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15.2.2 分式的加减
同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：
.
注意：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用
括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括
号不能省，不然，容易导致符号上的错误.
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.
题型1：同分母的分式相加减
1.计算.
2 4 1
（1） - - ;
ab ab ab
x2 y2
（2） - ;
x+ y x+ y
【变式1-1】计算：（1） ； （2） ；
（3） ； （4）
异分母分式的加减 注意：（1）异分母的分式相
加减，先通分是关键.通分
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再
后，异分母的分式加减法变
加 减 . 上 述 法 则 可 用 式 子 表 为 ：
成同分母分式的加减法.
（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同
. 分母分式的加减运算，③把
结果化成最简分式.
题型2：异分母的分式相加减
a 1
-
2.计算：（1） ．
a2-ab a+b
2 1
-
（2）化简： ．
x2+2x x
x2-4 1-2x+x2
（3） - .
x2-2x x2-x
【变式2-1】（1） ；（2） ；（3） ．
【变式2-2】计算：（1） ；（2） .
分式的混合运算
与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先
算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括
号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或
整式.
注意：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正
确进行分式运算的基础，要牢牢掌握.
（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.
（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活
运用运算律，将大大提高运算速度.
题型3：分式的混合运算
x-2 x2-4x+4 1
3.计算（1） ÷ +
x2+x x+1 x
x+1 x x+1
（2）( + )÷
x2-1 x-1 x2-2x+1
a-2 3a
（3） ÷ （a - ）.
1+2a+a2 a+1
【变式3-1】计算：（1） ； （ 2 ）．
【变式3-2】 （1） ；
（2） ．
零指数幂 注意：同底数幂的除法法则
可 以 推 广 到 整 数 指 数 幂 . 即
任何不等于零的数的零次幂都等于 1，即
（ ， 、
.
为 整 数 ） 当 时 ， 得 到
.
负整数指数幂
注意： 是 的倒
任何不等于零的数的 （ 为正整数）次幂，
数， 可以是不等于 0的数，也
可以是不等于 0 的代数式.例如
等于这个数的 次幂的倒数，即 （
≠0， 是正整数）.
（ ） ，
引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范
围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性
质仍然成立. （
）.
题型4：整数指数幂与计算
1
4.计算：（1）20210+（ ）﹣1．
3
1 -2
（2）(π-2022) 0-(- ) ．
2
2 2
【变式4-1】计算： (-1) 2022+( ) -(π-3.14) 0-3-2
3
【变式4-2】计算：
1 -1
（1）5√2-√18-3×(-2019) 0+( )
3
1
（2）-12020+（3.14-π）0-（- ）-2
2科学记数法的一般形式
（1）把一个绝对值大于10的数表示成 的形式，其中 是正整数，
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即 的形式，其中 是正
整数， .
用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.
题型5：用科学计数法表示小数
5.新型冠状病毒的直径约为0.000000907米，0.000000907用科学记数法表示为（
）
A．9.07×10-10 B．9.07×10-11 C．9.07×10-8 D．9.07×10-7
【变式 5-1】用科学记数法表示：-3105000= ，；0.000305=
。
【变式5-2】人体红细胞与我们的生命活动息息相关，是通过血液运送氧气的最主要
的媒介．红细胞的直径约为0.00000767米，请把数0.00000767用科学记数法表示为
题型6：分式化简求值-直接代入
3 x2 1
6.已知x＝- ，对代数式 + 先化简，再求值.
2 x-1 1-x
x+3 5
【变式6-1】先化简，再求值： ÷(x+2- )，其中x=2
x-2 x-2
1 1 x 1
【变式6-2】先化简，再求值：( - )÷ ，其中x= ．
x-1 x+1 2x2-2 2
题型7：分式化简求值-整体代入
3 x-2
7.已知x2+2x-5=0，求代数式(x+1- )÷ 的值．
x-1 x2-x
5 m-3
【变式7-1】已知m2+3m-4=0，求代数式(m+2- )÷ 的值.
m-2 m2-2m
3m2 2m-1
【变式7-2】已知 m2-m-1=0 ，求 ⋅(m- ) 的值．
m-1 m
题型8：分式化简求值-选值代入a2+2a+1 1 a2+2a
8.先化简分式( - )÷ ，再从－2，－1，1，√2这4个数中选
a2-1 1-a a-1
择一个合适的数作为a的值代入求值．
x+1 x2+x
【变式8-1】先化简 ÷(1+ ) ，再从 -1<x<2 的范围内选取一个合适的
1-x 1-x2
整数代入求值.
3 x-2 {x-3(x-2)≥2
【变式8-2】化简：( -x-1)÷ ，并从不等式组 的解集
x-1 x2-2x+1 4x-2<5x-1
中选择一个合适的整数解代入求值．
题型9：分式混合运算的实际应用
9.如图，A种小麦试验田是边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形蓄水
池后余下的部分；B种小麦试验田是边长为 （a+b）的正方形．
（1）设两块试验田都收获了m（kg）小麦，求A，B两种小麦单位面积产量的比．
（2）当a=2b时，A，B两种小麦单位面积产量哪个较大？
（3）若A，B两种小麦单位面积产量相同，求a,b满足的关系式．
【变式9-1】“杂交水稻之父”袁隆平团队示范基地的“水稻1号”的试验田是边长为a米
（a＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“水稻2号”的
试验田是边长为（a-1）米的正方形，两块试验田的水稻都收获了1000千克．
（1）试说明哪种水稻的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
题型10：探究类题型-新定义问题
10.定义新运算：a+b= ，若a⊕（-b）=4，则 的值是 。【变式10-1】定义运算：a⊗b＝ ，比如2⊗3＝ ．下面给出了关于这种运
算的几个结论：
①2⊗(−3)＝ ；
②此运算中的字母a,b均不能取零；
③a⊗b=b⊗a；
④a⊗（b+c）=a⊗b+a⊗c.
其中正确的是 ．（把所有正确结论都写在横线上）
【变式 10-2】对 于 任 意 非 零 实 数 a,b, 定 义 运 算 “ ☆ ” 如 下 ： a☆b= ， 则
2☆1+3☆2+4☆3+…+2010☆2009+2011☆2010=
根据题中的新定义将所求式子变形，拆项抵消后即可得到结果．
题型11：探究类题型-条件形变求值
a+b b+c a+c
11.已知实数a、b、c满足 = = ；
c a b
(a+b)(b+c)(a+c)
计算： .
abc
【变式11-1】比较大小有求差、求比等方法，但灵活应用已知巧妙变形也会起到简
a b 1 1
化计算的效果．已知a、b为实数，且ab=1，设P= + ，Q= + ，比
a+1 b+1 a+1 b+1
较P、Q的大小．
a+b-c a-b+c
【变式11-2】已知a、b、c均为非零的实数，且满足 = =
c b
-a+b+c (a+b)(b+c)(c+a)
，求 的值．
a abc
一、单选题
x2 x
1．化简 - 的结果是（ ）
x-1 x-1
A．x+1 B．x﹣1 C．x D．﹣x
2a+b 1 a
2．若a+2b＝0，则分式（ + ）÷ 的值为（ ）
a2-ab a a2-b23 9 3b
A． B． C．﹣ D．﹣3b
2 2 2
4 1
3．化简 + 的结果是（ ）
x2-4 x+2
1 1 2
A．x﹣2 B． C． D．
x+2 x-2 x+2
5x+1 A 11
4．已知 = + ，则A的取值是（ ）
(x-1)(x-2) x-1 x-2
A．-3 B．3 C．-6 D．6
a2+2ab+b2 b
5．化简 ﹣ 的结果是（ ）
a2-b2 a-b
a b a b
A． B． C． D．
a-b a-b a+b a+b
二、填空题
2x 1
-
6． 计算 的结果是 .
x2-9 x-3
b a
7．计算 ÷（1﹣ ）的结果是 ．
a2-b2 a+b
2 x+2
8．如果 x2+x-5=0 ，那么代数式 (1+ )÷ 的值是 ．
x x3+x2
1 1
9．若 a+b=3 ， ab=1 ，则 + 的值是 ．
a b
三、解答题
1 x-2
10．先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，从﹣1，2，3中选择一个适当的数作
x+1 x+1
为x值代入．
1 x
11．先化简，再求值： (1+ )÷ ，其中 x=√3-1 ．
x-1 x2-1(x2+x ) x3+x2 { x>-1
12．先化简，再求值： -x-1 ÷ ．其中x为不等式组
x-1 x2-2x+1 3(x+1)≤x+7
的整数解．
3 a2-4a+4 1 -2
13．先化简，再求值： (a-1- )÷ ，其中 a=(π-2021) 0-( ) ．
a+1 a+1 2
m n √3mn
14．已知 A=( - )⋅
n m m-n
（1）化简A；
（2）若 m+n-2√3=0 ，求A的值．
