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第21讲 整式的乘除核心考点（原卷版）
第一部分 典例剖析+针对训练
【模块一】幂的运算
题型一 基本计算
典例1（2022春•玄武区校级期中）化简：a2•（﹣a）4﹣（3a3）2+（﹣2a2）3．
典例2（2022春•陈仓区期末）计算：（﹣y2）4÷y4•（﹣y）3．
针对训练1
1．（2022春•周村区期中）计算：a4•（a2）3；
2．（2022春•通州区期中）计算：x2•x4+（x2）3﹣（﹣3x3）2
3．（2022春•陈仓区期中）计算：x2﹣x6﹣（x4）2+x9÷x．
题型二 逆向运用幂运算
典例3（2022春•湖口县期中）按要求完成下列各小题．
3 8
（1）计算：（− ）2019×（ ）2020
8 3
（2）已知3x+5y＝4，求8x•25y的值．
典例4（2022春•镇江月考）计算：
（1）已知3m＝6，9n＝2，求32m﹣4n的值．
（2）若n为正整数，且x2n＝7，求（3x3n）2﹣13（x2）2n的值．
针对训练21．（2022春•郫都区校级期中）解答下列各题：
（1）若2x+3•3x+3＝36x﹣2，则x的值是多少？
1
（2）已知10﹣2 ＝3，10﹣ = ，求102 ﹣2 的值．
5
α β α β
2．（2022春•咸阳月考）（1）已知2x+3y＝4，求4x•8y的值．
（2）已知9b＝6，3a＝2，求33a﹣2b的值．
题型三 灵活进行公式变形
典例5 已知： ，求 的值．
针对训练3
已知 ， ，求 的值．
1 1
已知25x＝2000，80y＝2000，求 + 的值．
x y
题型四 比较大小
典例6阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较2a，2b的大小；当a＞b时，2a
＞2b，∴当同底数时，指数越大值越大；②比较350和275的大小，∵350＝（32）25＝925，275＝（23）25
＝825，∵9＞8，∴350＞275．可以将其先化为同指数，再比较大小，∴同指数时，底数越大值越大，根
据上述材料，回答下列问题．
（1）比较大小320 915（填写＞、＜或＝）；
（2）已知a＝355，b＝444，c＝533，试比较a、b、c的大小．
针对训练4
1．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，试比较a、b、c的大小．
2．若a＝255，b＝344，c＝433，d＝522，试比较a，b，c，d的大小．【模块二】整式的乘法
题型一 基本计算
典例7（2022春•泗洪县期中）化简：（2x）3•（﹣3xy2）＝ ．
1
典例8（2022春•阜宁县校级月考）计算2x2y•（ −3xy+y3）的结果是 ．
2
典例9（2022•湖北模拟）计算：（a﹣1）（2a+3）＝ ．
针对练习
1．（2021秋•西城区期末）计算：2ab（3a2﹣5b）＝ ．
2．（2022•山西二模）计算（3m+2n）（m﹣2n）的结果为 ．
题型二 混合运算
典例10（2022春•兰州期末）化简：（x+y）（3x﹣2y）﹣y（4x﹣2y）．
针对训练
1．（2022春•覃塘区期中）计算：（x﹣1）（5x+3）﹣（2x+4）（3x﹣2）．
题型三 展开后不含某项
典例11（2022春•田东县期末）已知（x2+nx）与（x2﹣3x+m）的乘积中不含x2和x3的项，求m，n的值．
针对训练
1．（2022•南京模拟）已知（x2+mx﹣2）（x2﹣2x）的乘积中不含x3项，则m＝ ．
题型四 比较对应项的系数求值
典例12（2022春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，
得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．
（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；
（2）若整式中的a的符号不抄错，且a＝3，请计算这道题的正确结果．针对训练
1．（2022春•周村区期中）解决下列问题：
（1）如果（x﹣3）（x+2）＝x2+mx+n，那么m的值是 ，n的值是 ；
1
（2）如果(x+a)(x+b)=x2−2x+ ，
2
①求（a﹣2）（b﹣2）的值；
1 1
②求 + 的值．
a2 b2
2．（2022春•济南期中）在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12．求出a
的值．
【模块三】整式的除法
题型一 基本计算
典例13（2022春•岑溪市期中）计算：（﹣3a2）2+（﹣12a5）÷3a．
典例14（2022春•西安期末）计算：a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（2a4）2÷a2．
针对训练
1
1．（2022春•历下区期中）（1）（− x2y）•15xy2；
3
（2）（3a2b2+2a2b）÷ab．
2．（2021秋•朝天区期末）计算：（2a4b7﹣6ab2）÷2ab+（﹣ab2）3．
题型二 大除法
典例15（2022春•泾阳县期中）化简：（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x．
针对训练
1．（2022春•萍乡月考）若某多项式除以2x2﹣3，得到的商式为x+4，余式为3x+1，求此多项式．
2．（2021秋•宝山区期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘（x﹣2y）错抄成除以（x﹣
2y），结果得到3x，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？第二部分 专题提优训练
1．（2022春•江阴市校级月考）计算：
（1）a8•a3．
（2）x4•x6+x5•x5．
（3）（a3）3•（a4）3．
（4）[（a﹣2）m+1]2．
2．（2022春•亭湖区校级月考）（1）已知3×9m×27m＝311，求m的值．
（2）已知2x+5y﹣4＝0，求4x×32y的值．
3．（2022•闵行区校级开学）（﹣x2•x3）2•（0.5x2﹣1.5x2）5﹣（﹣x2）3•[（﹣x）3]2•[（﹣x）4]2．
4．（2022春•碑林区校级月考）计算：a9÷a2•a+（a2）4﹣（﹣2a4）2．
5．（2022春•滨海县期中）已知3a＝4，3b＝5，3c＝8．
（1）求3b+c的值；
（2）求32a﹣b的值．
6．（2021春•广陵区校级月考）（1）已知ax＝5，ax+y＝25，求ax+ay的值．
（2）已知a＝355，b＝444，c＝533，试比较a、b、c的大小，并用“＜”连接．
7．（2022春•兴庆区校级月考）若a+2＝﹣3b，计算3a×27×33b的值．
8．（2022春•苏州月考）解决下列问题：
（1）若4a﹣3b+7＝0，求32×92a+1÷27b的值；
（2）已知x满足22x+4﹣22x+2＝96，求x的值．
（3）对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b）
⋇
（c，d）＝ad﹣bc+2，例如：（1，3）
⋇
（2，4）＝1×4﹣2×3+2＝0．当a2+a+5＝0时，求（2a+1，a﹣2）
⋇
（3a+2，a﹣3）的值．
9．你能比较20202021与20212020的大小吗？为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较 nn+1与（n+1）n的大小（n是正整数），然后
我们从分析n＝1，n＝2，n＝3…中发现规律，经归纳、猜想得出结论．
（1）通过计算，比较下列各组中两数的大小：（在横线上填写“＞”“＝”或“＜”）
①12 21；②23 32；③34 43；④45 54；⑤56 65；
（2）从（1）的结果中，经过归纳，猜想nn+1与（n+1）n的大小关系；
（3）根据以上归纳、猜想得到的一般结论，比较20202021与20212020．
10．（2022春•亭湖区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，
b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（4，16）＝ ，（﹣3，81）＝ ；
1
②若（x， ）＝﹣4，则x＝ ．
16
（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：．
①计算（9，100）﹣（81，10000）
②若（16，49）＝a，（4，3）＝b，（16，441）＝c，请探索a，b，c之间的数量关系．
11．（2022春•晋州市期中）阅读：已知正整数 a，b，c，若对于同底数，不同指数的两个幂 ab和ac
（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，则有ab＞
cb，根据上述材料，回答下列问题．
（1）比较大小：520 420，961 2741；（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）比较233与322的大小；
（3）比较312×510与310×512的大小．[注（2），（3）写出比较的具体过程]12．（2022春•金牛区校级月考）计算：
（1）已知（2an）3＝40，求a6n的值；
（2）已知n为正整数，且x2n＝7，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．
13．（2022春•高港区校级月考）若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论
解决下面的问题：
（1）如果2x•23＝32，求x的值；
（2）如果2x+2﹣2x+1＝16，求x的值；
（3）若x＝5m﹣3，y＝﹣25m，用含x的代数式表示y．
14．（2022春•冷水滩区期末）某人计算（x﹣2）（x+■）时，已正确得出结果中的一次项系数为﹣1，不
小心将第二个括号中的常数染黑了，则被染黑的常数为 ．
15．（2022春•振兴区校级期末）已知x+y＝2，xy＝﹣2，那么（1﹣x）（1﹣y）的值为 ．
16．（2022春•沙坪坝区校级期末）若（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n，则m+n的值为 ．
17．（2022春•东海县期末）计算：
（1）m3•m•（m2）3；
（2）（a+9）（a+1）．
18．（2022春•顺义区期末）计算：（a+3）（a﹣2）+a（2﹣a）．
19．（2022春•萍乡月考）已知M＝（x+1）（3x﹣4），N＝3x（x﹣3）+8．当x为何值时，M＝N？20．（2022春•潍坊期中）已知（x2+mx﹣n）（2x﹣3）的展开式中不含x和x2项．
（1）求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
21．（2022春•古田县期中）计算：
（1）（6a2b﹣9a3）•（﹣3a）2；
（2）（x﹣8y）（x﹣y）．
22．（2022春•瑶海区期中）某同学在计算一个多项式M乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣
2a，得到的结果是a2+2a﹣1，
（1）求这个多项式M；
（2）求出正确的运算结果．
23．（2022春•仪征市期中）计算：
（1）﹣3a（2a﹣4b+2）+6a；
（2）（x﹣2y）（2x+y）．
24．（2018秋•翠屏区期中）已知x﹣y＝3，xy＝2，求下列代数式的值：
（1）（x﹣2）（y+2）；
（2）x3y﹣2x2y2+xy3．25．（2022春•东台市期中）小刚同学计算一道整式乘法：（3x+a）（2x﹣3），由于他抄错了多项式中a
前面的符号，把“+”写成“﹣”，得到的结果为6x2+bx+12
（1）求a，b的值；
（2）计算这道整式乘法的正确结果．
26．（2021秋•玉州区期末）计算：
（1）a2（5a﹣3b）；
（2）（m2n+2m3n﹣3m2n2）÷（m2n）．
27．（2021秋•朝阳区期末）计算：（12a4﹣4a3﹣8a2）÷（2a）2．
