文档内容
能力提高 / 初二 / 秋季
第 1 讲 勾股定理
例题练习题答案
例1 【答案】D
【解析】 解：当b是直角边时， c2 = a2 +b2 = 32 +52 = 34；
当b是斜边时，c2 = b2 −a2 = 52 −32 = 16，故选D．
练1.1 【答案】C
练1.2 【答案】C
例2 【答案】C
练2.1 【答案】D
例3 【答案】C
练3.1 【答案】解：∵在△ ABC中，∠ACB = 90∘ ，
∴AC2 = AB2 −BC2 ，
∵AB = 5，BC = 3，
∴AC = 4，
∵CD⊥AB于点D，
1 1
∴
2
AC ⋅BC = S △ABC =
2
AB ⋅CD，
AC ⋅BC
∴CD =
AB
3 ×4
=
5
12
= ，
5
12
即CD的长为 ．
5
例4 【答案】1.5
练4.1 【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，AB = 8cm，BC = 16cm，
∴AB = CD = 8cm，BC = AD = 16cm，AD // BC，∠A = 90∘ ，
∴∠EDB = ∠CBD，
∵题目中将该矩形沿对角线BD折叠，
∴△ CBD≌ △ C′BD，
∴∠EBD = ∠CBD，
1/111
∴∠EBD = ∠EDB，
∴BE = DE．
设DE的长为xcm，则AE = (16 −x)cm，BE = xcm，由勾股定理，得：
AB2 +AE2 = BE2 ，
∴64 +(16 −x) 2 = x2 ，
解得x = 10，即DE = 10cm，
1
∴图中阴影部分的面积= ×DE ×AB = 40(cm2 )
2
例5 【答案】解：设水深为x尺，则芦苇长为(x+2)尺，
2
12
根据勾股定理得：x2 + = (x+2) 2 ，
( 2 )
解得：x = 8，
芦苇的长度= x+2 = 8 +2 = 10（尺），
答：水池深8尺，芦苇长10尺．
【解析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答即可．
练5.1 【答案】D
【解析】设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，
2
10
根据勾股定理得：x2 + = (x+1) 2 ，
( 2 )
解得：x = 12，
芦苇的长度= x+1 = 12 +1 = 13（尺），
故选：D．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 1 讲 勾股定理
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】A
3 【答案】D
【解析】当一直角边、斜边为4和5时，第三边的平方=5 2 ﹣4 2 =9；
2 2
当两直角边长为4和5时，第三边的平方=5 +4 =41．
故选：D．
2/111
4 【答案】C
5 【答案】A
6 【答案】D
7 【答案】解：（1）∵△ABC中，∠ACB = 90∘ ，BC = 12，AB = 20，
∴AC2 = AB2 −BC2 = 256，
∴AC = 16；
（2）∵CD⊥AB于D，∠ACB = 90∘
1 1
∴S
△ABC
=
2
AB ⋅CD，S
△ABC
=
2
AC ⋅BC，
∴AB ⋅CD = AC ⋅BC，得：
AC ⋅BC 16 ×12
CD = = = 9.6．
AB 20
8 【答案】解：根据题意，将矩形ABCD沿直线CE折叠，可得△ EBC≌ △ EFC，
∴设EF = xcm，则BE = EF = xcm，
∵AB = 3cm，
∴AE = (3 −x)cm，
在△ FDC中，FD2 = CF2 −CD2 ，可得FD = 4cm，
∴AF = 1cm．
∴在△ AEF中，AF2 +AE2 = EF2 ，
5
即12 +(3 −x) 2 = x2 ，解得：x = ，
3
5 4
∴AE = 3 − = cm．
3 3
9 【答案】解：根据题意可得：△ ABE≌ △ AFE，
设BE = x，则EF = BE = x，CE = 4 −x，
在Rt △ ADF中，DF2 = AF2 −AD2 = AB2 −BC2 ，
∵AB = 5，BC = 4，
∴DF = 3，CD = AB = 5，可得CF = CD−DF = 5 −3 = 2，
在Rt △ CEF中，EF2 = CE2 +CF2 ，
∴x2 = (4 −x) 2 +22 ，
解得x = 2.5，即BE的长为2.5．
10 【答案】D
能力提高 / 初二 / 秋季
3/111
第 1 讲 勾股定理
课堂落实答案
1 【答案】D
2 【答案】C
3 【答案】B
4 【答案】B
10
5 【答案】
3
能力提高 / 初二 / 秋季
第 1 讲 勾股定理
精选精练
1 【答案】D
【解析】依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
2 2 2
x =12 +5 =169
所以x=13
所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76
2 【答案】C
3 【答案】A
4 【答案】B
5 【答案】解：∵△ABC为直角三角形，∠C = 90∘ ，AB = 13cm，BC = 5cm，
∴AC2 = AB2 −BC2 ，解得AC = 12cm，
根据题意，可知△ BCD≌ △ BC′D，
∴BC′ = BC = 5cm，DC′ = DC，
∴AC′ = AB −BC′ = 13 −5 = 8cm，
设DC = xcm，则DC′ = xcm，AD = AC −DC = (12 −x)cm，
在Rt △ ADC′ 中，根据勾股定理得AC′2 +DC′2 = AD2 ，
∴82 +x2 = (12 −x) 2 ，
10 10
解得x = ，即DC的长为 cm．
3 3
6 【答案】解：（1）由题意得：AE = BE，
4/111
∴AE +EC +AC = BE +EC +AC = BC +AC = 1，4
即△ ACE的周长为14；
（2）设BE = AE = x，则EC = 8 −x；
在Rt △ AEC中，由勾股定理得：AC2 +CE2 = AE2 ，
25
∴x2 = (8 −x) 2 +62 ，解得x = ，
4
7 7
∴CE = 8 −x = ，即CE的长为 ．
4 4
能力提高 / 初二 / 秋季
第 2 讲 实数
例题练习题答案
例1 【答案】−5
练1.1 【答案】B
【解析】根据题意得：a+b−1 = 0,b+1 = 0
解得：b = −1,a = 2
则(b+a) 2016 = (−1 +2) 2016 = 12016 = 1
故选B
练1.2 【答案】解：由√ − x − + −− 6+(y −1) 2 +|z −3| = 0得：
x = −6，y = 1，z = 3，
xy −6
= = −2．
z 3
例2
5
(1【) 答案】
3，
2
(2【) 答案】2，2
3
(3【) 答案】−2，
2
练2.1 【答案】（1）−5，0；
（2）−6，8．
4
练2.2 【答案】 （1）10（2）−1（3） （4）a
5
−−−−− −−−−−
例3 【答案】解：由√3 2a−3+√3 7 −3a = 0得：
2a−3 +7 −3a = 0，
5/111
a+3 = 7，
–
a+3的平方根是±√7．
练3.1 【答案】2
练3.2 【答案】−3
例4 【答案】A
【解析】解：A、无理数是无限不循环小数，带根号的数不一定是无理数故A正确；
B、1的算术平方根是1，故B错误；
−−
C、√25 = 5，故C错误；
D、a2 一定有平方根，故D错误．
故选：A．
练4.1 【答案】D
例5
(1【) 答案】5
6
(2【) 答案】4
5
练5.1
(1【) 答案】−4
−3
(2【) 答案】1
2
练5.2 【答案】A
例6 【答案】1
–
练6.1 【答案】2+√7
练6.2 【答案】B
能力提高 / 初二 / 秋季
第 2 讲 实数
6/111
自我巩固答案
1 【答案】C
【解析】根据题意得：16的算术平方根为4；25的平方根为5或−5，
则16的算术平方根和25的平方根的和是9或−1，
故选：C．
2 【答案】C
3 【答案】B
−−−−−−−−
【解析】解：∵ (2a−1) 2 = 1 −2a，
√
∴1 −2a ≥ 0，
1
解得a ≤ ．
2
故选：B．
4 【答案】D
5 【答案】B
【解析】∵9的平方根是±3，∴①错误；
−− −−
∵√16 = 4，∴√16的平方根是±2，∴②正确；
∵−0.003有立方根，是一个负的立方根，∴③错误；
−−
∵27的立方根只有一个，是√3 27 = 3，∴④错误；
∵0的平方根是0，0的算术平方根也是0，
∴0的平方根等于0的算术平方根，∴⑤正确；
即正确命题的个数是2，
故选：B．
6 【答案】C
7 【答案】C
【解析】(√2 – ) 0 ，√3 8 – ，0，√9 – ，−0.333…，3.1415是有理数，
– π –
√3 4，0.010010001…， ，√5是无理数，
2
故选：C．
8 【答案】A
3
【解析】 A、∵− = −0.375，
8
3
∴−0.375 > − ，故此选项错误，符合题意；
8
B、∵−|0| = 0，
根据有理数的大小比较法则：0.1 > 0，
∴0.1 > −|0|，
7/111
故此选项正确，不符合题意；
5 20 7 21
C、 = ， = ，
6 24 8 24
20 21
∵ < ，
24 24
5 7
∴ < ，
6 8
故本选项正确，不合题意；
35 30
D、∵− < − ，
42 42
5 5
∴− < − ，
6 7
故此选项正确，不符合题意；
故选：A．
9 【答案】B
– –
10 【答案】解：∵ 2 < √7 < 3，∴ 7 < 5 +√7 < 8，
– –
∴ m = 7，a = 5 +√7−7 = −2 +√7，
–
∵ 2 < 5 −√7 < 3
– –
∴ n = 2，b = 5 −√7−2 = 3 −√7，
∴ (a+b) 2015 −mn = (−2 +√7 – +3 −√7 – ) 2015 −7 ×2
= 1 −14
= −13．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 2 讲 实数
课堂落实答案
1 【答案】B
2 【答案】C
【解析】A、−0.064的立方根是−0.4，不符合题意；
B、−9没有平方根，不符合题意；
−−
C、16的立方根是√3 16，符合题意；
−−−−
D、0.01的立方根是√3 0.01，不符合题意，
故选：C．
3 【答案】C
8/111
3a−1
4 【答案】 由题意得： +a+13 = 0，
2
解得：a = −5，
则这个数是64，立方根是4．
【解析】根据题意得到两式互为相反数，列出方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出这个数
的立方根．
5 【答案】A
【解析】∵1 < 3 < 4，
–
∴1 < √3 < 2．
– –
∴1 +2 < 2 +√3 < 2 +2，即3 < 2 +√3 < 4．
–
∴a = 3，b = √3−1．
– –
∴a2 +b2 = 9 +3 +1 −2√3 = 13 −2√．3
故选：A．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 2 讲 实数
精选精练
1 【答案】C
2
【解析】∵(−6) = 36，
−−
∴±√36 = ±6，
2
∴(−6) 的平方根是±6．
故选：C．
2 【答案】D
3 【答案】D
1 1
【解析】A、
的立方根是 ，故本选项错误；
27 3
B、立方根等于它本身的数是1、−1、0，故本选项错误；
C、负数有立方根，故本选项错误；
D、互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，正确；
故选：D．
4 【答案】D
9/111
5 【答案】B
–
【解析】解：A、√3在原点的右边，故A不符合题意；
–
B、−√2在数轴上表示这个数的点在原点的左边；它是一个无理数；它的绝对值小于2；
它的平方大于1，故B符合题意；
–
C、−√5的绝对值大于2，故C不符合题意；
D、−1.5是有理数，故D不符合题意；
故选：B．
6 【答案】C
【解析】①a，b互为相反数时，绝对值也相等，负数没有平方根，故①错误；
②当a，b都为负数时，两个负数相比较，绝对值大的反而小，故②错误；
③a = −b，则a，b互为相反数，则平方数相等，故③正确；
故选：C．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 3 讲 勾股定理综合
例题练习题答案
例1 【答案】D
练1.1 【答案】C
练1.2 【答案】C
例2 【答案】等腰直角三角形
练2.1 【答案】A
练2.2 【答案】C
例3 【答案】解：∵∠BAD=90∘ ，AB=4，AD=3，
∴BD=5，
∵BC=13，CD=12，
∴CD2 +BD2 =BC2
，
∴△BCD是直角三角形，
1 1
∴S
△BCD
=
2
×CD×BD =
2
×12 ×5=30．
练3.1 【答案】解：如图，连接AC，
10/111
–
在△ABC中，∵∠B = 90∘ ，AB = 2√3cm，BC = 2cm，
∴AC = 4cm，
∵在△ACD中，AC2 +CD2 = 42 +32 = 25，
AD2 = 25，
∴AC2 +CD2 = AD2 ，
∴∠ACD = 90∘ ，
∴S
四边形ABCD
= S
ΔABC
+S
ΔACD
1 1
= ×AB ×BC + ×AC ×CD
2 2
1 – 1
= ×2√3×2 + ×4 ×3
2 2 ．
–
= (2√3+6)cm2
练3.2 【答案】A
例4
(1【) 答案】解：将圆柱的侧面展开，如图所示，该侧面是矩形，
AC = 30cm，高是40cm，
则BA = 40cm，
BC2 = AC2 +AB2 = (50cm) 2 ，
∴BC = 50cm，
故绕行一圈的路程为50cm．
(2【) 答案】解：因为底面圆的周长为80cm，即AC = 80cm，
绕一圈爬行100cm，则BC = 100cm，
又∵AB2 = BC2 −AC2 ，
∴AB = 60cm，
树干高= 60 ×10 = 600cm = 6m，
11/111
故树干高为6m．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 3 讲 勾股定理综合
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】D
3 【答案】B
4 【答案】B
5 【答案】解：连接AC，
在Rt△ACD中，
AC2 = CD2 +AD2 = 62 +82 = 102 ，
在△ABC中，AB2 = 262 ，BC2 = 242 ，
而102 +242 = 262 ，
即AC2 +BC2 = AB2 ，
∴∠ACB = 90∘ ，
1 1
S =S −S = AC ⋅BC − AD⋅CD
ABCD △ACB △ACD
2 2
1 1
= ×10 ×24 − ×8 ×6 = 96（平方米）．
2 2
所以需费用96 ×200 = 19200（元）．
6 【答案】解：连接AC，将四边形分割成两个三角形，其面积为两个三角形的面积之和，
12/111
在直角△ABC中，AC为斜边，
−−−−−−−−
则AC= √202 +152 =25（米），
在直角△ACD中，AC为斜边
−−−−−−−
AD= √252 −72 =24（米），
1 1
四边形ABCD面积S= AB×BC+ AD×CD＝234（平方米）．
2 2
答：此块地的面积为234平方米．
7 【答案】解：连接AC，
在RtΔACD中，∠ADC = 90∘ ，AD = 4米，CD = 3米，由勾股定理得：
AC = 5米，
∵ AC2 +BC2 = 52 +122 = 169，AB2 = 132 = 169，
∴ AC2 +BC2 = AB2 ，
∴ ∠ACB = 90∘ ，
1 1
该区域面积S = S
ΔACB
−S
ΔADC
= ×5 ×12 − ×3 ×4 = 2（4平方米）.
2 2
8 【答案】B
9 【答案】B
【解析】如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，得到长方形ADFE，
连接AB，则线段AB的长就是蚂蚁爬行的最短距离，其中C，B分别是AE，DF的中
点．
∵ AD = 12cm，DB = πr = 3π = 9cm(π取3)，
−−−−−−−−−−
−−−−−−−
∴ AB = AD2 +BD2 = √122 +92 = 15cm．
√
10 【答案】解：将圆柱展开，侧面为矩形，
13/111
∵高为10cm，底面圆的直径为3cm，
1 3
∴ AC =π ×3 × = π cm，
2 2
2
3 9
∴ AB2 = π +102 = 100 + π 2 (cm2 )．
(2 ) 4
能力提高 / 初二 / 秋季
第 3 讲 勾股定理综合
课堂落实答案
1 【答案】D
【解析】解：22 +42 ≠62，故A错误；
22 +32 ≠42，故B错误；
52 +72 ≠122，故C错误；
82 +152 =172，故D正确；
故选：D．
2 【答案】D
【解析】解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角
三角形，故正确；
B、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；
C、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；
D、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有90°角，所以不是直角三角形，故不正确．
故选：D．
3 【答案】B
4 【答案】解：如图所示，连接AC，
14/111
∵∠B = 90∘ ，AB = BC = 2，
∴AC2 = AB2 +BC2 = 8，∠BAC = 45∘ ，
又∵CD = 3，DA = 1，
∴AC2 +DA2 = 8 +1 = 9 = CD2 ，
∴△ ACD是直角三角形，
∴∠CAD = 90∘ ，
∴∠DAB = 45∘ +90∘ = 135∘ ．
故∠DAB的度数为135°．
5 【答案】B
【解析】如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，
∵底面半径为2cm，
4π
∴BC = = 2π ≈ 6cm，
2
在Rt△ABC中，
∵AC = 8cm，BC = 6cm，
−−−−−−−−−−
−−−−−−
∴AB = AC2 +BC2 = √62 +82 = 10cm．
√
故选：B．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 3 讲 勾股定理综合
精选精练
1 【答案】B
15/111
2 【答案】B
3 【答案】解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c−b = 1
∵a = 19，a2 +b2 = c2 ，
∴192 +b2 = (b+1) 2 ，
∴b = 180，c = 181；
（2）通过观察知c−b = 1，
∵(2n +1) 2 +b2 = c2 ，
∴(2n +1) 2 = c2 −b2
= (c+b)(c−b)
= (2b+1)×1，
即2b+1 = (2n +1) 2 ，
∴b = 2n2 +2n，c = b+1 = 2n2 +2n +1；
（3）由（2）知，2n +1，2n2 +2n，2n2 +2n +1为一组勾股数，
当n = 7时，2n +1 = 15，112 −111 = 1，
但2n2 +2n = 112 ≠ 111，
∴15，111，112不是一组勾股数．
【解析】（1）仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，根据此规律及勾股
定理公式不难求得b，c的值；
（2）根据第一问发现的规律，代入勾股定理公式中即可求得b，c的值；
（3）将第二问得出的结论代入第三问中看是否符合规律，符合则说明是一组勾股数，否
则不是．
4 【答案】A
5 【答案】解:如图所示,∵圆柱形玻璃容器,高8 cm,底面周长为30 cm,
∴ SD = 15 cm,
−−−−−−−−−− −−−−−−−
∴ SF = √DF2 + SD2 = √82 + 152 = 17 (cm).
答:蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是17 cm.
6 【答案】解：
有三种情况：
16/111
当AD = 2cm，DB = 2 +6 = 8cm时，
−−−−−− −−
AB = √22 +82 = 2√17cm；
当AD = 2cm，DB = 6 +2 = 8cm时，
−−−−−− −−
AB = √22 +82 = 2√17cm；
当AD = 6cm，DB = 2 +2 = 4cm时，
−−−−−− −−
AB = √62 +42 = 2√13cm．
−−
其中第三种情况AB最短，故这只蚂蚁所要爬行的最短路线长为2√13cm．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 4 讲 二次根式
例题练习题答案
例1 【答案】C
【解析】由题意得：x2 −4 ≠ 0，
∴x ≠ ±2
又∵x+2 ≥ 0，
∴x ≥ −2
∴x的取值范围是：x > −2且x ≠ 2．
故选：C．
练1.1 【答案】B
练1.2 【答案】A
例2 【答案】−1
【解析】由题意可得：x−2 ≥ 0，
则x ≥ 2，故1 −x < 0，
−−−−−−−
故(√ − x −− − −− 2) 2 − (1 −x) 2 = x−2 −(x−1) = −1.
√
故答案为：−1．
练2.1 【答案】A
【解析】由图可知：a < 0，a−b < 0，
−−−−−−
则|a|+ (a−b) 2
√
= −a−(a−b)
= −2a+b．
17/111
故选：A．
– – –
例3 【答案】 – 5√2 √3 √2
（1）3√2，（2） ，（3） ，（4） (c−b).
9 2 2
−−
练3.1 【答案】 – √30 3 –
（1）10√3；（2） ；（3） ；（4）2√2a．
15 5
– – –
例4 【答案】 √3 – 3√2+2√3
（1） ； （2）2 −√3； （3）− ；
6 6
– −− −−
（4）2 +√3； （5）√a −√b； （6）√a +√b．
练4.1
– –
1 √2 1 1 √6
(1【) 答案】
① – = ② −− = – =
3√2 6 √54 3√6 18
(2【) 答案】D
−−
例5 【答案】（1）√10；
（2）−0.18；
–
（3）√7；
–
（4）5√2．
例6 【答案】（1）1
−−
5√30
（2）
18
−−
a
（3）
√ b
– –
练6.1 【答案】 √3 √3 –
解：（1）原式= ÷ ×3√3
2 6
–
√3 6 –
= × ×3√3
–
2 √3
–
= 9√3
−− – 2 −− 2
（2）原式=6√50 ÷15√2= √25= ×5=2
5 5
– –
– 3√5 3 2√6
（3）原式= 27√5÷ × ×
5 2 3
– 5 –
= 27√5× ×√6
–
3√5
–
= 45√6
例7 【答案】1；1
– – – – – –
例8 【答案】（1）原式= 6√3−4√6+3√6−5√3 = √3−√6
– –
1 – √2 3√2 –
（2）原式= ×2√2− − +2 ×5√2
2 2 2
–
= 9√2
– – – –
练8.1 【答案】（1）原式=3√3−5√3+√3=−√3；
18/111
– – – –
（2）原式=(5√2−2√2)+√2=4√2．
–
【解析】 – √3 1 –
（1）解：原式= 3√3−15 × + ×4√3
3 4
– – –
= 3√3−5√3+√3
–
= −√3；
– – –
（2）解：原式= (5√2−2√2)+√2
–
= 4√2
−− −− – −−
例9 【答案】解：（1）√18 +√12 −√8−√27
– – – –
= 3√2+2√3−2√2−3√3
– –
= √2−√3；
−−
1 −− 2 −− –
（2）( √27 +2 −√24)×2√3
3 √ 3
–
1 – √6 – –
= ( ×3√3+2 × −2√6)×2√3
3 3
–
– 4√6 –
= (√3− )×2√3
3
8 −−−−
= 6 − ×√6 ×3
3
–
= 6 −8√2；
– –
（3）(1 +2√3)×(√3−1)
– –
= √3−1 +6 −2√3
–
= 5 −√3；
– – – 2
（4）(√3+2)(√3−2)+(2√3−1)
–
= (3 −4)+(12 +1 −4√3)
–
= −1 +13 −4√3
–
= 12 −4√3．
– – –
练9.1 【答案】解：（1）原式= 3√5−4√5+2√5
–
= √5；
−−
– – 6
（2）原式= 4√3÷3√3−(1 + )
√ 2
4 –
= −1 −√3
3
1 –
= −√3．
3
–
练9.2 【答案】解：（1）原式= 1 −√4−1
= 1 −2 −1
= −2；
−−
（2）原式= 20 +4√15 +3 −(5 −2)
19/111
−−
= 23 +4√15 −3
−−
= 20 +4√15．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 4 讲 二次根式
自我巩固答案
1 【答案】C
3t−7 ≥ 0
【解析】
由题，
{7 −3t ≥ 0
7
得t = ，
3
故s = −5，
7 35
∴st = ×(−5) = − ．
3 3
故选：C．
2 【答案】由图可知：a < 0，b > 0，
则a−b < 0，
∴原式= −a−b−(b−a) = −a−b−b+a = −2b.
【解析】解:由题意得,a < 0 < b,|a| > |b|,
∴ a− b < 0
−− −− −−−−−−−
∴ √a2 − √b2 − (a− b)2 = −a− b− (b− a) = −a− b− b+ a = −2.b
√
3 【答案】C
4 【答案】A
5 【答案】C
−− – 1 6
6 【答案】 原式= √10 ×√3×
−−
×
–
= 3．
2√10 √3
【解析】根据二次根式的乘除法的法则计算即可．
1
7 【答案】
2
8 【答案】D
–
9 【答案】 – √3 –
解：（1）原式= 2 ×2√3−6 × +4√3
3
– – –
= 4√3−2√3+4√3
–
= 6√3；
−−
20/111
−−
4 √x
−−
（2）原式= ×3√x +6 ×
3 2
−− −−
= 4√x +3√x
−−
= 7√x．
– – – –
10 【答案】解：原式= √6−√2+√2−1 −(3 −√6)
– – – –
= √6−√2+√2−1 −3 +√6
–
= 2√6−4．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 4 讲 二次根式
课堂落实答案
1 【答案】−3
x− 1 ≥ 0
【解析】
2
{ 1 −x ≥ 0
2
1
∴x = ，
2
∴y = 0 +0 −6 = −6，
∴xy = −3，
故答案为：−3
2 【答案】A
–
【解析】最简二次根式有√3，共1个，
故选：A．
3 【答案】A
−− −− – −−−
4 【答案】解：（1）√45 +√18 −√8+√125
– – – –
= 3√5+3√2−2√2+5√5
– –
= 8√5+√2；
–
– √3 –
（2）(√3−1)− +(1 −2√3)
2
–
– √3 –
= (√3−1)− +(1 −2√3)
2
–
– √3 –
= √3−1 − +1 −2√3
2
–
3√3
= − ．
2
5
21/111
−−
(1【) 答案】 −− 1 −− 1 −−
3√18 + √50 −4 ÷√32
( 5 √ 2)
– – – –
= (9√2+√2−2√2)÷4√2
– –
= 8√2÷4√2
= 2
−− −−−
(2【) 答案】 4 √ − 2 − 5 − x +9 x −2x2 ⋅ 1
5 √ 9 √x3
−−
√x
= 4√ − x − +3√ − x − −2x2 ⋅
x2
−− −−
= 7√x −2√x
−−
= 5√x
能力提高 / 初二 / 秋季
第 4 讲 二次根式
精选精练
17
1 【答案】−
4
−−−−−
2 【答案】y + y2 −1
√
1
【解析】
解： −−−−−
y −√y2 −1
−−−−−
y +√y2 −1
=
−−−−− −−−−−
(y −√y2 −1)(y +√y2 −1)
−−−−−
y +√y2 −1 −−−−−
= =y + y2 −1
y2 −(y2 −1) √
3 【答案】4
4 【答案】（1） 2
3
7√5
（2）
2
1
（3）
b
– –
5√2×4√2
5 【答案】
（1）原式=
–
−4
2√2
–
= 10√2−4；
22/111
–
– √3 1 –
（2）原式= 4√3−9 × + ×4√3
9 3
– – 4 –
= 4√3−√3+ √3
3
13 –
= √3．
3
– –
1 √2 √2
6 【答案】
解：（1） – = – – = ，
√2 √2×√2 2
(√2 – +1)(√2 – −1) = (√2 – ) 2 −12 = 2 −1 = 1， 即 √2 – +1的 有 理 化 因 式 是
–
√2−1，
–
√2
–
故答案为： ，√2−1；
2
– – – –
2 2(√5−√3) 2(√5−√3) – –
（2） – – = – – – – = = √5−√3，
√5+√3 (√5+√3)(√5−√3) 5 −3
– –
故答案为：√5−√3．
– – – – – −−− −−
（3）原式= √2−1 +√3−√2+√4−√3+…+√100−√99
−−−
= √100−1
= 10 −1
= 9．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 5 讲 位置与坐标
例题练习题答案
例1 【答案】C
【解析】如图所示：“天安门”的点的坐标为：(1,0)．
故选：C．
练1.1 【答案】如图所示：“兵”所在位置的坐标为：(−2,3)．
23/111
【解析】直接利用“马”位于点(2,2)，得出原点的位置，进而得出答案．
练1.2 【答案】解：建立平面直角坐标系如图，
城市南山的位置为(−1,−2)．
例2
(1【) 答案】B
(2【) 答案】D
练2.1 【答案】B
【解析】解：∵xy > 0，
∴x、y同号，x、y都是负数时，(x,y)在第三象限，
x、y都是正数时，(x,y)在第一象限，
所以，点P (x,y)在第一象限或第三象限．
故选B
练2.2 【答案】A
【解析】∵点A(m,n)在第二象限，
∴m < 0，n > 0，
∴−m > 0，|n| > 0，
∴点B在第一象限．
例3 【答案】5
3
练3.1 【答案】C
【解析】 的纵坐标为 ，故选C.
练3.2 【答案】D
24/111
【解析】点(a,b)到x轴的距离为|b|．
故选：D．
例4 【答案】C
【解析】解：∵点P在x轴下方，y轴的左方，
∴点P是第三象限内的点，
∵第三象限内的点的特点是(−,−)，且点到各坐标轴的距离都是3，
∴点P的坐标为(−3,−3)．
故选：C
练4.1 【答案】A
【解析】∵点P位于y轴的右侧且位于x轴下方，
∴点P的横坐标为正数，纵坐标为负数，
又∵点P到x轴、y轴的距离分别是4个单位长度、3个单位长度，
∴点P的纵坐标为−4，横坐标为3，
∴点P的坐标为(3,−4)．
故选：A．
练4.2 【答案】B
【解析】解：∵点P在x轴上，
∴点P的纵坐标等于0，
又∵点P到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标是±2，
故点P的坐标为(2,0)或(−2,0)．
故选：B．
例5
(1【) 答案】由题意得BC = x
C
−x
B
= 6，y
A
= −5，
1 1
∴S
ΔABC
= BC ⋅|y
A
|= ×6 ×5=15．
2 2
(2【) 答案】如图所示，建立平面坐标系，A、B、C的坐标分别为(0,2)，(4,0)，(2,6)．
作矩形BEDO，
S = S −S −S −S
ΔABC 矩形BEDO ΔAOB ΔDCA ΔBCE
=24 −4 −4 −6=10 ．
25/111
1 1
(3【) 答案】 由题意得：S
△ABC
=
2
AB ⋅|x
c
|，即9 =
2
×3|x
c
|，
∴|x
c
|=6，x
c
=±6，
故点C的坐标为(6,0)或(−6,0)．
练5.1 【答案】3
【解析】如图所示：
∵A(3,0)，B(0,−2)，
∴OA = 3，OB = 2，
1
∴△ABO的面积= ×3 ×2 = 3；
2
故答案为：3．
练5.2 【答案】B
例6 【答案】B
【解析】解：平移后的横坐标为−2 +3 = 1，
纵坐标为3，
∴点P (−2,3)向右平移3个单位长度后的坐标为(1,3)．
练6.1
(1【) 答案】A(2,−1)，B(4,3)；
26/111
【解析】根据直角坐标系的特点写出点A、B的坐标；
(2【) 答案】A′ ( 1,1)，B′ (3,5)，C′ (0,4)；
【解析】根据直角坐标系的特点写出平移后的点的坐标；
1 1 1
(3【) 答案】S
△ABC
= 3 ×4 −
2
×1 ×3 −
2
×1 ×3 −
2
×2 ×4 =；5
【解析】用三角形所在矩形的面积减去三个小三角形的面积即可求解；
(4【) 答案】所作图形如图所示：
【解析】作出平移后的三角形即可．
例7
(1【) 答案】(−2,3)
(2,−3)
(2,3)
y轴
(2【) 答案】1
−2
(3【) 答案】提示：如图找到各点坐标依次连接即可.
A (1,1)；B (−2,−1)；C (0,−2)；
1 1 1
A (1,−1)；B (−2,1)；C (0,2)；
2 2 2
27/111
△ A 1 B 1 C 1 和△ A 2 B 2 C 2 关于x轴对称.
练7.1 【答案】D
练7.2
(1【) 答案】解:如图所示;
(2【) 答案】如图所示，D(−2,4)，E(3,−2)，F (−3,−1).
能力提高 / 初二 / 秋季
第 5 讲 位置与坐标
自我巩固答案
1 【答案】解：(1) A(−4,4)，B(−3,0);
(2) 如图;
28/111
1 9
(3)S △CDE =
2
×3 ×3 =
2
．
2 【答案】C
【解析】解：∵点P的坐标为(2 −a,3a+6)，且到两坐标轴的距离相等，
∴|2 −a| = |3a+6| ，
∴2 −a = ±(3a+6)
解得a = −1 或a = −4 ，
即点P的坐标为（3，3）或（6，-6）．
故选：D．
3 【答案】D
【解析】解：如图所示：
∵点A(−1,0)，B(2,0)，
∴AB=3，
∵三角形ABC的面积为6，
∴AB边上的高为4，则点C的坐标为：(0,4)或(0,−4)．
29/111
4
(1【) 答案】解:如图,
(2【) 答案】如图所示, S
△ABC
= S
梯形ADEC
−S
△ABD
−S
△BCE
1 1 1
= ×(1 +4)×5 − ×1 ×4 − ×1 ×4
2 2 2
= 12.5−2 −2
= 8.5,
答:△ABC的面积为8.5.
5 【答案】C
【解析】点P即把点Q向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位，则对应点P点的横坐标为
−1 +3 = 2；纵坐标为3 +2 = 5；
∴点P的坐标为(2,5)，
故选：C．
30/111
6 【答案】解：（1）如图所示：
1 1 1
S
△ABO
= 3 ×4−
2
×3 ×2−
2
×4 ×1−
2
×2 ×2 = 5；
（2）A′ (2,0)，B′ (4,−2)，O′ (0,−3)．
【解析】把△ABO放在一个矩形里面，用矩形COED的面积−△ACO的面积−△ABD的面积−△BEO
的面积，即可算出△ABO的面积；
7 【答案】解：（1）A (−3,5)，B (0,6)，C (−1,4)；
1 1 1
（2）△ABC的面积
1 1 1
= 3 ×2 − ×1 ×2 − ×1 ×2 − ×1 ×3
2 2 2
= 6 −1 −1 −1.5
= 6 −3.5
= 2.5．
8 【答案】解：（1）如图所示：
（2）A (−2,−3)，B (−3,−2)，C (−1,−1)．
1 1 1
a = −8
9 【答案】
（1） （2）1
{b = −5
【解析】解：（1）∵点A、B关于x轴对称，
2a−b = 2b−1
∴ ，
{5 +a−a+b = 0
a = −8
解得， ；
{b = −5
（2）∵ A、B关于y轴对称，
31/111
2a−b+2b−1 = 0
∴ ，
{5 +a = −a+b
a = −1
解得 ，
{b = 3
所以，(4a+b)2016 = (−4 +3)2016 = 1．
10 【答案】解：（1）如图，△ A
1
B
1
C
1
即为所作；
（2）如图，△ A
2
B
2
C
2
的各顶点坐标为A
2
(−3,−2)、B
2
(−4,4)、C
2
(−1,1)．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 5 讲 位置与坐标
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】5
3 【答案】C
【解析】解：∵2 +3 = 5，
∴平移后的坐标是(−1,5)，
故选C．
4 【答案】D
【解析】解：点P (−2,3)关于原点对称的点的坐标是(2,−3)．
故选：D．
5 【答案】A
能力提高 / 初二 / 秋季
32/111
第 5 讲 位置与坐标
精选精练
1 【答案】B
【解析】∵太和门表示(0,−1)，
∴中和殿表示(0,0)，
故养心殿表示(−2,3)，正确．
2 【答案】A
【解析】∵A点到x轴的距离为3，A点在第二象限，
∴点A的纵坐标为3，
∵A点到y轴的距离恰为到x轴距离的3倍，A点在第二象限，
∴点A的横坐标为−9，
∴点A的坐标为(−9,3)．
故选：A．
3 【答案】D
【解析】∵点P(3a−2,8 −2a)到两坐标轴的距离相等，
∴ |3a−2| = |8 −2a|，
∴ 3a−2 = 8 −2a或3a−2 = −(8 −2a)，
解得a = 2或a = −6．
故选：D．
4 【答案】解：（1）如图所示：
（2）过点C向x、y轴作垂线，垂足为D、E．
33/111
∴四边形DOEC的面积=3×4=12，
1
△BCD的面积= ×2 ×3=3，
2
1
△ACE的面积= ×2 ×4=4，
2
1
△AOB的面积= ×2 ×1=1．
2
∴△ABC的面积=四边形DOEC的面积-△ACE的面积-△BCD的面积-△AOB的面积
= 12 −4 −3 −1 = 4．
1 1
(3)当点P在x轴上时，△ABP的面积= AO⋅BP=4，即： ×1 ×BP = 4，解
2 2
得：BP=8，
所以点P的坐标为(10,0)或(−6,0)；
1 1
当点P在y轴上时，△ABP的面积= ×BO×AP=4，即 ×2 ×AP = 4，解得：
2 2
AP=4．
所以点P的坐标为(0,5)或(0,−3)．
所以点P的坐标为(0,5)或(0,−3)或(10,0) 或(−6,0)．
5
(1【) 答案】如图，△ A
1
B
1
C
1
为所作图形，点A
1
，B
1
，C
1
的坐标分别为(−4,−3)，
(2,−2)，(−1,1)；
34/111
【解析】利用点平移的规律写出A ，B ，C 的坐标，然后描点可得△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(2【) 答案】平移后点P的对应点P 的坐标为(a−3,b−4)；
1
【解析】利用点平移的规律，平移后的对应点的横坐标减3，纵坐标减4，于是可得
P (a−3,b−4)；
1
1 1 1
(3【) 答案】 △ABC的面积= 4 ×6− ×6 ×1− ×3 ×3− ×4 ×3 = 10.5．
2 2 2
6 【答案】解：（1）如图所示，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）(1,−2)，(3,−1)，(−2,1)；
1 1 1 9
（3）△ABC的面积为：3 ×5 − ×3 ×3 − ×1 ×2 − ×2 ×5 = ．
2 2 2 2
能力提高 / 初二 / 秋季
第 6 讲 一次函数
35/111
例题练习题答案
例1 【答案】（1）根据一次函数的定义，得：2 −|m| = 1，
解得m = ±1．
又∵m+1 ≠ 0即m ≠ −1，
∴当m = 1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；
（2）根据正比例函数的定义，
得：2 −|m| = 1，n +4 = 0，
解得m = ±1，n = −4，
又∵m+1 ≠ 0即m ≠ −1，
∴当m = 1，n = −4时，这个函数是正比例函数．
练1.1 【答案】（1）C （2）−1
练1.2
(1【) 答案】D
(2【) 答案】 a ≠ −2,b为任意实数；
a ≠ −2,b = 1.
例2
(1【) 答案】二、四；减小
(2【) 答案】B
练2.1 【答案】C
练2.2 【答案】D
例3
(1【) 答案】C
(2【) 答案】B
(3【) 答案】a < −1，b ≥ 2
(4【) 答案】C
练3.1 【答案】A
练3.2
(1【) 答案】C
36/111
(2【) 答案】B
例4 【答案】C
【解析】(1,4)，(2,7)，(3,10)，(5,16)符合解析式，
y = 3x+1，
只有(4,14)不符合．
练4.1 【答案】A
练4.2 【答案】C
【解析】将(−2,0)、(0,1)代入，得：
−2k+b = 0
{ b = 1
k = 1
解得： 2 ，
{ b = 1
1
∴y = x+1，
2
3
将点A(3,m)代入，得： +1 = m，
2
5
即m = ，
2
故选：C．
例5
(1【) 答案】∵正比例函数y = kx经过点(3,−6)，
∴−6 = 3 ⋅k，
解得：k = −2，
∴这个正比例函数的解析式为：y = −2x；
【解析】利用待定系数法把(3,−6)代入正比例函数y = kx中计算出k即可得到解析式；
(2【) 答案】将x = 4代入y = −2x得：y = −8 ≠ −2，
∴点A(4,−2)不在这个函数图象上；
【解析】将A点的横坐标代入正比例函数关系式，计算函数值，若函数值等于−2，则A点在这
个函数图象上，否则不在这个函数图象上；
(3【) 答案】∵k = −2 < 0，
∴y随x的增大而减小，
∵x > x ，
1 2
∴y < y ．
1 2
【解析】根据正比例函数的性质：当k < 0时，y随x的增大而减小，即可判断．
37/111
练5.1
(1【) 答案】设直线的表达式为y = kx+b，
−k+b = 5
把点A、B的坐标代入得： ，
{3k+b = −3
解得：k = −2，b = 3，
所以直线表达式为y = −2x+3；
【解析】设直线的表达式为y = kx+b，把点A、B的坐标代入求出k、b，即可得出答案；
(2【) 答案】把P (2,a)代入y = −2x+3得：a = −1；
【解析】把P点的坐标代入求出即可；
(3【) 答案】∵把x = 0代入y = −2x+3得：y = 3，
∴直线y = −2x+3与y轴的交点D的坐标为(0,3)，
即OD = 3，
∵P (2,−1)，
1 1 9
∴△AOP的面积=△AOD的面积+△DOP的面积= ×3 ×1 + ×3 ×2 = ．
2 2 2
【解析】根据坐标和三角形面积公式求出即可．
例6 【答案】y = 2x−5或y = −2x+5
【解析】当函数过(1,−3)，(4,3)时，得到y = 2x−5；
当函数过(1,3)，(4,−3)时，得到y = −2x+5
练6.1 【答案】9或1
【解析】当函数过(−3,1)，(1,9)时，得到y = 2x+7；
当函数过(−3,9)，(1,1)时，得到y = −2x+3
练6.2 【答案】 y = x−1 或 y = −x
【解析】解：由已知得：一次函数经过点(−1,−2)，(2,1)或(−1,1)，(2,−2)，
−k+b = −2 k = 1
将点(−1,−2)，(2,1)代入y = kx+b得： ，解得： ，
{ 2k+b = 1 {b = −1
−k+b = 1 k = −1
将点(−1,1)，(2,−2)代入y = kx+b得： ，解得： ，
{2k+b = −2 { b = 0
∴这条直线的解析式为y = x−1 或 y = −x，
故答案为：y = x−1 或 y = −x．
例7 【答案】解：（1）设y = k(x−2)，
把x = −4时，y = −3代入得，
−3 = k(−4 −2)，
38/111
1
解得k = ，
2
1
∴y与x的函数关系式为y = x−1；
2
1
（2）∵k = ，
2
∴y随x的增大而增大，
∵5.1 > −3.9，
∴m > n．
【解析】
练7.1 【答案】A
【解析】解：设y与x的函数关系式为y −3 = kx，
把x = 2，y = 7代入得：7 −3 = 2k，
解得：k = 2，
∴y −3 = 2x
∴y与x的函数关系式是：y = 2x+3．
故选A.
能力提高 / 初二 / 秋季
第 6 讲 一次函数
自我巩固答案
1 【答案】A
【解析】∵正比例函数 y = (m+1)x中，y的值随自变量x的值增大而减小，
∴m+1 < 0，
解得，m < −1；
故选：A．
2 【答案】D
【解析】∵正比例函数y = kx(k ≠ 0)中，y随x的增大而减小，
∴k < 0，
∴−k > 0，
∴一次函数y = kx−k的图象经过第一、二、四象限．
故选：D．
39/111
3 【答案】B
【解析】A、是反比例函数，故此选项错误；
B、是一次函数，故此选项正确；
C、不是一次函数，故此选项错误；
D、是二次函数，故此选项错误；
故选：B．
4 【答案】C
5 【答案】D
【解析】把A(x ,y )，B(x ,y )，代入y = kx+b中，且x = 1 +x 时，y = y −2，
1 1 2 2 2 1 2 1
可得：kx +b−3 = k(1 +x )+b，
1 1
可得：k = −3，
故选：D．
6 【答案】D
7 【答案】y = x+2或y = −x+7
【解析】∵对于一次函数y = kx+b，当1 ≤ x ≤ 4时，3 ≤ y ≤ 6，
∴点(1,3)、(4,6)在一次函数y = kx+b的图象上或点(1,6)、(4,3)在一次函数
y = kx+b的图象上．
当点(1,3)、(4,6)在一次函数y = kx+b的图象上时，
k+b = 3 k = 1
，解得： ，
{4k+b = 6 {b = 2
∴此时一次函数的解析式为y = x+2；
当(1,6)、(4,3)在一次函数y = kx+b的图象上时，
k+b = 6 k = −1
，解得： ，
{4k+b = 3 {b = 7
此时一次函数的解析式为y = −x+7．
故答案为：y = x+2或y = −x+7．
8 【答案】C
9 【答案】D
【解析】由题意，得
y = 2x−3 +8，
即y = 2x+5，
故选：D．
40/111
10 【答案】C
能力提高 / 初二 / 秋季
第 6 讲 一次函数
课堂落实答案
1 【答案】C
【解析】解：∵一次函数y＝(k−2)x−b的图象经过二、三、四象限，
∴k−2 < 0，−b < 0．
解得：k < 2，b > 0
故选：C．
2 【答案】−1
【解析】由y =
(a+1)xa2
+(b−2)是正比例函数，得
a2 = 1
a = 1
⎧⎪a+1
≠ 0，解得 ．
{b = 2
⎨
b−2 = 0
⎩⎪
(a−b) 2015 = (−1) 2015 = −1，
故答案为：−1．
3 【答案】D
【解析】∵正比例函数y = kx的图象经过点(6,−2)，
∴−2 = 6k，
1
解得：k = − ．
3
1
∴正比例函数的表达式为y = − x，
3
故选：D．
4
(1【) 答案】设 y −2 = kx
∵当x = 1时，y = −6，
∴k = −6 −2，
∴k = −8，
∴y与x之间的函数关系式为y −2 = −8x，即y = −8x+2．
41/111
【解析】首先设 y −2 = kx，再把x = 1，y = 6代入所设的关系式，即可算出k的值，进
而得到y与x之间的函数关系式；
(2【) 答案】∵点(a,2)在这个函数图象上，
∴−8a+2 = 2，
∴a = 0．
【解析】把(a,2)代入（1）中所求的关系式即可得到a的值．
5 【答案】A
【解析】根据题意，得直线向右平移2个单位，
即对应点的纵坐标不变，横坐标减2，
所以得到的解析式是y = −3(x−2) = −3x+6．
故选：A．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 6 讲 一次函数
精选精练
1 【答案】∵y = (k−1)x2|k|−3 是正比例函数，
∴2|k|−3 = 1，解得k = 2或k = −2，
∵y随x的增大而减小，
∴k−1 < 0，即k < 1，
∴k = −2，
∴(k+3) 2018 = (−2 +3) 2018 = 1．
【解析】由正比例函数的定义可求得k的取值，再再利用其增减性进行取舍，代入代数式求值即
可．
2 【答案】C
m−2 < 0
【解析】
由题意得： ，
{m2 −8 = 1
由①得：m＜2，
由②得：m=±3，
∴m=﹣3，
42/111
3 【答案】解：（1）∵y = 3x中k = 3 > 0，y = x−4中k = 1 > 0，y = 3x+6中，
k = 3 > 0，
∴这几个一次函数中，函数值y随x的增大而增大．
故答案为：A、B、D；
（2）∵五个函数中只有y = x−4与y = −5x−4与y轴的交点均为(0,−4)，
∴这两个一次函数图象的交点都在y轴上．
故答案为：B与C；
（3）∵直线y = 3x与y = 3x+6中k的值相同，y = −5x−4与y = −5x+1中k的
值相同，
∴两条直线互相平行．
故答案为：A与D，C与E．
【解析】（1）根据一次函数中k的符号进行判断即可；
（2）根据直线与y轴的交点进行解答；
（3）根据一次函数中k的值即可作出判断．
4 【答案】（1）解：设y −3 = k(4x−2)(k ≠ 0)，
把x = 1，y = 5代入，得
5 −3 = k(4 ×1 −2)，
解得k = 1，
则y与x之间的函数关系式是y = 4x+1；
（2）由（1）知，y = 4x+1．
当x = −2时，y = 4 ×(−2)+1 = −7．
即当x = −2时的函数值是−7．
【解析】（1）根据正比例函数的定义设出函数解析式，再把当x = 1时，y = 5代入求出k的值；
（2）把x = −2代入（1）中的解析式进行计算即可．
5
(1【) 答案】解：将A(m,2)代入y＝2x，
得：2＝2m，
则m＝1；
将A(1,2)和B(−2,−1)代入 y＝kx+b中，
k+b = 2
得： ，
{−2k+b = −1
k = 1
解得： ，
{b = 1
43/111
则解析式为y＝x+1；
(2【) 答案】在y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，
则C点坐标为(0,1)．
6 【答案】C
【解析】设直线l和八个正方形的最上面交点为A，如图，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C．
∵正方形的边长为1，
∴OB = 3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴两边分别是4，
∴三角形ABO面积是5，
1
∴ OB ⋅AB = 5，
2
10
∴AB = ，
3
10
∴OC = ，
3
10
由此可知直线l经过 ,3 ，
( 3 )
设直线方程为y = kx，
10
则3 = k，
3
9
k = ，
10
9
∴直线l解析式为y = x，
10
故选：C．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 【答案】D
44/111
2 【答案】B
【解析】如图，∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
又∵AB=17，BD=15，DC=6，
2 2 2
∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD =AB ﹣BD =64．
在直角△ACD中，由勾股定理得到：AC= = =10，即AC=10．
3 【答案】C
【解析】非同类二次根式无法合并，故A选项错误；
– –
2√2×3√2 = 12，故B选项错误；
– – –
3√2−√2 = 2√2，故D选项错误；
故答案为C．
4 【答案】B
5 【答案】C
6 【答案】A
7 【答案】B
8 【答案】A
【解析】解：因为点A(1,−2)的对应点A 的坐标为(−2,3)，即(1 −3,−2 +5)，
1
所以△ABC平移的方式为：向左3个单位，向上5个单位，
9 【答案】A
10 【答案】x ≥ 1
【解析】
11 【答案】5
12 【答案】−2
13 【答案】5
14 【答案】5或−7
15 【答案】a > 4或a < −4
–
16 【答案】6 +√6
17 【答案】(−3,3)
18
– –
(1【) 答案】√3−1，1 −√3；
(2【) 答案】①√3 − − −− 6 − 4−|−3|−(−1) 2017 +√4 –
45/111
= −4 −3 +1 +2 = −4，
−− −− – –
②√3 27 −√81 +|√3−2|+(5 −√7)
– –
= 3 −9 +(2 −√3)+5 −√7
– –
= 1 −√3−√7
(3【) 答案】B
−−
(4【) 答案】∵3 < √11 < 4，
−−
∴−2 < √11 −5 < −1，
−−
∴[√11 −5] = −2，故答案为：−2．
19 【答案】解：（1）(−1,0)或(9,0)
1 5
（2）S
ΔABC
= AC ⋅|y| = |y| = 10，
2 2
故|y| = 4，y = ±4，
点B的坐标为(3,4)或(3,−4)
20 【答案】 解：（1）证明，由题意可得：
B′F = BF，∠B′FE = ∠BFE
在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，∴ ∠B′EF = ∠BFE
∴ ∠B′FE = ∠B′EF，∴ B′F = B′E
∴ B′E = BF
（2）B′E = BF = 6，A′E = AE = 2，
在ΔA′B′E中，∠A = 90∘ ，
∴ A′E2 +A′B′2 = B′E2
∴ A′B′2 +22 = 62
–
∴ DC = AB = A′B′ = 4√2
21 【答案】解：由题意可得:∠AOB=90°，
−− −−
OB=10√15×5=50√15(海里)，
−− −−
OA=10√10×5=50√10(海里)，
−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−
由勾股定理得:AB= OB2 +OA2 = (50√ − 1 − 5) 2 +(50√ − 1 − 0) 2 =250(海
√ √
里)，
所以下午1时两轮船相距250海里．
22 【答案】解：（1）点B和点C的坐标分别：(3,1)；(1,2)．
（2）如图所示，△DEF即为所求；点E坐标为(0,2)，点F坐标为(−1,0)．
46/111
（3）∵AB上的点M坐标为(x,y)，对应点向左平移4个单位，项下平移1个单位，
∴平移后的对应点M′ 的坐标为(x−4,y −1)．
（4）将△ABC补成长方形，减去3个直角三角形的面积得：
1 1 1
S
△ABC
= 2 ×3 −
2
×1 ×3 −
2
×1 ×2 −
2
×1 ×，2
= 6 −1.5−1 −1
= 2.5．
【解析】
– –
3√3 √3
23 【答案】
解：（1）原式= −− – = ；
√27 ×√3 3
– –
2(√5−√3)
– –
（2）原式=
– – – –
=√5−√3；
(√5+√3)(√5−√3)
1 – – – – – −−−−− −−−−−
（3）原式= (√3−1 +√5−√3+√7−√5+⋯+√2n +1 −√2n −1)
2
1
−−−−−
= (√2n +1 −1)．
2
24 【答案】（1）如图1（其余正确位置也给分）；
（2）8、1；7、4,；线段如图2两条实线；
（3）6.5．（仿照材料中所给的方法，可构造如图的虚线所示三角形）
25 【答案】−1 ≤ m ≤ 2
26 【答案】解：（1）由题意结合图形知：
47/111
AB = 4，BP = x，CP = 4 −x，CD = 2，
−−−−−−−−−− −−−−−− −−−−−−
∴ AP = √AB2 +BP2 = √42 +x2 = √16 +x2 ；
−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−
DP = PC2 +CD2 = 22 +(4 −x)2 = √x2 −8x+20；
√ √
−− – – –
当x = 2时，AP +DP = √20 +√8 = 2√5+2√2；
（2）存在．
如图，作点A关于BC的对称点A′ ，连接A′D，
∴ A′E = 4，DE = 6，
−−−−−−−−−− −−−−−− −−
则A′D = √A′E2 +DE2 = √42 +62 = 2√13，
−−
∴最小值为2√13．
（3）如图：BC = 12，AB = 2，CD = 3，AB⊥BC，DC⊥BC，P是CB上
一点．设PB = x．作A′E⊥DC于E．
−−−−−−−−−−−
−−−−−
则PA +PD = √x2 +4+ (12 −x) 2 +9，
√
−−−−−−−−−−−
−−−−− −−−−−−−
由（2）可知√x2 +4+ (12 −x)2 +9的最小值= √122 +52 = 13．
√
能力提高 / 初二 / 秋季
第 8 讲 二元一次方程组
例题练习题答案
例1 【答案】−1
48/111
练1.1 【答案】D
【解析】根据题意，得
|a|−1 = 1，b2 = 1，且a+2 ≠ 0，b−1 ≠ 0，
解得，a = 2，b = −1．
练1.2 【答案】1
【解析】根据题意，得
|m-2|=1且m-3≠0，
解得m=1．
故答案为：1．
5x+y = 36①
例2 【答案】
解：原方程组可化为： ，
{−x+9y = 2②
②×5+①得：46y = 46，
y = 1，
把y = 1代入①得：x = 7．
x = 7
∴ ．
{y = 1
x = 2
练2.1 【答案】 x = 2
（1）⎧ 1 ； （2） .
y = {y = 1
⎨
⎩ 2
6
例3 【答案】 x =
x = −1 x = 2 ⎧ ⎪ 13 x = 20
⎪
（1） ，（2） ，（3） ，（4）
{y = −2 {y = −3 35 {y = −6
⎨y
=
⎩⎪ ⎪ 13
练3.1
x = 2
(1【) 答案】
{y = −1
1
(2【) 答案】 x =
⎧ ⎪ 5
⎪
11
⎨y
=
⎩⎪ ⎪ 5
x = 2
(3【) 答案】 x = 18
①⎧ 4 ; ② .
y = − {y = 6
⎨
⎩ 3
例4 【答案】202
3210
12x+23y = 1234，①
【解析】
解：原式：
{ 34x+45y = 5678②
② −①得；22x+22y = 4444，
∴22(x+y) = 4444．
49/111
∴x+y = 202．
② −① ×2得：10x−y = 3210．
练4.1 【答案】0
练4.2 【答案】D
例5 【答案】6
3x−y = 6 x = 2 mx+3ny = 1
【解析】
联 立 ， 解 得 ， 代 入 ， 即
{4x+2y = 8 {y = 0 {5x−ny = n −2
1
2m = 1 m =
，解得⎧ 2 ，所以mn=6
{10 = n −2
⎨n = 12
⎩
3x−y = 5 x = 1
练5.1 【答案】
联立 ，解得： ，
{x+3y = −5 {y = −2
4ax+5by +22 = 0 a = 2
代入 ，可解得： ．
{ax−by = 8 {b = 3
ax+by = 2①
练5.2 【答案】
解：
{cx−3y = −2②
x = 1
把 代入②得：c+3 = −2，
{y = −1
解得：c = −5 ，
x = 1 x = 2 a−b = 2
把 和 代入①得： ，
{y = −1 {y = −3 {2a−3b = 2
a = 4
解得： ，
{b = 2
2 2
所以a ﹣b+c＝4 ﹣2﹣5＝9．
例6 【答案】B
练6.1 【答案】A
练6.2 【答案】−2
例7
x = 1
(1【) 答案】
{y = 2
29
(2【) 答案】
4
x = −3
练7.1 【答案】 甲看错了①式中x的系数a，解得 ，但满足②式的解，所以−12 +b = −2，
{ y = −1
解得：b = 10；
x = 5
同理乙看错了②式中y的系数b，解得 ，满足①式的解，所以5a+10 = 15，解
{y = 2
得：a = 1．
50/111
x = −3 x = 5
【解析】
根据方程组的解的定义， 应满足方程②， 应满足方程①，将它们分
{ y = −1 {y = 2
别代入方程②①，就可得到关于a，b的方程，解得a，b的值．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 8 讲 二元一次方程组
自我巩固答案
1 【答案】A
2 【答案】B
【解析】∵方程(a−2)x+(a+1)y|a| = 2是关于x，y的二元一次方程，
∴|a| = 1,a−2 ≠ 0,a+1 ≠ 0,
∴a = 1，故选B选项.
4x = y①
3 【答案】
（1）原方程可化简为
{2y −6x = 2②
将①代入②，得x = 1，
将上式代入①可得：y = 4，
x = 1
∴原方程组的解为 ．
{y = 4
−1x+ 3y = 1①
（2） 2 4
{ −2x+y = −8②
−2x+3y = 4③
方程① ×4，② ×1，得
{−2x+y = −8④
方程③ −④，得y = 6，
将上式代入①可得：x = 7，
x = 7
∴原方程组的解为 ．
{y = 6
4 【答案】A
5 【答案】B
6 【答案】B
7 【答案】B
x = 1 2ax+by = 3 2a−b = 3
【解析】
把 代入方程组 得： ，
{y = −1 { ax−by = 1 { a+b = 1
a = 4
3
解得： ，
{b = −1
3
51/111
4 1
所以a−2b = −2 × − = 2，
3 ( 3)
故选：B．
8 【答案】B
9 【答案】B
3x+y = 12①
【解析】
，
{x+3y = 8②
①＋②得：4（x＋y）＝20，
则x＋y＝5．
10 【答案】C
ax+by = 2 x = 3
【解析】
∵方程组 ，正确的解是 ，由于看错了系数c得到的解是
{cx−7y = 8 {y = −2
x = −2
，
{ y = 2
x = 3 x = −2 3a−2b = 2 ①
∴把 与 代入ax+by=2中得： ，
{y = −2 { y = 2 {−2a+2b = 2②
①+②得：a=4，
把a=4代入①得：b=5，
x = 3
把 代入cx﹣7y=8中得：3c+14=8，
{y = −2
解得：c=﹣2，
则a+b+c=4+5﹣2=7；
故选：C．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 8 讲 二元一次方程组
课堂落实答案
1 【答案】m = 1，n = 2
2 【答案】B
x+y = 2①
3 【答案】
（1）
{2x−3y = 4②
3x+3y = 6③
方程① ×3，② ×1，得 ，
{2x−3y = 4④
方程③ +④，得5x = 10，x = 2，
将上式代入①可得：y = 0，
52/111
x = 2
∴原方程组的解为 ．
{y = 0
x+5y = 6①
（2）
{3x−6y = 4②
3x+15y = 18③
方程① ×3，② ×1，得 ，
{3x−6y = 4④
2
方程③ −④，得21y = 14，y = ，
3
8
将上式代入①可得：x = ，
3
x = 8
3
∴原方程组的解为 ．
{y = 2
3
4 【答案】A
5 【答案】B
能力提高 / 初二 / 秋季
第 8 讲 二元一次方程组
精选精练
1 【答案】−3
【解析】∵(a−3)x+y|a|−2 = 1是关于x、y的二元一次方程，
∴a−3 ≠ 0，|a|−2 = 1．
解得：a = −3．
故答案为：−3．
2 【答案】D
3x+4y = 11
3 【答案】
解：（1） ，
{ 5x−y = 3
①+②×4得：23x = 23，即x = 1，
把x = 1代入①得：y = 2，
x = 1
则方程组的解为 .
{y = 2
3x+2y = 3
（2） ，
{5x−6y = −23
①×3+②得：14x = −14，即x = −1，
把x = −1代入①得：y = 3，
x = −1
则方程组的解为
{ y = 3
53/111
【解析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
5x+3y = 3n①
4 【答案】
，
{3x+2y = n +1②
② ×2 −①，得x+y = 2 −n，
∵x+y = 6，
∴2 −n = 6，
所以n = −4．
5 【答案】0.4
x+y = 4m x = 3m
解： 解得
{x−y = 2m {y = m
代入方程得：9m−4m = 2
解得：m = 0.4
6 【答案】A
能力提高 / 初二 / 秋季
第 9 讲 二元一次方程组应用题
例题练习题答案
例1 【答案】设A商品买入时的单价为x元，B商品买入时的单价为y元，由题意得，
100x+80y = 2800
{100(1 +0.15)x+80(1 +0.1)y = 3140
x = 12
解得： ．
{y = 20
答：A商品买入时的单价为12元，B商品买入时的单价为20元．
【解析】设A商品买入时的单价为x元，B商品买入时的单价为y元，根据购100件A种商品，80件B
种商品，共花去2800元，加价之后卖出后共收入3140元，据此列方程组求解．
x
练1.1 【答案】设甲种服装的标价为x元，则依题意进价为 元；乙种服装的标价为y元，则依题意进价
1.4
y
为 元，
1.4
x+y = 210
则根据题意列方程组得
{0.8x+0.9y = 182
x = 70
解得 ．
{y = 140
54/111
x 70
所 以 甲 种 服 装 的 进 价 = = = 50 （ 元 ） ， 乙 种 服 装 的 进 价
1.4 1.4
y 140
= = = 100（元）．
1.4 1.4
答：甲种服装的进价是50元、标价是70元，乙种服装的进价是100元、标价是140元．
【解析】通过理解题意，可知本题存在两个等量关系，即甲种服装的标价+乙种服装的标
= 210元，甲种服装的标价×0.8+乙种服装的标×0.9 = 182元，根据这两个等量关系
可列出方程组求解即可．
练1.2 【答案】解：设去年的总收入为x万元，总支出为y万元
x−y = 50
{（1 +10%）x−（1 −20%）y = 100
x = 200
解得：
{ y = 150
答：去年的总收入为200万元，总支出为150万元。
例2 【答案】A
练2.1 【答案】解：设该车间分配x名工人生产A种工件，则有(75 −x)名工人生产B种工件.
根据题意得：2 ×15x = 20(75 −x) ，
解得：x = 30，
75 −30 = 45（名）
答：该车间分配30名工人生产A种工件，45名工人生产B种工件才能保证连续安装机械时
两种工件恰好配套．
练2.2 【答案】设用x张制作盒身，y张制作盒底，
根据题意得：
x+y = 36
，
{2 ×25x = 40y
由$$得x = 36 −y，
$$代入$$，得50(36 −y) = 40y，
解得y = 20，
把y=20代入$$，得x=16．
x = 16
∴原方程组的解为 ．
{y = 20
答：用16张制作盒身，20张制作盒底可以正好配套．
【解析】根据题意可知，本题中的相等关系是：（1）盒身的个数×2 =盒底的个数；（2）制作盒
身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数=36，再列方程组求解．
例3 【答案】95
【解析】设十位数字为x，个位数字为y，根据题意所述的等量关系可得出方程组
55/111
x+y = 14 x = 9
，求解即可得 ，即这个两位数为95．
{10x+y −10y −x = 36 {y = 5
故答案为：95.
练3.1 【答案】D
【解析】设个位上的数字是x，十位上的数字是y，
y −x = 2
依题意得： ，
{x+y = 12
x = 5
解得 ．
{y = 7
则这个两位数是75．
故选：D．
练3.2 【答案】设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，
x+y = 8
根据题意得： ，
{x+10y +18 = 10x+y
x = 3
解得： ，
{y = 5
答：这个两位数是35．
【解析】根据关键语句“十位数字与个位数字的和是8”可得方程x+y=7，个位数字为x，十位数字
为y，则这个两位数是x+10y，对调后组成的两位数是10x+y，根据关键语句“这个两位
数加上18，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数”可得方程
x+10y+18=10x+y，联立两个方程即可得到答案．
例4 【答案】B
【解析】由题意得，大正方形的边长为11，小正方形的边长为3
∴x+y=11，x﹣y=3，
x+y = 11
则 ，
{ x−y = 3
x = 7
解得： ．
{y = 4
故可得B选项的关系式不正确．
故选：B．
练4.1 【答案】B
【解析】解：设每个小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，由题意可得：
x+y = 40
，
{2x = x+3y
x+y = 40
即 ，
{x−3y = 0
x = 30
解之 ，
{y = 10
56/111
所以每个长方形地砖的面积是300cm2
．
例5 【答案】 x+y = 1.2
x+ y = 4
{
3 5 15
练5.1 【答案】B
【解析】解：根据题意可得等量关系：①甲2小时的路程+乙2小时的路程= 18千米；②甲5小时的
路程−乙4小时的路程= 18千米，根据等量关系列出方程组即可．
设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，
2x+2y = 18
由题意得： ，
{5x−4y = 18
故选：B．
练5.2 【答案】解：设甲的速度是x千米/小时，乙的速度是y千米/小时，
x+y = 6 x = 3.75
根据题意，得 ,解得 ，
{4x−4y = 6 {y = 2.25
∴甲的平均速度是3.75千米/时，乙的平均速度是2.25千米/时．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 9 讲 二元一次方程组应用题
自我巩固答案
1 【答案】解：（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，由题意得
x+ y = 500
，
{24x+ 33y = 13800
x = 300
解得： ．
{y = 200
答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱．
（2）300×（3624）+200×（4833）
=3600+3000
=6600（元）．
答：该商场共获得利润6600元．
【解析】（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，根据投入13800元资金购进甲、
乙两种矿泉水共500箱，列出方程组解答即可；
（2）总利润=甲的利润+乙的利润．
2 【答案】B
【解析】解：设这款电器的进价为x，标价为y.
57/111
0.8y −500 = x
{ 0.2x = 500
x = 2500
解得：
{y = 3750
3750 ×0.9−2500 = 875(元)
故选B
3 【答案】C
4 【答案】解：设加工甲部件的有x人，加工乙部件的有y人．
x+y = 85
，
{3 ×16x = 2 ×10y
由$$得：12x−5y = 0，
×5+得：5x+5y +12x−5y = 425，
即17x = 425，
解得x = 25，
把x = 25代入解得y = 60，
x = 25
所以 ，
{y = 60
答：加工的甲部件的有25人，加工的乙部件的有60人．
5 【答案】解：设这个两位数的十位为x，个位为y．
∵这个数加上2之后的各位数字之和只有原数字之和的一半，
∴说明加2后个位进位，
x+y
∴有(x+1)+(y +2)−10 = ，
2
解得：(x+y) = 14，
∵y +2要进位，
∴y = 8或者9，
当y = 8时，解得x = 6；
当y = 9时，解得x = 5．
所以这个两位数是68或59．
6 【答案】C
7 【答案】D
8 【答案】A
【解析】设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，
x+y = 50
由图形可知， ，
{2x = x+4y
x = 40
解得： ．
{y = 10
58/111
2
所以一个小长方形的面积为400cm ．
故选：A．
9 【答案】解：设从甲地到乙地的路上坡路有x千米、平路有y千米，
x + y + 3 = 1.5
3 4 5
由题意得， ，
{ 3 + y + x = 1.7
3 4 5
x = 1.5
解得： ，
{y = 1.6
则全程共有：1.5+1.6+3 = 6.1（千米）．
答：甲地到乙地全程6.1千米．
10 【答案】A
能力提高 / 初二 / 秋季
第 9 讲 二元一次方程组应用题
课堂落实答案
1 【答案】D
【解析】设A，B两地之间的坡路为xkm，平路为ykm，
x + y = 0.8
30 50
由题意可得， ，
{ x + y = 0.45
60 50
故选：D．
2 【答案】D
【解析】解：设：甲每小时走x千米，乙每小时走y千米．
2x+2y = 42
则 ，
{14y = 14x+42
x = 9
解得 ，
{y = 12
故选：D．
3 【答案】A
【解析】设去年的总产值x万元、总支出y万元，
x−y = 200
根据题意，可列方程： ，
{(1 +20%)x−(1 −10%)y = 780
故选：A．
4 【答案】C
【解析】设一杯为x，一杯一壶为43元，
59/111
则右图为三杯两壶，即二杯二壶+一杯，
即：43 ×2 +x = 94
解得：x = 8（元）
故选：C．
5 【答案】A
能力提高 / 初二 / 秋季
第 9 讲 二元一次方程组应用题
精选精练
1
(1【) 答案】三
6x+ 5y = 1140
(2【) 答案】 解:设商品A的标价为x元,商品B的标价为y元, 根据题意,得 ,
{3x+ 7y = 1110
x = 90
解得: .
{y = 120
答:商品A的标价为90元,商品B的标价为120元;
(3【) 答案】设商店是打a折出售这两种商品,
a
由题意得,(9× 90+ 8× 120) × = 1062,
10
解得:a = 6.
答:商店是打6折出售这两种商品的.
2 【答案】 解：设做桌面的有x立方米，做桌腿的有y立方米．
x+y = 5 x = 3
则 ，解得： ．
{50 ⋅x⋅4 = 300y {y = 2
∴50×3＝150（张）．
答：3立方米做桌面，2立方米做桌腿，共能配成150张桌子．
x−y = 4.5
3 【答案】
y − 1x = 1
{
2
【解析】设绳长x尺，长木为y尺，
x−y = 4.5
依题意得 ，
y − 1x = 1
{
2
60/111
x−y = 4.5
故答案为： ．
y − 1x = 1
{
2
3(x+y) = 45，
4 【答案】
{ 5(x−y) = 65
5 【答案】设从甲地到乙地的上坡路为xkm，平路为ykm，
x + y = 54
3 4 60
依题意得 ，
{ y + x = 42
4 5 60
x = 1.5
解之得 ，
{ y = 1.6
∴x+y = 3.1km，
答：甲地到乙地的全程是3.1km．
【解析】设从甲地到乙地的上坡路为xkm，平路为ykm，根据保持上坡每小时走3km，平路每小时
走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地用54分钟，从乙地到甲地用42分钟即可
x + y = 54
3 4 60
列出方程组 ，然后解方程组就可以求出甲地到乙地的全程．
{ y + x = 42
4 5 60
6 【答案】D
【解析】解：根据题意可得，甲5s跑的路程=乙5s跑的路程+10，乙6s跑的路程=甲4s跑的路
程，据此列方程组．
设甲、乙每秒种分别跑x，y米，
5x = 5y +10
由题意得 ．
{4x = 6y
故选：D．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 10 讲 二元一次方程和一次函数
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】①y = 2x−5 ② y = 2x−5③ y = 2x+6
【解析】①y = 2x−1 −4
②y = 2(x−2)−1
③y = 2(x+3)−1 +1
(2【) 答案】k = 2；b = 0
61/111
【解析】由题意知y = k(x+1)+b+3 = 2x+5
kx = 2x
得
{b+3 +k = 5
可求出k，b的值
2
(3【) 答案】k = − ，不能确定b的值
3
【解析】kx+b = k(x+3)+b+2
3k+2 = 0
2
解得k = −
3
练1.1
(1【) 答案】①y = −3x−1
②y = −3x+7
③y = −3x+5
(2【) 答案】3 ，−3
(3【) 答案】1
练1.2 【答案】A
【解析】通过点A的坐标发现向右平移了1，通过点B的坐标发现向上平移了1，
a=1,b=1,∴a+b = 2选择A选项
例2 【答案】B
【解析】解：∵直线AB是直线y = −2x平移后得到的，
∴直线AB的k是−2（直线平移后，其斜率不变）
∴设直线AB的方程为y −y = −2(x−x )①
0 0
把点(m,n)代入①并整理，得
y = −2x+(2m+n)②
∵2m+n = 8③
把③代入②，解得y = −2x+8，
即直线AB的解析式为y = −2x+8．
练2.1 【答案】A
【解析】设直线y = −2x向上平移了m个单位，则AB解析式变为y = −2x+m，因为直线
AB经过点(a b)，所以b = −2a+m，因为2a+b = 6，所以m = 2a+b = 6，所
以直线AB的解析式为y = −2x+6，故答案为C选项．
练2.2 【答案】y = 2x+10．
62/111
【解析】∵一次函数y = kx+b与y = 2x+1平行，
∴k = 2，
又∵函数经过点(−3,4)
∴4 = −6 +b，解得：b = 10
∴函数的表达式为y = 2x+10．
例3 【答案】x = 1
【解析】∵直线y = 3x+b与x轴的交点坐标是(1,0)，
∴3 ×1 +b = 0，
∴关于x的一元一次方程3x+b = 0的解是x = 1．
故答案为：x = 1．
练3.1 【答案】x = −4
练3.2 【答案】函数y = −3x+3与x轴交点横坐标即为方程−3x+3=0的根，即x = 1
∴交点坐标为(1,0)
例4 【答案】(1)−2
(2)B
x = −1
练4.1 【答案】
{ y = 2
练4.2 【答案】B
例5 【答案】(−2,3)
练5.1 【答案】(12,31)
练5.2 【答案】A
能力提高 / 初二 / 秋季
第 10 讲 二元一次方程和一次函数
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】D
【解析】由题意，得
y = 2x−3 +8，
即y = 2x+5，
63/111
故选：D．
3 【答案】C
4 【答案】D
【解析】设直线y = −3x向上平移后得到直线AB，则直线AB的解析式可设为y = −3x+k，
把点(m,n)代入得n = −3m+k，解得k = 3m+n，
∵ 3m+n = 10，
∴ k = 10，
∴直线AB的解析式可设为y = −3x+10．
5 【答案】A
【解析】解：∵直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点（5，0），
∴关于x的方程kx+b=0的解为x=5．
故选：A．
6 【答案】解：（1）如图所示，当y = 0时，x = 2．
故方程kx+b = 0的解是x = 2；
（2）根据图示知，该直线经过点(2,0)和点(0,−2)，则
2k+b = 0
，
{b = −2
k = 1
解得 ，
{b = −2
故b−k = −2 −1 = −3，即b−k = −3；
（3）根据图示知，当y = −3时，x = −1．
故方程kx+b = −3的解是x = −1．
7
(1【) 答案】解：如图所示，当y＝0时，x＝−1．
故方程kx+b＝0的解是x＝−1；
(2【) 答案】解：根据图示知，该直线经过点(3,−2)，
故3k+b＝−2；
(3【) 答案】解：根据图示知，当y＝−2时，x＝3．
故方程kx+b＝−2的解是x＝3．
8 【答案】C
【解析】∵一次函数y = −2x+3的图象和y = kx−b的图象相交于点A(m,1)，
∴1 = −2m+3，
64/111
解得：m = 1，
∴A(1,1)，
2x+y = 3 x = 1
∴二元一次方程 的解为 ，
{ kx−y = b {y = 1
故选：C．
9 【答案】D
x = 3
10 【答案】
{y = 4
【解析】函数y = kx+b与y = mx+n的图象，
同时过(3,4)，因此x = 3，y = 4，
同时满足两个函数的解析式，
y = kx+b x = 3
∴方程组 的解是 ．
{y = mx+n {y = 4
能力提高 / 初二 / 秋季
第 10 讲 二元一次方程和一次函数
课堂落实答案
1 【答案】A
【解析】根据题意，得直线向右平移2个单位，
即对应点的纵坐标不变，横坐标减2，
所以得到的解析式是y = −3(x−2) = −3x+6．
故选：A．
2 【答案】D
3 【答案】 ，（2，7）
4 【答案】
能力提高 / 初二 / 秋季
第 10 讲 二元一次方程和一次函数
精选精练
65/111
1 【答案】（1）y = −7x+8；（2）y = −7x−8．
2 【答案】y = 2x
【解析】方法一：
解：∵点C为直线y = x上在第一象限内一点，则直线上所有点的坐标横纵坐标相等，
–
∴将直线AB沿射线OC方向平移√2个单位，其实是先向右平移1个单位长度，再向上平
移1个单位长度．
∴ y = 2(x−1)+1 +1，即y = 2x．
方法二：
– –
设点A沿射线OC方向平移√2个单位后到达点M，点B沿射线OC方向平移√2个单位后
到达点N，过点M作ME⊥y轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，如图所示．
∵直线OC的解析式为y = x，
∴∠COF = ∠COA = 45∘ ．
∵AM∥OC、BN∥OC，
∴∠NBF = ∠COF = 45∘ ，∠MAE = ∠COA = 45∘ ，
–
∴△AEM和△BFN为等腰直角三角形，且AM = BN = √2，
∴BF = NF = AE = EM = 1．
当x = 0时，y = 2x+1 = 1，
∴点A的坐标为(0,1)；
1
当y = 2x+1 = 0时，x = − ，
2
1
∴点B的坐标为 − ,0 ．
( 2 )
1
∴点M的坐标为(1,2)，点N的坐标为 ,1 ．
(2 )
设直线MN的解析式为y = kx+b，
1
将M (1,2)、N ,1 代入y = kx+b，
(2 )
k+b = 2 k = 2
，解得： ，
1k+b = 1 { b = 0
{
2
∴直线MN的解析式为y = 2x．
故答案为：y = 2x．
66/111
1
3 【答案】y = x+3
7
3
【解析】 ∵一次函数y = − x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，
4
∴点A(4,0)点B(0,3)，
∵线段AB绕点A顺时针旋转90∘
得到线段AC，
∴点C的坐标为(7,4)，
∴设直线BC的解析式为y = kx+b，
把(0,3)(7,4)代入解析式可得：
b = 3
，
{7k+b = 4
k = 1
解得： 7 ，
{ b = 3
1
所以直线解析式为：y = x+3．
7
1
故答案为：y = x+3．
7
4 【答案】C
5 【答案】C
6 【答案】B
能力提高 / 初二 / 秋季
第 11 讲 一次函数应用
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】当0 ≤ x < 18时，设y = kx，
67/111
由题意45 = 18k，解得k = 2.5．
∴y = 2.5x．
【解析】根据图象利用待定系数法求出0 ≤ x < 18时的解析式即可；
18k′ +b = 45
(2【) 答案】 当x ≥ 18时，设y = k′x+b，由题意
{28k′ +b = 75
k′ = 3
解得
{b = −9
∴y = 3x−9
当y = 81时，3x−9 = 81，
解得，x = 30，
所以这个月用水量为30立方米.
【解析】根据条件列出方程即可解决问题．
练1.1
(1【) 答案】由函数图象，得
450 ÷3 = 150（元）
故答案是：150．
【解析】根据函数图象由总租金÷租期就可以得出每天的租金；
(2【) 答案】设BC的解析式为y = kx+b，由函数图象，得
810 = 6k+b
，
{1440 = 9k+b
k = 210
解得： ，
{b = −450
∴y与x之间的函数关系式为：y = 210x−450(6 ≤ x ≤ 9)；
【解析】直接运用待定系数法就可以求出y与x之间的函数关系式；
(3【) 答案】设乙租这款车a(6 < a < 9)天，就有甲租用的时间为(9 −a)天，由题意，得
∴甲的租金为150(9 −a)，
乙的租金为210a−450，
∴210a−450 −150(9 −a) = 720，
解得：a = 7．
答：乙租这款汽车的时间是7天．
【解析】设乙租这款车a天，就有甲租用的时间为(9 −a)天，分别表示出甲乙的租金从而建
立方程求出其解即可．
例2
68/111
(1【) 答案】85
1.7h
(2【) 答案】解：当0 < x ≤ 0.5时，
设y与x的函数关系式为：y = kx+b，
∵函数图象经过点(0,25)，(0.5,0)，
b = 25 k = −50
∴ 解得 ，
{0.5k+b = 0 {b = 25
所以，y = −50x+25，
当0.5 < x ≤ 1.7时，设y与x的函数关系式为：y = mx+n，
∵函数图象经过点(0.5,0)，(1.7,60)，
0.5m+n = 0 m = 50
∴ 解得 ，
{1.7m+n = 60 {n = −25
所以，y = 50x−25，
−50x+25(0 < x ≤ 0.5)
故y =
{50x−25(0.5 < x ≤ 1.7)
点P的坐标所表示的意义是：此时距离B岛的距离为0，即此时到达了B岛．
(3【) 答案】解：由−50x+25 = 15，
解得x = 0.2，
由50x−25 = 15，
解得x = 0.8，
∴x−0.2 = 0.6，
答：该海巡船能接受到该信号的时间为0.6h．
练2.1 【答案】C
【解析】（2）（3）（4）对
4
例3 【答案】 解：（1）∵30﹣15＝15，4÷15= ，
15
4
∴小明在图书馆查阅资料的时间和小明返回学校的速度分别是15分钟， 千米/分钟．
15
（2）由图象可知，s是t的正比例函数
设所求函数的解析式为s＝kt（k≠0）
代入（45，4），得
4＝45k
4
解得k= ，
45
4
故s与t的函数关系式s= t（0≤t≤45）．
45
69/111
（3）由图象可知，小明在30≤t≤45的时段内s是t的一次函数，设函数解析式为
s＝mt+n（m≠0）
30m+n = 4
代入（30，4），（45，0），得 ，
{45m+n = 0
m = − 4
解得 15 ．
{n = 12
4
∴s= − t+12（30≤t≤45）
15
4 4 135
令− t+12= t，解得t=
15 45 4
135 4 135
当t= 时，S= × =3．
4 45 4
答：当小明和小红迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．
练3.1 【答案】C
例4
(1【) 答案】解:高铁的速度为:300 ÷1.5 = 200(km/h),
动车的速度为:300 ÷2 = 150(km/h).
(2【) 答案】设高铁的函数解析式为:y = kt+b,
1
把(0,300),(1.5,0)代入y = kt+b得:
1
b = 300
{ ,
1.5k+b = 0
k = −200
解得:{ ,
b = 300
则y = −200t+300(0 ≤ t ≤ 1.5),
1
动车的函数解析式为:y = 150t(0 ≤ t ≤ 2),
2
当动车与高铁相遇时,即−200t+300 = 150t
6
解得:t = .
7
6
答:动车出发 小时与高铁相遇;
7
练4.1
(1【) 答案】120
2
(2【) 答案】设y = k x+120，
1 1
代入(2,0)解得y = −60x+120(0 ≤ x ≤ 2)，
1
y = k x+90，
2 2
代入(3,0)解得y = −30x+90(0 ≤ x ≤ 3)，
1
70/111
由−60x+120 = −30x+90
解得x = 1，则y = y = 60，
1 2
所以P (1,60)，表示经过1小时甲与乙相遇且距C村60km.
(3【) 答案】当y −y = 10，
1 2
即−60x+120 −(−30x+90) = 10
2
解得x = ，
3
当y −y = 10，
2 1
即−30x+90 −(−60x+120) = 10
4
解得x = ，
3
当甲走到C地，而乙距离C地10km时，
−30x+90 = 10
8
解得x = ;
3
2 4 8
综上所知当x = h，或x = h，或x = h乙距甲10km.
3 3 3
例5
(1【) 答案】y = 4000x(x ≥ 0)；
1
y = 3000x+4000(x ≥ 0)；
2
【解析】根据题意可以直接得到y 与y 的函数关系式；
1 2
(2【) 答案】由4000x = 3000x+4000，解得x = 4，
因此当学校添置4台计算机时，两种方案的费用相同；
【解析】构建方程即可解决问题
(3【) 答案】当x = 50时，y = 4000 ×50 = 200000；
1
y = 3000 ×50 +4000 = 154000，
2
因为154000 < 200000，所以采用方案2较省钱．
【解析】分别求出x = 50时的函数值即可判断．
练5.1 【答案】（1）y ＝30x＋200；y ＝40x
1 2
（2）x＞20
【解析】（1）当游泳次数为x时，方式一费用为：y ＝30x＋200，方式二的费用为：y ＝40x；
1 2
（2）由y ＜y 得：30x＋200＜40x，
1 2
解得x＞20时，
当x＞20时，选择方式一比方式二省钱．
71/111
能力提高 / 初二 / 秋季
第 11 讲 一次函数应用
自我巩固答案
1 【答案】解：（1）设3月n日是最后一天销售量增加的日期，
10 +25(n −1) = 15(31 −n，)
解得，n = 12，
故答案为：12；
（2）由（1）得，
当1 ≤ n ≤ 12时，p = 10 +25(n −1) = 25n −15，
当12 < n ≤ 31时，p = 15(31 −n) = −15n +465；
2
(1【) 答案】根据题意得：y = 45x+(50 −x)×30，
y = 15x+1500，
需甲布料0.5x+0.9(50 −x) ≤ 38，
需乙布料x+0.2(50 −x) ≤ 26，
∴17.5 ≤ x ≤ 20；
∵x是整数，则18 ≤ x ≤ 20；
【解析】生产L型号的童装套数为x（套），则生产M型号的童装套数为50 −x（套）．则
y = 45x+30 ×(50 −x) = 15x+1500，由于L为X件，则M为(50 −x)件，
得 不 等 式 组 0.5X +0.9(50 −X) ≤ 38， X +0.2(50 −X) ≤ 26， 可 得
17.5 ≤ x ≤ 20；
(2【) 答案】y = 15x+1500图象成直线，是增函数，
∴当x取最大值20时，y有最大值，
即y = 15 ×20 +1500 = 1800．
该服装厂在生产这批服装中，当生产L号20套，M型号的30套，所获利润最多，最多
是1800元．
【解析】因为函数y = 15x+1500中y随x的增大而增大，x的最大值为20，所以x = 20时
利润最大，最大为1800元．
72/111
3 【答案】A
【解析】解：甲的速度为：8 ÷2 = 4（米/秒）；
乙的速度为：500 ÷100 = 5（米/秒）；
b = 5 ×100 −4 ×(100 +2) = 92（米）；
5a−4 ×(a+2) = 0，
解得a = 8，
c = 100 +92 ÷4 = 123（秒），
∴正确的有①②③．
4 【答案】C
5
(1【) 答案】根据函数图象可知，B出发时与A相距10千米，
故答案为：10；
【解析】根据函数图象可以直接看出B出发时与A相距的路程；
(2【) 答案】根据函数图象可知，走了一段路后，自行车发生故障进行修理，所用的时间是
1.5−0.5 = 1小时，
故答案为：1；
【解析】根据函数图象可以得到走了一段路后，自行车发生故障进行修理所用的时间；
(3【) 答案】3
(4【) 答案】根据函数图象可知直线l A经过点(0,10)，(3,25)．
b = 10
设直线l A的解析式为：S = kt+b，则
{3k+b = 25
解得，k = 5，b = 10
即A行走的路程S与时间t的函数关系式是：S = 5t+10(t ≥ 0)；
【解析】根据直线l A经过点(0,10)，(3,25)可以求得它的解析式；
(5【) 答案】设直线l B的解析式为：S = kt，
∵点(0.5,7.5)在直线l B上，
∴7.5 = k×0.5
得k = 15
∴S = 15t．
S = 5t+10
∴
{S = 15t
解得S = 15，t = 1．
73/111
故若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，1小时时与A相遇．
【解析】根据函数图象可以求得l B的解析式与直线l A联立方程组即可求得相遇的时间．
6 【答案】B
【解析】设当4 ≤ x ≤ 12时的直线方程为：
y = kx+b(k ≠ 0)．
∵图象过(4,20)、(12,30)，
20 = 4k+b
∴ ，
{30 = 12k+b
k = 5
解得： 4 ，
{b = 15
5
∴y = x+15 (4 ≤ x ≤ 12)；
4
把x = 8代入解得：y = 10 +15 = 25，
故选：B．
7
(1【) 答案】l 是描述小凡的运动过程．
1
理由：因为小凡在路边超市买了一些学习用品，需要停留一段时间，此时间段小凡距
学校的路程没有变化，所以l 是描述小凡的运动过程．
1
【解析】根据小凡在中途停留一段时间，结合函数图象即可得出结论；
(2【) 答案】观察两函数图象，发现：小凡先出发，比小光先出发了10分钟．
【解析】观察函数图象的t（时间）轴，根据出发时间不同即可得出结论；
(3【) 答案】60 −50 = 10（分钟），
所以小光先到达图书馆，比小凡先到了10分钟．
【解析】当s=5千米时，将两函数对应的t（时间）做差，即可得出结论；
60 −30
(4【) 答案】 小凡的平均速度为：5÷ = 10（千米/小时），
60
40
小光的平均速度为：5÷ = 7.5（千米/小时）．
60
答：小凡从学校到图书馆的平均速度是10千米/小时，小光从学校到图书馆的平均速
度是7.5千米/小时．
【解析】根据“速度=路程÷时间”结合两函数图象，即可求出小凡与小光的速度．
8 【答案】解：（1）设招聘甲工种工人x名，则设招聘乙工种工人(150 −x)名，
150 −x ≥ 2x
依题意得： ，
{x ≥ 0
74/111
解得：0 ≤ x ≤ 50；
设每月所支付工人工资y元，则
y = 600x+1000(150 −x)
= −400x+150000(0 ≤ x ≤ 50)；
（2）因为k = −400 < 0，所以一次函数y随x的增大而减少，
所以当x = 50时，y有最少值
y = −400x+150000
= −400 ×50 +150000
= 130000（元），
故招聘甲工种工人50名，则招聘乙工种工人(150 −50) = 100（名），
答：招聘甲、乙工种工人各50名，100名，支付工人工资的最少值为130000元．
【解析】（1）根据题中不等关系是：甲、乙两种工种的工人共150人，乙工种的人数不少于甲工种
人数的2倍，据此列出不等式组并解答，
（2）利用一次函数的增减性求出总工资最少时甲、乙工种的工人数．
9
(1【) 答案】解:由题意可得,
w = 400(10 −x)+800(2 +x)+300x+500(6 −x) = 200x+860.0
10 −x ⩾ 0
2 +x ⩾ 0
由{ 解得0 ⩽ x ⩽ 6.
x ⩾ 0
6 −x ⩾ 0
(2【) 答案】由题意200x+8600 ⩽ 9000,
解得x ⩽ 2,
∴ x = 0或1或2
∴有三种调运方案:①B市运往C市的联合收割机为0台,B市运往D市的联合收割机为
6台,A市运往C市的联合收割机为10台,A市运往D市的联合收割机为2台;
②B市运往C市的联合收割机为1台,B市运往D市的联合收割机为5台,A市运往C市
的联合收割机为9台,A市运往D市的联合收割机为3台;
③B市运往C市的联合收割机为2台,B市运往D市的联合收割机为4台,A市运往C市
的联合收割机为8台,A市运往D市的联合收割机为4台.
(3【) 答案】∵ w = 200x+8600,
∵ 200 > 0,
∴
w随x的增大而增大,
∵ 0 ⩽ x ⩽ 6,
75/111
∴ x = 0时,w最小,最小值为8600元.
10 【答案】解：（1）30元；
（2）设y = kt+b过(400,30)，(500,70)，
代入解得y = 0.4t−130(t > 400)．
30(0 ≤ t ≤ 400)
（3）甲公司：y = ，
{0.4x−130(t > 400)
2 ×0 +0.1×1 +0.9×1 t
乙公司：y = 50 + t = 50 + ，
4 4
t
由于t > 400，0.4t−130 ≥ 50 + ，解得t ≥ 1200，
4
答：t不少于1200分钟时，乙通讯公司比入甲公司更合算．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 11 讲 一次函数应用
课堂落实答案
1
(1【) 答案】330；660．
【解析】 340﹣（24﹣22）×5＝330（件），
330×（8﹣6）＝660（元）．
故答案为：330；660．
(2【) 答案】线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y＝340﹣5（x﹣22）＝﹣5x+450；
(3【) 答案】 设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx，
将（17，340）代入y＝kx中，
340＝17k，解得：k＝20，
∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝20x．
联立两线段所表示的函数关系式成方程组，
y = 20x
得 ，
{y = −5x+450
x = 18
解得： ，
{y = 360
∴交点D的坐标为（18，360），
∵点D的坐标为（18，360），
76/111
∴试销售期间第18天的日销售量最大，最大日销售量是360件．
2 【答案】B
【解析】解：根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为160 −60 = 100平方米，
每小时绿化面积为100 ÷2 = 50（平方米）．
故选：B．
3 【答案】A
4 【答案】C
【解析】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，
根据题意得：y = 50 +25x，y = 200 +20x，y = 400 +15x，
A B C
当40 ≤ x ≤ 50时，
1 050 ≤ y ≤ 1 300；
A
1 000 ≤ y ≤ 1 200；
B
1 000 ≤ y ≤ 1 150；
C
由此可见，C类会员年卡消费最低，所以最省钱的方式为购买C类会员年卡．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 11 讲 一次函数应用
精选精练
1 【答案】B
2 【答案】D
【解析】
1
根据函数图象可得：明明骑自行车去上学时，上坡路为1千米，速度为1÷6= 千米/分，
6
1
下坡路程为3-1=2千米，速度为2÷（10-6）= 千米/分，放学后如果按原路返回，且往
2
返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回来时，上坡路程为2千米，速度为
1 1
千米/分，下坡路程为1千米，速度为 千米/分，
6 2
1 1
因此走这段路所用的时间为2÷ +1÷ =14分．
6 2
故选D．
3 【答案】B
4 【答案】D
77/111
5
(1【) 答案】解:图2能反映y与x之间的函数关系,从图中可以看出存入的本金是100元
一年后的本息和是102.25元;
(2【) 答案】设y与x的关系式为:y = nx+ 100,
把(1,102.25)代入上式得n = 2.25,
∴ y = 2.25x+ 100,
当x = 2时,y = 2.25× 2+ 100 = 104.5元,
所以两年后的本息和为104.5元.
6
(1【) 答案】10
50
(2【) 答案】解：由表格可得，
当0 < t ≤ 25时，y = 7，
A
当t > 25时，y = 7 +(x−25)×0.01×60 = 0.6x−8，
A
7 0 < x ≤ 25
即y 与x之间的函数关系式是y =
A A
{ 0.6x−8 x > 25
(3【) 答案】某同学每月上网学习时间为70小时,那么选择B种方式上网学习合算;
理由:设当x > 50时,y 与x之间的函数关系式是y = kx+b,
B B
50k+b = 10
{ ,
75k+b = 25
k = 0.6
得{ ,
b = −20
∴当x > 50时,y
B
与x之间的函数关系式是y
B
= 0.6x−20,
∴当x = 70时,y
A
= 0.6×70 −8 = 34,
当x = 70时,y = 0.6×70 −20 = 22,
B
∵ 34 > 22,
∴某同学每月上网学习时间为70小时,那么选择B种方式上网学习合算.
能力提高 / 初二 / 秋季
第 12 讲 一次函数与几何综合
78/111
例题练习题答案
1
例1 【答案】y = x−2或y = − x+2
3
【解析】①直线y = k x+b 经过一、三、四象限，
1 1
∵S
△AOB
: S
△BOC
= 1 : 2，A(3,1)，
∴C (0,−2)，
−2 = b
1
∴
{1 = 3k +b
1 1
k = 1
1
∴ ，
{b = −2
1
∴y = x−2．
②直线y = k x+b 经过一、二、四象限，
2 2
∵S
△AOB
: S
△BOC
= 1 : 2，A(3,1)，
∴C (0,2)，
1 = 3k +b
2 2
∴
{2 = b
2
1
k = −
∴⎧ 2 3 ，
⎨b = 2
⎩ 2
1
∴y = − x+2．
3
练1.1 【答案】±2
4
【解析】 令y = 0，x = − ，令x = 0，y = 4，
k
∵一次函数y = kx+4与两坐标轴围成的三角形面积为4，
1 ∣ 4∣
∴ ⋅∣− ∣ ⋅4 = 4，
2 ∣ k∣
k = ±2．
练1.2 【答案】C
【解析】∵一次函数y = kx+b(k ≠ 0) 图象过点(0,2) ，
∴b = 2 ，
2
令y = 0 ，则x = − ，
k
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，
1 ∣ 2∣ ∣2∣
∴ ×2 ×∣− ∣ = 2，即∣ ∣ = 2，
2 ∣ k∣ ∣k∣
解得：k = ±1，
则函数的解析式是y = x+2或y = −x+2．
故选：C．
79/111
例2 【答案】∵正比例函数y=kx的图象经过点P (1,2)，
∴k=2，
∴正比例函数的解析式为y=2x，
∵Q(2,m)在正比例函数的图象上，
∴m=4，
∴Q（2，4），
∵函数y = ax+b的图象与直线y=-2x-6平行，
∵a=-2，
∴4 = −4 +b，
∴b=8，
∴直线的解析式为y = −2x+8，
∵直线y=-2x+8与x轴交于点D(4,0)，
1
∴正比例函数、一次函数y=ax+b与x轴所围成的△QOD的面积= ×4 ×4 = 8．
2
【解析】首先求出正比例函数、一次函数的解析式，再求出一次函数与x轴的交点D坐标，求出
△QOD的面积即可；
练2.1 【答案】解：（1）把C (m,4)代入y = 2x得2m = 4，解得m = 2，
∴C (2,4)，
1
把C (2,4)代入y = kx+5得2k+5 = 4，解得k = − ，
2
1
∴l 的解析式为y = − x+5；
1
2
1
（2）当y = 0时，− x+5 = 0，解得x = 10，则A(10,0)；
2
1
当x = 0时，y = − x+5 = 5，则B(0,5)，
2
1 1
∴S
△AOC
−S
△BOC
=
2
×10 ×4 −
2
×5 ×2 = 1．5
例3
(1【) 答案】将点A(2,0)代入直线y = kx+3，得0 = 2k+3，
3
解得k = − ，
2
3
∴y = − x+3，
2
当x = 0时，y = 3，
∴B(0,3)，OB = 3，
OA = 2，
1 1
∴S
△AOB
=
2
OA ⋅OB =
2
×2 ×3 = 3；
80/111
−− −−
(2【) 答案】(−2,0)或(√13 +2,0)或(2 −√13,0)
练3.1
(1【) 答案】令y = 0 ，则x = 4 ；令x = 0 ，则y = 3 ，
故点A的坐标为(4,0) ，点B的坐标为(0,3) ．
【解析】令y = 0求出x的值，再令x = 0求出y的值即可求出A、B两点的坐标；
(2【) 答案】设OC = x ，则AC = CB = 4 −x ，
∵∠BOA = 90∘ ，
∴OB2 +OC2 = CB2 ，
32 +x2 = (4 −x) 2 ，
7
解得x = ，
8
7
∴OC = ．
8
【解析】OC = x ，根据翻折变换的性质用x表示出BC的长，再根据勾股定理求解即可；
(3【) 答案】设P点坐标为(x,0) ，
−−−−−−−
−−−−−
当PA = PB 时， (x−4) 2 = √x2 +9，
√
7
解得x = ；
8
−−−−−−−
−−−−−−
当PA = AB 时， (x−4) 2 = √42 +32 ，
√
解得x = 9 或x = −1 ；
−−−−−− −−−−−−
当PB = AB 时，√x2 +32 = √42 +32 ，
解得x = −4 ．
7
∴P点坐标为 ,0 ，(−4,0)，(−1,0)，(9,0)．
(8 )
【解析】根据x轴上点的坐标特点设出P点的坐标，再根据两点间的距离公式解答即可．
例4
(1【) 答案】C
– –
(2【) 答案】 – – 5 3√3 1 3√3
(−4，3√3)，(2,−3√3)，(− ， )，( ，− )
2 2 2 2
练4.1 【答案】C
9
例5 【答案】
42018
【解析】解：如图，分别过点P ，P ，P 作x轴的垂线段，垂足分别为点C，D，E，
1 2 3
81/111
∵P
1
(3,3)，且△ P
1
OA
1
是等腰直角三角形，
∴OC = CA = P C = 3，
1 1
设A D = a，则P D = a，
1 2
∴OD = 6 +a，
∴点P 坐标为(6 +a,a)，
2
1 1
将点P 坐标代入y = − x+4，得：− (6 +a)+4 = a，
2
3 3
3
解得：a = ，
2
3
∴A A = 2a = 3，P D = ，
1 2 2
2
3 3
同理求得P E = ，A A = ，
3 2 3
4 2
1 1 3 9 1 3 3 9
∵S = ×6 ×3 = 9， S = ×3 × = ， S = × × = ，
1 2 3
2 2 2 4 2 2 4 16
…，
9
∴S = ．
2019
42018
练5.1 【答案】C
–
【解析】 解：∵点A（−√3，0），点B（0，1），
–
∴OA= √3，OB＝1，
∴AB=2
∴∠OAB＝30°，
∵△OA B 、△A B A 、△A B A …均为等边三角形，
1 1 1 2 2 2 3 3
∴∠A OB ＝∠A A B ＝∠A A B ＝60°，
1 1 2 1 2 3 2 3
∴∠OB A＝∠A B A＝∠A B A＝∠OAB＝30°，
1 1 2 2 3
– – –
∴OB ＝ OA= √3 ， A B ＝ A A= 2√3= 21√3 ， A B ＝ A A
1 1 2 1 2 3 2
– –
= 4√3= 22√3，
– –
则A A = 25√3=32√3．
5 6
–
则△A B A 的周长是96√3，
5 6 6
故选：C．
82/111
能力提高 / 初二 / 秋季
第 12 讲 一次函数与几何综合
自我巩固答案
4 4
1 【答案】 解：当y = 0时，kx+4 = 0，解得x = − ，则A − ,0 ，
k ( k )
当x = 0时，y = kx+4 = 4，则B(0,4)，
因为ΔOAB的面积为10，
1 4 4
所以 ⋅ − ⋅4 = 10，解得k = − ，
2 ( k) 5
4
所以直线解析式为y = − x+4．
5
1
2 【答案】y = x−2或y = − x+2
3
【解析】①直线y = k x+b 经过一、三、四象限，
1 1
∵S
△AOB
: S
△BOC
= 1 : 2，A(3,1)，
∴C (0,−2)，
−2 = b
1
∴
{1 = 3k +b
1 1
k = 1
1
∴ ，
{b = −2
1
∴y = x−2．
②直线y = k x+b 经过一、二、四象限，
2 2
∵S
△AOB
: S
△BOC
= 1 : 2，A(3,1)，
∴C (0,2)，
1 = 3k +b
2 2
∴
{2 = b
2
1
k = −
∴⎧ 2 3 ，
⎨b = 2
⎩ 2
1
∴y = − x+2．
3
3 【答案】C
【解析】解：在直线y = −2x+6中，
当x = 0时，y = 6，
当y = 0时，x = 3，
∴直线y = −2x+6与坐标轴交于(0,6)，(3,0)两点，
83/111
1
∴直线y = −2x+6与两坐标轴围成的三角形面积= ×6 ×3 = 9．
2
4 【答案】B
【解析】解：在y = x+3中，令y = 0，得x = −3，
y = x+3 x = −1
解 得， ，
{y = −2x {y = 2
∴A(−3,0)，B(−1,2)，
1
∴△ AOB的面积= ×3 ×2 = 3．
2
5 【答案】D
6 【答案】A
1
【解析】 解：由题意知，直线y = − x+2与x轴的交点为(4,0)，与y轴的交点为(0,2)，如
2
图：
当∠A为直角时，过点A作垂线与直线的交点W(−4,4)，
当∠B为直角时，过点B作垂线与直线的交点S(2,1)，
当∠C为直角时，过AB中点E(−1,0)，作垂线与直线的交点为F(−1,2.5)，则
EF = 2.5 < 3，
所以以3为半径，以点E为圆心的圆与直线必有两个交点
综上所述，共有四个点能与点A，点B组成直角三角形．
故选：A．
7 【答案】C
8 【答案】解：（1）当y＝0时，﹣2x+4＝0．解得x＝2，即OA＝2．
当x＝0时，y＝4，即OB＝4，
故答案为：2，4；
（2）A（2，0），B（0，4），由中点坐标，得C点的横坐标为 ＝1，纵坐标为
＝2，
即C（1，2）；
（3）存在这样的点P，使△POB为等腰三角形，理由如下：
84/111
设P（1，a），
2 2 2 2 2
①当PO＝PB时，平方，得PO ＝PB ，即1+a ＝1 +（a﹣4） ，
化简，得8a＝16．解得a＝2，即P （1，2）；
1
2 2 2 2
②当PO＝OB时，平方，得PO ＝OB ，即1+a ＝4 ，
解得a＝ ，即P （1， ），P （1，﹣ ）；
2 3
③当PB＝OB时，平方，得
2 2 2 2
PB ＝OB ，即1+（a﹣4） ＝4 ，解得a＝4 ，即P （1，4+ ），P （1，4
4 5
﹣ ），
综上所述：存在这样的点P，使△POB为等腰三角形，P （1，2）；P （1，
1 2
），P （1，﹣ ）；P （1，4+ ），P （1，4﹣ ）．
3 4 5
1
9 【答案】 解：（1）对于直线AB : y = − x+2，
2
当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝4，
则A、B两点的坐标分别为A(4,0)、B(0,2)；
（2）①∵C (0,4)，A(4,0)
∴OC＝OA＝4，
1
当0 ≤ t ≤ 4时，OM＝OA −AM＝4 −t， S OCM = ×4 ×(4 −t)＝
Δ
2
8 −2t；
1
当t > 4时，OM＝AM −OA＝t−4，S OCM = ×4 ×(t−4)＝2t−8；
Δ
2
②△ABM是等腰三角形，有三种情形：
【1】当BM＝AM时，设BM＝AM＝x，则OM＝4 −x，
在Rt△OBM中，∵OB2 +OM2 ＝BM2
，
∴22 +(4 −x) 2 ＝x2 ，
5
∴x = ，
2
5
∴AM = ，
2
5
∴t = 时，△ABM是等腰三角形．
2
85/111
−−−−−− – –
【2】当AM′ ＝AB = √22 +42 = 2√5时，即t＝2√5时，△ABM是等腰三角形．
【3】当BM″＝BA时，
∵OB⊥AM″，
∴OM″＝OA＝4，
∴AM″＝8，
∴t＝8时，△ABM是等腰三角形．
5 –
综上所述，满足条件的t的值为 s或2√5s或8s．
2
10 【答案】(2,4)
(22018 −2,22018
)
【解析】解：∵点B
1
，B
2
，B
3
，……，B n在x轴上，且A
1
B
1
= B
1
O，A
2
O = B
3
O，
A B = B B ，
3 3 3 4
∵A (−1,1)，
1
∴直线y = x+b = x+2，
∴A (0,2)，A (2,4)，A (6,8)，
2 3 4
……
∴A n 2n−1 −2,2n−1 ．
( )
∴A 的坐标为(2,4)，A 的坐标为(22018 −2,22018 )．
3 2019
能力提高 / 初二 / 秋季
第 12 讲 一次函数与几何综合
课堂落实答案
1 【答案】±2
2 【答案】±2
– –
3 【答案】(√2+1,0)或(−√2+1,0)或(−1,0)
4
(1【) 答案】A
(2【) 答案】C
(3【) 答案】B
86/111
能力提高 / 初二 / 秋季
第 12 讲 一次函数与几何综合
精选精练
1 【答案】6
【解析】解：如图所示，ΔABM是等腰三角形，则符合条件的点M有6个，
故答案为：6．
2 【答案】B
【解析】作PE⊥y轴于E，如图所示：
∵P的横坐标是2，C(0,2)，则PE = 2，OC = 2．
1 1
∴S
△COP
=
2
OC ⋅PE =
2
×2 ×2 = 2；
∴S
△AOC
= S
△AOP
−S
△COP
= 6 −2 = 4，
1 1
∴S
△AOC
=
2
OA ⋅OC = 4，即
2
×OA ×2 = 4，
∴OA = 4，
∴A的坐标是(−4,0)．
作PF⊥x轴于F，
87/111
1 1
∵S
△AOP
=
2
OA ⋅PF = 6，即
2
×4 ×PF = 6，
∴PF = 3，
∴P (2,3)，
∵S △BOP = S △DOP，
∴PB = PD，即点P为BD的中点，
∴B点坐标为(4,0)，D点坐标为(0,6)，
1 1
∴S
△BOD
=
2
OB ⋅OD =
2
×4 ×6 = 12．
故选：B．
3 【答案】（0，9）或（﹣7，8）
4
(1【) 答案】解：∵正比例函数y＝k x的图象经过点A(4,3)，
1
∴4k ＝3，
1
3
∴k = ，
1
4
3
∴正比例函数解析式为y = x．
4
如图1中，过A作AC⊥x轴于C，
在Rt△AOC中，OC＝4，AC＝3
−−−−−−−−−−
AO = OC2 +AC2 = 5，
√
∴OB＝OA＝5，
∴B(0,−5)，
4k +b = 3
2
∴
{b = −5
k = 2
2
解得 ，
{b = −5
∴一次函数解析式为y＝2x−5．
【解析】根据点A坐标，可以求出正比例函数解析式，再求出点B坐标即可求出一次函数解析
式．
(2【) 答案】如图1中，过A作AD⊥y轴于D，
88/111
∵A(4,3)，
∴AD = 4，
1 1
∴S
ΔAOB
= ⋅OB ⋅AD = ×5 ×4 = 10，
2 2
【解析】如图1中，过A作AD⊥y轴于D，求出AD即可解决问题．
25
(3【) 答案】
满足条件的点P的坐标(−5,0)或(5,0)或(8,0)或 ,0
( 8 )
【解析】如图2中，当OP＝OA时，P (−5,0)，P (5,0)，
1 2
当AO＝AP时，P (8,0)，
3
4 25
当PA＝PO时，线段OA的垂直平分线为y = − x+ ，
3 6
25
∴P ,0 ，
4
( 8 )
25
∴满足条件的点P的坐标(−5,0)或(5,0)或(8,0)或 ,0 ．
( 8 )
5 【答案】 y = 4x
(1)联立得： 3 ，
{y = −x+7
x = 3
解得： ，
{y = 4
则点A的坐标为(3,4)；
−−−−−−
(2)根据勾股定理得：OA = √32 +42 = 5，
89/111
如图1所示，分四种情况考虑：
当OM = OA = 5时，M (0,5)；
1 1
当OM = OA = 5时， M (0,−5)；
2 2
当AM = OA = 5时，M (0,8)；
3 3
25
当OM = AM 时，M 0, ，
4 4 4
( 8 )
25
综上，点M为(0,5)、(0,−5)、(0,8)、 0, ；
( 8 )
4
(3)设点B a, a ，C (a,−a+7) ，
( 3 )
14 14
∵BC = OA = ×5 = 14，
5 5
4
∴ a−(−a+7) = 14，
3
解得：a = 9 ，
过点A作AQ⊥BC，如图2所示，
1 1
∴S
ΔABC
= BC ⋅AQ = ×14 ×(9 −3) = 42，
2 2
4 4
当a = 9时， a = ×9 = 12，−a+7 = −9 +7 = −2，
3 3
∴点B(9,12)、C (9,−2)；
6 【答案】A
90/111
能力提高 / 初二 / 秋季
第 13 讲 数据的分析
例题练习题答案
例1 【答案】C
【解析】余下数的平均数为(45 ×10 −4 −70)÷8 = 47，
故选：C．
练1.1 【答案】8
练1.2 【答案】B
【解析】小桐这学期的体育成绩
＝（95×20％＋90×30％＋86×50％）
＝89（分）．
例2 【答案】C
【解析】观察图表可知：有7人的鞋号为40，人数最多，即众数是40；
中位数是第10、11人的平均数，即39
练2.1 【答案】C
例3 【答案】2
【解析】
1
S2
= (11 −13)
2
+(13 −13)
2
+(12 −13)
2
+(15 −13)
2
+(14 −13)
2
=
5[ ]
则这个数据是2；
故答案为：2．
x +x +⋯+x
练3.1 【答案】（1）由题意得：x¯ = 1 2 10 = 20，
10
(x −x¯) 2 +(x −x¯) 2 +⋯(x −x¯) 2
S2
=
1 2 10
= 0.015；
10
x +1 +x +1 +x +1+⋯+x +1
x¯ = ¯x¯¯¯¯ + ¯¯¯¯¯ 1 ¯¯ = 1 2 3 10
1 ( ) 10
(x +x +x +…+x )+10
1 2 3 10
=
10
=x¯ +1=21
S 2 = S2 (x+1)
1
91/111
1 2 2
(x +1)− ¯x¯¯¯ + ¯¯¯ 1 ¯¯ + (x +1)− ¯x¯¯¯ + ¯¯¯ 1 ¯¯ +…
10[[ 1 ( )] [ 2 ( )]
2
+ (x +1)− ¯x¯¯¯ + ¯¯¯ 1 ¯¯
[ 10 ( )] ]
1
= (x +1 −x¯ −1) 2 +(x +1 −x¯ −1) 2 +…+(x +1 −x¯ −1) 2
10[ 1 2 10 ]
=S2
=0.015
3x +3x +3x +⋯+3x
（2）x¯ = ¯ 3 ¯¯x¯¯ = 1 2 3 10
2 ( ) 10
3
= (x +x +⋯+x )=3x¯ = 60，
1 2 10
10
(3x −60) 2 +(3x −60) 2 +⋯(3x −60) 2
S 2 =S2 (3x) = 1 2 10
2
10
9
= (x −x¯) 2 +(x −x¯) 2 +⋯(x −x¯) 2 = 9S2
10[ 1 2 10 ]
= 9 ×0.015 = 0.135；
(4x −2)+(4x −2)+(4x −2)+⋯(4x −2)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 2 3 10
（3）x¯ = 4x−2 =
3 ( ) 10
= 80 −2 = 78；
(4x −2 −78) 2 +⋯+(4x −2 −78) 2
S 2 = S2 (4x−2) = 1 10
3
10
16
= (x −x¯) 2 +(x −x¯) 2 +⋯(x −x¯) 2 = 16S2
10[ 1 2 10 ]
= 16 ×0.015 = 0.24；
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
（4）得出以下规律： ax+b = ax¯ +b，
( )
S2 (ax+b) = a2S2 (x)．
【解析】根据平均数的意义，方差的计算公式，可得答案；平方差和方差同理可得
例4 【答案】C
练4.1 【答案】4
【解析】解：当x为最小值时，2 −x = 6，
解得：x = −4，
∵x > 0，
∴不合题意，舍去；
当x为最大值时，
x−(−2) = 6，
解得：x = 4．
故答案为：4．
例5 【答案】B
−−
练5.1 【答案】 2√10
5
92/111
练5.2 【答案】4s2
例6
75 +80 +85 +85 +100
(1【) 答案】 解：（1）初中5名选手的平均分a = = 85，众数b
5
＝85，
高中5名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c＝80；
(2【) 答案】解：（2）由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，
故初中部决赛成绩较好；
(3【) 答案】解：（3）s2
初中
1
2 2 2 2
= (75 −85) +(80 −85) +(85 −85) +(85 −85)
5[
2
+(100 −85)
]
= 70，
∵s2 ＜s2
，
初中 高中
∴初中代表队选手成绩比较稳定．
练6.1
(1【) 答案】82；80.5
【解析】解：（1）甲同学的成绩按大小排列为：63，70，70，82，82，85，90，98，
故甲同学预赛成绩的中位数是：82；
乙同学的成绩按大小排列为：70，71，78，80，81，84，84，92，
故乙同学预赛成绩的中位数是：80.5；
故答案为：82，80.5；
70 +82 +63 +98 +82 +70 +90 +85
(2【) 答案】 解：（2）a = = 80（分），
8
1
b = s2 = ×[(70 −80) 2 +(71 −80) 2 +(78 −80) 2 + （ 80 ﹣
乙 8
2 2 2 2 2
80） +（81﹣80） +（84﹣80） +（84﹣80） +（92﹣80） ]
＝45.25．
王老师的观点：两组数据的平均数均为80（分），所以两个人的平均水平相当；
李老师的观点：∵s2 ＞s2
，
甲 乙
∴乙的成绩稳定．
(3【) 答案】解：（3）选择甲同学．
93/111
理由如下：因为甲同学在几轮预赛中较高成绩的次数较多，冲击金牌的可能性更大
（理由合适即可）
能力提高 / 初二 / 秋季
第 13 讲 数据的分析
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】C
【解析】这 天 销 售 的 矿 泉 水 的 平 均 单 价 是
5 ×10%+3 ×15%+2 ×55%+1 ×20% = 2.2（5元）．
3 【答案】B
4 【答案】B
【解析】∵180出现的次数最多，
∴众数是180．
将这组数据按照由小到大的顺序排列：176、178、178、180、180、180、182、182、
186、188、192．
所以中位数为180．
故选：B．
5 【答案】A
6 【答案】C
【解析】两组数据：a ，a ，a ，a ，a 和a −1，a −1，a −1，a −1，a −1，
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
它们的平均数不同，方差相等，中位数不同，标准差相等，
故选：C．
7 【答案】D
8
(1【) 答案】解：（1）李刚5次投篮，有2次投中7个，故7为众数；
王亮投篮的平均数为：(6 +7 +8 +7 +7)÷5 = 7个，
王 亮 的 方 差 为 ：
1
S2 = [(6 −7) 2 +(7 −7) 2 +(8 −7) 2 +(7 −7) 2 +(7 −7) 2 ] = 0.4
5
94/111
故答案为7，0.4，7；
(2【) 答案】两人的平均数、众数相同，从方差上看，王亮投篮成绩的方差小于李刚投篮成绩的方
差．王亮的成绩较稳定．
选王亮的理由是成绩较稳定，选李刚的理由是他具有发展潜力，李刚越到后面投中数
越多．
【解析】从平均数、众数、方差等不同角度分析，可得不同结果，关键是看参赛的需要
9 【答案】B
10 【答案】解：（1）如表格所示：
平均数 方差 中位数
甲 7 1.2 7
乙 7 5.4 7.5
（2）①从平均数和方差相结合看，甲的成绩好些；
②从平均数和中位数相结合看，乙的成绩好些；
③从平均数和折线统计图走势相结合看，乙虽然发挥不稳定，但击中高靶环次数更多（乙
击中3次，甲只击中一次），更有潜力冲击金牌，故选择乙．
故答案为：1.2，7，7.5；甲，乙，乙
【解析】（1）根据方差的公式，平均数的定义，中位数的定义，可得答案，
（2）根据平均数，方差，中位数，可得答案．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 13 讲 数据的分析
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】A
3 【答案】B
4 【答案】2
5 【答案】D
95/111
【解析】将数据从小到大排列为：8，9，10，11，12，14，16，16，17，19，
中位数为：13；
极差= 19 −8 = 11．
故选：D．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 13 讲 数据的分析
精选精练
1 【答案】A
【解析】已知a，b，c的平均值为5，且X，Y，Z的平均值为7，
所以，a+b+c = 15，X + Y + Z = 21，
所以，2a+3X，2b+3Y，2c+3Z的平均值为
(2a+3X +2b+3Y +2c+3Z)÷3 = (2a+2b+2c+3X +3Y +3Z)
÷3 = (2 ×15 +3 ×21)÷3 = 31
91+80+78 79+83+90
2 【答案】 （1）x¯= =83，x¯= =84，所以，乙小组的成绩高；
3 3
（2）甲的成绩：91×40%+80×30%+78×30%=83.8，乙的成
绩：79×40%+83×30%+90×30%=83.5，所以，甲的成绩高.
3 【答案】解：（1）平均数：1148（元）；中位数：800（元）；众数：800（元）．
（2）众数．
【解析】（1）表中数据之和：
5000 +4000 ×2 +2000 ×5 +1000 ×10+800 ×28+500 ×4 =57400，
57400
故表中数据的平均值为 = 1148（元）；
1 +2 +5 +10 +28 +4
表中共统计50名员工，工资从低到高排序，第25、26名员工的工资均为800元，故中位数
为800（元）；
50名员工中，工资为800元的最多，为28人，故众数为800（元）；
（2）众数出现的次数最多，能代表大部分员工的工资水平．
4 【答案】B
【解析】解：设这10个数为x ，x ，…，x ，由题意得：
1 2 10
1
(x +x +…+x ) = 4，即x +x +…+x = 40；
1 2 10 1 2 10
10
且x2 +x2 +…+x2 = 200，
1 2 10
96/111
1
∴s2 = (x −4) 2 +(x −4) 2 +…+(x −4) 2
10[ 1 2 10 ]
1
= [(x2 +x2 +…+x2 )−8(x +x +…+x )+10 ×42 ]
10 1 2 10 1 2 10
1
= ×(200 −8 ×40 +160) = 4，
10
−−
∴s = √s2 = 2，答案为B．
5 【答案】C
6 【答案】解：（1）如表格所示：
优等品数量（个） 平均数 方差
A 16 4.990 0.103
B 10 4.975 0.093
（2）从优等品数量的角度看，因A技术种植的西瓜优等品数量较多，所以A技术较好；
从平均数的角度看，因A技术种植的西瓜质量的平均数更接近5 kg，所以A技术较好；
从方差的角度看，因B技术种植的西瓜质量的方差更小，所以B技术种植的西瓜质量更为稳
定；
∴从市场销售角度看，因优等品更畅销，A技术种植的西瓜优等品数量更多，且平均质量
更接近5 kg，因而更适合推广A种技术．
能力提高 / 初二 / 秋季
第 14 讲 平行线与三角形
例题练习题答案
例1 【答案】证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠4（对顶角相等）
∴∠1+∠4＝180°（等量代换）
∴DF∥AB（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠B＝∠FDH（两直线平行，同位角相等）
∵∠3＝∠B
∴∠3＝∠FDH（等量代换）
∴EF∥BC（内错角相等，两直线平行）
练1.1 【答案】∵ ∠1 = ∠2 （已知）
97/111
∴ DB // EC （同位角相等，两直线平行）
∴ ∠C = ∠DBA （两直线平行，同位角相等）
又∵ ∠C = ∠D （已知）
∴ ∠D = ∠DBA （等量代换）
∴ AC // DF （内错角相等，两直线平行）
【解析】首先证明DB // EC，然后根据平行线的性质以及已知条件，证明∠D = ∠DBA，根
据同位角相等，两直线平行即可证得．
练1.2 【答案】解:∠BMN与∠CNM互补.理由如下:
∵ ∠A = ∠F,
∴ AC // DF
∴ ∠ABM = ∠D.
又∠C = ∠D,
∴ ∠ABM = ∠C.
∴ BD // CE.
∴
∠BMN与∠CNM互补.
例2
(1【) 答案】60°≤∠A <180°，0°<∠B≤60°．
(2【) 答案】C
(3【) 答案】∠A = ∠DCB,∠B = ∠ACD，
【解析】利用三角形内角和定理倒角即可
(4【) 答案】D
练2.1 【答案】∵∠4 = ∠2 +∠E， ∠3 = ∠1 +∠F，∠4 = ∠3，∠1 = ∠2
∴ ∠F = ∠E
【解析】∵∠1＝∠AHE，∠1＝∠2
∴∠AHE＝∠2
∴AD∥BC
∴∠3＋∠C＝180°
∵∠3＝∠4
∴∠4＋∠C＝180°
∴AB∥CD
∴∠E＝∠F．
98/111
练2.2 【答案】解：∵ ∠A = 27∘ ，∠B = 38∘
∴ ∠DCB = ∠A +∠B = 65∘ ，
又∵ ∠DFC = ∠EFB = 95∘ ，
∴ ∠D = 180∘ −95∘ −65∘ = 20∘ ．
例3
(1【) 答案】D
(2【) 答案】10°
练3.1 【答案】D
【解析】∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，
∴∠F=360° −60° −67° −91° −58° −22° = 62°，故选D
练3.2 【答案】A
例4
(1【) 答案】解:如图,∵ BO、CO是角平分线,
∴ ∠ABC = 2∠1,∠ACB = 2∠2,
∵ ∠ABC +∠ACB +∠A = 180∘ ,
∴ 2∠1 +2∠2 +∠A = 180∘ ,
∵ ∠1 +∠2 +∠BOC = 180∘ ,
∴ 2∠1 +2∠2 +2∠BOC = 360∘ ,
∴ 2∠BOC −∠A = 180∘ ,
1
∴ ∠BOC = 90∘ + ∠A,
2
∵ ∠ABC = 50∘ ,∠ACB = 60∘ ,
∴ ∠A = 180∘ −50∘ −60∘ = 70∘ ,
1
∴ ∠BOC = 90∘ + ×70∘ = 125∘ ;
2
1
(2【) 答案】∠BOC = 90∘ + ∠A = 125∘ ;
2
99/111
1
(3【) 答案】∠BOC = 90∘ + n∘ .
2
练4.1 【答案】B
练4.2
(1【) 答案】B
(2【) 答案】C
1
例5 【答案】∠A = 48∘;∠A = α
1 n 2n
练5.1 【答案】B
练5.2 【答案】90°
【解析】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ACB的外角的平分线，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°.
例6
(1【) 答案】65
【解析】∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∠DBC+∠BCE=360°﹣130°=230°，
又∵∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，
1 1
∴∠PBC = ∠DBC，∠PCB = ∠ECB，
2 2
1
∴∠PBC +∠PCB = (∠DBC +∠ECB)=115°，
2
∴∠P=65°．
(2【) 答案】45
(3【) 答案】40
1
(4【) 答案】∠P = 90∘ − ∠A．理由如下：
2
∵BP平分∠DBC，CP平分∠BCE，
100/111
∴∠DBC=2∠CBP，∠BCE=2∠BCP
又∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∴2∠CBP=∠A+∠ACB，2∠BCP=∠A+∠ABC，
∴2∠CBP+2∠BCP=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC
=180°+∠A，
1
∴∠CBP+∠BCP=90°+ ∠A
2
又∵∠CBP+∠BCP+∠P=180°，
1
∴∠P = 90∘ − ∠A．
2
练6.1 【答案】180
练6.2 【答案】40
能力提高 / 初二 / 秋季
第 14 讲 平行线与三角形
课堂落实答案
1 【答案】证明：
∵AC // DE，∴∠1 = ∠5，
∵DC // EF，∴∠5 = ∠3，∠2 = ∠4
∴∠1 = ∠3，
∵CD平分∠ACB，∴∠1 = ∠2，
∴∠3 = ∠4，∴EF平分∠BED．
2 【答案】240°
【解析】该题考查等边三角形的性质．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A = ∠B = ∠C = 60∘ ，
∵四边形BCDE的内角和是360°，
∴∠BDE +∠CED = 360∘ −∠B −∠C = 360∘ −60∘ −60∘ = 240． ∘
3 【答案】140
【解析】解：设∠CAB=x
1
∵在△ABC中，∠B=∠ACB= （180°x）
2
101/111
∵CD是∠ACB的角平分线，AD是∠BAC的角平分线
1 1
∴∠ACD= （180°x），∠DAC= x
4 2
∵∠ACD+∠DAC+∠ADC=180°
1 1
∴ （180°x）+ x+100°=180°
4 2
∴x=140°
故答案是：140°．
4 【答案】A
1
【解析】 解:∠G= ∠DEB = 30∘
2
1
5 【答案】 ∵∠P = 180∘ − (∠FBC +∠ECB)，
2
∵∠FBC +∠ECB
= 360∘ −(∠ABC +∠ACB)
= 360∘ −(180∘ −∠A)
1
∴∠P = 90∘ − ∠A
2
能力提高 / 初二 / 秋季
第 14 讲 平行线与三角形
自我巩固答案
1 【答案】证明：∵∠CDG=∠B（已知），
∴DG∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠3，
∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行），
∴∠EFB=∠ADB（两直线平行，同位角相等），
又AD⊥BC于点D（已知），
∴∠ADB=90°，
∴∠EFB=∠ADB=90°，
∴EF⊥CB．
102/111
∠A = 2∠C
2 【答案】
解：由题意： ⎧∠A = ∠B +20∘ ，
⎨ ∠A +∠B +∠C = 180∘
⎩
∠A = 80∘
解得 ⎧⎪ ∠B = 60∘，
⎨
∠C = 40∘
⎩⎪
∴△ABC的三个内角的度数分别是80∘ ，60∘ ，40∘
．
3 【答案】D
4 【答案】D
5 【答案】解：（1）如图所示：
x
（2）∠BDC = 90∘ + ．
2
理由如下：由三角形内角和为180∘
得：
∠ABC +∠ACB = 180∘ −∠A，
∵∠ABC和∠ACB的角平分线的交点是D，
1
∴∠DBC +∠DCB= (∠ABC +∠ACB)
2
1
= (180∘ −∠A) ，
2
在△ BCD中，
∠BDC =180∘ −(∠DBC +∠DCB)
1
=180∘ − (180∘ −∠A)
2
1
= 90∘ + ∠A ，
2
∵∠BAC = x，
x
∴∠BDC = 90∘ + ；
2
x
（3）由题意得，90∘ + +x = 180∘ ，
2
解得x = 60∘ ．
【解析】（1）用量角器作出两个角的角平分线即可；
（2）根据三角形的内角和定理表示出∠ABC +∠ACB，再根据角平分线的定义表示
出∠DBC +∠DCB，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（3）根据互为补角的两个角的和等于180∘
列出方程求解即可．
6 【答案】A
7 【答案】解：由三角形外角性质，∠ACE = ∠A +∠ABC，∠DCE = ∠DBC +∠D，
103/111
∵
BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE，
1 1
∴ ∠DBC = ∠ABC，∠DCE = ∠ACE，
2 2
1 1 1
∴ ∠A + ∠ABC = ∠ABC +∠D，
2 2 2
1
∴ ∠D = ∠A，
2
∵ ∠A = 70∘ ，
∴ ∠D = 35∘ ．
【解析】∵BD是∠ABC的角平分线，CD是△ABC的外角平分线
1 1
∴∠DBC = ∠ABC，∠DCE = ∠ACE
2 2
1
又∵∠ACE = ∠A +∠ABC，∴∠DCE = ∠A +∠DBC
2
∵∠DCE = ∠D+∠DBC
1 1
∴∠D+∠DBC = ∠A +∠DBC，即∠D = ∠A = 35∘ ．
2 2
8 【答案】B
9 【答案】D
10 【答案】解：（1）∵∠BOC＝180∘ −∠OBC −∠OCB，
∴2∠BOC＝360∘ −2∠OBC −2∠OCB，
而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∴2∠BOC＝360∘ −(∠ABC +∠ACB)，
∵∠ABC +∠ACB＝180∘ −∠A，
∴2∠BOC＝180∘ +∠A，
1
∴∠BOC＝90∘ + ∠A．
2
当∠A＝40∘ ，∠BOC＝110∘
；
1 1
（2）∠OBC = (∠A +∠ACB)，∠OCB = (∠A +∠ABC)，
2 2
∠BOC＝180∘ −∠OBC −∠OCB
1 1
＝180∘ − (∠A +∠ACB)− (∠A +∠ABC)
2 2
1 1
＝180∘ − ∠A − (∠A +∠ABC +∠ACB)
2 2
1
= 90∘ − ∠A
2
当∠A＝40∘ ，∠BOC＝70∘
．
（3）∵∠OCD＝∠BOC +∠OBC，∠ACD＝∠ABC +∠A，
而BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
104/111
∴∠ACD＝2∠OCD，∠ABC＝2∠OBC，
∴2∠BOC +2∠OBC＝∠ABC +∠A，
∴2∠BOC＝∠A，
1
即∠BOC = ∠A．
2
当∠A＝40∘ ，∠BOC＝20∘
；
1 1 1
（4）∠BOC＝90∘ + n∘ ；∠BOC＝90∘ − n∘ ；∠BOC = n∘ ．
2 2 2
能力提高 / 初二 / 秋季
第 14 讲 平行线与三角形
精选精练
1 【答案】∵∠B = ∠C，∴AB // CD，∴∠BAD = ∠ADC，
又∵∠1 = ∠2，∴∠BAD−∠1 = ∠ADC −∠2，
即∠EAO = ∠ODF，∴AE // DF．
2 【答案】B
【解析】设这个内角为α，则与其相邻的外角为3α，
所以，α+3α=180°，
解得α=45°，
3α=3×45°=135°．
故选：B．
3 【答案】216∘
4 【答案】解：∵AD平分∠BAC
1
∴ ∠BAD = ∠CAD = ∠BAC
2
∵
AD⊥BC
∴ ∠ADB = 90∘
∵
BE⊥AC
∴ ∠C +∠CAD = ∠C +∠CBE = 90∘
1
∴ ∠CBE = ∠CAD = ∠BAC
2
由于BF平分∠ABE
105/111
1 1
∴ ∠FBE = ∠ABE = (90∘ −∠BAC)
2 2
∴ ∠DBF = ∠CBE +∠FBE
1 1
= ∠BAC + (90∘ −∠BAC) = 45∘
2 2
5 【答案】①②③⑤
【解析】（1）∵AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∵∠EAC＝∠ACB＋∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，
故①正确．
（2）由（1）可知AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABC＝2∠ADB，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ADB，
故②正确．
（3）在△ADC中，∠ADC＋∠CAD＋∠ACD＝180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB
∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴∠ADC＋∠CAD＋∠ACD＝∠ADC＋2∠ABD＋∠ADC＝2∠ADC＋2∠ABD＝180°，
∴∠ADC＋∠ABD＝90°
∴∠ADC＝90°－∠ABD，
故③正确；
（4）如果BD平分∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
106/111
∴只有在△ABC是正三角形时才有BD平分∠ADC
故④错误．
（5）∵∠BAC＋∠ABC＝∠ACF，
1 1 1
∴ ∠BAC + ∠ABC = ∠ACF，
2 2 2
1
∵∠BDC +∠DBC = ∠ACF，
2
1 1
∴ ∠BAC + ∠ABC = ∠BDC +∠DBC，
2 2
1
∵∠DBC = ∠ABC，
2
1 1
∴ ∠BAC = ∠BDC，即∠BDC = ∠BAC．
2 2
故⑤正确．
6 【答案】①∠BDC = 105∘ ，∠BPC = 110∘ ；
1
②∠D+∠P = 210∘ + ∠A，
6
【解析】提示：设∠PBC = α，∠PCB = β，∠P = 180∘ −α−β，
1
∠D = 90∘ + ∠A，
2
1
3α+3β = 180∘ +∠A．∠D+∠P = 210∘ + ∠A
6
能力提高 / 初二 / 秋季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 【答案】C
2 【答案】A
3 【答案】B
4 【答案】C
5 【答案】C
6 【答案】C
7 【答案】C
【解析】将数据按照从小到大依次排列为30，31，31，31，32，34，35，
众数为31，中位数为31．
8 【答案】B
9 【答案】C
107/111
10 【答案】B
【解析】A、∵42 +52 ≠ 62 ，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12 +12 = √2
–2
，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62 +82 ≠ 112 ，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52 +122 ≠ 232 ，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
–
11 【答案】±√5
2
12 【答案】
7
13 【答案】13
14 【答案】−43
15 【答案】(−2,3)
16 【答案】±6
17 【答案】150°
18 【答案】(5,0)
【解析】根据跳动的路线与方向得出一般性的规律,然后根据规律得出答案.
16
19 【答案】 x =
⎧ ⎪ 11 x = 4
（1）⎪ ；（2） ．
26 {y = 3
⎨y
=
⎩⎪ ⎪ 11
– – – –
20 【答案】 (1) = 2(√2+1)+3√2−2√2 = 2 +3√2
– –
=2+√2−1 −√2−3
（2）
= −2
21 【答案】解：（1）（4分）∵ EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，
∴ ∠BFE = ∠BDC = 90∘ ，EF∥CD．
（2）（4分）∵EF∥CD
∴ ∠2 = ∠3，
∵ ∠AGD = ∠ACB，∴DG∥BC，
∴ ∠1 = ∠3，
∴ ∠1 = ∠2．
22
(1【) 答案】（﹣1，﹣1），（4，2），（1，3）
【解析】根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可；
(2【) 答案】由图可知A′（1，2），B′（6，5），C′（3，6）．
故答案为：（1，2），（6，5），（3，6）．
108/111
【解析】画出平移后的三角形，写出各点坐标即可．
23
(1【) 答案】设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，由题意得
x+y = 500
，
{24x+33y = 13800
x = 300
解得： ．
{y = 200
答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱．
(2【) 答案】300 ×(36 −24)+200 ×(48 −33)
= 3600 +3000
= 6600（元）．
答：该商场共获得利润6600元．
【解析】总利润=甲的利润+乙的利润．
3
24 【答案】 解∵ y = x+6与x轴交于A点、与y轴交于B点，
4
令x = 0，y = 6，∴ B(0,6)
令y = 0，y = −8，∴ a(−8,0)
∴ OA = 8，OB = 6
在Rt△AOB中，
−−−−−−−−−−
−−−−−−
AB = OA2 +OB2 = √82 +62 = 10
√
过C作CD⊥AB于D点，易得：
CO = CD，BO = BD = 6，AD = AB −BD = 4
设CO = CD = x，AC = 8 −x，
在Rt△ACD中，
x2 +42 = (8 −x) 2 ，x = 3，∴ C (−3,0)
直线BC的解析式为：y = 2x+6
109/111
25 【答案】（1）由题意可得：银卡消费：y = 10x+150，普通消费：y = 20x；
（2）由题意可得：当10x+150 = 20x，
解得：x = 15，则y = 300，
故B(15,300)，
当y = 10x+150，x = 0时，y = 150，故A(0,150)，
当y = 10x+150 = 600，
解得：x = 45，则y = 600，
故C (45,600)；
（3）如图所示：由A，B，C的坐标可得：
当0 < x < 15时，普通消费更划算；
当x = 15时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；
当15 < x < 45时，银卡消费更划算；
当x = 45时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；
当x > 45时，金卡消费更划算
26 【答案】−1
27 【答案】解：（1）上述结论不成立．
过点P作PE∥AB，∴∠B+∠BPE=180°，
又∵AB∥CD，∴PE∥CD，
∴∠D+∠EPD=180°，
∴∠B+∠BPE+∠D+∠EPD=360°，
即∠B+∠BPD+∠D=360°．
（2）∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD，
连接QP并延长至E，
∵∠BPE是△BPQ的一个外角，
∴∠BPE=∠BQP+∠B．
同理:∠EPD=∠DQP+∠PDQ．
∴∠BPE+∠EPD=∠BQP+∠B+∠DQP+∠PDQ．
即:∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD．
（3）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
110/111
111/111
