．（2024·北京海淀·一模）已知 ，函数 的零点个数为 ，过点
与曲线 相切的直线的条数为 ，则 的值分别为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图像关于点
中心对称，将函数 的图像向右平移 个单位长度得到函数 的图像，则下列说法
正确的是（ ）
A． 在区间 上的值域是
B．
C．函数 在 上单调递增
D．函数 在区间 内有3个零点二、多选题
6．（2024·甘肃定西·一模）已知函数 ，则（ ）
A．当 有2个零点时， 只有1个零点
B．当 有3个零点时， 只有1个零点
C．当 有2个零点时， 有2个零点
D．当 有2个零点时， 有4个零点
7．（2023·安徽马鞍山·三模）已知函数 的零点为 ，下列判断正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2024·重庆·模拟预测）若 ，则关于 的方程 的解的个数是 ．
9．（2023·河北·模拟预测）已知 ， 是该函数的极值点，定义 表示
超过实数 的最小整数，则 的值为 .
四、解答题
10．（2023·四川成都·一模）已知函数 .
(1)若 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 时，求函数 的零点个数；
(3)若对于任意 ， 恒成立，求 的取值范围.11．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数 ， 是 的
零点．
(1)求 的值；
(2)求函数 的值域．
12．（2023·四川绵阳·模拟预测）函数 ．
(1)若 为奇函数，求实数 的值；
(2)已知 仅有两个零点，证明：函数 仅有一个零点．
综合提升练
一、单选题
1．（2023·吉林长春·一模）方程 的根所在区间是（ ）A． B． C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学
王子”的称号，设 ，用 表示不超过 的最大整数， 也被称为“高斯函数”，
例如 ， ， ，设 为函数 的零点，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023·宁夏银川·三模）函数 在区间 上存在零点，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数 的最小正周
期为 ，在区间 上单调递减，且在区间 上存在零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·内蒙古赤峰·二模）记函数 的最小正周期为
.若 ， 为 的零点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．66．（2024·安徽芜湖·二模）在数列 中， 为其前n项和，首项 ，且函数
的导函数有唯一零点，则 =（ ）
A．26 B．63 C．57 D．25
7．（2023·四川南充·模拟预测）函数 的零点为 ，函数
的零点为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·山西吕梁·模拟预测）用[ ]表示不大于实数a的最大整数，如[1.68]=1，设
分别是方程 及 的根，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
9．（2024·甘肃陇南·一模）已知函数 有3个不同的零点 ,且
，则（ ）
A． B． 的解集为
C． 是曲线 的切线 D．点 是曲线 的对称中心
10．（2023·河北唐山·模拟预测）已知函数 的最小正周期 ，，且 在 处取得最大值.下列结论正确的有（ ）
A．
B． 的最小值为
C．若函数 在 上存在零点，则 的最小值为
D．函数 在 上一定存在零点
11．（2023·江西·模拟预测）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意的 ，存在偶函数 ，使得 为奇函数
B．若 只有一个零点，则
C．当 时，关于 的方程 有3个不同的实数根的充要条件为
D．对于任意的 ， 一定存在极值
三、填空题
12．（2023·广东深圳·一模）定义开区间 的长度为 ．经过估算，函数
的零点属于开区间 （只要求写出一个符合条件，且长度不超过
的开区间）．
13．（2024·河南南阳·一模）已知函数 在区间 上有最小
值，则整数 的一个取值可以是 ．
14．（2023·山西阳泉·模拟预测）已知函数 的零点为 ，函数的零点为 ，给出以下三个结论：① ；② ；③
.其中所有正确结论的序号为 .
四、解答题
15．（2023·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)若不等式 恒成立，求实数m的最大值；
(2)若函数 有零点，求实数 的取值范围.
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，方程 有两个解，求参数 的取值范围.
17．（2023·江苏·三模）将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再将所得函图
象上所有点的横坐标变为原来的 （ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数 的图象．
(1)若 ，求函数 在区间 上的最大值；
(2)若函数 在区间 上没有零点，求ω的取值范围．18．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)设函数 ，若 有两个零点，求实数 的取值范围．
19．（2023·福建福州·模拟预测）设 ，函数 ．
(1)判断 的零点个数，并证明你的结论；
(2)若 ，记 的一个零点为 ，若 ，求证： ．
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·山西晋城·二模）将函数 的图象向右平移 （ ）个单位
长度，得到函数 的图象，若函数 在区间 上恰有两个零点，则 的取值范围
是（ ）A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）设函数 在区间 上恰有3个零点、2个
极值点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·北京·模拟预测）已知函数 ，下列命题正确的是（ ）
① 是奇函数；
②方程 有且仅有1个实数根；
③ 在 上是增函数；
④如果对任意 ，都有 ，那么 的最大值为2.
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
4．（2023·四川南充·一模）已知函数 （ ）有两个不同的零
点 ， （ ），下列关于 ， 的说法正确的有（ ）个
① ② ③
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（23-24高三下·湖南·阶段练习）设方程 的两根为 ， ，则
（ ）
A． ， B．C． D．
二、多选题
6．（2024·江苏扬州·模拟预测）设函数 ，则下列结
论正确的是（ ）
A． 在 上单调递增
B．若 且 ，则
C．若 在 上有且仅有2个不同的解，则 的取值范围为
D．存在 ，使得 的图象向左平移 个单位长度后得到的函数为奇函数
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图象与直线 的交点
的横坐标分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D． 的最小值为
8．（2023·河南焦作·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确
的是（ ）
A．函数 在 上单调递增
B．函数 在 上单调递减C．若方程 有两个实数根 ， ，则
D．当方程 的实数根最多时， 的最小值为
三、填空题
9．（2024·全国·模拟预测）已知 相邻的两个零点分别为
，则 .
10．（2024·四川成都·三模）若函数 大于 的零点有且只有一个，则实数
的值为 ．
四、解答题
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)当 时，求 的最小值；
(2)讨论函数 和 的图象在 上的交点个数．
12．（2024·重庆·模拟预测）已知函数
(1)若过点 的直线与曲线 切于点 ，求 的值；
(2)若 有唯一零点，求 的取值范围．
