文档内容
能力提高 / 初二 / 寒假
第 1 讲 等腰三角形
例题练习题答案
例1 【答案】解:∵ AB = AC，∠A = 30∘ ，
∴ ∠ABC = ∠C = 75∘ ，
∵ BD = BC，
∴ ∠C = ∠BDC = 75∘ ，
∴ ∠CBD = 30∘ ，
∴ ∠ABD = 45∘ ．
练1.1 【答案】30
【解析】解：∵AB = AC，且∠A = 40∘ ，
180∘ −40∘
∴∠ABC = ∠C = = 70∘ ；
2
由题意得：
AE = BE，
∴∠A = ∠ABE = 40∘ ，
∴∠CBE = 70∘ −40∘ = 30∘ ，
故答案为：30．
练1.2 【答案】D
【解析】解：∵OC = CD = DE，
∴∠O = ∠ODC，∠DCE = ∠DEC，
∴∠DCE = ∠O+∠ODC = 2∠ODC，
∵∠O+∠OED = 3∠ODC = ∠BDE = 75∘ ，
∴∠ODC = 25∘ ，
∵∠CDE +∠ODC = 180∘ −∠BDE = 105∘ ，
1/45
∴∠CDE = 105∘ −∠ODC = 80∘ ．
例2 【答案】D
【解析】解：∵AC = AB = 6，AD⊥BC，
∴BC = 2CD = 8，
∴△ABC的周长= AB +AC +BC = 20．
练2.1 【答案】40°
【解析】解：∵AB = AC，AD为中线，
∴AD⊥BC，∠BAD = ∠CAD，
∵∠B = 50∘ ，
∴∠BAD = 90∘ −∠B = 90∘ −50∘ = 40∘ ，
∴∠CAD = ∠BAD = 40∘ ．
故答案为：40∘
．
练2.2 【答案】B
例3 【答案】证明：因为AD⊥BC于D，AE⊥CE于E，AD = AE，且∠ACE = ∠B
∴△ ABD≌△ ACE，
∴AB=AC
∵AD⊥BC
∴D是BC的中点．
练3.1 【答案】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABE = ∠ECD，
在△ABE与△ECD中，
AB = EC
⎧⎪∠ABE
= ∠ECD，
⎨
BE = CD
⎩⎪
∴△ABE≌△ECD，
∴AE = DE，
∵EF⊥AD，
∴F是AD中点．
【解析】由已知AB⊥BC，DC⊥BC，AB = EC，BE = CD，根据SAS可得△ABE≌△
ECD，根据全等三角形的性质得AE = DE，再根据等腰三角形的三线合一性质即可
证明．
练3.2 【答案】证明：如图，过A作AM⊥BC于M，
∵AB = AC，
2/45
∴∠BAC = 2∠BAM，
∵AD = AE，
∴∠D = ∠AED，
∴∠BAC = ∠D+∠AED = 2∠D，
∴∠BAC = 2∠BAM = 2∠D，
∴∠BAM = ∠D，
∴DE // AM，
∵AM⊥BC，
∴DE⊥BC．
例4 【答案】A
练4.1 【答案】B
例5 【答案】证明：∵∠B = ∠3 −∠1，∠C = ∠4 −∠2，
又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，
∴∠B = ∠C，
∴AB = AC，
即△ABC是等腰三角形．
练5.1 【答案】证明：△DFB是等腰三角形．
理由是：∵DE=DA，
∴∠A=∠AED，
∵∠AED=∠CEF，
∵∠A=∠CEF，
∵∠ACB=∠ECF=90°，
∴∠A+∠B=∠CEF+∠F，
∴∠B=∠F，
∴DB=DF，
∴△DFB是等腰三角形．
3/45
【解析】根据等腰三角形的性质，得出∠A=∠AED，根据对顶角相等得出∠AED=∠CEF，由直角
三角形的两个锐角互余，得出∠B=∠F，则DB=DF，即可证明△DFB是等腰三角形．
练5.2 【答案】解：（1）△DEC是等腰三角形．理由如下：
如图，∵CD平分∠ACB，
∴∠1=∠2．
又∵DE∥AC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴ED=EC，即△DEC是等腰三角形；
（2）∵在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，
∴∠ACB = 180∘ −∠A −∠B = 60∘ ，
∵DE∥AC，
∴∠DEC = 180∘ −∠ACB = 120∘ ，即∠DEC的度数是120°．
【解析】（1）由角平分线的定义、平行线的性质以及等量代换证得∠1=∠3，根据“等角对等边”推
知ED=EC，即△DEC是等腰三角形；
（2）利用三角形内角和定理知∠ACB=60°，然后由“两直线平行，同旁内角互补”来求
∠DEC的度数．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 1 讲 等腰三角形
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】C
【解析】解：∵ AE//BD，
∴ ∠E = ∠DBC = 25∘ ，
∵ AB = AC，
4/45
∴ ∠ABC = ∠ACB，
∵
BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC = 25∘ ，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 50∘ ，
∴ ∠ADB = ∠ACB +∠DBC = 75∘ ，
故选：C．
3 【答案】36∘
4 【答案】C
5 【答案】C
6 【答案】C
7 【答案】B
【解析】 解：根据三角形的内角和定理，得：∠ABE = ∠DCE = 36∘ ，
根据三角形的外角的性质，得
∠AEB = ∠CED = 72∘ ．
再根据等角对等边，得
等腰三角形有ΔAEB，ΔCED，ΔABC，ΔCBD和ΔBEC．
故选：B．
8 【答案】B
9 【答案】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB=AC，
∴BP=PC；
∵AD=AE，
∴DP=PE，
∴BP-DP=PC-PE，
∴BD=CE．
【解析】如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB=AC，
∴BP=PC；
∵AD=AE，
5/45
∴DP=PE，
∴BP﹣DP=PC﹣PE，
∴BD=CE．
10 【答案】解:垂直.
理由:∵在△ABC中,AB = AC,AD是高,
∴ ∠BAD = ∠CAD,
∵ AE = AF,
∴ ∠E = ∠EFA,
∵ ∠BAC = ∠E + ∠EFA = 2∠EFA,
∴ ∠EFA = ∠BAD,
∴ EF // AD,
∵
AD⊥BC,
∴
EF⊥BC.
故EF与BC的位置关系为:垂直
【解析】EF与BC垂直，理由为：由三角形ABC为等腰三角形且AD为底边上的高，利用三线合一得
到AD为角平分线，再由AE=AF，利用等边对等角得到一对角相等，利用外角性质得到一
对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到EF与AD平行，进而确定出EF与BC垂直．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 1 讲 等腰三角形
课堂落实答案
1 【答案】456
【解析】∵AB = AC，BD = 228米，AD⊥BC ，
∴BD = CD，
∴BC = 2BD = 456米．
故填456．
6/45
2 【答案】C
【解析】解：AB=AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，
∴∠BAC=2∠BAD=70°，
1
∴∠C= （180°70°）=55°．
2
故选：C．
3 【答案】B
4 【答案】A
【解析】解：∵∠EBD = 20∘ ，AD = DE = EB．
∴∠EBD = ∠EDB = 20∘ ，∠A = ∠AED．
∵∠AED = ∠EBD+∠EDB = 40∘ ，
∴∠A = 40∘ ．
∵AB = AC，
180∘ −40∘
∴∠ABC = ∠C = = 70∘ ．
2
5 【答案】D
能力提高 / 初二 / 寒假
第 1 讲 等腰三角形
精选精练
1 【答案】D
【解析】解：∵BD = AD
∴∠A = ∠ABD
∵BD = BC
∴∠BDC = ∠C
又∵∠BDC = ∠A +∠ABD = 2∠A
∴∠C = ∠BDC = 2∠A
∵AB = AC
∴∠ABC = ∠C
又∵∠A +∠ABC +∠C = 180∘
7/45
∴∠A +2∠C = 180∘
把∠C = 2∠A代入等式，得∠A +2 ⋅2∠A = 180∘
解得∠A = 36∘ ．
2 【答案】32∘
【解析】设∠BAC = x，则∠BDC = 42∘ +x．
∵CD = CB，
∴∠B = ∠BDC = 42∘ +x．
∵AB = AC，
∴∠ACB = ∠B = 42∘ +x，
∴∠BCD = ∠ACB −∠ACD = x，
∴∠ADC = ∠B +∠BCD = 42∘ +x+x = 42∘ +2x．
∵∠ADC +∠BDC = 180∘ ，
∴42∘ +2x+42∘ +x = 180∘ ，
解得x = 32∘ ，
所以∠BAC═32∘
．
故答案为32．
3 【答案】B
4 【答案】45°
5 【答案】B
6
(1【) 答案】15∘ ；
(2【) 答案】20∘ ；
1
(3【) 答案】∠BAD = 2∠EDC(或∠EDC = ∠BAD)；
2
(4【) 答案】仍成立，理由如下：
∵AD = AE，
8/45
∴∠ADE = ∠AED，
∴∠BAD+∠B = ∠ADC = ∠ADE +∠EDC = ∠AED+∠EDC，
= (∠EDC +∠C)+∠EDC = 2∠EDC +∠C
又∵AB = AC，
∴∠B = ∠C，
∴∠BAD = 2∠EDC，
1
即∠EDC = ∠BAD．
2
能力提高 / 初二 / 寒假
第 2 讲 直角三角形
例题练习题答案
例1 【答案】35
【解析】∵△ ABC中，∠A = 35∘，∠ACB = 90∘
∴ ∠B = 55∘
又∵ CD ⊥ AB
∴ ∠CDB = 90∘
∴ ∠DCB = 35∘
练1.1 【答案】14
练1.2 【答案】解：连接AC，在△ABC中，
–
∵∠B = 90∘ ，AB = 2√3cm，BC = 2cm，
∴AC = 4cm，
在△ACD中，AC2 +CD2 = 42 +32 = 25，
AD2 = 25，
∴AC2 +CD2 = AD2 ，
∴∠ACD = 90∘ ，
∴S ABCD = S △ABC +S △ACD.
1 1
= ×AB ×BC + ×AC ×CD
2 2
1 – 1 –
= ×2√3×2 + ×4 ×3 = (2√3+6)cm2
2 2
9/45
例2 【答案】证明：（1）∵BE⊥CD，
∴∠BEC = ∠DEA = 90∘ ，
在Rt △ BEC与Rt △ DEA中，
BC = DA
，
{BE = DE
∴Rt △ BEC≌Rt △ DEA(HL)；
（2）由（1）知，Rt △ BEC≌Rt △ DEA，
∴∠B = ∠D，
∵∠D+∠DAE = 90∘ ，∠DAE = ∠BAF，
∴∠BAF +∠B = 90∘ ，即DF⊥BC．
练2.1 【答案】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠BFA=90°．
∴DE∥BF，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB = CD
，
{ AF = CE
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）；
（2）在△DEM和△BFM中，
∠DEM = ∠BFM
⎧⎪∠DME
= ∠BMF ，
⎨
DE = BF
⎩⎪
∴△DEM≌△BFM（AAS），
∴MB=MD．
BC = EF
练2.2 【答案】 证明:在Rt △ ABC和Rt △ DEF中,∵ ,
{AC = DF
∴
Rt
△
ABC ≅Rt
△
DEF (HL),
∴ ∠ACB = ∠DFE,
∘
∵ ∠DEF +∠DFE = 90 ,
∘
∴ ∠ACB +∠DFE = 90
10/45
例3 【答案】解：∵AB = AC，∠A = 40∘ ，
∴∠ABC = ∠C = 70∘ ，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA = DB，
∴∠DBA = ∠A = 40∘ ，
∴∠DBC = 30∘ ；
∵AB = AC，AB = 10，DC = 3，
∴BD = DA = 10 −3 = 7．
练3.1 【答案】解：∵在△ABC中，AB = AC，∠A = 48∘ ，
∴∠ABC = ∠ACB = 66∘ ，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AF = BF，∠BDE = 90∘ ，∠ABF = ∠A = 48∘ ，
∴∠BFD = 90∘ −∠ABF = 42∘ ，
∴∠BFE = 138∘ ；
∵AB +BC = 15cm，
∴△ BCF的周长为：
BC +CF +BF = BC +CF +AF = BC +AC
= BC +AB = 15cm．
例4 【答案】如图，连接PA、PB、PC，
由垂直平分线的性质可得，
PA = PB，PA = PC，
故PB = PC，
∴点P也在BC的垂直平分线上．
练4.1 【答案】证明：∵∠ACB = 90∘ ，DE⊥AB，
∴∠ACB = ∠BDE = 90∘ ，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
BE = BE
，
{BD = BC
11/45
∴Rt△BDE≌Rt△BCE，
∴ED = EC，
∵ED = EC，BD = BC，
∴BE垂直平分CD．
例5 【答案】6
【解析】解：过D作DE⊥AB，交AB于点E，
∵∠C = 90∘ ，BD = 10 厘米，BC = 8 厘米，
∴DC = 6厘米，
∵BD平分∠ABC，DC⊥CB，DE⊥BA，
∴DE = DC = 6厘米，
则点D到直线AB的距离是6厘米．
练5.1
(1【) 答案】连接AO，过点O分别做AC，BC，AB的垂线交于点D，E，F；
∵CO平分∠ACB，BO平分∠ABC，
∴OD=OE，OE=OF，
∴OD=OF，
∴点O在∠A的平分线上．
(2【) 答案】连接CD，过点D分别做AM,BC,CN的垂线交于点E,F,G,
∵AD平分∠BAC，BD平分∠MBC,
12/45
∴DE=DF，DE=DG，
∴DF=DG，
∴点D在∠NCB的平分线上．
练5.2 【答案】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE和△CDF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
BD = DC
，
{BE = CF
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE = DF ，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线．
【解析】首先可证明Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），再根据角平分线的逆定理求得AD是△ABC的角平分
线即可．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 2 讲 直角三角形
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】D
3 【答案】解：设线段AD与线段CE的交点为O．
13/45
∵CE⊥AB，AD⊥BC，
∴∠A +∠AOE = 90∘ ，∠C +∠COD = 90∘ ．
又∵∠AOE = ∠COD，
∴∠C = ∠A = 30∘ ．
4 【答案】解：连接AC．
∵∠ABC = 90∘ ，AB=1，BC=2，
−−−−−−−−−−
–
∴AC = AB2 +BC2 = √5，
√
在△ACD中，AC2 +CD2 = 5 +4 = 9 = AD2 ，
∴△ACD是直角三角形，
1 1
∴S
ABCD
= AB ⋅BC + AC ⋅CD，
2 2
1 1 –
= ×1 ×2 + ×√5×2，
2 2
–
= 1 +√5．
–
故四边形ABCD的面积为1 +√5．
【解析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形
状，再利用三角形的面积公式求解即可．
5 【答案】证明：∵BF = AC，FD = CD，AD⊥BC，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），
∴∠C =∠BFD，
∵∠DBF +∠BFD =90∘ ，
∴∠C +∠DBF =90∘ ，
在△BEC中，
∵∠C +∠CBE +∠BEC =180∘ ，
∴∠BEC =90∘ ，即BE⊥AC．
14/45
【解析】由题中条件可得Rt△BDF≌Rt△ADC，得出对应角相等，再通过角之间的转化，进而可得出
结论．
6 【答案】C
【解析】解：∵∠ABC=90°，∠C=20°，
∴∠BAC=70°，
∵DE是边AC的垂直平分线，
∴EC=EA，
∴∠EAC=∠C=20°，
∴∠BAE=∠BAC∠EAC=50°，
故选：C．
7 【答案】C
8 【答案】C
9 【答案】证明：连接AD，
在△ACD和△ABD中，
AC = AB
⎧⎪CD
= BD，
⎨
AD = AD
⎩⎪
∴△ACD≌△ABD（SSS），
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴DE=DF．
【解析】连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到
∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得
证．
10 【答案】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
∠BAD = ∠CAD
⎧∠ABD = ∠ACD，
⎨
AD = AD
⎩
15/45
∴△ABD≌△ACD（AAS）
∴∠BDA = ∠CDA，BD=CD
∵∠BDA+∠CDA=180∘
∴∠BDA = ∠CDA=90∘
∴AD⊥BC
又∵BD=CD
∴AD是线段BC的垂直平分线．
∵点P在直线AD上，
∴PB = PC．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 2 讲 直角三角形
课堂落实答案
1 【答案】C
【解析】解：∵∠BAC=90°
∴∠B+∠C=90°①；
∠BAD+∠CAD=90°②；
又∵AD⊥BC，
∴∠BDA=∠CDA=90°，
∴∠B+∠BAD=90°③；
∠C+∠CAD=90°④．
故共4对．
故选：C．
2 【答案】解：在△ABD中，
∵AB = 13，AD = 12，BD = 5，
∴AD2 +BD2 = 122 +52 = 132 = AB2 ，
∴∠ADB = 90∘ ，
∴∠ADC = 90∘ ，
∴在Rt△ADC中，
∴AC2 = AD2 +CD2 = 122 +92 = 225，
16/45
∴AC = 15．
3 【答案】C
4 【答案】D
【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA = DC，AE = CE = 5，
而△ABD的周长是16，即AB +BD+AD = 16，
∴AB +BC +AC = AB +BD+CD+AC = 16 +10 = 2，6
即△ABC的周长是26．
5 【答案】55
【解析】解：∵QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，QC = QD，
∴OQ是∠AOB的平分线，
∵∠AOB = 70∘ ，
1
∴∠AOQ = ∠AOB = 35∘ ，
2
∴∠CQO = 90∘ −35∘ = 55∘
故答案为55°．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 2 讲 直角三角形
精选精练
29
1 【答案】
5
2 【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC = AB = 8cm，AD = BC = 10cm，
折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF = AD = 10cm，DE = EF，
−−−−−−−−−− −−−−−−−
在Rt△ABF中，BF = √AF2 −AB2 = √102 −82 = 6cm，
∴FC = BC −BF = 4cm，
设EC = x，则DE = EF = 8 −x，
∴在Rt△EFC中，
EC2 +FC2 = EF2 ，
17/45
∴x2 +42 = (8 −x) 2 ，解得x = 3，
∴EC的长为3cm．
3 【答案】A
【解析】解：∵点P到AE，AD的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上，①正确；
∵点P到AE，BC的距离相等，
∴点P在∠CBE的平分线上，②正确；
∵点P到AD，BC的距离相等，
∴点P在∠BCD的平分线上，③正确；
∴点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，④正确，
故选：A．
4 【答案】在△BPQ和△CQR中，
BP = CQ
⎧∠B = ∠C
⎨
BQ = CR
⎩
∴△BPQ≌△CQR（SAS），
∴PQ = QR，
∴点Q在PR的垂直平分线上.
5 【答案】(1)∠ABC = ∠ACB；
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC = ∠CEB = 90∘ ，
在Rt△CDB和Rt△BEC中，
CD = BE
，
{CB = BC
Rt△CDB≌Rt△BEC (HL),
∴∠ABC = ∠ACB．
(2)证明：∵∠ABC = ∠ACB，
∴AB = AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
由（1）可知Rt△BEC≌Rt△CDB，
∴∠FBC = ∠FCB，
∴FB = FC，
∴点F在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AF垂直平分线段BC．
18/45
6
(1【) 答案】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF．
在Rt △ ADE和Rt △ ADF中，
∵DE = DF，AD = AD，
∴Rt △ ADE≌Rt △ ADF（HL），
∴AE = AF；
(2【) 答案】连接DB，DC，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF，
∵DG⊥BC且平分BC于点G，
∴DB = DC，
在Rt △ BDE和Rt △ CDF中，
DE = DF
，
{BD = CD
∴Rt △ BDERt △ CDF（HL），
∴BE = CF；
(3【) 答案】由（1）知△ ADE △ ADF，
由（2）知知BE = CF，
∴AE = AB −BE，
AF = AC +CF，
而AE = AF，BE = CF，
∴2AE = AC +AB = 8 +12 = 20，
∴AE = 10．
【解析】
能力提高 / 初二 / 寒假
19/45
第 3 讲 不等式（组）初步
例题练习题答案
例1 【答案】D
练1.1 【答案】①②⑤⑥
【解析】解：①−3 < 0是用不等号连接的式子，故是不等式；
②4x+3y > 0是用不等号连接的式子，故是不等式；
③x = 3是等式，故不是不等式；
④x2 −y +1不含有不等号，故不是不等式；
⑤x ≠ 5是用不等号连接的式子，故是不等式；
⑥x−3 < y +2是用不等号连接的式子，故是不等式．
故答案为：①②⑤⑥．
例2 【答案】解：（1）2x > 1;
（2）a−b ≥ 0;
（3）2a+7 < −2.
1
练2.1 【答案】 解：（1） x−6 > 2
5
2
（2） y +4 < x
3
1
（3）3a− b ≥ 0
2
（4）30%(x+5) ≤ −2
【解析】注意符号：
“大于”→“＞”
“小于”→“＜”
“非负数”→“≥0”
“不大于”→“≤”
例3
(1【) 答案】D
(2【) 答案】B
练3.1
(1【) 答案】2、3、4
20/45
(2【) 答案】＞
例4 【答案】（1）如图所示；
；
（2）如图所示．
．
练4.1 【答案】
解：（1） ；
（2） ；
（3） .
练4.2 【答案】例如x < −1（答案不唯一）
例5 【答案】A
练5.1 【答案】A
练5.2 【答案】C
【解析】A、两边都乘以−1，不等号的方向改变，故A不符合题意；
B、c < 0时，不等号的方向改变，故B不符合题意；
C、两边都乘以正数，不等号的方向不变，故C符合题意；
D、0 > a > b，a2 > b2 ，故D不符合题意；
故选：C．
例6 【答案】a＜0
【解析】解：由x＜y得到ax＞ay是两边同时乘以a，不等号的方向发生了改变，因而a＜0．
练6.1 【答案】m < 2
【解析】解：∵若x > y，且(m−2)x < (m−2)y，
∴m−2 < 0，则m < 2；
故答案为m < 2．
练6.2 【答案】a > 1
【解析】解：若x > y，且(a−1)x > (a−1)y，
由不等式的性质2，可得：a−1 > 0，则a > 1
例7
(1【) 答案】根据不等式性质1，不等式两边都减去2，不等号的方向不变，得x > 1；
5
(2【) 答案】 根据不等式性质2，不等式两边同时除以2，不等号的方向不变，得x ≤ ；
2
21/45
(3【) 答案】根据不等式性质3，不等式两边同时除以−3，不等号方向改变，得x ≤ −2；
(4【) 答案】根据不等式性质1，不等式两边都减去x，不等号的方向不变，得3 ≥ x，即
x ≤ 3．
练7.1
(1【) 答案】根据不等式性质1，不等式两边同加2，不等号方向不变，得3x < 2，根据不等式性
2
质2，不等式两边同除以3，得x < ；
3
1
(2【) 答案】 根据不等式性质1，不等式两边同减3，不等号方向不变，得− x > 2，根据不等式
2
1
性质3，不等式两边同除以− ，得x < −4．
2
能力提高 / 初二 / 寒假
第 3 讲 不等式（组）初步
自我巩固答案
1 【答案】B
【解析】解：A、2x ≠ 1是不等式，故A不符合题意；
B、3x2 −2x+1是代数式，不是不等式，故B符合题意；
C、−3 < 0是不等式，故C不符合题意；
D、3x−2 ≥ 1是不等式，故D不符合题意；
故选：B．
2 【答案】D
1
【解析】 “x与5的和的一半”即“ (x+5)”
2
“是负数”即“＜0”
1
∴ (x+5) < 0
2
故选D
3 【答案】A
4 【答案】A
5 【答案】C
【解析】向右的空心点用＞号表示．
22/45
6 【答案】A
【解析】解：将a > b两边都加上2，知a+2 > b+2，
故选：A．
7 【答案】D
【解析】A、∵a＜b，
∴a+5＜b+5，故本选项错误；
B、∵a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，故本选项错误；
C、∵a＜b，
3 3
∴ a＜ b，故本选项错误；
2 2
D、∵a＜b，
∴7a＜7b，
∴7a﹣7b＜0，故本选项正确．
8 【答案】B
9 【答案】（1）x > 5
17
（2）x > −
2
【解析】解：
（1）两边都减3x，得x > 5；
17
（2）两边都除以-2，得x > − ．
2
10 【答案】−2m−1 > −2n −1
能力提高 / 初二 / 寒假
第 3 讲 不等式（组）初步
课堂落实答案
1 【答案】D
2 【答案】C
【解析】A、a不是负数，可表示成a ≥ 0，故本选项错误；
B、x不大于3，可表示成x ≤ 3，故本选项错误；
C、m与4的差是负数，可表示成m−4 < 0，故本选项正确；
23/45
D、x与2的和是非负数，可表示成x+2 ≥ 0，故本选项错误．
故选：C．
3 【答案】x ≤ 1
4 【答案】D
【解析】∵a < b，
∴a−2b < b−2b，
即a−2b < −b，
故选：D．
5 【答案】<
能力提高 / 初二 / 寒假
第 3 讲 不等式（组）初步
精选精练
1 【答案】C
【解析】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以①3 > 0；②
4x+5 > 0；⑤x ≠ −4，⑥x+2 < x+1共有4个．
故选：C．
2 【答案】x2 +y2 ≥ 0．
【解析】由x与y的平方和一定是非负数，得：
x2 +y2 ≥ 0，
故答案为：x2 +y2 ≥ 0．
3 【答案】<
4 【答案】<
5 【答案】解：（1）①<；②=；③>.
（2）比较a，b两数的大小：如果a与b的差大于0，则a大于b；如果a与b的差等于0，则a
等于b；如果a与b的差小于0，则a小于b．
（3）(3x2 −3x+7)−(4x2 −3x+7) = −x2 ≤ 0 ，
∴3x2 −3x+7 ≤ 4x2 −3x+7．
6 【答案】解：4 +3a2 −2b+b2 −(3a2 −2b+1)= b2 +3 > 0，
∴4 +3a2 −2b+b2 > 3a2 −2b+1．
24/45
能力提高 / 初二 / 寒假
第 4 讲 一元一次不等式
例题练习题答案
例1 【答案】B
【解析】解：A、是不等式但不是一元一次不等式，故A错误；
B、是一元一次不等式，故B正确；
C、是分式不等式，故C错误；
D、是二元一次不等式，故D错误．
故选：B．
练1.1 【答案】D
练1.2 【答案】D
【解析】解：①7 > 4，不含有未知数，所以不是一元一次不等式；故本选项错误；
②3x ≥ 2π +1，符合一元一次不等式的定义；故本选项正确；
③x+y > 1，含有两个未知数所以不是一元一次不等式；故本选项错误；
④x2 +3 > 2x，未知数的最高次数是2，所以不是一元一次不等式；故本选项错误；
1
⑤ > 4，是分式不等式；故本选项错误；
x
综上所述，只有②3x ≥ 2π +1是一元一次不等式，
故选：D．
例2 【答案】B
【解析】解：∵3xm−1
−2 > 1是关于x的一元一次不等式，
∴ m−1 = 1，
则m = 2．
故选：B．
练2.1 【答案】1
【解析】解：∵(m+1)x|m| > 2是关于x的一元一次不等式，
∴m+1 ≠ 0，|m| = 1，
解得：m = 1．
练2.2 【答案】A
25/45
【解析】解：根据题意|m|−3 = 1，m+4 ≠ 0，解得：|m| = 4，m ≠ −4，
所以m = 4．
故选：A．
例3 【答案】解：（1）x+x ≤ 7 −3，2x ≤ 4，x ≤ 2；
（2）5x−6x > 4 +1，−x > 5， x < −5；
（3）3x−2 ≥ 4 +2x−4，3x−2x ≥ 4 −4 +2，x ≥ 2；
（ 4 ） 3x+3 < 4x−8 −5， 3x−4x < −8 −5 −3， −x < −16 ， 所 以
x > 16．
练3.1
(1【) 答案】解：x+2x ≤ 3 +6，3x ≤ 9，x ≤ 3，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
(2【) 答案】解：5x > 2x−16 +10，5x−2x > −16 +10，3x > −6，x > −2，
解集在数轴上表示为：
练3.2 【答案】B
【解析】2(x−1) ≥ 3x−3，2x−2 ≥ 3x−3，2x−3x ≥ −3 +2，
−x ≥ −1，x ≤ 1，
故选：B．
例4
(1【) 答案】D
【解析】解：去分母得2(x+2) > 6 −3(x−3)．
故选：D．
(2【) 答案】C
【解析】解：由题意知，原解题过程中去分母、去括号和系数化为1这3步出现错误，
故选：C．
练4.1 【答案】解：（1）去分母得：2(x−2) < 8 −x，
去括号得：2x−4 < 8 −x，
移项合并得：3x < 12，
26/45
系数化为1，得：x < 4．
（2）去分母得：5x > 10 −2(x−2)
去括号得：5x > 10 −2x+4，
移项合并得：7x > 14，
系数化1，得：x > 2．
（3）去分母得：2(2x−1)−(9x+2) ≤ 6，
去括号得：4x−2 −9x−2 ≤ 6，
移项合并得：−5x ≤ 10，
解得：x ≥ −2．
练4.2 【答案】（1）解：4x−1 −3x > 3，
4x−3x > 3 +1，
x > 4，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
（2）解：2(x+2)−5(x−2) ≥ 20，
2x+4 −5x+10 ≥ 20，
2x−5x ≥ 20 −4 −10，
−3x ≥ 6，
x ≤ −2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
例5 【答案】解：不等式移项合并得：−2x > −8，
解得：x < 4，
则不等式的最大整数解为3，
故答案为：3
练5.1 【答案】C
【解析】解：3(x−2) ≤ 5 −x，
3x−6 ≤ 5 −x，
3x+x ≤ 5 +6，
4x ≤ 11，
11
x ≤ ，
4
27/45
所以不等式3(x−2) ≤ 5 −x的非负整数解有0，1，2，共3个，
故选：C．
练5.2 【答案】解：5(x+2) > 8x−8，
5x+10 > 8x−8，
5x−8x > −8 −10，
−3x > −18，
x < 6，
∴它的正整数解是1，2，3，4，5．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 4 讲 一元一次不等式
自我巩固答案
1 【答案】D
【解析】解：A选项中不等式的左边有分式，是分式不等式；所以A选项错误；
B选项中x的次数不是1而是2，未知数的最高次数是2，所以不是一元一次不等式，所以B
选项错误；
C选项中含有两个未知数，所以不是一元一次不等式，所以C选项错误；
D选项符合一元一次不等式的定义，所以D正确．
故选：D．
2 【答案】B
【解析】解：
（1）−x ≥ 5，符合一元一次不等式的定义；故本选项正确；
（2）y −3x < 0，含有两个未知数所以不是一元一次不等式；故本选项错误；
x
（3） +5 < 0，符合一元一次不等式的定义；故本选项正确；
π
（4）x2 +x ≠ 3，未知数的最高次数是2，所以不是一元一次不等式；故本选项错误；
3
（5） +3 ≤ 3x，是分式不等式；故本选项错误；
x
（6）x+2 < 0，符合一元一次不等式的定义；故本选项正确.
综上所述，只有（1）（3）（6）是一元一次不等式
故选：B．
28/45
3 【答案】B
【解析】解：根据题意，得2a+3 = 1，解得a = −1．
故选B．
4 【答案】A
|3 −m| = 1
【解析】
解：由一元一次不等式的定义可知： ，解得：m = 4．
{m−2 ≠ 0
故选A．
5 【答案】（1）解：−3x+2x ≤ −2，
−x ≤ −2，
x ≥ 2．
（2）解：x+3x > 6 −2，
4x > 4，
x > 1．
（3）解：去括号，得：5x−1 < 3x+3，
移项，得：5x−3x < 3 +1，
合并同类项，得：2x < 4，
系数化成1得：x < 2．
（4）解：去括号得4x−2 −5x+1 ≥ 1，
移项得4x−5x ≥ 1 +2 −1，
合并得−x ≥ 2，
系数化为1得x ≤ −2．
6 【答案】解：2(x−1) < 3(x+1)−2，
2x−2 < 3x+3 −2，
∴x > −3，
解集在数轴上表示为： ．
【解析】首先去掉括号，然后移项、合并同类项，最后化系数为1即可求解．
7 【答案】解：（1）2(4 +x) > 3x，
8 +2x > 3x，
2x−3x > −8，
−x > −8，
x < 8．
（2）2(2x−1)−6 ≤ 3x−4，
29/45
4x−2 −6 ≤ 3x−4，
4x−3x ≤ −4 +2 +6，
x ≤ 4．
8 【答案】解：3(x+3)−5(x−1) > 8，
3x+9 −5x+5 > 8，
3x−5x > 8 −9 −5，
−2x > −6，
x < 3．
将解集表示在数轴上如下：
9 【答案】B
10 【答案】B
3
【解析】 解：根据题意列不等式得4x− ≤ 3x+5，
2
13
解得x ≤ ，
2
所以x的最大整数值是6．
故选：B．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 4 讲 一元一次不等式
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】B
【解析】解：根据题意2m−1 = 1，解得m = 1．
故选：B．
3 【答案】D
【解析】解：去括号得：2x+2 < 3x
移项，合并同类项得：−x < −2即x > 2．
故选：D．
4 【答案】A
30/45
5 【答案】1，2
【解析】解：2x > 5x−9，
移项得：2x−5x > −9，
合并同类项得：−3x > −9，
不等式的两边都除以−3得：x < 3，
∴不等式的正整数解是1，2．
故答案为：1，2．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 4 讲 一元一次不等式
精选精练
1 【答案】D
1
【解析】 解：A、 x−y < 1，含有两个未知数，故此选项错误；
3
B、x2 +5x−1 ≥ 0，未知数的次数为2，故此选项错误；
1
C、 > 3是分式不等式，故此选项错误；
x
1 1
D、 x < −x，是一元一次不等式．
2 3
故选：D．
2
【答案】解：∵(m−2)xm2−3
−2 ≥ 7是关于x的一元一次不等式，
∴ m2 −3 = 1，且m−2 ≠ 0．
解得m = −2．
故答案为：m = −2．
3 【答案】x > 1
【解析】解：2 ⊕(2x−1) < 1，
2 +2x−1 −2(2x−1) < 1，
2 +2x−1 −4x+2 < 1，
−2x < 1 −2 +1 −2，
−2x < −2，
x > 1，
故答案为：x > 1．
31/45
4
(1【) 答案】解：去括号，得：2x−2 +2 < 5 −3x−3，
移项，得：2x+3x < 5 −3 +2 −2，
合并同类项，得：5x < 2，
2
系数化为1，得：x < ；
5
(2【) 答案】解：去分母，得：3 −(x−1) ≤ 2x+3 +3x，
去括号，得：3 −x+1 ≤ 2x+3 +3x，
移项，得：−x−2x−3x ≤ 3 −3 −1，
合并同类项，得：−6x ≤ −1，
1
系数化为1，得：x ≥ ．
6
5 【答案】C
x−2 x+1
【解析】 解： +1 ≤ ，
2 3
3(x−2)+6 ≤ 2(x+1)
3x−6 +6 ≤ 2x+2，
3x−2x ≤ 2，
x ≤ 2，
∵x是正整数，
∴x的值是1，2．
6 【答案】解：错误的步骤有①②⑤，
正确解答过程如下：
去分母，得：3(1 +x)−4(x−1) ≥ 12，
去括号，得：3 +3x−4x+4 ≥ 12，
移项，得：3x−4x ≥ 12 −3 −4，
合并同类项，得：−x ≥ 5，
系数化为1，得：x ≤ −5．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 5 讲 因式分解的概念及基本解法
32/45
例题练习题答案
例1
(1【) 答案】×；×；√；×．
(2【) 答案】D
【解析】∵2x2 −mx因式分解为2x(x+2)，
∴2x2 −mx = 2x(x+2) = 2x2 +4x，
故−m = 4，
解得：m = −4．
练1.1 【答案】C
练1.2 【答案】C
【解析】(x−2)(x+3) = x2 +x−6，
∵x−2和x+3是多项式x2 +mx+n仅有的两个因式，
∴m = 1，n = −6，
∴mn = 1 ×(−6) = −6．
例2
(1【) 答案】C
(2【) 答案】A
练2.1
(1【) 答案】B
(2【) 答案】A
例3 【答案】B
练3.1 【答案】y(x−y)
【解析】多项式xy(x−y)与y(x−y) 2 的公因式是y(x−y)
练3.2
(1【) 答案】D
【解析】将3x(a−b)−9y(b−a) = 3x(a−b)+9y(a−b因)式分解，应提的公因式
是3(a−b)．
例4 【答案】3xy(4x−5y)
1
练4.1 【答案】 ma(m+5)
5
33/45
例5
(1【) 答案】3(x−2)(2x+1)
(2【) 答案】(x−1)(x+2)
练5.1
1
(1【) 答案】 c(a+b)(a+b+2c)
2
(2【) 答案】(1 −a)
练5.2
(1【) 答案】原式= 6(x−y) 3 −4(x−y) 2 ，
= 2(x−y) 2 [3(x−y)−2]，
＝2(x−y) 2 (3x−3y −2)．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 5 讲 因式分解的概念及基本解法
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】C
3 【答案】C
【解析】解：∵(x+2)(2x−1)−(x+2)可以因式分解成2(x+m)(x+n)，
∴(x+2)(2x−1)−(x+2) = (x+2)(2x−2) = 2(x+2)(x−1)，
= 2(x+m)(x+n)
故m = 2，n = −1或m = −1，n = 2，
则m−n = 3或m−n = −1 −2 = −3．
4 【答案】C
5 【答案】D
6 【答案】B
【解析】b2(x−3)+b(x−3)，
= b(x−3)(b+1)．
故选：B．
34/45
7 【答案】A
8 【答案】A
1 1
【解析】 ∵− a2b−ab2 = − ab(a+2b)，
2 2
1
∴− a2b−ab2 提公因式后，另一个因式是：a+2b．
2
9 【答案】3x3y −6x2y +3xy2 = 3xy(x2 −2x+y)
10 【答案】根据题意，可得a+b = 5，ab = 6，
∴a3b2 +a2b3 = a2b2(a+b) = (ab) 2 (a+b) = 36 ×5 = 18．0
能力提高 / 初二 / 寒假
第 5 讲 因式分解的概念及基本解法
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】A
3 【答案】C
4 【答案】A
5 【答案】C
【解析】m2 (a−2)+m(2 −a) = m2 (a−2)−m(a−2) = m(a−2)(m−．1)
能力提高 / 初二 / 寒假
第 5 讲 因式分解的概念及基本解法
精选精练
1 【答案】C
2 【答案】25
【解析】x2 −3xy −15y = x(x−3y)−15y = 5x−15y
= 5(x−3y) = 5 ×5 = 25
3 【答案】（1）原式= 3a(x−y)+5b(x−y)
= (3a+5b)(x−y)
35/45
（2）原式= 10a(y −x) 2 +5ax(y −x)
= 5a(y −x)[2(y −x)+x]
= 5a(y −x)(2y −x)
4 【答案】(a+b−1) 2
【解析】(a+b)(a+b−1)−a−b+1 = (a+b)(a+b−1)−(a+b−1)
= (a+b−1) 2
5 【答案】解：（1）提公因式，2；
（2）2012，(x+1) 2013 ；
（3）1 +x+x(x+1)+x(x+1) 2 +…+x(x+1) n
= (1 +x) 1 +x+x(x+1)+x(x+1) 2 +…+x(x+1) n−1
[ ]
= (1 +x) 2 1 +x+x(x+1)+x(x+1) 2 +…+x(x+1) n−2
[ ]
= (1 +x) n+1 ．
6 【答案】（1）原式= 2a(x−5y)−b(x−5y)
= (2a−b)(x−5y)
（2）原式= 3k(2k+3m)−2n(2k+3m)
= (3k−2n)(2k+3m)
能力提高 / 初二 / 寒假
第 6 讲 因式分解进阶
例题练习题答案
例1 【答案】(3m+1)(3m−1)
【解析】9m2 −1 = (3m) 2 −1 = (3m+1)(3m−1 )
1 1
练1.1 【答案】 （1）原式=(2 − x)(2 + x)
3 3
4 1 4 1
（2）原式=( x− y)( x+ y)
5 2 5 2
例2 【答案】A
练2.1
(1【) 答案】D
(2【) 答案】D
练2.2 【答案】（1）
36/45
原式 = [(x+p)+(x+q)][(x+p)−(x+q)]
= (2x+p+q)(p−q)
（2）
原式 = [(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)−(x+2y)]
= 3(x+y)(x−y)
例3
(1【) 答案】199
(2【) 答案】9800
例4 【答案】（1）(x−9) 2 （2）(4x+3) 2
练4.1 【答案】（1）(a−b) 2 （2）(ab−3) 2
例5 【答案】C
【解析】解：(x−1) 2 −2(x−1)+1 = (x−1 −1) 2 = (x−2) 2 ．
故选：C．
练5.1 【答案】（1）(2x+2y −5) 2 （2）(x+8) 2
例6 【答案】（1）原式= 2(x+2)(x−2)
（2）原式(x−y)(a+b)(a−b)
（3）原式= 3a(x+y) 2
（4）原式= 3y(x−3y)2
练6.1
(1【) 答案】原式= 9x2 (a−b)−y2(a−b) = (a−b)(3x+y)(3x−y)
(2【) 答案】a3b+2a2b2 +ab3 = ab(a2 +2ab+b2) = ab(a+b)． 2
当a+b = 4，ab = −6，原式= −6 ×16 = −96．
能力提高 / 初二 / 寒假
第 6 讲 因式分解进阶
自我巩固答案
1 【答案】D
【解析】原式=(2x+1 −x)(2x+1 +x)
= (x+1)(3x+1)
37/45
故选D
2 【答案】C
3 【答案】C
4 【答案】C
【解析】原式= (x2 −y2 )(a2 −b2 )= (x−y)(x+y)(a−b)(a+b，) 所以信息为“爱我
中华”，故选C．
5 【答案】D
6 【答案】B
7 【答案】C
8 【答案】B
9 【答案】（1）原式=(x−7y) 2
（2）原式=(4x−4y −3) 2
10 【答案】（1）3a(x−y) 2 （2）−ab(2x−1) 2
能力提高 / 初二 / 寒假
第 6 讲 因式分解进阶
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】（1）原式 = 2a(m2 −n2 ) = 2a(m+n)(m−n)
（ 2 ）
原式 = [(m+n)+2(m−n)][(m+n)−2(m−n)] = (3m−n)(3n −m)
3 【答案】 (2a+1) 2
4 【答案】 ±10
5 【答案】 原式=(a−5b) 2
能力提高 / 初二 / 寒假
第 6 讲 因式分解进阶
38/45
精选精练
1 【答案】4(2a−b)(a−2b)
【解析】原式= (3a−3b) 2 −(a+b) 2
= (3a−3b+a+b)(3a−3b−a−b)
= (4a−2b)(2a−4b)
= 4(2a−b)(a−2b)
n +1
2 【答案】
2n
3 【答案】解：（1）6xy2 −9x2y −y3
= −y(y2 −6xy +9x2 )
= −y(3x−y) 2 ；
（2）(p−4)(p+1)+3p
= p2 −3p−4 +3p
= (p+2)(p−2)．
【解析】（1）直接提取公因式−y，进而运用完全平方公式得出答案；
（2）直接去括号，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
4 【答案】由题意得：|a+2|+(a−2b) 2 = 0
∴a = −2，b = −1
5 【答案】a(a+b−c) 2
6 【答案】原式 = (x−y) 2 +4(x−y)+4
= (x−y +2) 2
能力提高 / 初二 / 寒假
第 7 讲 阶段自检
期末试卷答案
1 【答案】A
2 【答案】A
【解析】在RtΔABC中，∠C = 90∘ ，AB = 3，AC = 2，
−−−−−−−−−−
−−−−−− –
∴ BC = AB2 −AC2 = √32 −22 = √5，
√
故选：A．
3 【答案】B
39/45
4 【答案】B
5 【答案】C
【解析】化简(a+b) 2 = c2 +2ab，得，a2 +b2 = c2 所以三角形是直角三角形，
故选：C．
6 【答案】D
【解析】解：A．若a > b，不等式两边同时加上3得：a+3 > b+3，即A项正确，
B．若a < b，不等式两边同时乘以−1得：−a > −b，即B项正确，
1
C．若− x < y，不等式两边同时乘以−2得：x > −2y，即C项正确，
2
1 1
D．若−2x > a，不等式两边同时乘以− 得：x < − a，即D项错误．
2 2
7 【答案】B
【解析】解：∵AD是△ABC的中线，AB = AC，∠CAD = 20∘ ，
1
∴∠CAB = 2∠CAD = 40∘ ，∠B = ∠ACB = (180∘ −∠CAB) = 70∘ ．
2
∵CE是△ABC的角平分线，
1
∴∠ACE = ∠ACB = 35∘ ．
2
8 【答案】D
【解析】解：∵AB = AC，∠BAC = 100∘ ，
∴∠B = ∠C = (180∘ −100∘)÷2 = 40∘ ，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE = BE，
∴∠BAE = ∠B = 40∘ ．
9 【答案】C
【解析】解：①若|a| > |b|，则a > b逆命题是若a > b，则|a| > |b|，如果a = 1，b = −3，
则不成立，是假命题；
②若a+b = 0，则|a| ≠ |b|逆命题是若|a| ≠ |b|，则a+b = 0，也可能a = b > 0，
是假命题；
③等边三角形的三个内角都相等逆命题是三个内角都相等的三角形是等边三角形，是真命
题．
④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题是到线段两端的距离相等的点在
线段垂直平分线上，是真命题．
10 【答案】B
【解析】解：①∵D是BC的中点，AB = AC，
∴AD⊥BC，故①正确；
40/45
②∵F在AE上，不一定是AE的中点，AC = CE，
∴无法证明CF⊥AE，故②错误；
③无法证明∠1 = ∠2，故③错误；
④∵D是BC的中点，
∴BD = DC，
∵AB = CE，
∴AB +BD = CE +DC = DE，故④正确．
故其中正确的结论有①④，共两个．
11 【答案】<
12 【答案】x(x+y)(x−y)
13 【答案】x < −1
14 【答案】4
1
【解析】 解：∵ (m+4)x|m|−3 +6 > 0是关于x的一元一次不等式，
2
1
∴|m|−3 = 1且 (m+4) ≠ 0，
2
解得：m = 4．
15 【答案】18m
【解析】旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂
直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
−−−−−−−
根据勾股定理，折断的旗杆为√122 +52 = 13m，
所以旗杆折断之前高度为13 +5 = 18m．
16 【答案】35
【解析】解：∵DE⊥AC，AD = CD，
∴DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA = EC，
∴∠EAC = ∠ECA，
由题意得，∠EAC +∠ECA +∠BAE = 90∘ ，
解得，∠C = 35∘ ．
17 【答案】35∘
【解析】过点E作EF⊥AD于F，
∵DE平分∠ADC，
∴CE = EF，
41/45
∵E是BC的中点，
∴CE = BE，
∴BE = EF，
∴AE是∠BAD的平分线，
∵∠CED = 35∘ ，
∴∠AEB = 90∘ −∠CED = 90∘ −35∘ = 55∘ ，
∵∠B = 90∘ ，
∴∠EAB = 90∘ −55∘ = 35∘ ．
故答案为：35∘
．
18 【答案】①②③④
【解析】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
AD = AD
，
{DE = DF
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，∠EDA=∠FDA，∴①正确；
∵AB=AC，AE=AF，
∴BE=CF，∴②正确；
∵在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴AD上的点到B、C两点的距离相等，∴③正确；
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD上的点到AE、AF距离相等，
∵∠EDA=∠FDA，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD上的点到DE、DF距离相等，∴④正确；
故答案为：①②③④．
19 【答案】解：（1）4m2 −1 = (2m−1)(2m+1)；
（2）9ab2 −6ab+a
42/45
= a(9b2 −6b+1)
= a(3b−1) 2
【解析】
20 【答案】解：（1）3 −3x ≥ 2x+9
−5x ≥ 6
6
x ≤ − ；
5
（2）x−3(x−1) < 8 −x
x−3x+3 < 8 −x
−x < 5
x > −5
a−b = 3
21 【答案】
解：依题意可知： ，
{a+b = 2
则a2 −b2 = (a−b)(a+b) = 6．
22 【答案】解 ： （ 1 ）
– – – – – – –
2
(−2)※√3 = (−2) ×√3−(−2)×√3−3√3 = 4√3+2√3−3√3；
–
= 3√3
（2）3※m ≥ −6，
则32m−3m−3m ≥ −6，
解得：m ≥ −2，
将解集表示在数轴上如下：
【解析】
23 【答案】解：（1）∵DE、FG分别垂直平分AB、AC，
∴EA=EB，FA=FC，
∴∠EBA=∠EAB，∠FAC=∠FCA．
设∠EBA=∠EAB=α，∠FAC=∠FCA=β，
∵∠BAC=140°，
∴α+β=40°，
∴∠BAE+∠FAC=40°，
∴∠EAF=140°-40°=100°；
（2）△AEF的周长=AE+AF+EF=BE+EF+FC=BC=38-22=16cm．
【解析】（1）∵DE、FG分别垂直平分AB、AC，
∴EA＝EB，FA＝FC，
43/45
∴∠EBA＝∠EAB，∠FAC＝∠FCA．
设∠EBA＝∠EAB＝α，∠FAC＝∠FCA＝β，
∵∠BAC＝140°，
∴α＋β＝40°，
∴∠BAE＋∠FAC＝40°，
∴∠EAF＝140°－40°＝100°；
（2）△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝BE＋EF＋FC＝BC＝38－22＝16cm．
24 【答案】∵AB = AC，AD是BC边上的中线
∴∠BAD = ∠CAD，AD⊥BC
∴∠ADC = 90∘
∴∠C +∠CAD = 90∘
又∵BE⊥AC于点E
∴∠BEC = 90∘
∴∠C +∠CBE = 90∘
∴∠CAD = ∠CBE
∴∠CBE = ∠BAD．
【解析】∵AB = AC
AD是BC边上的中线
∴AD⊥BC
∠BAD = ∠CAD
∴∠CAD+∠C = 90∘
∵BE⊥AC
∴∠CBE +∠C = 90∘
∴∠CBE = ∠CAD
∴∠CBE = ∠BAD.
25 【答案】解：如图，连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
44/45
CD = BD
，
{DF = DE
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=6，AC=3，
∴BE=1.5．
【解析】首先连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，
DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可
得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．
26 【答案】等边三角形
27 【答案】解：如图所示：
– – –
①AB = AC，C(−2√2，0)（舍去），(2√2，0)（舍去），(0,−2√2)（舍
–
去），(0，2√2)（舍去）；
②BA = BC，C((0,−4)，(4,0)；
③CA = CB；C((0,−2)，(2,0)．
综上所述，符合条件的点C坐标为(0,−4)或(4,0)或(0,−2)或(2,0)．
【解析】分三种情况：①AB = AC；②BA = BC；③CA = CB；进行讨论即可求解．
45/45
