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专题 14.4 整式的混合运算与化简求值
【典例1】若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，令A＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d为整数，
在平面直角坐标系中，我们定义：M（b+d，a+b+c+d）为整式A的关联点，我们规定次数超过3次的整式
没有关联点．例如，若整式A＝2x2﹣5x+4，则a＝0，b＝2，c＝﹣5，d＝4，故A的关联点为（6，1）．
（1）若A＝x3+x2﹣2x+4，则A的关联点坐标为 ．
（2）若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣2）（x+2）的乘积，若整式C的关联点为
（6，﹣3），求整式B的表达式．
（3）若整式D＝x﹣3，整式E是只含有字母x的一次多项式，整式F是整式D与整式E的平方的乘积，若
整式F的关联点为（﹣200，0），请直接写出整式E的表达式．
【思路点拨】
（1）根据整式A得出a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，根据关联点的定义得出b+d＝5，a+b+c+d＝4，即可得
出A的关联点坐标；
（2）根据题意得出B中x的次数为1次，设B＝nx+m，计算出C＝nx3+mx2﹣4nx﹣4m，进而表达出a，b，
c，d的值，再根据C的关联点为（6，﹣3），列出关于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可；
（3）设E＝nx+m，根据题意求出F＝n2x3+（2mm﹣3n2）x2+（m2﹣6mn）x﹣3m2，进而表达出a，b，c，d
的值，再根据F的关联点为（﹣200，0），列出关于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可．
【解题过程】
解：（1）∵A＝x3+x2﹣2x+4，
∴a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，
∴b+d＝5，a+b+c+d＝4，
A的关联点坐标为：（5，4），
故笞案为：（5，4）；
（2）∵整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣2）（x+2）的乘积，
（x﹣2）（x+2）＝x2﹣4是二次多项式，且C的次数不能超过3次，
∴B中x的次数为1次，∴设B＝nx+m，
∴C＝（nx+m）（x2﹣4）＝nx3+mx2﹣4nx﹣4m，
∴a＝n，b＝m，c＝﹣4n，d＝﹣4m，
∵整式C的关联点为（6，﹣3），
∴m﹣4m＝6，n+m﹣4n﹣4m＝﹣3，
解得：m＝﹣2，n＝3，
∴B＝3x﹣2；
（3）根据题意：设E＝nx+m，
∴F＝（nx+m）2（x﹣3）
＝（n2x2+2mnx+m2）（x﹣3）
＝n2x3+（ 2mn﹣3n2）x2+（m2﹣6mn）x﹣3m2，
∴a＝n2，b＝2mn﹣3n2，c＝m2﹣6mn，d＝﹣3m2，
∵整式F的关联点为（﹣200，0），
∴2mn﹣3n2﹣3m2＝﹣200，n2+2mn﹣3n2+m2﹣6mn﹣3m2＝0，
n2+2mn+m2＝0，（m+n）2＝0，
∴m＝﹣n，
把m＝﹣n代入2mn﹣3n2﹣3m2＝﹣200得：﹣2n2﹣3n2﹣3n2＝﹣200，
解得：n2＝25，
∴n＝±5，m＝±5，
∴E＝5x﹣5或E＝﹣5x+5．
1．（2021秋•和平区期末）下列计算正确的是（ ）
A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝9a2﹣4
C．（a+2）2＝a2+2a+4 D．（a﹣8）（a﹣1）＝a2﹣9a+8
2．（2020春•长安区校级期末）若x2﹣4x﹣1＝0，则代数式2x（x﹣3）﹣（x﹣1）2+3的值为（ ）
A．3 B．4 C．1 D．0
3．已知a2+2ab+b2＝0，那么代数式a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
4．（2020秋•张掖期末）如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等．如果13、9、3对面的数分别为a、b、c，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值等于（ ）
A．48 B．76
C．96 D．152
5．（2021 春•越秀区校级期末）已知 x ，x ，…，x 均为正数，且满足 M＝（x+x+…+x ）
1 2 2021 1 2 2020
（x+x+……+x ），N＝（x+x+…+x ）（x+x+…+x ），则M，N的大小关系是（ ）
2 3 2021 1 2 2021 2 3 2020
A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．M≥N
6．（2021春•奉化区校级期末）如图，在长方形ABCD中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长
为6的小正方形（正方形DEFG和正方形HIJK）．3个阴影部分的面积满足2S+S﹣S ＝2，则长方形
3 1 2
ABCD的面积为（ ）
A．100 B．96
C．90 D．86
7．（2021秋•晋中期中）图1是两张全等的矩形纸片，先后按如图2、图3（图中的阴影部分）所示的方
式放置在同一个正方形中．若知道图形 B与图形E（两个矩形的公共部分）的面积差，则一定能求出（
）
A．图形A与图形C的周长和 B．图形D与图形F的周长和
C．图形B与图形E的周长和 D．图形D与图形F的周长差
8．（2020秋•江岸区期末）某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有 3种方案：①第一
m+n
次提价m%，第二次提价n%；②第一次提价n%，第二次提价m%；③第一次、第二次提价均为 %．
2
其中m和n是不相等的正数．下列说法正确的是（ ）
A．方案（1）提价最多 B．方案（2）提价最多
C．方案（3）提价最多 D．三种方案提价一样多9．（2021春•高州市月考）对于任意实数（a，b）ⓒ（c，d），规定（a，b）ⓒ（c，d）＝ad﹣bc，则当
x2﹣3x+2＝0时，（x﹣1，x）ⓒ（4﹣x，x﹣1）＝ ．
10．（2021春•贺兰县期中）如果x+y＝1，x2+y2＝3，那么x3+y3＝ ．
3
11．（2021春•茌平区期末）已知（x+a）（x− ）的结果中不含x的一次项，则（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣
2
a﹣1）的值为 ．
12．（2021秋•江岸区期中）如图所示，四边形ABCD、DEFG、HFJI均为正方形，点G在线段BI上，若
DG＝a，则△BEI的面积为 （用含a的式子表示）．
13．（2021春•东平县期末）计算：
（1）（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）﹣（x+2y+1）（x﹣2y﹣1）；
（2）[（x﹣3y）（x+3y）+（3y﹣x）2]÷（﹣2x）．
14．（2021秋•德城区校级月考）先化简，再求值：
（1）[2x（x2y﹣xy2）+xy（xy﹣x2）]÷（x2y），其中x＝2016，y＝2015．
3 3
（2） （x+y+z）2+ （x﹣y﹣z）（x﹣y+z）﹣3z（x+y），其中x+y＝5，xy＝4．
2 28 8 2
15．（2021春•顺德区期末）已知a＝（2x﹣3y）2﹣（3y﹣1）（3y+1），b=( x3−8x2y− x)÷( x)
3 3 3
．
（1）化简a和b；
（2）若ab＝40，求a2+b2．
16．（2021春•招远市期中）阅读：
1 1 1 1 1 1
计算：（ − ）（2+ − ）﹣（1+ − ）2+2．
2 3 2 3 2 3
1 1
解：设t= − ，
2 3
则原式＝t（t+2）﹣（1+t）2+2
＝t2+2t﹣（1+2t+t2）+2
＝1．
请按照上述的解题思路，解答下列问题：
计算：（2﹣ab+2a2）（2a2﹣ab﹣2）﹣（2a2﹣ab+1）2+2（﹣a2b+2a3）÷a．
|a b|
17．（2020•武侯区校级开学）对于任意有理数a，b，c，d，我们规定 =a2+d2﹣bc．
c d
| 2x kx|
（1）对于有理数x，y，k，若 是一个完全平方式，求k的值．
−2y y
（2）对于有理数x，y，若2x+y＝4，|3x+ y 2x2+3 y2| 18，求xy的值．
=
3 x−3 y18．（2021春•奉化区校级期末）如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所
示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．
（1）用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简．
（2）若y＝3x＝21米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价．
19．（2021春•庐阳区校级期中）在长方形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图
1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆
盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S ，图2中阴影部分的面积为S ，当AD﹣AB＝42时，
1 2
求S﹣S 的值（用含a、b的代数式表示）．
2 120．（2021秋•奉贤区期中）图1是一个长方形窗户ABCD，它是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方
形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两
个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗
户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形ABCD）的面积．
如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b时，恰
好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．
（1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示）
（2）如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸 b至PQ时，
求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含a、b的代数式表示）
（3）如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，请通过计算比较窗户
的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小．
