文档内容
第21讲 整式的乘除核心考点
第一部分 典例剖析+针对训练
【模块一】幂的运算
题型一 基本计算
典例1（2022春•玄武区校级期中）化简：a2•（﹣a）4﹣（3a3）2+（﹣2a2）3．
思路引领：先算幂的乘方与积的乘方，再算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可．
解：a2•（﹣a）4﹣（3a3）2+（﹣2a2）3．
＝a2•a4﹣9a6﹣8a6
＝a6﹣9a6﹣8a6
＝﹣16a6．
点睛：本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
典例2（2022春•陈仓区期末）计算：（﹣y2）4÷y4•（﹣y）3．
思路引领：根据整式的乘除运算即可求出答案．
解：原式＝y8÷y4•（﹣y3）
＝y4•（﹣y3）
＝﹣y7．
点睛：本题考查整式的乘除运算，解题的关键是熟练运用整式的除法运算，本题属于基础题型．
针对训练1
1．（2022春•周村区期中）计算：a4•（a2）3；
思路引领：（1）利用幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案；
解：（1）a4•（a2）3
＝a4•a6
＝a10；
点睛：本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，整式的除法，掌握幂的乘方的法则，同底数幂乘法的法
则，单项式除以单项式的法则是解决问题的关键．
2．（2022春•通州区期中）计算：x2•x4+（x2）3﹣（﹣3x3）2
思路引领：利用合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得
出答案．
解：x2•x4+（x2）3﹣（﹣3x3）2＝x6+x6﹣9x6
＝﹣7x6．
点睛：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握合并同类项法则，同底数
幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
3．（2022春•陈仓区期中）计算：x2﹣x6﹣（x4）2+x9÷x．
思路引领：先算幂的乘方，同底数幂的除法，再合并同类项即可．
解：x2﹣x6﹣（x4）2+x9÷x
＝x2﹣x6﹣x8+x8
＝x2﹣x6．
点睛：本题主要考查同底数幂除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
题型二 逆向运用幂运算
典例3（2022春•湖口县期中）按要求完成下列各小题．
3 8
（1）计算：（− ）2019×（ ）2020
8 3
（2）已知3x+5y＝4，求8x•25y的值．
思路引领：（1）利用积的乘方的逆运算进行求解即可；
（2）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行求解即可．
3 8
解：（1）（− ）2019×（ ）2020
8 3
3 8 8
＝（− ）2019×（ ）2019×
8 3 3
3 8 8
＝（− × ）2019×
8 3 3
8
＝（﹣1）2019×
3
8
＝﹣1×
3
8
=− ；
3
（2）∵3x+5y＝4，
∴8x•25y
＝23x•25y
＝23x+5y＝24
＝16．
点睛：本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
典例4（2022春•镇江月考）计算：
（1）已知3m＝6，9n＝2，求32m﹣4n的值．
（2）若n为正整数，且x2n＝7，求（3x3n）2﹣13（x2）2n的值．
思路引领：（1）利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算
即可；
（2）利用幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
解：（1）∵3m＝6，9n＝2，
∴32m＝（3m）2＝36，
34n＝（32n）2＝（9n）2＝4，
∴32m﹣4n＝32m÷34n＝36÷4＝9；
（2）（3x3n）2﹣13（x2）2n
＝9x6n﹣13x4n
＝9（x2n）3﹣13（x2n）2
＝9×73﹣13×72
＝2450．
点睛：本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
针对训练2
1．（2022春•郫都区校级期中）解答下列各题：
（1）若2x+3•3x+3＝36x﹣2，则x的值是多少？
1
（2）已知10﹣2 ＝3，10﹣ = ，求102 ﹣2 的值．
5
α β α β
思路引领：（1）利用积的乘方的法则逆运算对式子进行整理，从而可求解；
（2）利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
解：（1）∵2x+3•3x+3＝36x﹣2，
∴（2×3）x+3＝62x﹣4，
则6x+3＝62x﹣4，
∴x+3＝2x﹣4，
解得：x＝7；1
（2）∵10﹣2 ＝3，10﹣ = ，
5
α β
1
∴102 = ，10 ＝5，
3
α β
∴102 ﹣2
α β
＝102 ÷102
α β
＝102 ÷（10 ）2
α β
1
= ÷52
3
1 1
= ×
3 25
1
= ．
75
点睛：本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握．
2．（2022春•咸阳月考）（1）已知2x+3y＝4，求4x•8y的值．
（2）已知9b＝6，3a＝2，求33a﹣2b的值．
思路引领：（1）根据幂的乘方与积的乘方将原式化为22x+3y即可；
(3a
)
3
（2）根据幂的乘方与积的乘方将原式化为33a﹣2b= ，再代入计算即可．
9b
解：（1）因为2x+3y＝4，
所以4x•8y＝（22）x•（23）y
＝22x•23y
＝22x+3y
＝24
＝16；
（2）因为9b＝6，3a＝2，
(3a
)
3
所以33a﹣2b=
9b
23
=
6
4
= ．
3点睛：本题考查同底数幂乘除法、幂的乘方与 积的乘方，掌握同底数幂乘除法、幂的乘方与 积的乘方
的运算性质是正确解答的前提．
题型三 灵活进行公式变形
典例5 已知： ，求 的值．
思路引领：根据幂的乘方，可得①、②，根据积的乘方2ab×5ab=（2×5）ab=10ab，根据等量代
换，ab=a+b，根据等式的性质，可得答案．
解：∵2a=10，
∴（2a）b=10b，2ab=10b①；
∵5b=10，
∴（5b）a=10a，5ab=10b②，
①×②，得
2ab×5ab=（2×5）ab=10ab，
2ab×5ab=10a×10b=10a+b，
ab=a+b，
两边都除以ab，得
即
点睛：本题考查了幂的乘方与积的乘方，利用了幂的乘方，积的乘方．
针对训练3
已知 ， ，求 的值．
1 1
已知25x＝2000，80y＝2000，求 + 的值．
x y
1 1 x+ y
思路引领：因为x、y为指数，我们目前无法求出x、y的值，而 + = ，其实只需求出x+y、xy
x y xy
的值或它们的关系，自然想到指数运算律．
1 1
解：由已知得 2000❑x=25， 2000❑y=80，
1 1 1 1
两式相乘，得 2000❑x×2000❑y=2000❑x + y=25×80＝2000，
1 1
所以 + = 1．
x y
点睛：本题考查了同底数幂的乘法运算法则，将已知条件转化为分数指数是解题的关键．题型四 比较大小
典例6阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较2a，2b的大小；当a＞b时，2a
＞2b，∴当同底数时，指数越大值越大；②比较350和275的大小，∵350＝（32）25＝925，275＝（23）25
＝825，∵9＞8，∴350＞275．可以将其先化为同指数，再比较大小，∴同指数时，底数越大值越大，根
据上述材料，回答下列问题．
（1）比较大小320 ＜ 915（填写＞、＜或＝）；
（2）已知a＝355，b＝444，c＝533，试比较a、b、c的大小．
思路引领：（1）利用幂的乘方的法则把各数的底数转为一样，再比较指数即可；
（2）把各数的指数转为一样，再比较底数即可．
解：（1）915＝（32）15＝330，
∵20＜30，
∴320＜915；
故答案为：＜；
（2）∵a＝355＝（35）11＝24311，
b＝444＝（44）11＝25611，
c＝533＝（53）11＝12511，
∵125＜243＜256，
∴12525＜24311＜25611，
∴c＜a＜b．
点睛：本题主要考查幂的乘方，有理数大小的比较，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
针对训练4
1．（2017春•水城县校级月考）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，试比较a、b、c的大小．
思路引领：利用幂的乘方与积的乘方法则把a、b、c的底数化为3比较即可．
解：∵a＝8131，b＝2741，c＝961，
∴a＝8131＝3124，b＝2741＝3123，c＝961＝3122，
∴a＞b＞c．
点睛：本题主要考查了幂的乘方与积的乘方及实数大小比较，解题的关键是把 a、b、c的底数化为3比
较．
2．（2013春•涉县期中）若a＝255，b＝344，c＝433，d＝522，试比较a，b，c，d的大小．
思路引领：将各式化为指数相同，底数不同的值解答．
解：a＝（25）11＝3211；b＝（34）11＝8111；
c＝（43）11＝6411；
d＝（52）11＝2511；
可见，b＞c＞a＞d．
点睛：本题考查了幂的乘方与积的乘方，逆用积的乘方是解题的关键．
【模块二】整式的乘法
题型一 基本计算
典例7（2022春•泗洪县期中）化简：（2x）3•（﹣3xy2）＝ ．
思路引领：先根据积的乘方法则计算，再根据单项式乘单项式的运算法则计算．
解：原式＝8x3•（﹣3xy2）＝﹣24x4y2，
故答案为：﹣24x4y2．
点睛：本题考查的是单项式乘单项式、积的乘方，掌握积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则是解
题的关键．
1
典例8（2022春•阜宁县校级月考）计算2x2y•（ −3xy+y3）的结果是 ．
2
思路引领：直接利用单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式
的每一项，再把所得的积相加，进而得出答案．
1
解：2x2y•（ −3xy+y3）
2
1
＝2x2y× −2x2y•3xy+2x2y•y3
2
＝x2y﹣6x3y2+2x2y4．
故答案为：x2y﹣6x3y2+2x2y4．
点睛：此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
典例9（2022•湖北模拟）计算：（a﹣1）（2a+3）＝ ．
思路引领：利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可得出答案．
解：（a﹣1）（2a+3）
＝2a2+3a﹣2a﹣3
＝2a2+a﹣3，
故答案为：2a2+a﹣3．
点睛：本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解决问题的关键．
针对练习1．（2021秋•西城区期末）计算：2ab（3a2﹣5b）＝ ．
思路引领：根据多项式乘单项式法则求出即可．
解：2ab（3a2﹣5b）＝6a3b﹣10ab2．
故答案为：6a3b﹣10ab2．
点睛：本题主要考查多项式乘单项式，解题的关键是掌握多项式乘单项式法则．
2．（2022•山西二模）计算（3m+2n）（m﹣2n）的结果为 ．
思路引领：根据多项式乘多项式展开，合并同类项即可得出答案．
解：（3m+2n）（m﹣2n）
＝3m2﹣6mn+2mn﹣4n2
＝3m2﹣4mn﹣4n2．
故答案为：3m2﹣4mn﹣4n2．
点睛：本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多
项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键．
题型二 混合运算
典例10（2022春•兰州期末）化简：（x+y）（3x﹣2y）﹣y（4x﹣2y）．
思路引领：根据整式的运算法则即可求出答案．
解：原式＝3x2﹣2xy+3xy﹣2y2﹣4xy+2y2
＝3x2﹣3xy．
点睛：本题考查学生的运算法则，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
针对训练
1．（2022春•覃塘区期中）计算：（x﹣1）（5x+3）﹣（2x+4）（3x﹣2）．
思路引领：根据多项式乘多项式以及整式的加减运算即可求出答案．
原式＝（5x2﹣2x﹣3）﹣（6x2+8x﹣8）
＝5x2﹣2x﹣3﹣6x2﹣8x+8
＝﹣x2﹣10x+5．
点睛：本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用积的乘方、幂的乘方、多项式乘多项式以及整
式的加减运算，本题属于基础题型．
题型三 展开后不含某项
典例11（2022春•田东县期末）已知（x2+nx）与（x2﹣3x+m）的乘积中不含x2和x3的项，求m，n的值．
思路引领：利用多项式乘多项式法则计算得到结果，根据结果不含 x2和x3的项，确定出m与n的值即
可．解：根据题意得：
（x2+nx）（x2﹣3x+m）
＝x4﹣3x3+mx2+nx3﹣3nx2+mnx
＝x4+（n﹣3）x3+（m﹣3n）x2+mnx，
∵（x2+nx）与（x2﹣3x+m）的乘积中不含x2和x3的项，
∴n﹣3＝0，m﹣3n＝0，
解得：m＝9，n＝3．
点睛：此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
针对训练
1．（2022•南京模拟）已知（x2+mx﹣2）（x2﹣2x）的乘积中不含x3项，则m＝ ．
思路引领：根据多项式的乘法进行计算，然后令x3的系数为0，即可求解．
解：（x2+mx﹣2）（x2﹣2x）
＝x4﹣2x3+mx3﹣2mx2﹣2x2+4x
＝x4+（m﹣2）x3﹣（2m+2）x+4x，
∵乘积中不含x3项，
∴m﹣2＝0，
解得m＝2，
故答案为：2．
点睛：本题考查了多项式乘多项式，正确的计算是解题的关键．
题型四 比较对应项的系数求值
典例12（2022春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，
得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．
（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；
（2）若整式中的a的符号不抄错，且a＝3，请计算这道题的正确结果．
思路引领：（1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出a，b的值；
（2）将a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
解：（1）甲抄错了a的符号的计算结果为：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+（﹣2a+b）x﹣ab＝2x2﹣7x+3，
故：对应的系数相等，﹣2a+b＝﹣7，ab＝﹣3；
乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3．
故：对应的系数相等，a+b＝2，ab＝﹣3，{−2a+b=−7)
∴ ，
a+b=2
{ a=3 )
解得： ，
b=−1
∴（﹣2a+b）（a+b）＝[（﹣2）×3﹣1]（3﹣1）＝﹣7×2＝﹣14；
（2）由（1）可知，b＝﹣1正确的计算结果：（x+3）（2x﹣1）＝2x2+5x﹣3．
点睛：此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常
考题型，解题时要细心．
针对训练
1．（2022春•周村区期中）解决下列问题：
（1）如果（x﹣3）（x+2）＝x2+mx+n，那么m的值是 ，n的值是 ；
1
（2）如果(x+a)(x+b)=x2−2x+
，
2
①求（a﹣2）（b﹣2）的值；
1 1
②求 + 的值．
a2 b2
思路引领：（1）利用多项式乘多项式的法则进行计算，得出关于 m，n的方程，解方程即可得出m，n
的值；
（2）①利用多项式乘多项式的法则进行计算，得出关于a，b的方程，求出a+b，ab的值，把（a﹣
2）（b﹣2）展开后，代入计算即可；
1 1 (a+b) 2−2ab
②把 + 变形为 后，代入计算，即可得出结果．
a2 b2 (ab) 2
解：（1）∵（x﹣3）（x+2）＝x2+mx+n，
∴x2﹣x﹣6＝x2+mx+n，
∴m＝﹣1，n＝﹣6，
故答案为：﹣1，﹣6；
1
（2）①∵(x+a)(x+b)=x2−2x+
，
2
1
∴x2+（a+b）x+ab＝x2﹣2x+ ，
2
1
∴a+b＝﹣2，ab= ，
2
∴（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2（a+b）+4
1
= −2×（﹣2）+4
2
1
= +4+4
2
1
＝8 ；
2
1
②∵a+b＝﹣2，ab= ，
2
1 1
+
∴
a2 b2
a2+b2
=
a2b2
(a+b) 2−2ab
=
(ab) 2
1
(−2) 2−2×
2
=
1
2
( )
2
4−1
=
1
4
＝12．
点睛：本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解决问题的关键．
2．（2022春•济南期中）在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12．求出a
的值．
思路引领：根据多项式乘多项式的法则将（x+a）（x+6）展开，合并同类项，根据结果是：x2+8x+12列
出方程求解即可得出答案．
解：∵（x+a）（x+6）
＝x2+6a+ax+6a
＝x2+（6+a）x+6a，
∴6+a＝8，6a＝12，
∴a＝2．点睛：本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多
项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键．
【模块三】整式的除法
题型一 基本计算
典例13（2022春•岑溪市期中）计算：（﹣3a2）2+（﹣12a5）÷3a．
思路引领：先利用幂的乘方法则运算，再利用单项式的除法法则运算，最后合并同类项．
解：原式＝9a4﹣4a4
＝5a4．
点睛：本题主要考查了幂的乘方，单项式的除法，合并同类项，正确利用上述法则进行运算是解题的关
键．
典例14（2022春•西安期末）计算：a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（2a4）2÷a2．
思路引领：根据同底数幂乘法的法则，积的乘方的运算法则，同底数幂除法的运算法则先化简计算，然
后合并同类项即可．
解：a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（2a4）2÷a2
＝a6+4a6﹣4a8÷a2
＝a6+4a6﹣4a6
＝a6．
点睛：本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相关公式并灵活运用．幂的乘方法则：底数不变，
指数相乘．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
针对训练
1
1．（2022春•历下区期中）（1）（− x2y）•15xy2；
3
（2）（3a2b2+2a2b）÷ab．
思路引领：（1）直接利用单项式乘单项式计算得出答案；
（2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
1
解：（1）原式＝（− ×15）x2+1y1+2
3
＝﹣5x3y3；
（2）原式＝3a2b2÷ab+2a2b÷ab
＝3ab+2a．
点睛：此题主要考查了整式的除法运算以及单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．（2021秋•朝天区期末）计算：（2a4b7﹣6ab2）÷2ab+（﹣ab2）3．思路引领：根据整式的除法、积的乘方以及整式的加减运算法则即可求出答案．
解：（2a4b7﹣6ab2）÷2ab+（﹣ab2）3
＝a3b6﹣3b﹣a3b6
＝﹣3b．
点睛：本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的除法、积的乘方以及整式的加减运算法
则，本题属于基础题型．
题型二 大除法
典例15（2022春•泾阳县期中）化简：（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x．
思路引领：利用多项式乘多项式的法则，多项式除以单项式的法则，合并同类项法则进行计算，即可得
出结果．
解：（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x
＝x2+xy﹣3xy﹣3y2+（xy+3y2）
＝x2+xy﹣3xy﹣3y2+xy+3y2
＝x2﹣xy．
点睛：本题考查了多项式乘多项式，整式的除法，掌握多项式乘多项式的法则，多项式除以单项式的法
则，合并同类项法则是解决问题的关键．
针对训练
1．（2022春•萍乡月考）若某多项式除以2x2﹣3，得到的商式为x+4，余式为3x+1，求此多项式．
思路引领：根据“被除式＝除式×商式+余式”列式计算便可．
解：根据题意得，
这个多项式为：（2x2﹣3）（x+4）+（3x+1）＝2x3+8x2﹣3x﹣12+3x+1＝2x3+8x2﹣11．
点睛：此题考查了整式的税法和除法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2021秋•宝山区期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘（x﹣2y）错抄成除以（x﹣
2y），结果得到3x，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？
思路引领：根据小明的做法求出第一个多项式，根据多项式乘多项式的法则即可得出答案．
解：3x（x﹣2y）＝3x2﹣6xy，
（3x2﹣6xy）（x﹣2y）
＝3x3﹣6x2y﹣6x2y+12xy2
＝3x3﹣12x2y+12xy2．
答：得到的结果应该是3x3﹣12x2y+12xy2．
点睛：本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键．
第二部分 专题提优训练
1．（2022春•江阴市校级月考）计算：
（1）a8•a3．
（2）x4•x6+x5•x5．
（3）（a3）3•（a4）3．
（4）[（a﹣2）m+1]2．
思路引领：（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变
指数相加；
（2）根据同底数幂的乘法法则化简后，再合并同类项即可；
（3）根据幂的乘方运算法则化简后，再根据同底数幂的乘法法则计算即可；
（4）根据幂的乘方运算法则计算即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
解：（1）a8•a3＝a8+3＝a11；
（2）x4•x6+x5•x5＝x10+x10＝2x10；
（3）（a3）3•（a4）3＝a9•a12＝a21；
（4）[（a﹣2）m+1]2＝（a﹣2）2m+2．
点睛：本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
2．（2022春•亭湖区校级月考）（1）已知3×9m×27m＝311，求m的值．
（2）已知2x+5y﹣4＝0，求4x×32y的值．
思路引领：（1）利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案；
（2）由2x+5y﹣4＝0，得出2x+5y＝4，再利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行
计算，即可得出答案．
解：（1）∵3×9m×27m＝311，
∴3×（32）m×（33）m＝311，
∴3×32m×33m＝311，
∴32m+3m+1＝311，
∴2m+3m+1＝11，
∴m＝2；
（2）∵2x+5y﹣4＝0，
∴2x+5y＝4，∴4x×32y
＝（22）x×（25）y
＝22x×25y
＝22x+5y
＝24
＝16．
点睛：本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则是解决问
题的关键．
3．（2022•闵行区校级开学）（﹣x2•x3）2•（0.5x2﹣1.5x2）5﹣（﹣x2）3•[（﹣x）3]2•[（﹣x）4]2．
思路引领：利用幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答．
解：（﹣x2•x3）2•（0.5x2﹣1.5x2）5﹣（﹣x2）3•[（﹣x）3]2•[（﹣x）4]2
＝x10•（﹣x10）﹣（﹣x6）•x6•x8
＝﹣x20+x20
＝0．
点睛：本题考查了幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．（2022春•碑林区校级月考）计算：a9÷a2•a+（a2）4﹣（﹣2a4）2．
思路引领：应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案．
解：原式＝a9﹣2+1+a8﹣4a8
＝a8+a8﹣4a8
＝﹣2a8．
点睛：本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握同底数幂乘除法，幂的乘方与
积的乘方运算法则进行求解是解决本题的关键．
5．（2022春•滨海县期中）已知3a＝4，3b＝5，3c＝8．
（1）求3b+c的值；
（2）求32a﹣b的值．
思路引领：（1）利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可；
（2）利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可．
解：当3a＝4，3b＝5，3c＝8时，
（1）3b+c
＝3b•3c
＝5×8＝40；
（2）32a﹣b
＝32a÷3b
＝（3a）2÷3b
＝42÷5
16
= ．
5
点睛：本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的
掌握．
6．（2021春•广陵区校级月考）（1）已知ax＝5，ax+y＝25，求ax+ay的值．
（2）已知a＝355，b＝444，c＝533，试比较a、b、c的大小，并用“＜”连接．
思路引领：（1）根据同底数幂的除法法则可得ay的值，再代入所求式子计算即可；
（2）根据幂的乘方运算法则把它们化为指数相同的幂，再比较底数大小即可．
解：因为ax＝5，ax+y＝25，
所以ay＝ax+y÷ax＝25÷5＝5，
所以ax+ay＝5+5＝10；
（2）因为a＝355＝（35）11＝24311，b＝444＝（44）11＝25611，c＝533＝（53）11＝12511，
∴533＜355＜444，
即c＜a＜b．
点睛：本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方以及有理数大小比较，熟记幂的运算法则是解答本题
的关键．
7．（2022春•兴庆区校级月考）若a+2＝﹣3b，计算3a×27×33b的值．
思路引领：利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
解：∵a+2＝﹣3b，
∴a+3b＝﹣2，
∴3a×27×33b＝3a×33×33b＝3a+3b+3＝3﹣2+3＝3．
点睛：本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．（2022春•苏州月考）解决下列问题：
（1）若4a﹣3b+7＝0，求32×92a+1÷27b的值；
（2）已知x满足22x+4﹣22x+2＝96，求x的值．
（3）对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b）
⋇
（c，d）＝ad﹣bc+2，例如：（1，3）
⋇（2，4）＝1×4﹣2×3+2＝0．当a2+a+5＝0时，求（2a+1，a﹣2）
⋇
（3a+2，a﹣3）的值．
思路引领：（1）利用幂的乘方将原式中各数变形为底数为3，然后根据同底数幂的乘除法运算法则进
行计算，从而代入求值；
（2）利用提公因式法进行因式分解，从而结合同底数幂的运算法则进行计算；
（3）根据新定义运算法则列式计算，从而利用整体思想代入求值．
解：（1）原式＝32×（32）2a+1÷（33）b
＝32×34a+2÷33b
＝32+4a+2﹣3b
＝34a+4﹣3b，
∵4a﹣3b+7＝0，
∴4a﹣3b＝﹣7，
∴原式＝3﹣7+4
＝3﹣3
1
= ；
27
（2）22x+4﹣22x+2＝96，
22x+2×22﹣22x+2＝96，
22x+2×（22﹣1）＝96，
22x+2×3＝96，
22x+2＝32，
∴2x+2＝5，
3
解得：x= ；
2
（3）原式＝（2a+1）（a﹣3）﹣（a﹣2）（3a+2）+2
＝2a2﹣6a+a﹣3﹣（3a2+2a﹣6a﹣4）+2
＝2a2﹣6a+a﹣3﹣3a2﹣2a+6a+4+2
＝﹣a2﹣a+3，
∵a2+a+5＝0，
∴a2+a＝﹣5，
∴原式＝﹣（a2+a）+3
＝﹣（﹣5）+3＝5+3
＝8．
点睛：本题考查整式的混合运算，掌握同底数幂的乘法（底数不变，指数相加），同底数幂的除法（底
数不变，指数相减），幂的乘方（am）n＝amn运算法则是解题关键．
9．你能比较20202021与20212020的大小吗？
为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较 nn+1与（n+1）n的大小（n是正整数），然后
我们从分析n＝1，n＝2，n＝3…中发现规律，经归纳、猜想得出结论．
（1）通过计算，比较下列各组中两数的大小：（在横线上填写“＞”“＝”或“＜”）
①12 21；②23 32；③34 43；④45 54；⑤56 65；
（2）从（1）的结果中，经过归纳，猜想nn+1与（n+1）n的大小关系；
（3）根据以上归纳、猜想得到的一般结论，比较20202021与20212020．
思路引领：（1）通过计算可得答案；
（2）根据（1）中规律可得结论；
（3）利用（2）中的结论可得答案．
解：（1）①12＜21，②23＜32；③34＞43；④45＞54；⑤56＞65；
故答案为：＜，＜，＞，＞，＞；
（2）当n＝1或n＝2时，nn+1＜（n+1）n；当n≥3时nn+1＞（n+1）n；
（3）20202021＞20212020．
点睛：此题考查了归纳总结的数学能力，要求会从所给材料中通过计算或分析得出相关结论，并利用结
论直接解题．同号有理数比较大小的方法（正有理数）：绝对值大的数大．如果是代数式的话要先求出
各个式的值，再比较．
10．（2022春•亭湖区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，
b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（4，16）＝ ，（﹣3，81）＝ ；
1
②若（x， ）＝﹣4，则x＝ ．
16
（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：．①计算（9，100）﹣（81，10000）
②若（16，49）＝a，（4，3）＝b，（16，441）＝c，请探索a，b，c之间的数量关系．
思路引领：（1）①根据所给的新定义进行运算即可；
②根据所给的新定义进行运算即可；
（2）①结合所给的特征进行求解即可；
②结合所给的特征进行求解即可．
解：（1）①∵42＝16，
∴（4，16）＝2，
∵（﹣3）4＝81，
∴（﹣3，81）＝4，
故答案为：2，4；
1
②由题意得：x−4=
，
16
1 1
=
∴ ，
x4 (±2) 4
∴x＝±2，
故答案为：±2；
（2）①（9，100）﹣（81，10000）
＝（32，102）﹣（34，104）
＝（3，10）﹣（3，10）
＝0；
②∵（16，49）＝a，（16，441）＝c，
∴（4，7）＝a，（4，21）＝c，
∴4a＝7，4c＝21，4b＝3，
∵4c＝3×7＝4a×4b，
∴c＝a+b．
点睛：本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与灵活运用．
11．（2022春•晋州市期中）阅读：已知正整数 a，b，c，若对于同底数，不同指数的两个幂 ab和ac
（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，则有ab＞
cb，根据上述材料，回答下列问题．
（1）比较大小：520 ＞ 420，961 ＜ 2741；（填“＞”“＜”或“＝”）（2）比较233与322的大小；
（3）比较312×510与310×512的大小．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
思路引领：（1）根据“同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，则有ab＞cb，”即可比较520，
420的大小；根据“对于同底数，不同指数的两个暴ab和ac（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac”，即可
比较961，2741的大小；
（2）据“对于同底数，不同指数的两个暴ab和ac（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac”，即可比较233
与322的大小；
（3）利用作商法，即可比较312×510与310×512的大小．
解：（1）∵5＞4，
∴520＞420，
∵961＝（32）61＝3122，2741＝（33）41＝3123，122＜123，
∴961＜2741，
故答案为：＞，＜；
（2））∵233＝（23）11＝811，322＝（32）11＝911，8＜9，
∴233＜322；
312×510 32 9
（3）∵ = = ，
310×512 52 25
∴312×510＜310×512．
点睛：本题考查了幂的乘方与积的乘方及有理数大小比较，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题
的关键．
12．（2022春•金牛区校级月考）计算：
（1）已知（2an）3＝40，求a6n的值；
（2）已知n为正整数，且x2n＝7，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．
思路引领：（1）由（2an）3＝40，得出a3n＝5，进而得出a6n＝（a3n）2＝52＝25；
（2）把（3x3n）2﹣4（x2）2n变形为9（x2n）3﹣4（x2n）2，把x2n＝7代入计算，即可得出答案．
解：（1）∵（2an）3＝40，
∴8a3n＝40，
∴a3n＝5，
∴a6n＝（a3n）2＝52＝25；
（2）（3x3n）2﹣4（x2）2n＝9x6n﹣4x4n
＝9（x2n）3﹣4（x2n）2，
当x2n＝7时，
原式＝9×73﹣4×72
＝9×343﹣4×49
＝3087﹣196
＝2891．
点睛：本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
13．（2022春•高港区校级月考）若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论
解决下面的问题：
（1）如果2x•23＝32，求x的值；
（2）如果2x+2﹣2x+1＝16，求x的值；
（3）若x＝5m﹣3，y＝﹣25m，用含x的代数式表示y．
思路引领：（1）利用同底数幂的乘法法则进行计算，得出关于x的等式，进而即可得出结果；
（2）利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出结果；
（3）由x＝5m﹣3，可得5m＝x+3，把y＝﹣25m变形为y＝﹣（5m）2，代入即可．
解：（1）∵2x•23＝32，
∴2x+3＝25，
∴x+3＝5，
∴x＝2；
（2）∵2x+2﹣2x+1＝16，
∴2x+1（2﹣1）＝24，
∴2x+1＝24，
∴x+1＝4，
∴x＝3；
（3）∵x＝5m﹣3，
∴5m＝x+3，
∴y＝﹣25m
＝﹣（52）m
＝﹣（5m）2
＝﹣（x+3）2．点睛：本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂
的乘法法则是解决问题的关键．
14．（2022春•冷水滩区期末）某人计算（x﹣2）（x+■）时，已正确得出结果中的一次项系数为﹣1，不
小心将第二个括号中的常数染黑了，则被染黑的常数为 ．
思路引领：根据多项式乘多项式的法则进行运算，再结合所给的条件进行求解即可．
解：（x﹣2）（x+■）＝x2+（■﹣2）x﹣2■，
∵一次项系数为﹣1，
∴■﹣2＝﹣1，
解得：■＝1．
故答案为：1．
点睛：本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是运算时注意符号的变化．
15．（2022春•振兴区校级期末）已知x+y＝2，xy＝﹣2，那么（1﹣x）（1﹣y）的值为 ．
思路引领：利用多项式乘以多项式，再代入数值求值即可．
解：（1﹣x）（1﹣y）＝1﹣y﹣x+xy，
∵x+y＝2，xy＝﹣2，
∴原式＝1﹣（x+y）+xy
＝1﹣2﹣2
＝﹣3．
故答案为：﹣3．
点睛：本题考查了多项式乘以多项式，做题关键是掌握多项式乘以多项式法则．
16．（2022春•沙坪坝区校级期末）若（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n，则m+n的值为 ．
思路引领：根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．
解：（x﹣2）（x+3）＝x2+3x﹣2x﹣6＝x2+x﹣6．
∵（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n，
∴m＝1，n＝﹣6．
∴m+n＝1+（﹣6）＝﹣5．
故答案为：﹣5．
点睛：本题主要多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
17．（2022春•东海县期末）计算：
（1）m3•m•（m2）3；
（2）（a+9）（a+1）．思路引领：（1）先根据幂的乘方的法则计算，然后根据同底数幂乘法的法则计算即可；
（2）根据单项式乘多项式的法则计算即可．
解：（1）m3•m•（m2）3
＝m3•m•m6
＝m3+1+6
＝m10；
（2）（a+9）（a+1）
＝a2+a+9a+9
＝a2+10a+9．
点睛：本题考查了单项式乘单项式、多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项
式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
18．（2022春•顺义区期末）计算：（a+3）（a﹣2）+a（2﹣a）．
思路引领：直接利用多项式乘多项式以及单项式乘多项式计算，进而合并同类项得出答案．
解：（a+3）（a﹣2）+a（2﹣a）
＝a2+a﹣6﹣a2+2a
＝3a﹣6．
点睛：此题主要考查了多项式乘多项式以及单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19．（2022春•萍乡月考）已知M＝（x+1）（3x﹣4），N＝3x（x﹣3）+8．当x为何值时，M＝N？
思路引领：根据题意，列出等式，通过解方程可得答案．
解：根据题意得，（x+1）（3x﹣4）＝3x（x﹣3）+8，
去括号得，3x2﹣4x+3x﹣4＝3x2﹣9x+8，
移项，合并同类项得，8x＝12，
系数化1得，x＝1.5，
∴当x＝1.5时，M＝N．
点睛：此题考查的是整式的乘法，掌握多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则是解决此题的关键．
20．（2022春•潍坊期中）已知（x2+mx﹣n）（2x﹣3）的展开式中不含x和x2项．
（1）求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
思路引领：（1）利用多项式乘多项式的法则进行计算，得出关于 m，n的方程，解方程即可得出m，n
的值；
（2）把m，n的值代入计算，即可得出结果．解：（1）（x2+mx﹣n）（2x﹣3）
＝2x3﹣3x2+2mx2﹣3mx﹣2nx+3n
＝2x3+（2m﹣3）x2﹣（3m+2n）x+3n，
∵展开式中不含x和x2项，
∴2m﹣3＝0，﹣（3m+2n）＝0，
3 9
∴m= ，n=− ；
2 4
（2）（m+n）（m2﹣mn+n2）
＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3
＝m3+n3，
3 9
当m= ，n=− 时，
2 4
3 9
原式＝（ ）3+（− ）3
2 4
27 729
= −
8 64
513
=− ．
64
点睛：本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解决问题的关键．
21．（2022春•古田县期中）计算：
（1）（6a2b﹣9a3）•（﹣3a）2；
（2）（x﹣8y）（x﹣y）．
思路引领：（1）根据整式的乘法运算以及积的乘方即可求出答案．
（2）根据多项式乘多项式法则即可求出答案．
解：（1）原式＝（6a2b﹣9a3）•9a2
＝54a4b﹣81a5．
（2）原式＝x2﹣xy﹣8xy+8y2
＝x2﹣9xy+8y2．
点睛：本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式法则、积的乘方运算，本题属
于基础题型．
22．（2022春•瑶海区期中）某同学在计算一个多项式M乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣
2a，得到的结果是a2+2a﹣1，（1）求这个多项式M；
（2）求出正确的运算结果．
思路引领：（1）由题意得出M＝（a2+2a﹣1）﹣（﹣2a），再根据括号法则、合并同类项法则进行计
算即可；
（2）利用单项式乘多项式的法则进行计算即可．
解：（1）由题意得：
M＝（a2+2a﹣1）﹣（﹣2a）
＝a2+2a﹣1+2a
＝a2+4a﹣1；
（2）（a2+4a﹣1）•（﹣2a）
＝﹣2a3﹣8a2+2a．
点睛：本题考查了整式的加减及单项式乘多项式，掌握去括号法则、合并同类项法则、单项式乘多项式
的法则是解决问题的关键．
23．（2022春•仪征市期中）计算：
（1）﹣3a（2a﹣4b+2）+6a；
（2）（x﹣2y）（2x+y）．
思路引领：（1）先利用单项式乘多项式法则计算，再合并同类项；
（2）利用多项式乘多项式法则计算．
解：（1）﹣3a（2a﹣4b+2）+6a
＝﹣6a2+12ab﹣6a+6a
＝﹣6a2+12ab；
（2）（x﹣2y）（2x+y）
＝2x2﹣4xy+xy﹣2y2
＝2x2﹣3xy﹣2y2．
点睛：本题考查了整式的混合运算，掌握单项式乘多项式、多项式乘多项式法则是解决本题的关键．
24．（2018秋•翠屏区期中）已知x﹣y＝3，xy＝2，求下列代数式的值：
（1）（x﹣2）（y+2）；
（2）x3y﹣2x2y2+xy3．
思路引领：（1）按照多项式乘以多项式的运算法则进行计算后代入即可求得答案；
（2）首先提取公因式xy，然后利用完全平方公式因式分解后代入即可求得答案．
解：（1）原式＝xy+2（x﹣y）﹣4＝2+6﹣4＝4；（2）原式＝xy（x2﹣2xy+y2）＝xy（x﹣y）2＝2×9＝18；
点睛：本题考查了多项式乘以多项式及因式分解的知识，解题的关键是对算式进行变形，难度不大．
25．（2022春•东台市期中）小刚同学计算一道整式乘法：（3x+a）（2x﹣3），由于他抄错了多项式中a
前面的符号，把“+”写成“﹣”，得到的结果为6x2+bx+12
（1）求a，b的值；
（2）计算这道整式乘法的正确结果．
思路引领：（1）由题意得（3x﹣a）（2x﹣3）＝6x2+bx+12，进而得出 6x2﹣（2a+9）x+3a＝
6x2+bx+12，根据对应系数相等即可求出a，b的值；
（2）把a＝4代入（3x+a）（2x﹣3），依据多项式乘多项式的法则进行计算，即可得出正确结果．
解：（1）由题意得：（3x﹣a）（2x﹣3）＝6x2+bx+12，
∴6x2﹣（2a+9）x+3a＝6x2+bx+12，
∴﹣（2a+9）＝b，3a＝12，
∴a＝4，b＝﹣17；
（2）（3x+4）（2x﹣3）
＝6x2﹣9x+8x﹣12
＝6x2﹣x﹣12．
点睛：本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解决问题的关键．
26．（2021秋•玉州区期末）计算：
（1）a2（5a﹣3b）；
（2）（m2n+2m3n﹣3m2n2）÷（m2n）．
思路引领：（1）直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案；
（2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
解：（1）原式＝5a3﹣3a2b；
（2）（m2n+2m3n﹣3m2n2）÷（m2n）
＝m2n÷m2n+2m3n÷m2n﹣3m2n2÷m2n
＝1+2m﹣3n．
点睛：此题主要考查了整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
27．（2021秋•朝阳区期末）计算：（12a4﹣4a3﹣8a2）÷（2a）2．
思路引领：先算乘方，然后根据多项式除以单项式的运算法则进行计算．
解：原式＝（12a4﹣4a3﹣8a2）÷4a2＝3a2﹣a﹣2．
点睛：本题考查整式的除法，积的乘方，掌握积的乘方运算法则（ab）n＝anbn以及多项式除以单项式的运
算法则是解题关键．
