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专题 14.4 整式的混合运算与化简求值
【典例1】若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，令A＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d为整数，
在平面直角坐标系中，我们定义：M（b+d，a+b+c+d）为整式A的关联点，我们规定次数超过3次的整式
没有关联点．例如，若整式A＝2x2﹣5x+4，则a＝0，b＝2，c＝﹣5，d＝4，故A的关联点为（6，1）．
（1）若A＝x3+x2﹣2x+4，则A的关联点坐标为 ．
（2）若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣2）（x+2）的乘积，若整式C的关联点为
（6，﹣3），求整式B的表达式．
（3）若整式D＝x﹣3，整式E是只含有字母x的一次多项式，整式F是整式D与整式E的平方的乘积，若
整式F的关联点为（﹣200，0），请直接写出整式E的表达式．
【思路点拨】
（1）根据整式A得出a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，根据关联点的定义得出b+d＝5，a+b+c+d＝4，即可得
出A的关联点坐标；
（2）根据题意得出B中x的次数为1次，设B＝nx+m，计算出C＝nx3+mx2﹣4nx﹣4m，进而表达出a，b，
c，d的值，再根据C的关联点为（6，﹣3），列出关于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可；
（3）设E＝nx+m，根据题意求出F＝n2x3+（2mm﹣3n2）x2+（m2﹣6mn）x﹣3m2，进而表达出a，b，c，d
的值，再根据F的关联点为（﹣200，0），列出关于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可．
【解题过程】
解：（1）∵A＝x3+x2﹣2x+4，
∴a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，
∴b+d＝5，a+b+c+d＝4，
A的关联点坐标为：（5，4），
故笞案为：（5，4）；
（2）∵整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣2）（x+2）的乘积，
（x﹣2）（x+2）＝x2﹣4是二次多项式，且C的次数不能超过3次，
∴B中x的次数为1次，∴设B＝nx+m，
∴C＝（nx+m）（x2﹣4）＝nx3+mx2﹣4nx﹣4m，
∴a＝n，b＝m，c＝﹣4n，d＝﹣4m，
∵整式C的关联点为（6，﹣3），
∴m﹣4m＝6，n+m﹣4n﹣4m＝﹣3，
解得：m＝﹣2，n＝3，
∴B＝3x﹣2；
（3）根据题意：设E＝nx+m，
∴F＝（nx+m）2（x﹣3）
＝（n2x2+2mnx+m2）（x﹣3）
＝n2x3+（ 2mn﹣3n2）x2+（m2﹣6mn）x﹣3m2，
∴a＝n2，b＝2mn﹣3n2，c＝m2﹣6mn，d＝﹣3m2，
∵整式F的关联点为（﹣200，0），
∴2mn﹣3n2﹣3m2＝﹣200，n2+2mn﹣3n2+m2﹣6mn﹣3m2＝0，
n2+2mn+m2＝0，（m+n）2＝0，
∴m＝﹣n，
把m＝﹣n代入2mn﹣3n2﹣3m2＝﹣200得：﹣2n2﹣3n2﹣3n2＝﹣200，
解得：n2＝25，
∴n＝±5，m＝±5，
∴E＝5x﹣5或E＝﹣5x+5．
1．（2021秋•和平区期末）下列计算正确的是（ ）
A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝9a2﹣4
C．（a+2）2＝a2+2a+4 D．（a﹣8）（a﹣1）＝a2﹣9a+8
【思路点拨】
直接利用平方差公式以及完全平方公式、多项式乘多项式分别计算，进而判断得出答案．
【解题过程】
解：A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故此选项不合题意；
B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝4﹣9a2，故此选项不合题意；
C．（a+2）2＝a2+4a+4，故此选项不合题意；D．（a﹣8）（a﹣1）＝a2﹣9a+8，故此选项符合题意．
故选：D．
2．（2020春•长安区校级期末）若x2﹣4x﹣1＝0，则代数式2x（x﹣3）﹣（x﹣1）2+3的值为（ ）
A．3 B．4 C．1 D．0
【思路点拨】
利用单项式乘多项式的计算法则和完全平方公式先算乘方和乘法，然后再算加减，最后整体代入求值．
【解题过程】
解：原式＝2x2﹣6x﹣（x2﹣2x+1）+3
＝2x2﹣6x﹣x2+2x﹣1+3
＝x2﹣4x+2，
又∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴原式＝1+2＝3，
故选：A．
3．已知a2+2ab+b2＝0，那么代数式a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【思路点拨】
直接利用乘法公式化简，再利用整式的混合运算法则计算，把（a+b）＝0代入得出答案．
【解题过程】
解：a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）
＝a2+4ab﹣（a2﹣4b2）
＝a2+4ab﹣a2+4b2
＝4ab+4b2，
∵a2+2ab+b2＝0，
∴（a+b）2＝0，
则a+b＝0，
故原式＝4b（a+b）＝0．
故选：A．
4．（2020秋•张掖期末）如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相
等．如果13、9、3对面的数分别为a、b、c，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值等于（ ）A．48 B．76 C．96 D．152
【思路点拨】
本题须先求出a﹣b＝﹣4，b﹣c＝﹣6，c﹣a＝10，再通过对要求的式子进行化简整理，代入相应的值即可
求出结果．
【解题过程】
解：∵正方体的每一个面上都有一个正整数，相对的两个面上两数之和都相等，
∴a+13＝b+9＝c+3，
∴a﹣b＝﹣4，b﹣c＝﹣6，c﹣a＝10，
2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=
2
(a−b) 2+(b−c) 2+(c−a) 2 (−4) 2+(−6) 2+102
= = =76
2 2
故选：B．
5．（2021 春•越秀区校级期末）已知 x ，x ，…，x 均为正数，且满足 M＝（x+x+…+x ）
1 2 2021 1 2 2020
（x+x+……+x ），N＝（x+x+…+x ）（x+x+…+x ），则M，N的大小关系是（ ）
2 3 2021 1 2 2021 2 3 2020
A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．M≥N
【思路点拨】
根据题目中式子的特点，不妨设x+x…+x ＝a，然后即可将M和N化简，再作差比较大小即可．
2 3 2020
【解题过程】
解：设x+x…+x ＝a，
2 3 2020
∴M＝（x+a）（a+x ），N＝（x+a+x ）•a，
1 2021 1 2021
∴M﹣N
＝（x+a）（a+x ）﹣（x+a+x ）•a
1 2021 1 2021
＝ax+xx +a2+ax ﹣ax﹣a2﹣ax
1 1 2021 2021 1 2021
＝xx ，
1 2021
∵x，x，…，x 均为正数，
1 2 2021
∴xx ＞0，
1 2021
∴M﹣N＞0，
∴M＞N，故选：B．
6．（2021春•奉化区校级期末）如图，在长方形ABCD中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长
为6的小正方形（正方形DEFG和正方形HIJK）．3个阴影部分的面积满足2S+S﹣S ＝2，则长方形
3 1 2
ABCD的面积为（ ）
A．100 B．96 C．90 D．86
【思路点拨】
设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得S ，S ，S 的长、宽及面积如何表示，根据2S+S
1 2 3 3 1
﹣S＝2，可整体求得ab的值，即长方形ABCD的面积．
2
【解题过程】
解：设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得：
S 的长为：8﹣6＝2，宽为：b﹣8，故S＝2（b﹣8），
1 1
S 的长为：，8+6﹣a＝14﹣a，宽为：6+6﹣b＝12﹣b，故S＝（14﹣a）（12﹣b），
2 2
S 的长为：a﹣8，宽为：b﹣6，故S＝（a﹣8）（b﹣6），
3 3
∵2S+S﹣S＝2，
3 1 2
∴2（a﹣8）（b﹣6）+2（b﹣8）﹣（14﹣a）（12﹣b）＝2，
∴2（ab﹣6a﹣8b+48）+2b﹣16﹣（168﹣14b﹣12a+ab）＝2，
∴ab﹣88＝2，
∴ab＝90．
故选：C．
7．（2021秋•晋中期中）图1是两张全等的矩形纸片，先后按如图2、图3（图中的阴影部分）所示的方
式放置在同一个正方形中．若知道图形 B与图形E（两个矩形的公共部分）的面积差，则一定能求出（）
A．图形A与图形C的周长和 B．图形D与图形F的周长和
C．图形B与图形E的周长和 D．图形D与图形F的周长差
【思路点拨】
根据题意设矩形较长的一边为x，较短的一边为y，正方形的边长为a，先用字母表示出图形B、E的面积，
根据题意得到（x﹣y）为已知，再用字母分别表示出图形A、B、C、D、E、F的周长，进行计算即可得出
正确的选项．
【解题过程】
解：设矩形较长的一边为x，较短的一边为y，正方形的边长为a，
图形B的面积＝（2x﹣a）（2y﹣a）＝（4xy﹣2ax﹣2ay+a2），
图形E的面积＝（x+y﹣a）（x+y﹣a）＝（x2+y2+2xy+a2﹣2ax﹣2ay），
∴图形B与图形E的面积差＝（x2+y2+2xy+a2﹣2ax﹣2ay）﹣（4xy﹣2ax﹣2ay+a2）＝（x2+y2﹣2xy）＝（x
﹣y）2，
图形B的周长＝2（2x﹣a）+2（2y﹣a）＝4x+4y﹣4a，
图形E的周长＝2（x+y﹣a）+2（x+y﹣a）＝4x+4y﹣4a，
∴图形B与图形E的周长和＝（4x+4y﹣4a）+（4x+4y﹣4a）＝8x+8y﹣8a，
故C选项不符合题意；
图形A的周长＝2（a﹣y）+2（a﹣x）＝4a﹣2y﹣2x，
图形C的周长＝2（a﹣y）+2（a﹣x）＝4a﹣2y﹣2x，
∴图形A与图形C的周长和＝4a﹣2y﹣2x+4a﹣2y﹣2x＝8a﹣4y﹣4x，
故A选项不符合题意；
图形D的周长＝4（a﹣x），
图形F的周长＝4（a﹣y），
∴图形D与图形F的周长和＝4（a﹣x）+4（a﹣y）＝8a﹣4y﹣4x，
故B选项不符合题意；
∴图形D与图形F的周长差＝4（a﹣x）﹣4（a﹣y）＝4（y﹣x），
又∵图形B与图形E的面积差＝（x﹣y）2，为已知，即（x﹣y）为已知，
故D选项符合题意，故选：D．
8．（2020秋•江岸区期末）某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有 3种方案：①第一
m+n
次提价m%，第二次提价n%；②第一次提价n%，第二次提价m%；③第一次、第二次提价均为 %．
2
其中m和n是不相等的正数．下列说法正确的是（ ）
A．方案（1）提价最多 B．方案（2）提价最多
C．方案（3）提价最多 D．三种方案提价一样多
【思路点拨】
方案（1）和（2）显然相同，用方案（3）的单价减去方案（1）的单价，利用完全平方公式及多项式乘以
多项式的法则化简，去括号合并后再利用完全平方公式变形，根据 m不等于n判定出其差为正数，进而确
定出方案3的提价多．
【解题过程】
解：设m%＝a，n%＝b，则提价后三种方案的价格分别为：
方案1：（1+a）（1+b）＝（1+a+b+ab）；
方案2：（1+a）（1+b）＝（1+a+b+ab）；
a+b a2+2ab+b2
方案3：（1+ ）2＝（1+a+b+ ），
2 4
a2+2ab+b2
（1+a+b+ ）﹣（1+a+b+ab）
4
a2+2ab+b2
＝1+a+b+ −1﹣a﹣b﹣ab）
4
a2+2ab+b2
= −ab
4
1
= （a﹣b）2，
4
∵m和n是不相等的正数，
∴a≠b，
1
∴ （a﹣b）2＞0，
4
∴方案（3）提价最多．
故选：C．
9．（2021春•高州市月考）对于任意实数（a，b）ⓒ（c，d），规定（a，b）ⓒ（c，d）＝ad﹣bc，则当
x2﹣3x+2＝0时，（x﹣1，x）ⓒ（4﹣x，x﹣1）＝ ．【思路点拨】
根据新定义运算法则进行化简，然后将x2﹣3x+2＝0代入原式即可求出答案．
【解题过程】
解：原式＝（x﹣1）2﹣x（4﹣x）
＝x2﹣2x+1﹣4x+x2
＝2x2﹣6x+1，
∵x2﹣3x+2＝0，
∴x2﹣3x＝﹣2，
∴原式＝2（x2﹣3x）+1
＝2×（﹣2）+1
＝﹣4+1
＝﹣3．
故答案为：﹣3．
10．（2021春•贺兰县期中）如果x+y＝1，x2+y2＝3，那么x3+y3＝ ．
【思路点拨】
根据立方和公式变形，再将已知条件整体代入即可．
【解题过程】
解：∵x+y＝1，
∴（x+y）2＝1，即x2+2xy+y2＝1，
3+2xy＝1，解得xy＝﹣1，
∴x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝1×（3+1）＝4．
故答案为：4．
3
11．（2021春•茌平区期末）已知（x+a）（x− ）的结果中不含x的一次项，则（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣
2
a﹣1）的值为 ．
【思路点拨】
先求出a的值，再根据完全平方公式和多项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，最后求出答案即可．
【解题过程】
3
解：（x+a）（x− ）
2
3 3
＝x2− x+ax− a
2 23 3
＝x2+（− +a）x− a，
2 2
3
∵（x+a）（x− ）的结果中不含x的一次项，
2
3
∴− +a＝0，
2
3
解得：a= ，
2
（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）
＝a2+4a+4+a+1﹣a2﹣a
＝4a+5，
3 3
当a= 时，原式＝4× +5＝6+5＝11，
2 2
故答案为：11．
12．（2021秋•江岸区期中）如图所示，四边形ABCD、DEFG、HFJI均为正方形，点G在线段BI上，若
DG＝a，则△BEI的面积为 （用含a的式子表示）．
【思路点拨】
设正方形ABCD、HFJI的边长分别为x和y，然后利用割补法表示出阴影部分面积，从而结合去括号，合
并同类项的运算法则进行化简计算．
【解题过程】
解：设正方形ABCD、HFJI的边长分别为x和y，
∴S ＝S +S +S +S ﹣S ﹣S ﹣S
△BEI 正方形ABCD 正方形DEFG 正方形HFJI △BCE △ABG △HGI △EJI
1 1 1 1
＝x2+a2+y2+ x（a﹣x）− x（x+a）− y（y﹣a）− y（a+y）
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
＝x2+a2+y2+ xa− x2− x2− xa− y2+ ya+ ya− y2
2 2 2 2 2 2 2 2
＝a2，
故答案为：a2．
13．（2021春•东平县期末）计算：（1）（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）﹣（x+2y+1）（x﹣2y﹣1）；
（2）[（x﹣3y）（x+3y）+（3y﹣x）2]÷（﹣2x）．
【思路点拨】
（1）先利用平方差公式计算乘法，然后再去括号，最后合并同类项；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算乘方和乘法，然后再计算多项式除以单项式．
【解题过程】
解：（1）原式＝[x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）]﹣[x+（2y+1）][x﹣（2y+1）]
＝[x2﹣（2y﹣1）2]﹣[x2﹣（2y+1）2]
＝[x2﹣（4y2﹣4y+1）]﹣[x2﹣（4y2+4y+1）]
＝（x2﹣4y2+4y﹣1）﹣（x2﹣4y2﹣4y﹣1）
＝x2﹣4y2+4y﹣1﹣x2+4y2+4y+1
＝8y；
（2）原式＝（x2﹣9y2+9y2﹣6xy+x2）÷（﹣2x）
＝（2x2﹣6xy）÷（﹣2x）
＝﹣x+3y．
14．（2021秋•德城区校级月考）先化简，再求值：
（1）[2x（x2y﹣xy2）+xy（xy﹣x2）]÷（x2y），其中x＝2016，y＝2015．
3 3
（2） （x+y+z）2+ （x﹣y﹣z）（x﹣y+z）﹣3z（x+y），其中x+y＝5，xy＝4．
2 2
【思路点拨】
（1）先算乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可；
（2）先算乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
【解题过程】
解：（1）原式＝（2x3y﹣2x2y2+x2y2﹣x3y）÷（x2y）
＝（x3y﹣x2y2）÷（x2y）
＝x﹣y，
当x＝2 016，y＝2 015时，
原式＝2 016﹣2 015＝1；
3 3
（2）原式= [（x+y）+z]2+ [（x+y）2﹣z2]﹣3xz﹣3yz
2 2
3 3
= （x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz）+ （x2﹣2xy+y2﹣z2）﹣3xz﹣3yz
2 23 3 3 3 3 3
= x2+ y2+ z2+3xy+3xz+3yz+ x2﹣3xy+ y2− z2﹣3xz﹣3yz
2 2 2 2 2 2
＝3x2+3y2
＝3（x2+y2），
因为x+y＝5，xy＝4 所以x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×4＝25﹣8＝17，
所以原式＝3×17＝51．
8 8 2
15．（2021春•顺德区期末）已知a＝（2x﹣3y）2﹣（3y﹣1）（3y+1），b=( x3−8x2y− x)÷( x)
3 3 3
．
（1）化简a和b；
（2）若ab＝40，求a2+b2．
【思路点拨】
（1）化简a，先根据乘法公式计算乘方和乘法，然后再计算；化简b，用多项式除以单项式的计算法则进
行计算求解；
（2）先求得a﹣b，然后利用完全平方公式计算求解．
【解题过程】
解：（1）a＝4x2﹣12xy+9y2﹣（9y2﹣1）
＝4x2﹣12xy+9y2﹣9y2+1
＝4x2﹣12xy+1；
8 2 2 8 2
b= x3÷( x)−8x2y÷( x)− x÷( x)
3 3 3 3 3
＝4x2﹣12xy﹣4；
（2）a﹣b
＝4x2﹣12xy+1﹣（4x2﹣12xy﹣4）
＝4x2﹣12xy+1﹣4x2+12xy+4
＝5，
∴a2+b2
＝（a﹣b）2+2ab
＝52+2×40
＝25+80
＝105．
16．（2021春•招远市期中）阅读：1 1 1 1 1 1
计算：（ − ）（2+ − ）﹣（1+ − ）2+2．
2 3 2 3 2 3
1 1
解：设t= − ，
2 3
则原式＝t（t+2）﹣（1+t）2+2
＝t2+2t﹣（1+2t+t2）+2
＝1．
请按照上述的解题思路，解答下列问题：
计算：（2﹣ab+2a2）（2a2﹣ab﹣2）﹣（2a2﹣ab+1）2+2（﹣a2b+2a3）÷a．
【思路点拨】
把2a2﹣ab看作一个整体，设m＝2a2﹣ab，利用换元即可求解．
【解题过程】
解：设m＝2a2﹣ab，
则（2﹣ab+2a2）（2a2﹣ab﹣2）﹣（2a2﹣ab+1）2+2（﹣a2b+2a3）÷a
＝（2﹣ab+2a2）（2a2﹣ab﹣2）﹣（2a2﹣ab+1）2+2（﹣ab+2a2）
＝（m+2）（m﹣2）﹣（m+1）2+2m
＝m2﹣4﹣（m2+2m+1）+2m
＝m2﹣4﹣m2﹣2m﹣1+2m
＝﹣5．
|a b|
17．（2020•武侯区校级开学）对于任意有理数a，b，c，d，我们规定 =a2+d2﹣bc．
c d
| 2x kx|
（1）对于有理数x，y，k，若 是一个完全平方式，求k的值．
−2y y
（2）对于有理数x，y，若2x+y＝4，|3x+ y 2x2+3 y2| 18，求xy的值．
=
3 x−3 y
【思路点拨】
（1）利用新定义运算列出算式并化简，然后利用完全平方公式的结构分析求解；
（2）利用新定义运算列出等式并化简，然后利用完全平方公式的结构进行变形计算求解．
【解题过程】
解：（1）原式＝（2x）2+y2﹣（﹣2y）•kx
＝4x2+2kxy+y2，
∵原式是一个完全平方式，∴4x2+2kxy+y2＝（2x±y）2，
∴2k＝±2×2×1＝±4，
解得：k＝±2，
∴k的值为±2；
（2）
¿
2x2+3 y2|
¿ x−3 y
＝（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2）
＝9x2+6xy+y2+x2﹣6xy+9y2﹣6x2﹣9y2
＝4x2+y2，
∴4x2+y2＝18，
又∵4x2+y2＝（2x+y）2﹣4xy＝18，且2x+y＝4，
∴42﹣4xy＝18，
1
解得：xy=− ．
2
1
∴xy的值为− ．
2
18．（2021春•奉化区校级期末）如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所
示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．
（1）用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简．
（2）若y＝3x＝21米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价．
【思路点拨】
（1）用大长方形面积减去两个小正方形面积；
（2）先求出x，然后将x、y的值代入即可．
【解题过程】
解：（1）（2x+y）（x+2y）﹣2y2
＝2x2+4xy+xy+2y2﹣2y2＝2x2+5xy；
（2）∵y＝3x＝21，
∴x＝7，
2x2+5xy＝2×49+5×7×21＝833（平方米）
20×833＝16660（元）
答：草坪的造价为16660元．
19．（2021春•庐阳区校级期中）在长方形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图
1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆
盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S ，图2中阴影部分的面积为S ，当AD﹣AB＝42时，
1 2
求S﹣S 的值（用含a、b的代数式表示）．
2 1
【思路点拨】
设AB＝x，则AD＝x+42，根据图形得出S﹣S ＝[（x﹣a）（x+42﹣b）+（x+42﹣a）a]﹣[（x+42）（x﹣
2 2
a）+（x+42﹣a）（a﹣b）]，再根据整式的运算法则求出答案即可．
【解题过程】
解：设AB＝x，则AD＝x+42，
S﹣S
2 1
＝[（x﹣a）（x+42﹣b）+（x+42﹣a）a]﹣[（x+42）（x﹣a）+（x+42﹣a）（a﹣b）]
＝（x2+42x﹣bx﹣ax﹣42a+ab+ax+42a﹣a2）﹣（x2﹣ax+42x﹣42a+ax﹣bx+42a﹣42b﹣a2+ab）
＝x2+42x﹣bx﹣ax﹣42a+ab+ax+42a﹣a2﹣x2+ax﹣42x+42a﹣ax+bx﹣42a+42b+a2﹣ab
＝42b．
20．（2021秋•奉贤区期中）图1是一个长方形窗户ABCD，它是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方
形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两
个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗
户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形ABCD）的面积．
如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b时，恰
好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．（1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示）
（2）如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸 b至PQ时，
求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含a、b的代数式表示）
（3）如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，请通过计算比较窗户
的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小．
【思路点拨】
（1）根据题意，可以用a、b的代数式表示出AB、AD，然后即可计算出长方形窗户ABCD的总面积；
（2）根据题意，可以计算出AE、AG、CF、CP，然后即可计算出窗户透光的面积；
（3）根据题意和图形，可以分别计算出窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积，然后作差比较即可．
【解题过程】
解：（1）由题意可得，
AD＝2a+2b，AB＝a+2b，
∴长方形窗户ABCD的总面积是AD•AB＝（2a+2b）（a+2b）＝2a2+6ab+4b2，
即长方形窗户ABCD的总面积是2a2+6ab+4b2；
（2）由图3可得，
AG＝2b，AE＝a，CF＝2b，CP＝（2a+2b）﹣（2b+b）＝2a﹣b，
则窗户透光的面积是：AG•AE+CF•CP
＝2b•a+2b（2a﹣b）
＝2ab+4ab﹣2b2
＝6ab﹣2b2；
（3）当上面窗户的遮阳帘保持不动，下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，窗户透光的面积是：
2b•a+2b（a+b）＝2ab+2ab+2b2＝4ab+2b2，
被遮阳帘遮住的面积是：（2a2+6ab+4b2）﹣（4ab+2b2）
＝2a2+6ab+4b2﹣4ab﹣2b2
＝2a2+2ab+2b2，
（4ab+2b2）﹣（2a2+2ab+2b2）＝4ab+2b2﹣2a2﹣2ab﹣2b2
＝﹣2a2+2ab
＝2a（b﹣a），
∵b＞a＞0，
∴b﹣a＞0，
∴2a（b﹣a）＞0，
即窗户的透光的面积大于被遮阳帘遮住的面积．
