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能力提高 / 初二 / 春季
第 1 讲 等腰三角形与等边三角形
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】B
(2【) 答案】B
(3【) 答案】25∘ 或65∘
(4【) 答案】22cm
例2 【答案】证明：在△ABC中，BA=BC，
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∵DF⊥AC，
∴∠C+∠FEC=90°，
∠A+∠D=90°，
∴∠FEC=∠D，
∵∠FEC=∠BED，
∴∠BED=∠D，
∴BD=BE，
即△DBE是等腰三角形．
【解析】首先根据等腰三角形的两个底角相等得到∠A=∠C，再根据等角的余角相等得
∠FEC=∠D，同时结合对顶角相等即可证明△DBE是等腰三角形．
练2.1 【答案】证明：（1）∵AB = AC，∠BAC = 36∘ ，
∴∠ABC = 72∘ ，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD = 36∘ ，
∴∠BAD = ∠ABD，
∴AD = BD，
1/104
又∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
（2）∵FE⊥AB，AE = BE，
∴FE垂直平分AB，
∴AF = BF，
∴∠BAF = ∠ABF，
又∵∠ABD = ∠BAD，
∴∠FAD = ∠FBD = 36∘ ，
又∵∠ACB = 72∘ ，
∴∠AFC = ∠ACB −∠CAF = 36∘ ，
∴∠CAF = ∠AFC = 36∘ ，
∴AC = CF，即△ACF为等腰三角形．
【解析】
例3 【答案】解：∵ DE//BC，∠AED = 80∘ ，
∴ ∠ACB = ∠AED = 80∘ ，∠BCD = ∠EDC，
∵
CD平分∠ACB，
1
∴ ∠BCD = ∠ACB = 40∘ ，
2
∴ ∠EDC = 40∘ ．
练3.1 【答案】解：∵BP是∠ABC的角平分线，
∴∠ABP = ∠PBD，
又∵PD∥AB，
∴∠ABP = ∠BPD，
∴∠PBD = ∠BPD，
∴BD = PD．
同理CE = PE，
∴△PDE的周长= PD+DE +PE
= BD+DE +EC
2/104
= BC
= 5(cm)，
即△PDE的周长是5cm．
【解析】由BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，易证得△PBD与△PCE
是等腰三角形，继而可求得△PDE的周长．
例4 【答案】15∘
练4.1 【答案】A
【解析】∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°．
3
例5 【答案】
30；
2
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，
∴BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°，
即∠DBE=30°，又DE=DB，
∴∠E=∠DBE=30°，
∵等边△ABC的周长为9，∴AC=3，且∠ACB=60°，
∴∠CDE=∠ACB∠E=30°，即∠CDE=∠E，
1 3
∴CD=CE= AC= ．
2 2
3
故答案为：30；
2
练5.1 【答案】15
例6 【答案】B
练6.1 【答案】 证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60∘
，
∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，
∴∠DAB＝∠ACF＝∠CBE＝90∘
，
3/104
∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30∘
，
∴∠D＝∠E＝∠F＝180∘ −90∘ −30∘ ＝60∘
，
∴DF＝DE＝EF，
∴△DEF是等边三角形，
练6.2 【答案】（1）∵AB = AC，
∴
ΔABC是等腰三角形，
∴∠B = ∠C，
∵∠BAC = 120∘ ，
1
∴ ∠B = ∠C = ×(180∘ −120∘) = 30∘ .
2
（2）∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴ ∠BAE = ∠DAC = 90∘ ，
∴ ∠AED = ∠ADE = 90∘ −30∘ = 60∘ ，
∴ ∠AED = ∠ADE = ∠DAE = 60∘ ，
∴
ΔADE是等边三角形．
例7 【答案】2
1
【解析】 解：根据含30度角的直角三角形的性质可知：BC = AB = 2．
2
练7.1 【答案】BD = 1
能力提高 / 初二 / 春季
第 1 讲 等腰三角形与等边三角形
自我巩固答案
1 【答案】解：连接AD，过点D作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F
由“三线合一”可得AD平分∠BAC
由角平分线的性质可得点D到AB、AC的距离相等
4/104
2 【答案】A
3 【答案】A
【解析】∵AC=CD=BD=BE，∠A=60°，
∴∠A=∠CDA=60°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，
∵∠B+∠DCB=∠CDA=60°，
∴∠B=30°，
∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，
1
∴∠BDE=∠BED= （180°-30°）=75°，
2
∴∠CDE=180°-∠CDA-∠EDB=180°-60°-75°=45°．
4 【答案】证明：（1）∵ BA⊥AM，MN⊥AC，
∴ ∠BAM = ∠ANM = 90∘ ，
∴ ∠PAQ+∠MAN = ∠MAN +∠AMN = 90∘ ，
∴ ∠PAQ = ∠AMN，
∵
PQ⊥AB，MN⊥AC，
∴ ∠PQA = ∠ANM = 90∘ ，
∠PAQ = ∠AMN
∴在ΔPQA与ΔANM中， ⎧⎪AQ = MN ，
⎨
∠AQP = ∠ANM
⎩⎪
∴
ΔPQA≌ΔANM(ASA)，
∴ AP = AM，
∴
ΔAPM是等腰三角形；
（2）由（1）知，ΔPQA ≅ΔANM，
∴ AN = PQ，AM = AP，
∴ ∠AMB = ∠APM，
∵ ∠APM = ∠BPC，∠BPC +∠PBC = 90∘ ，∠AMB +∠ABM = 90∘ ，
∴ ∠ABM = ∠PBC，
∵
PQ⊥AB，PC⊥BC，
∴ PQ = PC（角平分线的性质），
∴ PC = AN．
5 【答案】C
6 【答案】∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF = ∠CBF，∠FCE = ∠FCG，
∵DE∥BC，
5/104
∴∠DFB = ∠CBF，∠EFC = ∠FCG，
∴∠DBF = ∠DFB，∠FCE = ∠EFC，
∴BD = FD，EF = CE，
∴BD−CE = FD−EF = DE，
∴EF = DF −DE = BD−DE = 8 −3 = 5，
∴EC = 5．
7 【答案】C
8 【答案】D
【解析】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；
②这是等边三角形的判定2，故正确；
③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；
④根据等边三角形三线合一性质，故正确．
所以都正确．
故选：D．
9 【答案】证明：（1）∵ ΔABC为等边三角形，
∴ ∠A = ∠ABC = ∠ACB = 60∘ ，
∵
DE//BC，
∴ ∠AED = ∠ABC = 60∘ ，∠ADE = ∠ACB = 60∘ ，
∴ ∠A = ∠AED = ∠ADE，
∴
ΔADE是等边三角形；
（2）∵ ΔADE是等边三角形
∴ ED = AE，
∵
BD平分∠ABC，
∴ ∠EBD = ∠CBD，
∵
DE//BC，
∴ ∠CBD = ∠EDB
，
∴ ∠EDB = ∠EBD
∴ EB = ED，
∴ AE = EB．
10 【答案】（1）证明：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝30°，∠BAC＝120°，
∵AB⊥AE，
∴∠BAE＝90°
6/104
∴∠DAE＝30°＝∠C，
∴AE＝EC；
（2）∵∠C＝30°，DE⊥AC，
∴EC＝2DE＝AE＝4，
∵AB⊥AE，∠B＝30°，
∴BE＝2AE＝8，
∴BC＝BE+EC＝12．
能力提高 / 初二 / 春季
第 1 讲 等腰三角形与等边三角形
课堂落实答案
1 【答案】A
【解析】分情况考虑：当2cm是腰时，则底边长是11 −2 ×2 = 7cm，此时2cm，2cm，
7cm不能组成三角形，应舍去；
1
当2cm是底边时，腰长是(11 −2)× = 4.5cm，2cm，4.5cm，4.5cm能够组成
2
三角形．此时腰长是4.5cm．
故选：A．
2 【答案】B
3 【答案】A
【解析】解：在△ ABC中，
∵∠B = 60∘ ，AB = AC，
∴△ ABC为等边三角形，
∵BC = 3，
∴△ ABC的周长为：3BC = 9，
故选：A．
4 【答案】D
5 【答案】A
【解析】解：∵∠A：∠B：∠ACB = 1：2：3，
∴设∠A = x∘ ，则∠B = 2x∘ ，∠ACB = 3x∘ ，
根据三角形的内角和定理得到：x+2x+3x = 180，
7/104
解得：x = 30．
则∠A = 30∘ ，则∠B = 60∘，∠ACB = 90∘．
∴△ ABC是直角三角形．
1
∴BC= AB=2．
2
在直角△ BCD中，∠BCD = 90∘ −∠B = 30∘ ，
1
∴BD= BC=1
2
能力提高 / 初二 / 春季
第 1 讲 等腰三角形与等边三角形
精选精练
1 【答案】C
2 【答案】D
3 【答案】C
【解析】∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠EAD = ∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠EAD = ∠B，∠CAD = ∠C，
∴∠B = ∠C，
∵∠B = 30∘ ，
∴∠C = 30∘ ．
故选：C．
4 【答案】6
5
(1【) 答案】∵△ ABC是等边三角形，
∴BC = AB = 9cm，
∵点P的速度为2cm/s，时间为ts，
∴CP = 2tcm，
则PB = BC −CP = (9 −2t)cm；
∵点Q的速度为5cm/s，时间为ts，
8/104
∴BQ = 5tcm；
(2【) 答案】若△ PBQ为等边三角形，
则有BQ = BP，即9 −2t = 5t，
9
解得t = ，
7
9
所以当 s时，△ PBQ为等边三角形；
7
(3【) 答案】设ts时，Q与P第一次相遇，
根据题意得：5t−2t = 18，
解得t = 6，
则6s时，两点第一次相遇．
当t = 6s时，P走过得路程为2 ×6 = 12cm，
而9 < 12 < 18，即此时P在AB边上，
则两点在AB上第一次相遇．
6 【答案】2
能力提高 / 初二 / 春季
第 2 讲 垂直平分线与角平分线
例题练习题答案
–
例1 【答案】2√3
–
【解析】解：∵BC = 2，DB = 1，CD = √3，
∴DB2 +CD2 = 1 +3 = 4 = BC2 ，
∴△CDB是直角三角形，∠CDB = 90∘ ，
∴∠CDA = 90∘ ，
∵AB = 4，BD = 1，
∴AD = 3，
−−−−−−−−−
∴AC = √ − A − D −− 2 − + −− C − D −− 2 = 32 +(√3 – ) 2 = 2√3 – ．
√
练1.1
(1【) 答案】解：（1）连接AC，
∵AB⊥CB于B，
9/104
∴∠B=90°，
在△ABC中，∵∠B=90°，
2 2 2
∴AB +BC =AC ，
–
又∵AB=CB=√2 ，
∴AC=2，∠BAC=∠BCA=45°，
–
∵CD=√5，DA=1，
2 2 2
∴CD =5，DA =1，AC =4．
2 2 2
∴AC +DA =CD ，
由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°
【解析】连接AC，则在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根据AC，AD，CD的长可以
判定△ACD为直角三角形，
（1）根据∠BAD=∠CAD+∠BAC，可以求解；
（2）根据四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD的面积之和可以解题．
(2【) 答案】∵∠DAC=90°，AB⊥CB于B，
1 1
∴S = AB ⋅BC,S = DA ⋅AC，
△ABC △DAC
2 2
–
∵AB=CB=√2，DA=1，AC=2，
∴S =1，S =1
△ABC △DAC
而S =S +S ，
四边形ABCD △ABC △DAC
∴S =2．
四边形ABCD
【解析】根据四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD的面积之和可以解题
例2 【答案】证明：∵∠BAC = 90∘ ，
∴∠CAE = 90∘ ．
BD = CE
在Rt△BAD和Rt△CAE中， ，
{AB = AC
∴Rt △ BADRt △ CAE(HL)，
10/104
∴∠E = ∠ADB．
∵∠ADB = ∠CDF，
∴∠CDF = ∠E．
∵∠E +∠ACE = 90∘ ，
∴∠CDF +∠DCF = 90∘ ，
∴∠CFD = 90∘ ，即BF⊥CE．
练2.1 【答案】证明：∵CE⊥AB，CF⊥AD
∴∠AEC = ∠CFD = 90∘
在Rt △ BCE和Rt △ DCF中
CB = CD
{BE = DF
∴Rt △ BCE≌Rt △ DCF(HL)
∴EC = FC
在Rt △ ACE和Rt △ ACF中
AC = AC
{EC = FC
∴Rt △ ACE≌Rt △ ACF(HL)
例3
(1【) 答案】解：设河水的深度为h米，
由勾股定理得：h2 +1.52 = (h +0.5) 2 ，
解得：h = 2，
∴河水的深度为2米．
(2【) 答案】解：从点A处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，
其中AC为圆柱体的底面周长，
则AC = 2πr ≈ 2 ×3 ×4 = 24cm，则
1 1 1
E′B = E′D = AC = ×24 = 12cm，
2 2 2
又∵EA = 8cm，EE′ = 3cm，
∴AE′ = EA −EE′ = 8 −3 = 5cm，
在Rt△ABE′中，
AB2 = AE′2 +E′B2 = 52 +122 = 132 ，
∴AB = 13cm，
∵两点之间，线段最短，
11/104
∴蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为13cm．
练3.1 【答案】解：（1）AB比AC长2米；
（2）设AC = x米，则AB = (x+2)米，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2 +82 = (x+2) 2 ，
解得：x = 15，
答：旗杆的高度为15米．
【解析】（1）由题意可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形；
（2）根据题中数据，用勾股定理即可解答．
−−−
练3.2 【答案】√145
【解析】第一种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是12和5，
−−−−−−−
则所走的最短线段是√122 +52 = 13；
第二种情况：把我们看到的右面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是13和4，
−−−−−−− −−−
所以走的最短线段是√132 +42 = √185；
第三种情况：把我们所看到的前面和下面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是9和8，
−−−−−− −−−
所以走的最短线段是√92 +82 = √145；
三种情况比较而言，第三种情况最短．
−−−
故答案为：√145．
例4 【答案】∵∠B = 90∘ ，∠BAE = 10∘ ，
∴∠BEA = 80∘ ．
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE = EC，
∴∠C = ∠EAC．
∵∠BEA = ∠C +∠EAC，
∴∠C = 40∘ ．
【解析】根据直角三角形的性质求得∠BEA = 80∘ ；根据线段垂直平分线的性质得
AE = CE，则∠C = ∠EAC，再根据三角形的外角的性质即可求解．
12/104
练4.1 【答案】解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，由勾股定理得：AB=
−−−−−−−
√122 + 92 =15；
（2）
连接BE，
∵AB的垂直平分线DE，
∴AE=BE，
设AE=x，则BE=x，CE=12x，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：（12− x） 2 +92 =x2，
75
解得：x= ，
8
75
即AE= ．
8
【解析】（1）根据勾股定理求出即可；
（2）根据线段垂直平分线求出AE=BE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
例5 【答案】（1）证明：∵∠A = ∠ABE，
∴EA = EB，
∵点D是AB的中点，
∴AD = DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线；
（2）解：∵∠A = 46∘ ，
∴∠ABE = ∠A = 46∘ ，
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB = 67∘ ，
∴∠EBC = ∠ABC −∠ABE = 21∘ ，
∠F = 90∘ −∠ABC = 23∘ ．
练5.1 【答案】①②③
【解析】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
13/104
在△AED和△ACD中，
AE = AC
⎧⎪
∠EAD = ∠CAD，
⎨
AD = AD
⎩⎪
∴△AED≌△ACD(SAS)，故①正确；
∴ED=DC，
∴∠CED=∠DCE，
∵EF∥BC，
∴∠FEC=∠ECD，
∴∠CED=∠FEC，
即CE平分∠DEF，故②正确；
∵△AED≌△ACD，
∴DE=DC，
∴点D在线段EC的垂直平分线上，
∵AE=AC，
∴点A在线段EC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分CE．故③正确；
故答案为：①②③．
例6 【答案】15
【解析】解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=DE=3，
1 1
∴△BDC的面积是 ×DE×BC= ×10×3=15，
2 2
故答案为：15．
12
练6.1 【答案】
cm
5
【解析】解：作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
14/104
1 1
2
∴ ×BC×DF+ ×AB×DE=36cm ，
2 2
12
∴DE=DF= cm，
5
12
答：DE的长为 cm．
5
例7 【答案】 证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于E，作DF⊥BC于F，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，
∵∠BAD与∠BCD互补，
∴∠EAD＝∠CDF，
∠ADE = ∠CDF
在△ADE和△CDF中，
⎧⎪∠E
= ∠CFD = 90°，
⎨
DE = DF
⎩⎪
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AD＝CD．
练7.1 【答案】解：过C作CF垂直AD于F，
∵
AC平分∠BAD，
∴ ∠FAC = ∠EAC，
∵
CE⊥AB，CF⊥AD，
∴ ∠DFC = ∠CEA = 90∘ ，
∴△AFC≌△AEC（AAS），
∴ AF = AE，CF = CE，
1
∵ AE = (AB +AD)，
2
∴ 2AE = AB +AD，
又∵ AD = AF −DF，AB = AE +BE，AF = AE，
∴ 2AE = AE +BE +AE −DF，
∴ BE = DF，
15/104
∵ ∠DFC = ∠CEB = 90∘ ，CF = CE，
∴△CDF≌△CEB（SAS），
∴ ∠ABC = ∠CDF，
∵ ∠ADC +∠CDF = 180∘ ，
∴ ∠ABC +∠ADC = 180∘ ．
能力提高 / 初二 / 春季
第 2 讲 垂直平分线与角平分线
自我巩固答案
1 【答案】连接AC，
∵∠ABC = 90∘ ，AB = 1，BC = 2，
–
∴AC = √5，
在△ACD中，AC2 +CD2 = 5 +4 = 9 = AD2 ，
∴△ACD是直角三角形，
1 1
∴S
ABCD
= AB ⋅BC + AC ⋅CD，
2 2
1 1 –
= ×1 ×2 + ×√5×2，
2 2
–
= 1 +√5．
–
故四边形ABCD的面积为1 +√5．
【解析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形
状，再利用三角形的面积公式求解即可．
2 【答案】C
16/104
3 【答案】解：（1）根据勾股定理：
−−−−−−−−−−
−−−−−−−
梯子距离地面的高度为：AB = AC2 −BC2 = √132 −52 = 12米；
√
（2）梯子下滑了2米即梯子距离地面的高度为A′B = 12 −2 = 10米，
−−−−−−−−−−−
根据勾股定理：BC′ = A′C′2 −A′B2 = √ − 6 − 9米，
√
−−
∴当梯子的顶端下滑2米时，梯子的底端水平后移了(√69 −5)米.
4 【答案】解：设秆长x米，则城门高(x−0.5)米，
根据题意得x2 = (x−0.5) 2 +42 ，
解得x = 16.25，
答：竿长16.25米．
5 【答案】解：（1）如图（1），当蚂蚁从A出发先到EF上再到点G时，
∵BC = 5cm，
∴FG = BC = 5cm，
∴BG = 5 +6 = 11cm，
在Rt△ABG中，
−−−−−−−−−−
−−−−−−− −−−
AG = AB2 +BG2 = √32 +112 = √130cm；
√
（2）如图（2），当蚂蚁从A出发先到BF上再到点G时，
∵AB = 3cm，BC = 5cm，
∴AC = AB +BC = 3 +5 = 8cm，
∵BF = 6cm，
∴CG = BF = 6cm，
在Rt△ACG中，
−−−−−−−−−−
−−−−−−
AG = AC2 +CG2 = √82 +62 = 10cm；
√
（3）如图（3），当蚂蚁从A出发先到BC上再到点G时，
∵AB = 3cm，BF = 6cm，
∴AF = AB +BF = 3 +6 = 9cm，
∵BC = 5cm，
∴FG = BC = 5cm，
在Rt△AFG中，
−−−−−−−−−−
−−−−−− −−−
AG = AF2 +FG2 = √92 +52 = √106cm；
√
−−− −−−
∵√130 > √106 > 10，
∴第二种方案最近，这时蜘蛛走过的路程是10cm．
17/104
6 【答案】B
【解析】解：∵直线DG为线段AB的垂直平分线，
∴MA = MB，
又直线EF为线段AC的垂直平分线，
∴NA = NC，
∴△AMN的周长l = AM +MN +AN = BM +MN +NC = BC = 12 cm．
7 【答案】C
【解析】解：连接BD，如图，
∵DE = DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC，
1 1
∴∠ABD = ∠ABC = ×60∘ = 30∘ ，
2 2
– – –
在Rt△BDE中，BE = √3DE = √3×√3 = 3．
8 【答案】A
9 【答案】B
【解析】解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，
∵BD平分∠ABC，∠BCD = 90∘ ，
18/104
∴DH = CD = 4，
∴ 四 边 形 ABCD 的 面 积
1 1 1 1
= S
△ABD
+S
△BCD
=
2
AB ⋅DH +
2
BC ⋅CD =
2
×6 ×4 +
2
×9．
×4 = 30
10 【答案】
过C作CF⊥AD交AD延长线于F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC = ∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠DFC = ∠CEB = 90∘ ，
在△AFC和△AEC中，
∠FAC = ∠EAC
⎧∠AFC = ∠AEC ，
⎨
AC = AC
⎩
∴△ AFC≌ △ AEC (AAS)，
∴AF = AE，CF = CE，
∵∠ADC +∠B = 180∘ ，
∴∠FDC = ∠B，
∴△ FDC≌ △ EBC (AAS)，
∴DF = EB，
∴AB +AD = AE +EB +AD = AE +DF +AD
= AF +AE = 2AE，
即2AE = AB +AD．
能力提高 / 初二 / 春季
第 2 讲 垂直平分线与角平分线
课堂落实答案
1 【答案】解：在△ABD中，
19/104
∵AB = 13，AD = 12，BD = 5，
∴AD2 +BD2 = 122 +52 = 132 = AB2 ，
∴∠ADB = 90∘ ，
∴∠ADC = 90∘ ，
∴在Rt△ADC中，
∴AC2 = AD2 +CD2 = 122 +92 = 225，
∴AC = 15．
2 【答案】A
【解析】易证△ABE≌△DCF，∴BE=CF=2，BC=8
3 【答案】A
【解析】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，
∴AB=2dm，BC=BC′=2dm，
∴AC2 =22 +22 =4+4=8，
–
∴AC=2√2dm，
–
∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4√2dm．
故选：A．
4 【答案】D
5 【答案】55
【解析】解：∵QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，QC = QD，
∴OQ是∠AOB的平分线，
∵∠AOB = 70∘ ，
1
∴∠AOQ = ∠AOB = 35∘ ，
2
∴∠CQO = 90∘ −35∘ = 55∘
故答案为55°．
能力提高 / 初二 / 春季
20/104
第 2 讲 垂直平分线与角平分线
精选精练
1 【答案】90∘
24
4.8
2 【答案】解：底端滑动2m，理由：
在Rt△ACB中，
BC2 +AC2 = AB2 ，
−−−−−−−
∴BC = √102 −82 = 6m，
又∵
AA′
= 2m，
∴A′C = 8 −2 = 6m，
−−−−−−−−−−−
−−−−−−−
在Rt △ A′CB′ 中，B′C = √ A′B′2 −A′C2 = √102 −62 = 8m，
∴BB′ = B′C −BC = 8 −6 = 2m，
∴底端滑动2m.
3 【答案】B
【解析】解：展开图为：
则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，
−−−−−−−−−−
在Rt△ABC中，AB=
AC2 +BC2
=125cm．
√
所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．
故选：B．
21/104
29
4 【答案】
5
5 【答案】(1)∠ABC = ∠ACB；
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC = ∠CEB = 90∘ ，
在Rt△CDB和Rt△BEC中，
CD = BE
，
{CB = BC
Rt△CDB≌Rt△BEC (HL),
∴∠ABC = ∠ACB．
(2)证明：∵∠ABC = ∠ACB，
∴AB = AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
由（1）可知Rt△BEC≌Rt△CDB，
∴∠FBC = ∠FCB，
∴FB = FC，
∴点F在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AF垂直平分线段BC．
6 【答案】连接CD，过点D分别作AM、BC、CN的垂线，垂足为点E、F、G；
∵AD、BD分别为∠BAC与∠CBM的角平分线，
∴DE = DG，DE = DF，
∴DF = DG，且DF⊥BC，DG⊥CN，
∴点D在∠NCB的平分线上．
能力提高 / 初二 / 春季
第 3 讲 一元一次不等式组
22/104
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】A
(2【) 答案】A
练1.1
(1【) 答案】C
(2【) 答案】
(3【) 答案】B
例2
(1【) 答案】解不等式−2x < 6，得：x > −3；
解不等式3(x+1) ≤ 2x+5，得：x ≤ 2；
则不等式组的解集为−3 < x ≤ 2.
(2【) 答案】解不等式3x−1 ≥ x+1得：2x ≥ 2，x ≥ 1；
5x+1
解不等式2x−1 < 得：
2
4x−2 < 5x+1，x > −3；
∴原不等式组的解集为．x ≥ 1.
练2.1 【答案】解：
2(x+1) > x
，
1 −2x ≥ x+7
{
2
解①得：x > −2，
解②得：x ≤ −1，
故不等式组的解为：−2 < x ≤ −1，
在数轴上表示出不等式组的解集为：
23/104
例3 【答案】D
练3.1 【答案】 3x+2 ≤ 2(x+3)
①
解：⎧ 2x−1 x ，
> ②
⎨
⎩ 3 2
解①得：x ≤ 4，
解②得：x > 2，
不等式组的解集为：2 < x ≤ 4，
则不等式组的整数解为：3，4．
−2−3x
例4 【答案】 > −1 ①
4
（1）解：原不等式组可化为 ，
{ −2−3x < 1 ②
4
2
由①得，x < ；
3
由②得，x > −2，
2
故此不等式组的解集为：−2 < x < ．
3
1 −3x ≥ 4 ①
（2）原不等式组可化为 ，
{1 −3x ≤ 7 ②
由①得，x ≤ −1；
由②得，x ≥ −2，
故此不等式组的解集为：−2 ≤ x ≤ −1．
练4.1 【答案】2，3，4
5 −2x < 3
【解析】
原式可化为： ，
{5 −2x ≥ −3
x > 1
解得 ，
{x ≤ 4
即1 < x ≤ 4，
所以不等式的正整数解为2，3，4．
练4.2 【答案】0 ≤ x < 1
【解析】由题意可得：−1 ≤ 2x−1 < 1，解连续不等式得到x的取值范围：0 ≤ x < 1．
例5 【答案】m ≤ 3
x+8 < 4x−1 ①
【解析】
，
{x > m ②
解不等式①得：x > 3，
∵不等式组的解集为x > 3，
∴m ≤ 3．
练5.1 【答案】D
24/104
练5.2 【答案】解不等式x−a > b，得：x > b+a，
a+2b+4
解不等式2x−a < 2b+4，得：x < ，
2
∵不等式组的解集为2 < x < 5，
a+b = 2
∴ ，
a+2b+4
= 5
{
2
a = −2
解得： ．
{ b = 4
b
∴ = −2．
a
能力提高 / 初二 / 春季
第 3 讲 一元一次不等式组
自我巩固答案
1 【答案】B
【解析】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数
是1，所以都是一元一次不等式组；
③含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，⑤含有两个未知数，所以③⑤都不是一元
一次不等式组．
故有①②④三个一元一次不等式组．
故选：B．
2 【答案】A
3x−1 > 2， x > 1
【解析】
解不等式组 可得 ,那么同大取大
{ 8 −4x ≤ 0 {x ⩾ 2
在数轴上表示为：
故选择A选项
3 【答案】B
4 【答案】A
5
2x−1 ≥ x+1①
(1【) 答案】
①解：
{x+8 < 4x−1②
由①得：x ≥ 2
25/104
由②得：x > 3
∴原不等式组的解集是x > 3
x−3 < 0①
②解：
{2(x+1) ≤ x+3②
由①得：x < 3
由②得：x ≤ 1
∴原不等式组的解集是x ≤ 1
2x−5 < 0①
③解：
{x−2(x+1) < 0②
5
由①得：x <
2
由②得：x > −2
5
∴原不等式组的解集是−2 < x <
2
1
x−1 < x①
④解：⎧ 2
⎨2x−4 > 3x+3②
⎩
由①得：x > −2
由②得：x < −7
∴原不等式组无解
1 −3x
(2【) 答案】 < 2 ①
⎧ ⎪ 5
⎪
解：先写成不等式组的形式
2x−7
⎨
2 ≤ 1 − ②
⎩⎪ ⎪ 3
由①得：x > −3
由②得：x ≤ 2
∴原不等式组的解集是−3 < x ≤ 2
6 【答案】A
【解析】 −1 < 1 −2x (1)
由题意可得： 2
{ 1 −2x < 3 (2)
3
由（1）得：x <
4
由（2）得：x > −1
3
综上：−1 < x <
4
故选A
7 【答案】B
8 【答案】A
【解析】∵m+2>m-1，
26/104
x > m−1
∴ 的解集为x>m+2，
{x > m+2
∴m+2=-1，
∴m=-3．
9 【答案】A
1
【解析】 解不等式 (x+2)−3 > 0，得：x > 4，
2
由不等式组的解集x > 4知m ≤ 4，
故选：A．
10 【答案】D
x < 3
【解析】
不等式组变形得： ，
{x < m
由不等式组的解集为x < 3，
得到m的范围为m ≥ 3，
故选：D．
能力提高 / 初二 / 春季
第 3 讲 一元一次不等式组
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】B
3 【答案】C
【解析】 1x+1 ≥ −3
2
解：
{x−2(x−3) > 0
∵解不等式①得：x ≥ −8，
解不等式②得：x < 6，
∴不等式组的解集为−8 ≤ x < 6，
∴不等式组的最大整数解为5，
故选：C．
4 【答案】C
2x−1 < 3①
【解析】
解：已知
{x < a②
由①得：x < 2，由②得：x < a；
27/104
因为不等式组的解集是x < 2；
∴a ≥ 2；
故选：C．
x−a ≥ b−1①
5 【答案】
解： ，
{ 2x+a < 2b②
由①得，x ≥ a+b−1，
1
由②得，x < b− a，
2
1
所以，不等式组的解集是a+b−1 ≤ x < b− a，
2
∵不等式组的解集是1 ≤ x < 3，
a+b−1 = 1 a = −2
3
∴ ，解得 ．
{ b− 1a = 3 { b = 8
2 3
2 8
∴a = − ，b = ．
3 3
能力提高 / 初二 / 春季
第 3 讲 一元一次不等式组
精选精练
1 【答案】B
2 【答案】C
3 【答案】4 ⩽ x ⩽ 6
x+2 > 0 ①
【解析】
⎧⎪
x−4 ≥ 0 ②
⎨
x−6 ≤ 0 ③
⎩⎪
由①得：x > −2
由②得：x ≥ 4
由③得：x ≤ 6
故解集是4 ≤ x ≤ 6
4 【答案】5 < x < 10
【解析】根据三角形的三边关系，x+x > 20 −2x，
解得x > 5，
又∵ x+x < 20，
∴ x < 10，
28/104
所以，5 < x < 10．
3
5 【答案】x >
2
2x−b ≥ 0①
【解析】
{ x+a ≤ 0②
b
解不等式①得：x ≥ ，
2
解不等式②得：x ≤ −a，
2x−b ≥ 0
∵不等式组 的解集为3 ≤ x ≤ 4，
{ x+a ≤ 0
b
∴不等式组的解集为： ≤ x ≤ −a，
2
b
∴ = 3，−a = 4，
2
∴b = 6，a = −4，
∴−4x+6 < 0，
3
解得x > ．
2
6 【答案】D
x−a > −1
【解析】 解：解 ，得a−1 < x ≤ a+2，
{x−a ≤ 2
x−a > −1
由不等式组 的解集中任意一个x的值均不在0 ≤ x ≤ 4的范围内，得
{x−a ≤ 2
a+2 < 0或a−1 ≥ 4，
解得a ≥ 5或a < −2．
能力提高 / 初二 / 春季
第 4 讲 含参不等式
例题练习题答案
例1 【答案】解：（1）x−3 < 24 −2(3 −4x)，
x−3 < 24 −6 +8x，
x−8x < 24 −6 +3，
−7x < 21，
x > −3；
（2）解不等式5x−1 > 3(x+1)，得：x > 2，
1 +2x
解不等式 > x−1，得：x < 4，
3
29/104
则不等式组的解集为2 < x < 4．
【解析】
1 −x ≤ −2①
练1.1 【答案】
（1） ，
{3(x−1) < x+5②
∵解不等式①得：x ≥ 3，
解不等式②得：x < 4，
∴不等式组的解集是3 ≤ x < 4，
在数轴上表示为： ；
4x > 2x−6①
（2） ，
x−1 x+1
{ ≤ ②
3 9
∵解不等式①得：x > −3，
解不等式②得：x ≤ 2，
∴不等式组的解集是−3 < x ≤ 2，
在数轴上表示为： ．
【解析】
m+4
例2 【答案】 解方程2x−m = 4，得：x = ，
2
∵方程的解是非负数，
m+4
∴ ≥ 0，
2
解得：m ≥ −4．
m+4
【解析】 解方程用含m的式子表示x，根据方程的解是非负数得 ≥ 0，解不等式即可得．
2
练2.1 【答案】m ⩽ 2
【解析】解：5(x−1) = x+3m−11
3m−6
x =
4
又∵ x ⩽ 0
3m−6
∴ ⩽ 0
4
m ⩽ 2
5x+2y = 11a+18,
例3 【答案】
（1）
{ 2x−3y = 12a−8,
①×3+②×2，得：19x = 57a+38，
解得x = 3a+2，
将x = 3a+2代入①，得：15a+10 +2y = 11a+18
解得y = −2a+4；
30/104
3a+2 > 0,
（2）根据题意，得： ，
{−2a+4 > 0.
2
解得：− < a < 2；
3
练3.1 【答案】D
4x−y = 2m ①
例4 【答案】
解： ，
{2x+y = m+1 ②
m−1
①-②得：2x−2y = m−1，即x−y = ，
2
m−1
所以 < −2
2
解得：m < −3．
练4.1 【答案】C
【解析】解：将两个方程相加可得4x+4y = 2 +2m，
m+1
∴x+y = ，
2
∵x+y > 0，
m+1
∴ > 0，
2
解得m > −1．
例5
(1【) 答案】B
(2【) 答案】a ≥ 3
练5.1
(1【) 答案】A
(2【) 答案】C
7 −m 7 −m
【解析】 解：解方程3x+m = 7，得：x = ，由题意得 是正整数，
3 3
解得：m =4、1、−2、−5、−8…，
解不等式t−2(t−1) ≤ 3，得：t ≥ −1，
2m+2 +t
解不等式 ≥ t，得：t ≤ m+1，
3
∵不等式组有解， ∴ m+1 ≥ −1， ∴ m ≥ −2，则m为4、1、−2，
∴符合条件的整数m的值的和为4 +1+(−2) = 3，故选：C．
例6 【答案】C
练6.1 【答案】A
m−1
【解析】 解不等式3x−m+1 > 0，得：x > ，
3
31/104
∵不等式有最小整数解2，
m−1
∴1 ≤ < 2，
3
解得：4 ≤ m < 7，
故选：A．
例7 【答案】B
x−a < 1①
【解析】
，
{ x ≥ 1②
∵解不等式①得：x < 1 +a，
∴不等式组的解集为1 ≤ x < 1 +a，
∵不等式组的整数解有3个，
∴3 < 1 +a ≤ 4，
解得：2 < a ≤ 3，
故选：B．
练7.1 【答案】﹣4＜a≤﹣3
能力提高 / 初二 / 春季
第 4 讲 含参不等式
自我巩固答案
3x−2y = 3t+2 ①
1 【答案】
，
{x+2y = t−2 ②
①−②得：2x−4y = 2t+4，
∴ x−2y = t+2，
∵ −1 < t ⩽ 2，
∴ 1 < t+2 ⩽ 4，
∵ A = x−2y = t+2，
∴ 1 < A ⩽ 4．
【解析】将两个方程相加，再两边都除以2得x−2y = t+2，依据−1 < t ⩽ 2知
1 < t+2 ⩽ 4，由A = x−2y = t+2可得答案．
2 【答案】B
2x+y = 1 +3m①
3 【答案】
方程组
{ x+2y = 1 −m②
①×2−②，得3x = 1 +7m ，
32/104
1 +7m
x = ，
3
1 +7m 1 +7m
把x = 代入①得2 × +y = 1 +3m，
3 3
1 −5m
y = ，
3
1 +7m 1 −5m
∵x+y < 1， + < 1 ，
3 3
1
m < ．
2
∵m > 0，
1
∴0 < m < ．
2
4
x+y = 11……(1)
(1【) 答案】
当a = 2时，方程组为 ，
{x−2y = 5……(2)
（1）-（2）得：3y = 6，即y = 2，
将y = 2代入（1）得：x = 9，
x = 9
则方程组的解为 ；
{y = 2
10 −2a
(2【) 答案】 方程组两方程相减得：3y = 10 −2a，即y = ，
3
10 −2a 8a+11
将y = 代入第一个方程得：x = ，
3 3
8a+11 10 −2a
根据题意得： > ，
3 3
1
解得：a > − ，
10
则原式= 8a+11 −10a−1 = 10 −2a.
5
5 【答案】m ≤
2
x ≥ m
【解析】
由不等式组可知⎧ 5 有解；
x ≤
⎨
⎩ 2
5
∴m ≤ ；
2
5
故答案为：m ≤ ．
2
6 【答案】A
【解析】解不等式x−m < 0，得：x < m，
解不等式3x−1 > 2(x−1)，得：x > −1，
∵不等式组无解，
∴m ≤ −1，
故选：A．
33/104
7
(1【) 答案】C
(2【) 答案】−3 < a ≤ −2
【解析】由题意可得，四个整数解为−2、−1、0、1．
(3【) 答案】①3；2；−2；
②[x] ≤ x < [x]+1 ≤ x+1 ；
7 11
③x = 或x = ．
8 8
1 1 1
【解析】 ③由②的结论可得，2x+ ≤ 3x− < 2x+ +1，
4 2 4
3 7
解该不等式组可得 ≤ x < ，
4 4
7 1 15
故 ≤ 2x+ < ，该范围内的整数有2、3．
4 4 4
1 1
解方程2x+ =2，2x+ =3
4 4
8 【答案】D
【解析】解：解方程x+2a = 1得：x = 1 −2a，
∵方程的解为负数，
∴ 1 −2a < 0，
解得：a > 0.5，
−1(x−a) > 0①
2
，
{x−1 ≥ 2x+1 ②
3
∵解不等式①得：x < a，解不等式②得：x ≥ 4，
又∵不等式组无解，
∴ a ≤ 4，
∴ a的取值范围是0.5 < a ≤ 4，
∴整数和为1 +2 +3 +4 = 10，
故选：D．
9 【答案】D
x+3y = 3 −2k① 1
【解析】 解： ，①+②得4x+4y = 4 −k，∴ x+y = 1 − k，
{3x+y = 1 +k② 4
x+3y = 3 −2k
∵关于x、y的方程组 的解满足x+y > 0，
{3x+y = 1 +k
1 x−2(x−1) ≤ 3①
∴ 1 − k > 0，得k < 4， ，
4
{
2k+x ≥ x②
3
由①，得x ≥ −1，由②，得x ≤ k，
34/104
x−2(x−1) ≤ 3
∵于x的不等式组 有解， ∴ −1 ≤ k，得k ≥ −1，
2k+x ≥ x
{
3
由 上 可 得 ， −1 ≤ k < 4 ， ∴ 符 合 条 件 的 整 数 k 的 值 的 和 为 ：
−1 +0 +1 +2 +3 = 5，故选：D．
10 【答案】B
【解析】∵解不等式x−a > 0得：x > a，
解不等式3x+4 < 13得：x < 3，
∴不等式组的解集为a < x < 3，
x−a > 0
∵关于x的不等式组 有且只有3个整数解，
{3x+4 < 13
∴−1 ≤ a < 0，
故选：B．
能力提高 / 初二 / 春季
第 4 讲 含参不等式
课堂落实答案
x = 2a+1
1 【答案】
解方程组得： ，
{ y = a−2
∵x > y > 0，
2a+1 > a−2
∴ ，
{ a−2 > 0
解得：a > 2.
2 【答案】C
2x−1 < 3①
【解析】
解：已知
{x < a②
由①得：x < 2，由②得：x < a；
因为不等式组的解集是x < 2；
∴a ≥ 2；
故选：C．
3 【答案】A
4 【答案】m > 1
【解析】由不等式x+4 ≥ 3(m+1)，得：x ≥ 3m−1，
∵不等式组无解，
35/104
∴3m−1 > m+1，
解得：m > 1，
故答案为：m > 1．
5 【答案】6 < a ≤ 7，10 < b ≤ 11
【解析】∵不等式a ≤ x < b的整数解为7，8，9，10，
∴6 < a ≤ 7，10 < b ≤ 11，
故答案为：6 < a ≤ 7，10 < b ≤ 11．
能力提高 / 初二 / 春季
第 4 讲 含参不等式
精选精练
1 【答案】C
10
【解析】 x =
ax−y = 11 ⎧ ⎪ a−3
⎪
解：解方程组 得： ，
{3x−y = 1 33 −a
⎨y
=
⎩⎪
⎪
a−3
∵方程组的解为正整数，
∴a−3 = 1或a−3 = 2或a−3 = 5或a−3 = 10，
解得a = 4或a = 5或a = 8或a = 13；
1
解不等式 (2x+8) ≥ 7，得：x ≥ 10，
4
解不等式x−a < 2，得：x < a+2，
∵不等式组无解，
∴a+2 ≤ 10，即a ≤ 8，
综上，符合条件的a的值为4，5，8，
则所有满足条件的a的和为17．
2 【答案】72
3 【答案】 解：（1）由题意得：
2x+2 ≥ 2
，
{4 −2x ≥ 2
求解得：0 ≤ x ≤ 1．
2 +x+1 +2x
（2）M{2，x+1，2x}= =x+1．
3
法一：当x ≥ 1时，则min{2，x+1，2x}＝2，则x+1 = 2，∴x = 1．
36/104
当x < 1时，则min{2，x+1，2x}= 2x，则x+1 = 2x，∴x = 1（舍去）．
综上所述：x = 1．
2 +x+1 +2x
法二：∵M{2，x+1，2x}= =x+1＝min{2，x+1，2x}，
3
2 ≥ x+1
∴ ，
{2x ≥ x+1
x ≤ 1
∴ ，∴x = 1．
{x ≥ 1
4
(1【) 答案】根据题意得：[2.6]=2，[x]=1的x的核心范围为1 ≤ x < 2．
【解析】根据“核心符号”及核心范围的定义，即可求出结论；
(2【) 答案】∵x > [−1.2]，
∴x > −2．
x > [−1.2]
∵关于x的不等式组 有且只有两个整数解，
{ x < a
∴不等式组的整数解为x = −1，0，
∴0 < a ≤ 1．
【解析】由x > [−1.2]，可求出x > −2，结合原不等式组只有两个整数解，即可找出a的取
值范围；
(3【) 答案】∵[x] = 2，
∴2 ≤ x < 3．
[x] = 2
∵不等式组 无解，
{a < x ≤ a+2
∴a ≥ 3或a+2 < 2，
∴a ≥ 3或a < 0．
【解析】由[x] = 2，可得出2 ≤ x < 3，结合原不等式组无解，即可找出a的取值范围．
5
(1【) 答案】(x−2)(x−4) < 0的解集是2 < x < 4；
【解析】先化成两根据不等式组，再求出即可；
m m > 0 m < 0
(2【) 答案】
> 0可以化为：① 或② ；
n {n > 0 {n < 0
【解析】根据除法法则得出即可；
(3【) 答案】解：根据除法法则可得：
37/104
x+3 > 0 x+3 < 0
① 或② ，
{x−1 > 0 {x−1 < 0
解不等式组①得：x > 1，解不等式组②得：x < −3，
x+3
所以 > 0的解集是x > 1或x < −3．
x−1
【解析】先得出两个不等式组，再求出每个不等式组的解集即可．
6 【答案】（1）∵x2 −16 = (x+4)(x−4)，
∴x2 −16 > 0可化为 (x+4)(x−4) > 0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，
x+4 > 0 x+4 < 0
得 或 ，
{x−4 > 0 {x−4 < 0
解第一个不等式组，得x > 4，
解第二个不等式组，得x <−4 ，
∴(x+4)(x−4) > 0的解集为x > 4或x <−4 ，
即一元二次不等式x2 −16 > 0的解集为x > 4或x <−4 ．
x−1
（2）∵ > 0，
x−3
x−1 > 0 x−1 < 0
∴ 或 ，
{x−3 > 0 {x−3 < 0
解得：x > 3或x < 1
能力提高 / 初二 / 春季
第 5 讲 不等式（组）综合
例题练习题答案
例1 【答案】（1）x = −1；（2）x ≤ −1；（3）x > −1；（4）x ≥ 0
练1.1 【答案】A
【解析】解：根据图示知：一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为(-2，0)，且y随x的增大而增
大；
即当x>-2时函数值y的范围是y>0；
因而当不等式kx+b>0时，x的取值范围是x>-2．
故选：A．
练1.2 【答案】x > 2
【解析】由图象可得：关于x的不等式kx+b > 2的解集应是x > 2；
38/104
故答案为：x > 2
例2
(1【) 答案】∵直线y = kx+b经过点A(5,0),B(1,4),
5k+b = 0
∴ { ,
k+b = 4
k = −1
解得{ ,
b = 5
∴直线AB的解析式为:y = −x+5;
(2【) 答案】∵若直线y = 2x−4与直线AB相交于点C,
y = −x+5
∴ { ,
y = 2x−4
x = 3
解得{ ,
y = 2
∴点C (3,2);
(3【) 答案】根据图象可得x3.
练2.1 【答案】B
【解析】由图可得：l 与直线l 在同一平面直角坐标系中的交点是(1,−2)，且x < 1时，直线
1 2
l 的图象在直线l 的图象下方，故不等式k x+b < k x+c的解集为：x < 1．
1 2 1 2
故选：B．
练2.2 【答案】B
例3 【答案】D
练3.1 【答案】B
【解析】解：设打了x折，由题意得，1100 ×0.1x−700 ≥ 700 ×10%，
解得：x ≥ 7．即至多打7折．故选：B．
练3.2 【答案】解：设做对x道，则做错或不做有(25 −x)道，
列式4x−2(25 −x) ≥ 60，
化简得4x−50 +2x ≥ 60，
55
解得x ≥ ．
3
∵x为整数，
∴至少应选对19道题．
答：至少应答对19道题．
例4 【答案】解：（1）设A型号体育器材购进了x件，则B型号体育器材购进了(100 −x)件，根据题
意可得： 18x+15(100 −x) ≤ 1620，解得：x ≤ 40，答：A型号体育器材至多
39/104
购进了40件；
（2）由题意可得：
w = m(28 −18)+(100 −m)×(20 −15=) 10m+500 −5m= 5m+500，
∵ 5 > 0， ∴ w随m的增大而增大，又∵ m ≤ 40，
∴ m = 40时，w最大，
则w = 5 ×40 +500 = 700（元)，
答：毛利润w（元)的最大值为700元．
练4.1 【答案】解：（1）设购买一件A道具需要x元，购买一件B道具需要y元，
x−y = 10 x = 15
依题意，得： ，解得： ．
{2x+3y = 45 {y = 5
答：购买一件A道具需要15元，购买一件B道具需要5元．
（2）设购买A道具m件，则购买B道具(60 −m)件．
①依题意，得：15m+5(60 −m) ≤ 620，解得：m ≤ 32．
答：A道具最多购买32件．
②依题意，得：m ≥ 60 −m，解得：m ≥ 30，
又∵ m ≤ 32，且m为整数， ∴ m = 30，31，32．
∴该班级共有3种购买方案，方案1 : A道具购买30件，B道具购买30件；方案2 : A道具
购买31件，B道具购买29件；方案3 : A道具购买32件，B道具购买28件．
方案1所需费用15 ×30 +5 ×30 = 600（元)，
方案2所需费用15 ×31 +5 ×29 = 610（元)，
方案3所需费用15 ×32 = 5 ×28 = 620（元)．
∵ 600 < 610 < 620， ∴最少购买费用为600元．
例5 【答案】A
【解析】设购买x本笔记本，
根据题意得：2 ×6 +(x−2)×6 ×0.7 < 0.8×6x，
解得：x > 6，
∵x为正整数，
∴最少购买7本笔记本．
故选：A．
练5.1 【答案】解：（1）到甲厂家购买所需费用为800 ×3 +80(x−3 ×3) = (80x+1680元) ；
到乙厂家购买所需费用为(800 ×3 +80x)×0.8 = (64x+1920)元．
（2）当到甲厂家购买划算时，80x+1680 < 64x+1920，解得：x < 15；
当到甲、乙两厂家购买费用相同时，80x+1680 = 64x+1920，解得：x = 15；
40/104
当到乙厂家购买划算时，80x+1680 > 64x+1920，解得：x > 15．
答：当9 ≤ x < 15时，到甲厂家购买更划算；当x = 15时，到两个厂家购买费用相
同；当x > 15时，到乙厂家购买更划算．
能力提高 / 初二 / 春季
第 5 讲 不等式（组）综合
自我巩固答案
1
(1【) 答案】①x = 2；②x ≤ 2；③x > 2；④x ≤ 0.
(2【) 答案】x > 1；
(3【) 答案】A
2 【答案】x > −3
【解析】∵直线y = kx+b交x轴于A(−3,0)，
∴点A左边的部分的x的值满足不等式kx+b < 0，
∴不等式kx+b < 0的解集是x < −3．
3 【答案】C
4 【答案】A
5 【答案】B
【解析】设成本为a元，由题意可得：a（1+m%）（1﹣n%）﹣a≥0，
则（1+m%）（1﹣n%）﹣1≥0，
mn
去括号得：1﹣n%+m%﹣ ﹣1≥0，
10000
整理得：100n+mn≤100m，
100m
故n≤ ．
100 +m
6 【答案】C
【解析】设小明答对x道题，
依题意，得10x−5(20 −x) > 85．
1
解得x > 12 ．
3
x取最小整数为13．
41/104
答：小明至少答对13道题才能超过85分．
故选：C．
7 【答案】C
8
(1【) 答案】设排球单价为x元，则篮球为y元，则依题意得：
x+y = 90
，
{ y = 5x
x = 15
解得： ．
{y = 75
所以篮球和排球单价分别为75元和15元；
【解析】根据篮球和排球的单价比为5：1，单价和为90元，两个相等关系列方程组即可求
解；
(2【) 答案】设篮球为m个，则排球为（40﹣m）个，依题意得：
m ＞ 28
，
{75m+15(40 −m) ≤ 2400
解得：28＜m≤30，
因为m只能整数，所以m值为29，30
∴方案有两种，篮球29，排球11，篮球30，排球10．
【解析】根据购买的篮球数量多于28个，且总费用不超过2400元即可列不等式组求解．
9
(1【) 答案】设该商场购进甲商品x件，乙商品y件，
120x+100y = 3600
由题意得， ，
{(138 −120)x+(120 −100)y = 600
x = 20
解得： ，
{y = 12
答：该商场购进甲、乙两种商品分别为20件，12件；
【解析】设该商场购进甲商品x件，乙商品y件，根据用3600元购进甲、乙两种商品，销售完
后共获利600元，列方程组求解；
(2【) 答案】设乙种商品每件售价z元，根据题意，得
12(z −100)+2 ×20 ×(138 −120) ≥ 840，
解得：z ≥ 110．
答：乙种商品最低售价为每件110元．
【解析】根据不等关系：出售甲种商品利润+出售乙种商品利润≥ 840，可以列出一元一次不
等式解决问题．
42/104
10 【答案】解：（1）甲经销商的费用：(3x×0.8+900 = 900 +2.4x)元．
乙经销商的费用：(3x+900 ×0.6 = 540 +3x)元．故答案是：(900 +2.4x)；
(540 +3x)；
（2）①由题意得：900 +2.4x = 540 +3x，解得x = 600．
所以，当x = 600时，在甲、乙两个经销商处印刷的费用是一样的．
②由题意得：900 +2.4x > 540 +3x，解得x < 600．
所以，当x < 600时，在乙经销商处印刷的费用合适．
③由题意得：900 +2.4x < 540 +3x，解得x > 600．
所以，当x > 600时，在甲经销商处印刷的费用合适．
综上所述，当x = 600时，在甲或乙处印刷都可以；当x < 600时，在乙经销商处印
刷；当x > 600时，在甲经销商处印刷．
能力提高 / 初二 / 春季
第 5 讲 不等式（组）综合
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】A
3 【答案】A
【解析】设她答对了x道题，根据题意，得
10x−5(20 −x) ≥ 90．
故选：A．
4 【答案】D
5 【答案】解：设购买球拍x个，依题意得：
1.5×20+22x≤200，
8
解之得：x≤7 ，
11
由于x取整数，故x的最大值为7，
答：孔明应该买7个球拍
【解析】设购买球拍x个，根据乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，购买的金额不超过200元，列出
不等式，求解即可
43/104
能力提高 / 初二 / 春季
第 5 讲 不等式（组）综合
精选精练
1 【答案】D
【解析】解：∵直线y = x+b和y = kx+2与x轴分别交于点A(−2,0)，点B(3,0)，
x+b > 0
∴ 解集为−2 < x < 3，
{kx+2 > 0
故选：D．
2 【答案】D
【解析】根据图象得到，3x+1＞0的解集是：x＞﹣ 1 ，
3
第二个不等式的解集是x＜2，
1
∴不等式组的解集是﹣ ＜x＜2．
3
故选：D．
3 【答案】A
4 【答案】B
【解析】设甲乙两地距离x千米
依题意得：11 −1.5 < 1.5(x−3)+5 ≤ 11
解得：6 < x ≤ 7
因此甲地到乙地路程的最大值是7千米．
故选：B．
5 【答案】1 ⩽ 4x+ 2− 6(x− 2) < 6
6 【答案】解：设班级学生的人数为x人，由题意得：
3x+5 < 4(x−1)+4
，
{3x+5
⩾
4(x−1)+1
解得：5 < x ⩽ 8．
因为班级学生的人数是奇数，
所以x = 7，
3x+5 = 26．
答：这些小礼物共有26个．
【解析】该题考查的是列一元一次不等式组解决实际问题．
44/104
设班级学生的人数为x人，由题意得，
，
解①得，3x+5 < 4x−4 +4，
解得，x > 5，
解②得，3x+5 ≥ 4x−4 +1，
解得，x ≤ 8，
∴不等式解集得\[5．
因为班级学生的人数是奇数，
∴x = 7，
∴3x+5 = 26．
答：这些小礼物共有26个．
能力提高 / 初二 / 春季
第 6 讲 图形的平移与旋转
例题练习题答案
例1 【答案】C
练1.1 【答案】26.
练1.2 【答案】60
【解析】由平移的性质知，AB = DE = 12，S △ABC = S △DEF，
∵△GBF为△ABC和△DEF的公共部分，
∴S = S，
阴影部梯分形DEBG
∵∠E = 90∘ ，
∴BE是梯形DEBG的高；
∵BG = AB −AG = 12 −4 = 8，
1
∴S = S = ×(8 +12)×6 = 60
阴影部梯分形D2EBG
故答案为：60．
例2
(1【) 答案】①y = −3x−1
②y = −3x+7
45/104
③y = −3x+5
(2【) 答案】3 ，−3
(3【) 答案】1
练2.1 【答案】解：（1）将(0,2)、(4,0)分别代入y = kx+b，
b = 2
得 ，
{4k+b = 0
b = 2
解得：⎧ 1 ．
k = −
⎨
⎩ 2
1
所以这个一次函数的解析式为y = − x+2；
2
1 1
（2）依题意可得：− x+2 +m = − (x−n)+2，
2 2
1
化简得：m = n．
2
例3 【答案】解：如图，四边形A′B′C′D′为所作．
练3.1 【答案】D
练3.2 【答案】解：如图所示，点P即为所求作的旋转中心．
【解析】根据旋转的性质，连接对应点BE、AD，分别作BE、AD的垂直平分线，交点即为旋转中
心．
例4 【答案】D
46/104
【解析】解：将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴ AC = CD，BC = CE，AB = DE，故A错误，C错误；
又∵∠ACB=∠DCE
∴ ∠ACD = ∠BCE，
180∘ −∠ACD 180∘ −∠BCE
∵ ∠A = ∠ADC = ，∠CBE = ，
2 2
∴ ∠A = ∠EBC，故D正确；
∵ ∠A +∠ABC不一定等于90∘ ，
∴
∠ABC +∠CBE不一定等于90∘ ，故B错误
故选：D．
练4.1 【答案】A
练4.2 【答案】解:由旋转的性质可得:△ABF≌△CBE，
∴∠ABF = ∠CBE,BE = BF,
∵∠ABC = ∠ABF +∠CBF = 90∘ ,∠EBF = ∠CBE +∠CBF = 90∘ ,
∴△BEF为等腰Rt△BEF
–
根据勾股定理:EF = 4√2,
∵∠BEC = 135∘ ,∠BEF = 45∘ ,
∴∠CEF = 90∘ .
根据勾股定理:CF = 6
例5 【答案】C
练5.1
(1【) 答案】如图，由旋转可得，∠AOB = 90∘ ，AO = BO，
过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴，
由△AOC≌△OBD可得，DO = AC = 2，BD = OC = 1，
∴点B的坐标为(−2,1)，
故答案为：(−2,1)；
(2【) 答案】如图，直线y = 2x−2与坐标轴交于A(1,0)，B(0,−2)，
绕坐标原点逆时针旋转90∘ 后分别得到C (0,1)，D(2,0)，
47/104
设CD解析式为y = kx+b，则
1 = b
，
{0 = 2k+b
k = −1
解得 2 ，
{b = 1
1
∴直线CD解析式为y = − x+1；
2
1
故答案为：y = − x+1；
2
(3【) 答案】如图，直线y = x+2 与坐标轴交于A(0,2) ，B(−2,0) ，
关于原点对称的点分别为C(0,−2) ，D(2,0) ，
设CD解析式为y = kx+b ，则
−2 = b
，
{0 = 2k+b
k = 1
解得 ，
{b = −2
∴直线CD解析式为y = x−2 ；
例6 【答案】A
【解析】A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选：A．
练6.1
(1【) 答案】D
48/104
(2【) 答案】DE、EF、DF、∠DEF、∠DFO；
(3【) 答案】如图
例7 【答案】A
【解析】解:根据平面内两点关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数, ∴ m = 2且
m− n = −3, ∴ m = 2,n = 5 ∴点M(m,n)在第一象限, 故选A. 根据平面内两点关于
原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数,则m = 2且n = −3,从而得出点
M(m,n)所在的象限.
练7.1 【答案】D
【解析】因为P (a,3)和P (−4,b)关于原点对称
1 2
所以a = 4，b = −3
即(a+b) 2010 = 12010 = 1
故选D
练7.2 【答案】C
能力提高 / 初二 / 春季
第 6 讲 图形的平移与旋转
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】A
【解析】通过点A的坐标发现向右平移了1，通过点B的坐标发现向上平移了1，
a=1,b=1,∴a+b = 2选择A选项
3
(1【) 答案】①如图，△A B C 所作；
1 1 1
②如图，△AB C 为所作；
2 2
49/104
【解析】
(2【) 答案】如图，作C 点关于x轴的对称点C′ ，连接B C′ 交x轴于P点，连接PC ，
1 1 1
则PC = PC′ ，
1
−−−−−− −−
PB +PC = PB +PC′ = B C′ = √12 +52 = √26，
1 1 1 1
−−
所以PB +PC 的最小值为√26．
1 1
−−
故答案为：√26．
【解析】
4 【答案】A
1
5 【答案】y = − x−4
2
6 【答案】解：（1）如图1中，
∵△BAE≌△CAF，
∴ AE = AF，∠BAE = ∠CAF，
∵ ∠BAC = 90∘ ，∠EAD = 45∘ ，
∴ ∠CAD+∠BAE = ∠CAD+∠CAF = 45∘ ，
∴ ∠DAE = ∠DAF，
∵ DA = DA，AE = AF，
∴△AED≌△AFD；
（2）如图1中，设DE = x，则CD = 9 −x．
∵ AB = AC，∠BAC = 90∘ ，
50/104
∴ ∠B = ∠ACB = 45∘ ，
∵ ∠ABE = ∠ACF = 45∘ ，
∴ ∠DCF = 90∘ ，
∵△AED≌△AFD，
∴ DE = DF = x，
在Rt △ DCF中，DF2 = CD2 +CF2 ，CF = BE = 3，
∴ x2 = (9 −x) 2 +32 ，
∴ x = 5，
∴ DE = 5．
（3）①当点Ｄ在线段BC上时，如图2中，连接BE．
∵ ∠BAC = ∠EAD = 90∘ ，
∴ ∠EAB = ∠DAC，
∵ AE = AD，AB = AC，
∴△
EAB≌
△
ADC，
∴ ∠ABE = ∠C = ∠ABC = 45∘ ，EB = CD = 5，
∴ ∠EBD = 90∘ ，
∴ DE2 = BE2 +BD2 = 52 +32 = 34，
②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．
同法可证△ DBE是直角三角形，EB = CD = 11，DB = 3，
∴ DE2 = EB2 +BD2 = 121 +9 = 130，
综上所述，DE2
的值为34或130．
51/104
7 【答案】B
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
8 【答案】A
9 【答案】A
10 【答案】解：如图，△
A′B′C′
为所作．
能力提高 / 初二 / 春季
第 6 讲 图形的平移与旋转
课堂落实答案
1 【答案】C
【解析】
2 【答案】A
3 【答案】解：如图所示△
A′B′C
就是所要求作的三角形；
52/104
【解析】如图所示，△A′B′C就是所要求作的三角形；
4 【答案】D
5 【答案】D
【解析】关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数
即P(−2,3) 关于原点对称点的坐标为(2,−3)
故选D
能力提高 / 初二 / 春季
第 6 讲 图形的平移与旋转
精选精练
1 【答案】C
【解析】∵ ΔABC绕着点A顺时针旋转40°后得到ΔADE，
∴ ∠CAE = 40∘，
∵ ∠BAC = 60∘，
∴ ∠BAE = ∠BAC +∠CAE = 60 ∘ +40∘ = 100∘．
2 【答案】D
3 【答案】5
【解析】如图，连接AA′、BB′．
∵点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，
∴点A′的纵坐标是4．
4
又∵点A的对应点在直线y= x上一点，
5
53/104
4
∴4= x，解得x=5．
5
∴点A′的坐标是（5，4），
∴AA′=5．
∴根据平移的性质知BB′=AA′=5．
故答案为：5．
4 【答案】12
5 【答案】A
6 【答案】D
【解析】根据题意，点A、A′
关于点C对称，
设点A的坐标是(x,y)，
a+x b+y
则 = 0， = −1，
2 2
解得x = −a，y = −b−2，
∴点A的坐标是(−a,−b−2)．
故选：D．
能力提高 / 初二 / 春季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意．
2 【答案】C
54/104
【解析】
A、含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项错误;
B、不是整式，即不是一元一次不等式组，故本选项错误;
C、是一元一次不等式组，故本选项正确;
D、未知数的次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项错误
故选：C．
3 【答案】B
4 【答案】C
5 【答案】C
6 【答案】C
3
【解析】 解：解方程得：x = 3 − k，
2
3
则3 − k ≥ 0，
2
解得：k ≤ 2．
7 【答案】A
【解析】解：∵∠ACB为直角，∠A = 30∘ ，
∴∠B = 90∘ −∠A = 60∘ ，
∵CD⊥AB于D，
∴∠DCB = 90∘ −∠B = 30∘
∴AB = 2BC，BC = 2BD，
∴AB = 4BD = 4．
8 【答案】A
【解析】设她答对了x道题，根据题意，得
10x−5(20 −x) ≥ 90．
故选：A．
9 【答案】B
【解析】解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°
1 1
∴∠B=∠C= （180°∠BAC）= （180°100°）=40°
2 2
∵BD=BE
1 1
∴∠BED=∠BDE= （180°∠B）= （180°40°）=70°
2 2
∴∠ADE=90°70°=20°．
故选：B．
10 【答案】C
55/104
【解析】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB = 90∘ ，BC = 0.7米，AC = 2.4米，
∴AB2 = 0.72 +2.42 = 6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB = 90∘ ，A′D = 2米，BD2 +A′D2 = A′B2 ，
∴BD2 +22 = 6.25，
∴BD2 = 2.25，
∵BD > 0，
∴BD = 1.5米，
∴CD = BC +BD = 0.7+1.5 = 2.2米．
11 【答案】−1 ⩽ x < 4
12 【答案】55∘
13 【答案】等边
【解析】解：因为，△ABC以点A旋转中心，按逆时针方向旋转60°得到△AB′C′，
则AB=AB′，∠BAB′=60°，
所以△ABB'是等边三角形．
14 【答案】5
15 【答案】62°，56°或59°，59°
16 【答案】30∘
17 【答案】a＜1
【解析】由方程组得3x+3y=6a+3，
则x+y=2a+1，
所以2a+1＜3，
解得a＜1．
故答案为a＜1．
18 【答案】3或6
【解析】解：点P为AC中点或点P与点C重合时，△ABC和△PQA全等，理由如下：
∵∠C = 90∘ ，AQ⊥AC，
∴∠C = ∠QAP = 90∘ ，
56/104
①当AP = 3 = BC时，
在Rt △ ACB和Rt △ QAP中，
AB = PQ
，
{CB = AP
∴Rt △ ACB≌Rt △ QAP (HL)；
②当AP = 6 = AC时，
在Rt △ ACB和Rt △ PAQ中，
AB = PQ
，
{AC = AP
∴Rt △ ACB≌Rt △ PAQ(HL)，
∵AC = 6，BC = 3，
1
∴AP = AC = 3或AP = AC = 6，
2
故答案为：3或6．
19 【答案】 x−3 +3 ≥ x①
解： 2 ，
{3(x+2) > x+2②
由①得，x ≤ 3，
由②得，x > −2，
故不等式组的解集为：−2 < x ≤ 3，
在数轴上表示为：
．
其整数解为：−1，0，1，2，3．
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
20 【答案】证明：∵AD平分∠BAC
∴∠EAD = ∠FAD
又∵∠AED = ∠AFD = 90∘ ,AD = AD
∴△ADE≌△ADF，
∴AE = AF，DE = DF
∴AD是线段EF的垂直平分线
21
【答案】如图，△A′B′C′
和△A″B″C″为所作．
57/104
【解析】利用平移的性质和网格特点画出点A、B、C平移后的对应点A′ 、B′ 、C′
，即可得到△
A′B′C′ ，然后利用网格特点和旋转的性质画出A′ 和B′
的对应点A″、B″，从而得到△A″B
″C″．
22 【答案】解不等式x−a > b，得：x > b+a，
a+2b+4
解不等式2x−a < 2b+4，得：x < ，
2
∵不等式组的解集为2 < x < 5，
a+b = 2
∴ ，
a+2b+4
= 5
{
2
a = −2
解得： ．
{ b = 4
b
∴ = −2．
a
23 【答案】解：（1）设A商品的单价为x元，B种商品的单价为y元，由题意得：
60x+30y = 1080
{50x+20y = 880
x = 16
解得： ，
{y = 4
∴A商品的单价为16元，B商品的单价为4元；
（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为(2m−4)件，由题意得：
m+2m−4 ≥ 32
，
{16m+4(m−4) ≤ 296
解得12 ≤ m ≤ 13，
∵m是整数，
∴m = 12或13，
故有两种方案：
①m = 12，2m−4 = 20，即购买A商品的件数为12件，购买B商品的件数为20件；
②m = 13，2m−4 = 22，即购买A商品的件数为13件，购买B商品的件数为22件．
【解析】（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A商品
的钱数+30件B商品的钱数=1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数=880元
分别列出方程，联立求解即可．
58/104
（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m4）件，根据不等关系：①
购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元
可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可．
x = m−3
24 【答案】
解：（1）解原方程组得： ，
{y = −2m−4
∵x ≤ 0，y < 0，
m−3 ≤ 0
∴ ，
{ −2m−4 < 0
解得−2 < m ≤ 3；
（2）|m−3|−|m+2| = 3 −m−m−2
= 1 −2m；
（3）解不等式2mx+x < 2m+1
得，(2m+1)x < 2m+1，
∵x > 1，
∴2m+1 < 0，
1
∴m < − ，
2
1
∴−2 < m < − ，
2
∴m = −1．
25 【答案】（1）证明：过C作CF⊥AD于F，
∵
AC平分∠BADCE⊥AB，
∴CF = CE，
∵ ∠ADC +∠CBE = 180∘ ，
∠ADC +∠FDC = 180∘ ，
∴∠CBE = ∠FDC，
在△ FDC和△ EBC中，
∠CFD = ∠CEB = 90∘
⎧⎪
∠FDC = ∠EBC ，
⎨
FC = EC
⎩⎪
∴△
FDC
△
EBC (AAS)，
∴ CD = BC;
59/104
（2） ∵△ FDC △ EBC，
∴ DF = BE，
在Rt
△
AFC和Rt
△
AEC中，
AC = AC
，
{CF = CE
∴
Rt
△
AFC≌Rt
△
AEC (HL)，
∴ AF = AE，
∴
AB +AD
= AE +BE +AD
= AE +DF +AD
= AE +AF
= 2AE.
5
26 【答案】m ≤
2
x ≥ m
【解析】
由不等式组可知⎧ 5 有解；
x ≤
⎨
⎩ 2
5
∴m ≤ ；
2
5
故答案为：m ≤ ．
2
27 【答案】证明：（1）∵ΔABC 与ΔDCE 都是等边三角形，
∴AC = BC，CE = CD ，∠ACB = ∠DCE = 60∘ ，
∴∠ACB+∠ACD = ∠DCE+∠ACD ，即∠ACE = ∠BCD ，
在ΔACE 和ΔBCD 中
AC = BC
⎧∠ACE = ∠BCD
⎨
CE = CD
⎩
∴ΔACE≌ΔBCD(SAS) ；
（2）∵ΔABC 与ΔDCE 都是等边三角形，
∴CD = ED，∠ABC = ∠DCE = 60∘ ，
由平角定义可得∠GCF = 60∘ = ∠FCE ，
又由（1）可得∠GDC = ∠FEC ，
在ΔGDC 和ΔFEC 中
60/104
∠GDC = ∠FEC
⎧∠GCD = ∠FCE
⎨
CD = CE
⎩
∴ΔGDC ≅ΔFEC (AAS) ，
∴GC = FC ，
又∵∠GCF = 60∘ ，
∴ΔGFC 是等边三角形．
能力提高 / 初二 / 春季
第 8 讲 旋转模型
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】提示：①证△ADC≌△BEC(SAS)，∴AD = BE；
②易证△CGE≌△CFD(ASA)，∴CG = CF，
∵∠GCF = 60∘ ，∴△CGF是等边三角形．
(2【) 答案】 过C分别作AF、BF的垂线段，垂足为G、H，
∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC = CM，CB = CN，∠ACM = ∠BCN = 60∘
∴∠ACM +∠MCN = ∠BCN +∠MCN，
即∠ACN = ∠MCB ，
∴△ACN≌△MCB(SAS)，
∴AN = BM，S
ΔACN
= S
ΔMCB
∵CG⊥AN，CH⊥BM，∴CG = CH ，
∴点C在∠AFB的角平分线上，
∴CF平分∠AFB.
61/104
练1.1 【答案】①②③④⑤
例2 【答案】解：（1）∵△CAD、△CBE都是等边三角形，
∴∠A = ∠CDA = 60∘ ，AC = CD，CE = CB，∠ACD = ∠ECB = 60∘ ，
∴∠ACD+∠DCB = ∠ECB +∠DCB，
即∠ACB = ∠ECD，
在△ACB和△DCE中
AC = DC
⎧∠ACB = ∠DCE，
⎨
CB = CE
⎩
∴△ACB≌△DCE(SAS)，
∴∠CDE = ∠A = ∠CDA = 60∘ ，
∴∠EDB = 180∘ −60∘ −60∘ = 60∘ ，
（2）∵△ACB≌△DCE，
∴DE = AB，
∵AB = AD+BD，AD = CD．
∴DE = AB = AD+DB = CD+DB．
练2.1 【答案】解：（1）∵△ABC和△BDE是等边三角形
∴BD = BE，∠ABC = ∠EBD，BC = AB
∠BAC = ∠ACB = ∠ABC = ∠BDE = ∠BED = ∠EBD = 60∘
∴∠CBD = ∠ABE
在△CBD和△ABE中，
BD = BE
⎧∠CBD = ∠ABE，
⎨
BC = BA
⎩
∴△CBD≌△ABE(SAS)，
∴∠BDC = ∠AEB，
∵∠AEB = 180∘ −∠BED = 120∘
∴∠BDC = ∠AEB = 120∘
∴∠ADC = ∠BDC −∠BDE = 60∘ ；
（2）由（1）得DC = AE，
∴DA −DB = DA −DE = AE = DC．
例3 【答案】证明：（1）可证△AEC≌△ABF（SAS），
∴∠ACE = ∠AFB，
∵∠ACE +∠FMC = ∠AFB +∠CAF，
62/104
∴∠FMC = ∠CAF = 90∘ ，
∴EC⊥BF
证明：（2）∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，
∴AD = CD，GD = ED，
∵∠CDG = 90∘ +∠ADG，∠ADE = 90∘ +∠ADG，
∴∠CDG = ∠ADE，
AD = CD
在△ADE和△CDG中， ⎧∠ADE = ∠CDG ，
⎨
DE = GD
⎩
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE = CG
练3.1 【答案】解：（1）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC = BC
∵ ⎧∠ACD = ∠BCE，
⎨
CD = CE
⎩
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，
（2）AE⊥BE,
∵△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BEC＝∠ADC，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，
即AE⊥BE．
例4 【答案】（1）①证明：∵∠AOB = ∠COD = 60∘ ，
∴∠AOB +∠BOC = ∠COD+∠BOC，
∴∠AOC = ∠BOD．
在△AOC和△BOD中，
63/104
AO = BO
⎧∠AOC = ∠BOD，
⎨
OC = OD
⎩
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC = BD；
②证明：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC = ∠OBD，
∵∠OAC +∠AOB = ∠OBD+∠APB，
∴∠APB = ∠AOB = 60∘ ；
（2）AC = BD，∠APB = α．
练4.1 【答案】145
练4.2 【答案】解：（1）∵ ∠DAE = ∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠CAE，
在△ ABD和△ ACE中，
AB = AC
⎧∠BAD = ∠CAE
⎨
AD = AE
⎩
∴△
ABD≌
△
ACE(SAS)，
∴ ∠ACE = ∠B，
∵ AB = AC，∠BAC = 40∘ ，
∴ ∠ACE = ∠B = 70∘ ，
∴ ∠DCE = 180∘ −70∘ −70∘ = 40∘ ，故答案为40∘ ；
（2）①m = n；
②当D在线段BC的延长线上或反向延长线上时，m = n；
当D在线段BC上时，m+n = 180∘ ．
能力提高 / 初二 / 春季
第 8 讲 旋转模型
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】B
3 【答案】B
64/104
4 【答案】C
5 【答案】D
6 【答案】D
【解析】∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC = AC ， CE = CD ， ∠BCA = ∠ECD = 60° ，
∴∠BCA +∠ACD = ∠ECD+∠ACD ，
即∠BCD = ∠ACE ，
BC = AC
∴在△BCD和△ACE中 ⎧ ⎪∠ACE = ∠BCD ，
⎨
CD = CE
⎩⎪
∴△BCD≌△ACE （ SAS ），
故A成立，
∴∠DBC = ∠CAE ，
∵∠BCA = ∠ECD = 60° ，
∴∠ACD = 60° ，
∠CAE = ∠CBD
⎧
在△BGC和△AFC中⎪AC = BC ，
⎨
∠ACB = ∠ACD = 60°
⎩⎪
∴△BGC≌△AFC，
故B成立，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDB = ∠CEA ，
∠CDB = ∠CEA
⎧
在△DCG和△ECF中⎪CE = CD ，
⎨
∠ACD = ∠DCE = 60°
⎩⎪
∴△DCG≌△ECF，
故C成立，
故选：D．
7 【答案】证明：∵ AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE = 60∘ ，
∴ ∠ACB = ∠ABC = 60∘ ，∠EAC = ∠DAB，
∴
ΔDAB ≅ΔEAC，
∴ ∠ECA = ∠B = 60∘ ，
∵
EF//BC，
∴ ∠EFC = ∠ACB = 60∘ ，
∵在ΔEFC中，∠EFC = ∠ECF = 60∘ = ∠CEF，
65/104
∴
ΔEFC为等边三角形．
8 【答案】证明：∵在△ABC中，∠BAC = 90∘ ，AB = AC，AD⊥BC，
∴∠B = 45∘ = ∠DAF，
又∵DE⊥DF，
∴∠BDE +∠EDA = 90∘ = ∠EDA +∠ADF,
∴∠BDE = ∠ADF，
在△BDE和△ADF中，
∠DBE = ∠DAF
⎧BD = AD
⎨
∠BDE = ∠ADF
⎩
∴△ BDE≌ △ ADF (ASA)，
∴DE = DF，得证．
9 【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AE=AD、AB=AC，
又∵∠EAD=∠BAC=60°，∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠DAB=∠EAC，
在△EAC和△DAB中，
AE = AD
⎧∠EAC = ∠DAB，
⎨
AC = AB
⎩
∴△EAC≌△DAB（SAS），
即可得出BD=CE．
（2）由（1）得：∠ABD = ∠ACE
易证：∠ABD+∠BAC = ∠ACE +∠BFC
∘
∠BFC = ∠BAC =60
10 【答案】提示：（1）倒角可得∠ABD = ∠CBE，可证△ABD≌△CBE（SAS）得出结论；
（ 2 ） ① 由 （ 1 ） 可 得 ： ∠BCE = ∠DAB ，
∠BCF +∠CFA = ∠FAB +∠CBA，∠CFA = 60∘ ；
②在AF上，截取FG = CF，连接CG，可证△CFG是等边三角形，再证△ACG≌△BCF，
CF +BF = AF
能力提高 / 初二 / 春季
第 8 讲 旋转模型
66/104
课堂落实答案
1 【答案】解：∵△ABC、△CDE是等边三角形
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中
CD = CE
⎧∠ACD = ∠BCE
⎨
AC = BC
⎩
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠DAC=∠EBC
易得∠DAC+∠BCA=∠EBC+∠BOA
∴∠BOA=∠BCA=60°
2 【答案】C
3 【答案】CE = BD，CE⊥BD
4 【答案】60
5 【答案】AC = AD+AE
能力提高 / 初二 / 春季
第 8 讲 旋转模型
精选精练
1 【答案】D
2 【答案】C
3 【答案】55
4 【答案】D
5 【答案】数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC．
证明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴AE=DE，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，
∠EDC=∠ADC﹣∠EDA=180°﹣45°=135°，
67/104
∴∠EAB=∠EDC，
∵D是AC的中点，
1
∴AD=CD= AC，
2
∵AC=2AB，
∴AB=AD=DC，
∵在△EAB和△EDC中
AE = DE
⎧
⎪∠EAB = ∠EDC，
⎨
AB = DC
⎩⎪
∴△EAB≌△EDC（SAS），
∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，
∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=90°，
∴BE⊥EC．
【解析】数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC；利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半，以及等腰直角三角形的性质，即可证得：△EAB≌△EDC即可证明．
6 【答案】解：（1）∵∠ACB = 90∘ ，∠A = 30∘ ，
1
∴∠CBA = 60∘ ，BC = AB，
2
∵点D是AB的中点，
∴BC = BD，
故答案为：BC = BD；
（2）BF +BP = BD，
理由：∵∠ACB = 90∘ ，∠A = 30∘ ，
1
∴∠CBA = 60∘ ，BC = AB，
2
∵点D是AB的中点，
∴BC = BD，
∴△ DBC 是等边三角形，
∴∠CDB = 60∘ ，DC = DB，
∵线段DP绕点D逆时针旋转60∘
，得到线段DF，
∴∠PDF = 60∘ ，DP = DF，
68/104
∴∠CDB −∠PDB = ∠PDF −∠PDB，
∴∠CDP = ∠BDF，
DC = DB
在△ DCP 和△ DBF 中， ⎧⎪ ∠CDP = ∠BDF，
⎨
DP = DF
⎩⎪
∴△ DCP≌ △ DBF (SAS)，
∴CP = BF，
∵CP +BP = BC，
∴BF +BP = BC，
∵BC = BD，
∴BF +BP = BD；
（3）如图③，BF = BD+BP，
理由：∵∠ACB = 90∘ ，∠A = 30∘ ，
1
∴∠CBA = 60∘ ，BC = AB，
2
∵点D是AB的中点，
∴BC = BD，
∴△ DBC 是等边三角形，
∴∠CDB = 60∘ ，DC = DB，
∵线段DP绕点D逆时针旋转60∘
，得到线段DF，
∴∠PDF = 60∘ ，DP = DF，
∴∠CDB +∠PDB = ∠PDF +∠PDB，
∴∠CDP = ∠BDF，
DC = DB
在△ DCP 和△ DBF 中， ⎧⎪ ∠CDP = ∠BDF，
⎨
DP = DF
⎩⎪
∴△ DCP≌ △ DBF (SAS)，
∴CP = BF，
∵CP = BC +BP，
∴BF = BC +BP，
∵BC = BD，
∴BF = BD+BP．
69/104
能力提高 / 初二 / 春季
第 9 讲 因式分解高阶
例题练习题答案
例1 【答案】（1）(x−2)(x+1)；
（2）(4a−3)(a+1)
练1.1 【答案】(2a+1)(a−2)
【解析】(2a+1)a−4a−2 =(2a+1)a−2(2a+1) =(2a+1)(a−2).
例2 【答案】（1）原式= 2(x+2)(x−2)
（2）原式(x−y)(a+b)(a−b)
（3）原式= 3a(x+y) 2
（4）原式= 3y(x−3y)2
练2.1 【答案】C
【解析】解：8a3 −8a2 +2a
= 2a(4a2 −4a+1)
= 2a(2a−1) 2 ．
例3 【答案】1）(x+2)(x+3)
2）(a−2)(a−3)
3）(k+8)(k−1)
4）(b−7)(b+2)
5）(c−2)(c+6)
1 2
6） n − n −
( 3)( 3)
练3.1
(1【) 答案】(2x+1)
70/104
(2【) 答案】(2x−1)(x+5)
练3.2 【答案】A
例4
(1【) 答案】(x−2y)(x+y)
(2【) 答案】D
【解析】原式=(2m−3n)(3m−2n)，故选D.
练4.1
(1【) 答案】(xy −100)(xy +25)
(2【) 答案】(x−2y)(x−3y)
例5
(1【) 答案】解：a2b2 −a2 −b2 −2ab
=a2b2 −(a2 +b2 +2ab)
=a2b2 −(a+b) 2
=(ab+a+b)(ab−a−b)
(2【) 答案】(1 +2x−2y)(1 −2x+2y)
练5.1
(1【) 答案】C
(2【) 答案】D
能力提高 / 初二 / 春季
第 9 讲 因式分解高阶
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】C
3 【答案】C
4 【答案】（1）原式= (3m+2n)(b−c)
71/104
（2）原式= a2 −4ab−ab+4b2 +ab = (a−2b) 2
5 【答案】A
6 【答案】A
7 【答案】C
【解析】解：(x−y)2 −2(x−y)−8，
= (x−y −4)(x−y +2)．
故选：C．
8 【答案】B
9 【答案】(3 +a−2b)(3 −a+2b)
10 【答案】解：（1）原式= m2(m−2)−4(m−2) = (m−2)2(m+2；)
（2）原式= (x−y)2 −9 = (x−y +3)(x−y −3．)
能力提高 / 初二 / 春季
第 9 讲 因式分解高阶
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】（1）原式 = 2a(m2 −n2 ) = 2a(m+n)(m−n)
（ 2 ）
原式 = [(m+n)+2(m−n)][(m+n)−2(m−n)] = (3m−n)(3n −m)
3 【答案】2x(x−1)(x−2)
【解析】解：2x3 −6x2 +4x
= 2x(x2 −3x+2)
= 2x(x−2)(x−1)
4 【答案】(xy −100)(xy +16)
5 【答案】(a−b+2)(a−b−2)
能力提高 / 初二 / 春季
第 9 讲 因式分解高阶
72/104
精选精练
1 【答案】C
2 【答案】解：（1）9(m+n) 2 −16(m−n) 2
= [3(m+n)+4(m−n)][3(m+n)−4(m−n)]
= (7m−n)(−m+7n)；
（2）(x+y) 2 −10(x+y)+25 = (x+y −5) 2 ．
【解析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；
（2）直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
3 【答案】解：（1）由因式分解的过程可知，因式分解的方法是提取公因式法，提取了2次，
故答案为：提取公因式，2；
（2）（1）的算式最后一项(1 +x)的次数为2，结果的次数为3，
故分解1 +x+x(x+1)+x(x+1) 2 +…+x(x+1) 2012 ，需要提公因式2012
次，结果为(x+1) 2013 ，
故答案为：2012，(x+1) 2013 ；
（3）
1 +x+x(x+1)+x(x+1) 2 +…+x(x+1) n
= (1 +x) 1 +x+x(x+1)+x(x+1) 2 +…+x(x+1) n−1
[ ]
= (1 +x) 2 1 +x+x(x+1)+x(x+1) 2 +…+x(x+1) n−2
[ ]
= (1 +x) n+1 ．
4 【答案】−12
5 【答案】原 式 ＝ (4x2 +4xy +y2 )−(4x+2y)−3＝ (2x+y) 2 −2(2x+y)−3＝
(2x+y +1)(2x+y −3)．
【解析】原式结合后，利用完全平方公式及十字相乘法分解即可．
6 【答案】64
提示：(x+y) 2 (x−y) = 0，x = y = 8
能力提高 / 初二 / 春季
第 10 讲 分式
例题练习题答案
例1
73/104
(1【) 答案】B
(2【) 答案】±1
1
(3【) 答案】 ①x = −
2
②x = 9
练1.1
(1【) 答案】D
(2【) 答案】3
1
例2 【答案】
（1）不变；（2）扩大为原来的3倍；（3）缩小为原来的 ．
3
练2.1 【答案】A
6x−8y
例3 【答案】
4x+3y
【解析】
1x− 2y
(
1x− 2y)×12
6x−8y
2 3 2 3
解： = =
1x+ 1y
(
1x+ 1y)×12 4x+3y
3 4 3 4
练3.1 【答案】B
0.3x+0.2y 10(0.3x+0.2y) 3x+2y
【解析】
解： = =
0.4y +2 10(0.4y +2) 4y +20
故选B
练3.2 【答案】B
例4 【答案】D
−3x 3x
【解析】 A.− = ，故选项错误
5y 5y
a+b −a−b
B.− = ，故选项错误
c c
−a−b a+b
C. = ，故选项错误
c −c
a a
D.− = ，故选项正确
b−a a−b
故选D
练4.1 【答案】 x2 −1
−
x2 +1
x2 +x−1
x2 −x+1
4y 1 x
例5 【答案】
（1） ；（2） ；（3） ．
−3x x−a x+y
a x−3
例6 【答案】
（1） ；（2） ．
b x+3
a−6 x−y
练6.1 【答案】
（1） ；（2） ．
2 x+y
74/104
a+2 1 1 1
例7 【答案】 （1）原式= ⋅ = = ；
a−2 a(a+2) a(a−2) a2 −2a
a−1 (a+2)(a−2) a+2 a+2
（2）原式= ⋅ = = ．
(a−2) 2 (a+1)(a−1) (a−2)(a+1) a2 −a−2
(x+1)(x−1) 1
练7.1 【答案】
原式= ⋅
(x−1) 2 x+1
1
=
x−1
(x+2)(x−2) x(x+2)
练7.2 【答案】
原式= ÷
(x−2) 2 −(x−2)
x+2 −(x−2)
= ⋅
x−2 x(x+2)
1
= −
x
能力提高 / 初二 / 春季
第 10 讲 分式
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】B
3 【答案】B
【解析】解：∵ x+2 = 0，x−3 ≠ 0，
∴ x = −2，
故选：B．
4 【答案】C
x2 −1
【解析】
解：∵分式 的值为0，
x
∴ x2 −1 = 0，x ≠ 0，
解得：x = ±1．
故选：C．
5 【答案】（1）b；
（2）y；
（3）2ab+2b2
；
（4）x；
（5）9x2 −4；
75/104
（6）2m2 −2mn．
0.3x+y 15x+50y
6 【答案】 解： = ．
0.02x−0.1y x−5y
7 【答案】A
8 【答案】B
6a
9 【答案】
a−b
5
10 【答案】
4ab
能力提高 / 初二 / 春季
第 10 讲 分式
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】D
3 【答案】B
0.3a+b 3a+10b
【解析】 解：A、 = ，此选项错误；
a+0.4b 10a+4b
a2 −4 (a+2)(a−2) a+2
B、 = = ，此选项正确；
(a−2)2 (a−2)2 a−2
−a+b a−b
C、 = − ，此选项错误；
c c
D、若c = 0，则变形无意义；
故选：B．
4 【答案】A
5 【答案】A
能力提高 / 初二 / 春季
第 10 讲 分式
精选精练
1 【答案】D
1
2 【答案】 x≠−
2
76/104
3 【答案】D
4 【答案】−4
14x−10y
5 【答案】
35x−14y
x x2 +x+1 1
6 【答案】
解：由 = a，可得 = ，
x2 +x+1 x a
1 1
则有x+ = −1，
x a
由此可得，
x4 +x2 +1 1 1 2 1 2
= x2 + +1 = (x+ ) −2 +1 = (x+ ) −1，
x2 x2 x x
1 2 1 −2a
= ( −1) −1 =
a a2
x2 a2
所以， = ．
x4 +x2 +1 1 −2a
能力提高 / 初二 / 春季
第 11 讲 分式的运算
例题练习题答案
y3 a4
例1 【答案】
（1）− ；（2） ．
27x6 9b6c2
a8
练1.1 【答案】
b12
−27x6
8y6z3
例2 【答案】 解：原式= 4a2b2c2 ÷
9a2c
⋅
−27c3
b3 b3
b3 −27c3
= 4a2b2c2 ⋅ ⋅
9a2c b3
= −12b2c4 ．
练2.1 【答案】
b2 3b 8a
解：（1）原式= ⋅ − ⋅
4a2x2 ( ax) b3
6
= − ；
a2x3
a2 4b 2b2
（2）原式= ⋅ ⋅
b2 3ac 3a
8b
= ．
9c
例3
77/104
c c4 a2 a4b3
(1【) 答案】
= ，− =−
a2b4 a2b4c3 bc3 a2b4c3
1 1 2 2
(2【) 答案】 = = = ，
x2 −4 (x+2)(x−2) 2(x+2)(x−2) 2x2 −8
x x −x(x+2) −x2 −2x
= = =
4 −2x −2(x−2) 2(x+2)(x−2) 2x2 −8
练3.1 【答案】
x2 +3x+2 x2
，
3x2 +6x 3x2 +6x
2x 4x 4x
练3.2 【答案】 = = ，
x2 −9 2(x+3)(x−3) 2x2 −18
x x(x−3) x2 −3x
= = ．
2x+6 2(x+3)(x−3) 2x2 −18
3x
例4 【答案】
（1）2；（2） ．
x−1
5
练4.1 【答案】
（1） ；（2）3．
a+2
例5 【答案】（ 1 ） 原 式
a 1 2a−(a+5b) 1
= − = = ；
(a+5b)(a−5b) 2(a−5b) 2(a+5b)(a−5b) 2(a+5b)
(a+b)(a−b) 2b2 a2 −b2 +2b2 a2 +b2
（2）原式= + = = ．
a+b a+b a+b a+b
4x x
练5.1 【答案】 原式= −
(x+2)(x−2) x−2
4x x(x+2)
= −
(x+2)(x−2) (x+2)(x−2)
4x−x2 −2x
=
(x+2)(x−2)
x(2 −x)
=
(x+2)(x−2)
x
=− ．
x+2
例6 【答案】
4x2 −4x−2
x2 −1
xy3 −4x2
练6.1 【答案】
8y4
能力提高 / 初二 / 春季
第 11 讲 分式的运算
自我巩固答案
1 【答案】D
78/104
2 【答案】C
2(a+b) 9a2b
3 【答案】
原式= ⋅
3ab (a+b)(a−b)
6a
= ．
a−b
a2 25b2 a
4 【答案】
原式= ⋅ ⋅
b2 4a4 5b
5
=
4ab
5 【答案】最简公分母是2x(x+1)(x−1)．
x x2(x−1) x3 −x2
= = ，
2x+2 2x（x+1)(x−1) 2x3 −2x
1 2(x−1) 2x−2
= = ，
x2 +x 2x（x+1)(x−1) 2x3 −2x
1 2x 2x
= = ．
x2 −1 2x（x+1)(x−1) 2x3 −2x
6 【答案】B
1 1 b a a+b
【解析】 A、 + = + = ，故A错误；
2a 2b 2ab 2ab 2ab
1 1 1 1
B、 + = − = 0，故B正确；
a−b b−a a−b a−b
c c+1 −1 1
C、 − = = − ，故C错误；
a a a a
b b bc ab bc+ab
D、 + = + = ，故D错误．
a c ac ac ac
7 【答案】B
a2 1 −2a
【解析】
解： −
a−1 1 −a
a2 1 −2a
= +
a−1 a−1
(a−1) 2
=
a−1
= a−1
故选：B．
8 【答案】D
a 4 a2 4 (a+2)(a−2) a+2
【解析】
− = − = = ，
a−2 a2 −2a a(a−2) a(a−2) a(a−2) a
故答案为：D．
9 【答案】（ 1 ） 原 式
a 1 3a a−4b
= − = −
(a−4b)(a+4b) 3(a+4b) 3(a−4b)(a+4b) 3(a−4b)(a+4b)
2(a+2) 2 a
（2）原式= +1 = +1 = ．
(a+2)(a−2) a−2 a−2
79/104
2 x+5 x+2
10 【答案】
= + ×
(x+2 x2 +4x+4) x2 +3x
x+5 +2x+4 x+2
= ×
( x2 +4x+4 ) x(x+3)
3(x+3) x+2
= ×
(x+2) 2 x(x+3)
3
=
x2 +2x
能力提高 / 初二 / 春季
第 11 讲 分式的运算
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】C
3 【答案】a+1
a2 −1
【解析】
原式= = a+1．
a−1
故答案为：a+1．
4 【答案】最简公分母是6(a+b) 2 (a−b)．
1 2(a−b) 2a−2b
= = ，
3(a+b) 2 6(a+b) 2 (a−b) 6a3 −6ab2 +6a2b−6b3
a+b 3(a+b) 2 3a2 +6ab+3b2
= = ．
2a2 −2b2 6(a+b) 2 (a−b) 6a3 −6ab2 +6a2b−6b3
2x x+3y 1
5 【答案】 原式= − =
2(x−3y)(x+3y) 2(x−3y)(x+3y) 2(x+3y)
能力提高 / 初二 / 春季
第 11 讲 分式的运算
精选精练
x
1 【答案】（1）原式=
6y
xy
（2）原式= −x(x−y)⋅ = −x2y
x−y
80/104
2 【答案】 (m−3) 2 m−2 m−3
解：（1）原式= ⋅ = − ；
(m+2)(m−2) −(m−3) m+2
x(x+2) 2 x−1 x+2
（2）原式= ⋅ = ．
(x+1)(x−1) x(x+2) x+1
3 【答案】最简公分母是12a(x+2) 2 ．
y 3y(x+2) 3xy +6y
= = ，
4a(x+2) 12a(x+2) 2 12ax2 +48ax+48a
x x 2ax
= = ．
6(x2 +4x+4) 6(x+2) 2 12ax2 +48ax+48a
1 6 x+1
4 【答案】 原式= − −
x−5 (x+5)(x−5) 2(x+5)
2(x+5)−12 −(x+1)(x−5)
=
2(x+5)(x−5)
2x+10 −12 −(x2 −4x−5)
=
2(x+5)(x−5)
−x2 +6x+3
=
2(x+5)(x−5)
5 【答案】
(a−1) 2 a(a+1)
原式= ⋅ = 1 −a
a (1 −a)(1 +a)
6 【答案】x−1
能力提高 / 初二 / 春季
第 12 讲 分式的化简求值及分式方程
例题练习题答案
x+2 +x2 −4 x−2
例1 【答案】
解：原式= ⋅
( x−2 ) (x+2) 2
(x+2)(x−1) x−1
= = ．
(x+2) 2 x+2
−2
当x = −1时，原式= = −2．
1
4 x+2
【解析】(1 + )÷
x−2 x2 −4
x−2 +4 (x+2)(x−2)
= ×
x−2 x+2
＝x＋2．
当x＝3时，原式＝3＋2＝5．
练1.1 【答案】D
【解析】
81/104
2m+n +m−n 3m
原式＝ •（m＋n）（m－n）＝ •（m＋n）（m－n）
m(m−n) m(m−n)
＝3（m＋n），
当m＋n＝1时，原式＝3．
1
练1.2 【答案】−
2
例2 【答案】解：（1）去分母得：2x−(x−2) = 0，
解得：x = −2，
经检验x = −2是分式方程的解．
（2）去分母得：(x−2) 2 −16 = x2 −4，
解得：x = −2，
经检验x = −2是增根，分式方程无解．
练2.1 【答案】解：在方程两边同时乘以(x+2)(x−2)，得
4 −(x+2) 2 = 4 −x2 ，
解这个整式方程，得x = −1．
经检验，x = −1是原方程的根．
故原方程的根是：x = −1．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方
程的解．
1 1
练2.2 【答案】 解：（1）原方程可变形为： − = 1，
x−3 2(x−3)
去分母，得2 −1 = 2x−6
解得x = 3.5
经检验，x = 3.5是原方式方程的解．
所以原分式方程的解为：x = 3.5；
（2）去分母，得5(x−1)+3(x+1) = 6，
去括号，得5x−5 +3x+3 = 6，
整理，得8x = 8，
所以，x = 1
当x = 1时，x2 −1 = 0，
所以x = 1不是原方程的解．
所以原方程无解．
例3 【答案】B
练3.1 【答案】D
82/104
练3.2 【答案】2
6
【解析】 将方程 = 2去分母得：2x = 6，
x
解得：x = 3，
经检验x = 3是分式方程的解，
ax 2 3a
把x = 3代入 − = 1得： −1 = 1，
a+1 x−1 a+1
去分母整理得：2a+2 = 3a，
解得：a = 2，
经检验，a = 2是分式方程的解，
故答案为：2．
例4
(1【) 答案】解：①甲的速度是(x+10)km/h，
360
甲车所需时间是 h，
(x+10)
320
乙车所需时间是 h；
( x )
②乙的速度是x km/h，甲的速度是(x+10)km/h，依题意得：
360 320
= ，
x+10 x
解得x = 80，
经检验：x = 80是原方程的解，
x+10 = 90，
答：甲的速度是90 km/h，乙的速度是80 km/h．
(2【) 答案】D
练4.1
(1【) 答案】B
(2【) 答案】设自行车速度为x千米/小时，则汽车速度为2.5x千米/小时．
20 45 20
由题意可列方程为 − = ．
x 60 2.5x
解这个方程，得x=16．
经检验，x = 16符合题意．
故2.5x = 40．
答：自行车速度为16千米/小时，汽车速度为40千米/小时．
83/104
【解析】关键描述语为：“甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果两
45
班师生同时到达”；等量关系为：甲班师生行驶的时间− =乙班师生行驶的时
60
间．
例5 【答案】A
练5.1
(1【) 答案】D
【解析】解：因客户的要求每天的工作效率应该为：(48 +x)件，
720
所用的时间为： ，根据“因客户要求提前5天交货”，
48 +x
720 720
用原有完成时间 减去提前完成时间 ，
48 48 +x
720 720
可以列出方程： − = 5．
48 48 +x
故选：D．
(2【) 答案】解：设甲队每天完成x平方米，则乙队每天完成1.5x平方米，
9000 9000
由题意得， − = 15，
x 1.5x
解得：x = 200，
经检验，x = 200是原分式方程的解．
答：甲队每天完成200平方米．
练5.2 【答案】解：设甲独做需要x小时完成此项工程，则乙独做需要2x小时完成此项工程，
1 1 1
由题意得，4 + +6 × = 1，
(x 2x) 2x
解得：x = 9，
经检验，x = 9是原分式方程的解，且符合题意，
则2x = 18．
答：甲独做需要9小时完成此项工程，则乙独做需要18小时完成此项工程．
【解析】设甲独做需要x小时完成此项工程，则乙独做需要2x小时完成此项工程，根据题意可得，
甲乙合做4小时的任务+乙6小时完成的任务= 1，据此列方程求解．
能力提高 / 初二 / 春季
第 12 讲 分式的化简求值及分式方程
84/104
自我巩固答案
x(x+1)−x x2 −1 +1
1 【答案】
原式= ÷ ，
x+1 x2 −1
x2 (x+1)(x−1)
= ⋅ ，
x+1 x2
= x−1．
∵x ≠ 0，−1，1，
∴取x = 2，原式= 1．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
2 【答案】B
【解析】解：①方程的分母中不含未知数x，故①不是分式方程；
②方程的分母中不含未知数x，故②不是分式方程；
③方程的分母中含表示未知数的字母x，故③是分式方程；
④方程分母中含未知数x，故④是分式方程；
故选：B．
3 【答案】B
4 【答案】D
2 3
【解析】 解：把x = 4代入分式方程 + = 0，得
x x−a
2 3
+ = 0，
4 4 −a
解得：a = 10，
故选：D．
5 【答案】解：去分母得：2x+3(x−2) = 3x+2，
解得：x = 4，
经检验x = 4是分式方程的解．
6 【答案】解：去分母得：y −3 −2 +y = −1，
移项合并得：2y = 4，
解得：y = 2，
经检验，y = 2是分式方程的解．
7 【答案】解：去分母得：2x−2 +2x = x+1，
解得：x = 1，
经检验，x = 1是增根，分式方程无解．
8 【答案】C
25 35
【解析】 根据题意，得 = ．
x x+20
85/104
故选：C．
9 【答案】解：设江水的流速为x千米/小时，
1
120 × +20 = 80千米．
2
120 80
依题意， = ，
24 +x 24 −x
解方程得x = 4.8，
经检验：x = 4.8是方程的解，
所以，x = 4.8，
答：江水的流速为4.8千米/小时
10 【答案】解：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设(x−10)米，
350 250
依题意，得： = ，
x x−10
解得：x = 35，
经检验，x = 35是所列分式方程的解，且符合题意，
∴ x−10 = 25．
答：甲工程队每天铺设35米管道，乙工程队每天铺设25米管道．
能力提高 / 初二 / 春季
第 12 讲 分式的化简求值及分式方程
课堂落实答案
1 【答案】 2(x+2) x+5 x+2
解：原式= + ⋅
[ (x+2) 2 (x+2) 2 ] x(x+3)
3x+9 x+2
= ⋅
(x+2) 2 x(x+3)
3(x+3) x+2
= ⋅
(x+2) 2 x(x+3)
3
= ，
x(x+2)
3
当x = −1时，原式= = −3．
−1
2 【答案】D
【解析】解：A、B、C项中的方程分母中都含未知数，是分式方程；
D项不含未知数，不是分式方程，
故选：D．
86/104
3 【答案】A
a−2 1
【解析】 解：将x = 4代入分式方程可得： = ，
4 4 −3
a−2
化简得： = 1，
4
解得：a = 6．
故选：A．
4 【答案】解：去分母得：x−4 +3 = 2(x+1)，
整理解得：x = −3，
经检验，x = −3为分式方程的解．
5 【答案】C
1600 1080
【解析】 解：设B型机器每小时加工x套运动服，可得： = +2，
x+20 x
故选：C．
能力提高 / 初二 / 春季
第 12 讲 分式的化简求值及分式方程
精选精练
1 【答案】 a−3 (a−3) 2
解：（1）原式= ÷
a−2 (a−2)(a+2)
a−3 (a−2)(a+2)
= ×
a−2 (a−3) 2
a+2
= ．
a−3
a+2 2
当a = 0时， = − ．
a−3 3
（2）1
【解析】（1）见答案；
m2 +4m+4 m+2
（2） ÷
m m2
(m+2) 2 m2
= ×
m m+2
= m2 +2m，
因为m2 +2m = 1，
m2 +4m+4 m+2
所以 ÷ 的值为1，
m m2
故答案为：1．
87/104
2 【答案】B
3x+6 ≥ 0①
3 【答案】
解： ，
{4 −2x > 0②
由①得：x ≥ −2；
由②得：x < 2，
所以原不等式组的解集为：−2 ≤ x < 2．
2x+1 3
方程 = 去分母得：4x+2 = 9 −3x，
3 −x 2
解得x = 1．
经检验，x = 1是分式方程的解，
因为−2 ≤ 1 < 2，
故方程的解是不等式组的解．
4
4 【答案】 解：（1）y − = 0；
y
x−1 x+2
（2）原方程化为： − = 0，
x+2 x−1
x−1 1
设y = ，则原方程化为：y − = 0，
x+2 y
方程两边同时乘以y得：y2 −1 = 0，解得：y = ±1，
1
经检验：y = ±1都是方程y − = 0的解．
y
x−1
当y = 1时， = 1，该方程无解；
x+2
x−1 1
当y = −1时， = −1，解得：x = − ．
x+2 2
1
经检验：x = − 是原分式方程的解，
2
1
∴原分式方程的解为x = − ．
2
5 【答案】解：设每个农民每小时收割x公顷小麦，则收割机每小时收割150x公顷，
10 − 2 ×(150x+100x)
10
5
根据题意，得： = ，
100x 150x
1
解得：x = ，
30
1
经检验，x = 是这个分式方程的解，
30
所以150x = 5
答：这台收割机每小时收割5公顷小麦．
6 【答案】解：设小伙伴人数是x人，
350 350 −35
由题意得， ×0.7 = ，
x−2 x
解得，x = 9．
经检验，x = 9是原方程的根．
88/104
答：小伙伴人数是9人．
【解析】设小伙伴人数是x人，
350 350 −35
由题意得， ×0.7 = ，
x−2 x
解得，x=9．
经检验，x=9是原方程的根
故：小伙伴人数是9人．
能力提高 / 初二 / 春季
第 13 讲 平行四边形基础
例题练习题答案
例1 【答案】D
练1.1 【答案】(6,3)
练1.2 【答案】D
例2 【答案】4
练2.1 【答案】A
练2.2 【答案】D
例3
(1【) 答案】160°
(2【) 答案】120°
练3.1 【答案】A
练3.2 【答案】D
例4 【答案】B
练4.1 【答案】19 cm；11 cm．
练4.2 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD // BC，OA = OC，
∴∠OAE = ∠OCF，
在△ AOE和△ COF中，
∠OAE = ∠OCF
⎧⎪
OA = OC ，
⎨
∠AOE = ∠COF
⎩⎪
89/104
⎩⎪
∴△ AOE≌ △ COF(ASA)，
∴AE = CF．
例5 【答案】D
练5.1 【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
AD//BC，即AF//EC．
A．AE = CF时，一组对边平行，另一组对边相等不能判定四边形AECF为平行四边
形；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO = CO．
B．EO = FO，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以四边形AECF是平行四
边形；
C．∵ AE//CF，AF//EC，∴四边形AECF是平行四边形；
D．∵ AF//EC，AF = EC，∴四边形AECF是平行四边形．
故选：A．
练5.2 【答案】A
例6 【答案】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB = ∠DFC = 90∘ ，
在△ABE与△CDF中，
AE = CF
⎧⎪∠AEB
= ∠DFC，
⎨
BE = DF
⎩⎪
∴△ABE≌△CDF (SAS)，
∴AB = CD，∠ABE = ∠CDF，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
练6.1 【答案】证明:连接BD交AC于O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ AO = CO,BO = DO
∵ AE = CF,
∴ AO− AE = CO− CF.
即EO = FO.
90/104
∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
练6.2 【答案】证明：∵四边形AECF是平行四边形，
∴FO = EO，CF // EA
∴∠DFO = ∠BEO
∵∠DOF=∠BOE，
∴△ DFO≌ △ BEO
∴DO = BO
又∵四边形AECF是平行四边形，
∴AO = CO
∴四边形ABCD是平行四边形
练6.3 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC = ∠ABC，
1 1
又∵∠1 = ∠ADC，∠2 = ∠ABC，
2 2
∴∠1 = ∠2．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB // CD，∠ADC = ∠ABC，
1 1
又∵∠CDE = ∠ADC，∠ABF = ∠ABC，
2 2
∴∠CDE = ∠ABF．
∵∠CDE = ∠AED，
∴∠AED = ∠ABF，
∴DE // BF，
∴四边形DFBE是平行四边形．
能力提高 / 初二 / 春季
第 13 讲 平行四边形基础
自我巩固答案
1 【答案】A
91/104
2 【答案】B
【解析】∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE=∠EAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=3，
∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2．
3 【答案】B
4 【答案】D
5 【答案】B
6 【答案】C
7 【答案】C
8 【答案】D
【解析】解：A、∵AB∥CD、AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
B、∵AB∥CD、AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
C、∵AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．
∠BAO = ∠DCO
在△ABO和△CDO中，
⎧⎪∠ABO
= ∠CDO，
⎨
OA = OC
⎩⎪
∴△ ABO≌ △ CDO（AAS），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
D、由AB∥CD、AD=BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
9 【答案】D
【解析】根据平行四边形的两组对角分别相等，可知D正确．
10 【答案】证明：∵DF // BE，EF // AB，
92/104
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD = EF，
∵D为AB的中点，
∴AD = BD，
∴AD = EF．
又∵AD // EF，
∴四边形ADEF是平行四边形
能力提高 / 初二 / 春季
第 13 讲 平行四边形基础
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】A
3 【答案】D
4 【答案】C
5 【答案】D
【解析】两组对边分别平行可以判定是平行四边形，A选项不符合题意；
两组对边分别相等可以判定是平行四边形，B选项不符合题意；
一组对边平行且相等可以判定是平行四边形，C选项不符合题意；
一组对边平行，另一组对边相等不能判定是平行四边形，D选项符合题意.
故选D
能力提高 / 初二 / 春季
第 13 讲 平行四边形基础
精选精练
1 【答案】D
【解析】解：当点D的坐标为(3,0)时，A，B，C，D为一个平行四边形；
93/104
当点D的坐标为(5,4)时，A，B，C，D为一个平行四边形；
当点D的坐标为(−1,2)时，A，B，C，D为一个平行四边形；
但当点D的坐标为(6,4)时，AC不能与BD平行，所以不是平行四边形；
故选：D．
2 【答案】 36
【解析】提示S =BC ×DE = AB ×DF
平行四边形ABCD
∴
BC=6
∴平行四边形的周长为36.
3 【答案】12
【解析】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
根据对称性可知：ΔOEF ≅ΔOHG，ΔOAM ≅ΔOCN，
1 1
∴ S = S ΔABD = S ABCD = ×6 ×4 = 12，
2 2
故答案为12
4 【答案】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB // CD，AD // BC
∵MN // AC
∴四边形AMQC和四边形APNC都是平行四边形
∴MQ = AC = NP．
5 【答案】证明：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AE=CF，
∴AF=EC，则FO=EO，
∴四边形BFDE是平行四边形．
6 【答案】证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD = ∠FCB = 90∘ ，
∵AD∥BC，
∴∠ADE = ∠CBF，
在Rt△AED和Rt△CFB中，
94/104
∠ADE = ∠CBF
∵ ⎧⎪∠EAD = ∠FCB = 90∘，
⎨
AE = CF
⎩⎪
∴Rt△AED≌Rt△CFB(AAS)，
∴AD = BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
能力提高 / 初二 / 春季
第 14 讲 中位线与多边形
例题练习题答案
例1 【答案】2cm
练1.1 【答案】C
练1.2 【答案】C
【解析】连接AC，
∵ ∠D = 100∘ ，AD = CD，
∴ ∠DAC = ∠DCA = 40∘ ，
∴ ∠BAC = ∠BAD−∠DAC = 90∘ ，
−−−−−−−−−−
∴ AC = BC2 −AB2 = 4，
√
∵点E，F分别是边AD，CD的中点，
1
∴ EF = AC = 2，
2
故选：C．
例2 【答案】是平行四边形，连接BD，由题意可得，EH平行且等于BD的一半，FG平行且等于BD的一
半，所以EH平行且等于FG，那么四边形EFGH为平行四边形
练2.1 【答案】证明：连接DE，FG，
∵BD、CE是ΔABC的中线，
∴D，E是AC，AB边中点，
95/104
1
∴DE // BC，DE = BC，
2
1
同理：FG // BC，FG = BC，
2
∴DE // FG，DE = FG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴EF // DG，EF = DG
练2.2 【答案】D
例3 【答案】证明：∵ CD = CA，CF平分∠ACB，
∴
F是AD中点，
∵ AE = EB，
∴
E是AB中点，∴ EF是ΔABD的中位线，
1
∴ EF = BD．
2
5
练3.1 【答案】
2
练3.2 【答案】D
例4
(1【) 答案】C
(2【) 答案】8；1080∘
练4.1 【答案】B
练4.2 【答案】D
【解析】设内角和为 1080∘ 的多边形的边数是 n,则 (n− 2) ⋅180∘ = 1080∘ ,
解得:n = 8.
则原多边形的边数为 7 或 8 或 9.
例5 【答案】360∘
练5.1 【答案】B
例6 【答案】B
【解析】解：设多边形的边数为n，
∵多边形的每个外角都等于60°，
96/104
∴n=360°÷60°=6，
∴这个多边形的内角和=（62）×180°=720°．
故选：B．
练6.1 【答案】设多边形的边数为x
∵多边形的外角和是360∘ ,内角和的度数比外角和的度数的4倍多180度,
∴可得方程(x−2)180∘ = 4 ×360∘ +180∘
解得x = 11.
∴多边形的边数为11.
内角和度数为:(11 −2)×180∘ = 1620∘ .
能力提高 / 初二 / 春季
第 14 讲 中位线与多边形
课堂落实答案
1 【答案】D
2 【答案】D
3 【答案】B
4 【答案】2520∘
5 【答案】十五
【解析】解：∵多边形的每一个内角都等于156°，
∴多边形的每一个外角都等于180°156°=24°，
∴边数n=360°÷24°=15．
故答案为：十五．
能力提高 / 初二 / 春季
第 14 讲 中位线与多边形
自我巩固答案
1 【答案】D
97/104
2 【答案】B
3 【答案】C
4 【答案】B
1
【解析】 提示：EF = HG = AC = 1.5 ，
2
1
EH = FG = BD = 1 ，
2
∴四边形EFGH的周长为1.5+1.5+1 +1 = 5
1
5 【答案】 连接AR，EF = AR，∵R不动，
2
∴AR为定值，
∴EF为定值
6 【答案】B
7 【答案】D
8 【答案】B
9 【答案】C
10 【答案】B
能力提高 / 初二 / 春季
第 14 讲 中位线与多边形
精选精练
1 【答案】13
2 【答案】D
【解析】∵F、G分别是CD、AC的中点，
1
∴FG∥AD，FG = AD，
2
∴∠FGC = ∠DAC = 15∘ ，
∵E、G分别是AB、AC的中点，
1
∴GE∥BC，GE = BC，
2
∴∠EGC = 180∘ −∠ACB = 93∘ ，
∴∠EGF = 108∘ ，
∵AD = BC，
∴GF = GE，
98/104
1
∴∠EFG = ×(180∘ −108∘) = 36∘ ．
2
3 【答案】D
4 【答案】3
【解析】∵ED=EM，MF=FN，
1
∴EF= DN，
2
∴DN最大时，EF最大，
∵N与B重合时DN最大，
−−−−−−−−−−
此时DN=DB=√AD2 +AB2
=6，
∴EF的最大值为3
5 【答案】120
【解析】解：∵1500°÷180°=8…60°，
∴去掉的内角为180°﹣60°=120°，
故答案为：120．
6 【答案】9或10或11
【解析】解：设多边形截去一个角的边数为n，
则(n −2)⋅180∘ = 1440∘ ，
解得n = 10，
∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，
∴原多边形的边数是9或10或11．
故答案为：9或10或11．
能力提高 / 初二 / 春季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 【答案】A
2 【答案】C
3 【答案】A
4 【答案】C
【解析】解：A、ab−a = a(b−1)，能够分解因式，故此选项不合题意；
B、a2 −9 = (a+3)(a−3)，能够分解因式，故此选项不合题意；
99/104
C、a2 +2a+5，不能因式分解，故本选项符合题意；
D、4a2 +4a+1 = (2a+1) 2 ，能够分解因式，故此选项不合题意．
5 【答案】D
6 【答案】B
7 【答案】B
8 【答案】B
【解析】设文学书的价格为x元/本，则艺术书的价格为1.5x元/本，
60 30
由题意得， − =1．
1.5x x
故选：B．
9 【答案】B
【解析】解：设多边形的边数为n，
∵多边形的每个外角都等于60°，
∴n=360°÷60°=6，
∴这个多边形的内角和=（62）×180°=720°．
故选：B．
10 【答案】C
11 【答案】x ≤ 2
12 【答案】x(x−1) 2
13 【答案】9
【解析】解：还应满足AD = BC．
理由如下：∵E，F分别是AB，BD的中点，
1
∴EF = AD，
2
1 1
同理可得：GH = AD，EH = GF = BC．
2 2
∴四边形EFGH的周长= GH +GF +EF +HE = AD+BC = 9．
14 【答案】x = 0
1
15 【答案】
x−y
y x+y x
【解析】
解：原式= ÷ −
(x+y)(x−y) (x+y x+y)
y y
= ÷
(x+y)(x−y) x+y
y x+y
= ⋅
(x+y)(x−y) y
1
= ．
x−y
100/104
16 【答案】540∘
【解析】解：根据多边形内角和为(n −2)×180∘ ，
∴截得的六边形的和为(6 −2)×180∘ = 720∘ ，
∵∠B = ∠C = 90∘ ，
∴∠1，∠2，∠3，∠4的和为720∘ −180∘ = 540∘ ．
故答案为540∘
．
17 【答案】2cm
【解析】根据平行四边形的性质得AD // BC，
∴ ∠EDA = ∠DEC，
又∵ DE∠ADC，
∴ ∠EDC = ∠ADE，
∴ ∠EDC = ∠DEC，
∴ CD = CE = AB = 6，
即BE = BC −EC = 8 −6 = 2cm..
18 【答案】①②或①③或③④
19 【答案】解：（1）①证明：∵∠AOB = ∠COD = 60∘ ，
∴∠AOB +∠BOC = ∠COD+∠BOC，
∴∠AOC = ∠BOD．
在△ AOC和△ BOD中，
AO = BO
⎧∠AOC = ∠BOD，
⎨
OC = OD
⎩
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；
②证明：∵△ AOC≌△ BOD，
∴∠OAC = ∠OBD，
∴∠OAC +∠AOB = ∠OBD+∠APB，
∴∠OAC +60∘ = ∠OBD+∠APB，
∴∠APB = 60∘ ；
（2）AC = BD，∠APB = α．
【解析】（1）①根据已知先证明∠AOC = ∠BOD，再由SAS证明△ AOC≌△ BOD，所以
AC = BD．
101/104
②由△ AOC≌△ BOD，可得∠OAC = ∠OBD，再结合图形，利用角的和差，可得
∠APB = 60∘ ．
（2）由（1）小题的证明可知，AC = BD，∠APB = α．
20 【答案】解：原式= 2x+2 = −2
【解析】 (x+1) 2 x−1 2
原式= ÷（ + ）
x(x−1) x−1 x−1
(x+1) 2 x+1
= ÷
x(x−1) x−1
(x+1) 2 x−1
= •
x(x−1) x+1
x+1
= ，
x
−2 +1 1
当x=﹣2时，原式= = ．
−2 2
21 【答案】解：设原计划每天生产x套校服，则实际每天生产(1 +20%)x 套校服，
由题意得，
3000 3000
− = 4，
x (1 +20%)x
解得：x = 125，
经检验：x = 125是原分式方程的解，且符合题意．
答：原计划每天生产125套校服．
【解析】设原计划每天生产x套校服，则实际每天生产（1+20%）x套校服，
由题意得， ﹣ =4，
解得：x=125，
经检验：x=125是原分式方程的解，且符合题意．
答：原计划每天生产125套校服
22 【答案】解：（1）证：∵E是CD的中点，
∴DE = CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD // BF，
∴∠D = ∠ECF，
∵∠AED = ∠FEC，
∴ΔADE≌ΔFCE；
（2）∵EF = 3，
∴AF = 6，
∵ΔADE≌ΔFCE，四边形ABCD是平行四边形，
102/104
∴BC = AD = CF = 5，
∴BF = 10，
∵∠BAF = 90∘ ，
∴AB = 8，
∴CD = 8．
23 【答案】∵平行四边形AECF ∴FO = EO，CF // EA ∴∠DFO = ∠BEO
∴ΔDFO≌ΔBEO ∴DO = BO
∵平行四边形AECF ∴AO = CO
∴四边形ABCD是平行四边形．
24 【答案】解：（1）图中的平行四边形有：平行四边形ADCF，平行四边形BDFC，
理由是：∵E为AC的中点，
∴AE = CE，
∵DE = EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD // CF ，AD = CF，
∵D为AB的中点，
∴AD = BD，
∴BD = CF，BD // CF ，
∴四边形BDFC是平行四边形．
（2）由（1）知四边形ADCF是平行四边形，四边形BDFC是平行四边形，
∴S
△CEF
= S
△CED
= S
△AEF
= 3，
∴平行四边形BCFD的面积是12．
x4 +x2 +1 1 1 2
25 【答案】
解 ： = x2 +1 + = x+ −1 = 8 ， 所 以
x2 x2 ( x)
x2 1
= ．
x4 +x2 +1 8
26 【答案】证明：设AD的中点为点G，连接EG、FG
∵E、F分别是AC、BD的中点．
∴EG、FG分别为ΔACD 、ΔABD 的中位线，
1 1
∴EG = CD，FG = AB
2 2
由三角形的三边关系可得，EF > EG−FG
1
∴EF > (CD−AB)
2
103/104
104/104
