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专题2 二次根式化简求值技巧（解析版）
第一部分 典例精析+变式训练
类型一 利用二次根式的性质 =|a|化简
√ 1
典例1 （2022春•郯城县期末）化简二次根式-x - 的正确结果是（ ）
x
A．√-x B．√x C．-√x D．-√-x
思路引领：根据二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简进行计算即可．
解：由题意可知，x＜0，
√-x
原式＝﹣x• =√-x，
-x
因此选项A是正确的，
应选：A．
总结提升：本题考查二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件以及
化简方法是得出正确答案的前提．
变式训练
1
1．已知a= ，求√a2-2a+1的值．
√3+2
思路引领：先将a的值分母有理化，判断出a﹣1的符号，继而根据二次根式的性质求解可得．
1 2-√3 2-√3
解：∵a = = = = 2-√3，
√3+2 (2+√3)(2-√3) 4-3
∴a﹣1＝2-√3-1＝1-√3＜0，
∴原式
=√(a-1) 2
＝|a﹣1|
＝﹣（a﹣1）
=√3-1．
总结提升：本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
2．（1）当a＜0时，化简√a2-2a+1．
a2-a（2）实数a，b在数轴上表示如图所示，化简： ．
√(a+2) 2-√(b-2) 2+√(a+b) 2
思路引领：（1）直接利用a的取值范围结合二次根式的性质化简得出答案；
（2）直接利用a，b的取值范围结合二次根式的性质化简得出答案．
解：（1）当a＜0时，√a2-2a+1 √(a-1) 2 1-a 1；
= = =-
a2-a a(a-1) a(a-1) a
（2）由数轴可得：1＜a＜2，﹣3＜b＜﹣2，
则：
√(a+2) 2-√(b-2) 2+√(a+b) 2
＝a+2﹣（2﹣b）﹣（a+b）
＝0．
总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
类型二 含有隐含条件的化简求值
√ y √ x
典例2（2019春•黄石期中）已知x、y为实数，xy＝3，那么x +y 的值是（ ）
x y
A．2√3 B．﹣2√3 C．±2√3 D．±√3
√ y √ x
思路引领：根据二次根式有意义条件分析出x与y是同号，然后化简（x + y ）2，代入xy＝3，
x y
最后再开方即可．
解：根据二次根式有意义的条件可得x与y是同号，
所以（x √ y + y √ x ）2=x2 ⋅ y + y2 ⋅ x +2xy=xy+xy+2xy＝4xy，
x y x y
∵xy＝3，
√ y √ x
所以4xy＝12，即（x + y ）2＝12．
x y
∵x与y是同号，
所以原式＝±2√3．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了二次根式的化简求值，解决这类问题一定要注意二次根式有意义的条件，在
此条件下解答不会漏解．变式训练
√ y √ x
1．（2021春•阳新县月考）已知x+y＝﹣6，xy＝8，求代数式y +x 的值．
x y
思路引领：根据加法法则、乘法法则和已知条件得出x、y同号，并且都是负数，化简所求式子，代值
即可．
解：∵x+y＝﹣6，xy＝8，
∴x、y同号，并且都是负数，
√ y √ x
∴y +x
x y
y√xy x√xy
=- -
x y
y x
＝﹣（ + ）√xy
x y
(x+ y) 2-2xy
=- ×√xy
xy
(-6) 2-2×8
=- ×√8
8
＝﹣5√2．
总结提升：本题考查了解二元二次方程组和二次根式的混合运算与求值等知识点，能正确根据二次根式
的性质进行化简是解此题的关键．
2．（2021春•虎林市校级期末）昨天的数学作业：化简求值．当a＝3时，求 的值．
a+√1-2a+a2
小红的答案是5．小明却认为：
原式 ．即：无论a取何值， 的值总是等于1．
=a+√(1-a) 2=a+(1-a)=1 a+√1-2a+a2
你认为小明说得对么？为什么？
思路引领：根据题意得到1﹣a＜0，根据二次根式性质化简，判断即可．
解：小明的解答是错误的，
理由如下：∵a＝3，
∴1﹣a＝﹣2＜0，
∴原式＝a+a﹣1＝2a﹣1，
当a＝3时，原式＝2×3﹣1＝5，
∴小明的解答是错误的．总结提升：本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质： |a|是解题的关键．
√a2=
类型三 利用整体思想进行求值
典例3 已知x＝5﹣2√6，y＝5+2√6，求3x2+5xy+3y2的值．
思路引领：先计算出x+y与xy的值，再利用完全平方公式得到3x2+5xy+3y2＝3（x+y）2﹣xy，然后利用
整体代入的方法计算．
解：∵x＝5﹣2√6，y＝5+2√6，
∴x+y＝10，xy＝25﹣24＝1，
∴3x2+5xy+3y2＝3（x+y）2﹣xy＝3×102﹣1＝299．
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．使用整
体代入的方法可简化计算．
变式训练
√7-1 √7+1
1．（2020秋•武侯区校级月考）已知x= ，y= ，求下列各式的值．
2 2
（1）x2﹣xy+y2；
y x
（2） + +2．
x y
思路引领：先根据完全平方公式、平方差公式和二次根式的乘除和加减运算得出x2+y2和xy的值，
（1）直接代入即可求得；
（2）利用异分母分式加减法相加后直接代入即可．
√7-1 √7+1
解：∵x= ，y= ，
2 2
√7-1 √7+1 3 √7-1 √7+1
∴xy= × = ，x- y= - =-1，
2 2 2 2 2
又∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy，
3
∴x2+ y2=(x- y) 2+2xy=1+2× =4，
2
（1）x2﹣xy+y2
＝x2+y2﹣xy
3
=4-
2
5
= ．
2y x
（2） + +2
x y
y2+x2
= +2
xy
4
= +2
3
2
8
= +2
3
14
= ．
3
总结提升：本题考查完全平方公式，平方差公式，二次根式的加、减、乘运算，分式的加法．能结合二
次根式的性质和乘法公式求得x2+y2和xy的值是解题关键．
1 1
2．（1）已知：x= ，y= ．求2x2+2y2﹣xy的值；
2+√3 2-√3
（2）已知x √5+1，求x3+x+1的值．
=
2 x3
思路引领：（1）分母有理化后，代入求解即可；
√5+1
（2）由x= ，推出2x=√5+1，可得2x﹣1=√5，推出4x2﹣4x＝4，即x2﹣x＝1，x+1＝x2，利用整
2
体代入的思想解决问题．
1
解：（1）x= =2-√3，y＝2+√3，
2+√3
所以原式＝2（2-√3）2+2（2+√3）2﹣（2-√3）（2+√3）
＝14﹣8√3+14+8√3-1
＝27；
√5+1
（2）∵x= ，
2
∴2x=√5+1，
∴2x﹣1=√5，
∴4x2﹣4x＝4，即x2﹣x＝1，
∴x+1＝x2，∴原式 x3+x2 x2 (x+1) x4 x √5+1．
= = = = =
x3 x3 x3 2
总结提升：本题考查二次根式的化简求值，分母有理化等知识，解题的关键是学会用整体代入的思想解
决问题，属于中考常考题型．
类型四 化简二次根式比较大小
典例4（2022秋•修水县期中）阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：
两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．
例如：√a与√a，√2+1与√2-1．
（1）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式： ．
化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：
√2 √2(√3+√2) √6+2 ．
= = =√6+2
√3-√2 (√3-√2)(√3+√2) 3-2
3
（2）请仿照上述方法化简： ．
√5-√2
1 1
（3）比较 与 的大小．
√3-1 √5-√3
思路引领：（1）根据有理化因式的概念写出乘积不含二次根式的两个式子即可；
（2）分子，分母同时乘以分母的有理化因式即可；
（3）分母有理化后再比较．
解：（1）√5+2与√5-2互为有理化因式，
故答案为：√5+2与√5-2（答案不唯一）；
3
（2）
√5-√2
3(√5+√2)
=
(√5-√2)(√5+√2)
=√5+√2；
1 √3+1 1 √5+√3
（3） = ， = ，
√3-1 2 √5-√3 2
√3+1 √5+√3
∵ ＜ ，
2 21 1
∴ ＜ ．
√3-1 √5-√3
总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化．
变式训练
1．（2022春•翔安区期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题
（√2+1）（√2-1）＝1，（√3+√2）（√3-√2）＝1，（√4+√3）（√4-√3）＝1…
1 1 1 1
（1）观察上面规律，计算下面的式子 + + +⋯+
√2+1 √3+√2 √4+√3 √99+√100
（2）利用上面的规律
比较√11-√10与√12-√11的大小．
思路引领：（1）根据题目中材料，可以先将所求式子分母有理化，再化简即可解答本题；
（2）根据上面的规律可以比较√11-√10与√12-√11的大小．
1 1 1 1
解：（1） + + +⋯+
√2+1 √3+√2 √4+√3 √99+√100
=(√2-1)+(√3-√2)+(√4-√3)+⋯+（√100-√99）
=√2-1+√3-√2+√4-√3+⋯+√100-√99
=√100-1
＝10﹣1
＝9；
(√11-√10)(√11+√10) 1
（2）∵√11-√10= = ，
√11+√10 √11+√10
(√12-√11)(√12+√11) 1
√12-√11= = ，
√12+√11 √12+√11
又∵√12+√11＞√11+√10，
1 1
∴ ＞ ，
√11+√10 √12+√11
即√11-√10＞√12-√11．
总结提升：本题考查分母有理化、实数大小的比较，解题的关键是明确题意，发现其规律，解答相关问
题．
第二部分 专题提优训练
1．（2021春•上城区校级期中）已知a=√3-√2，b=√3+√2，求ab的值为 ．
思路引领：a=√3-√2，b=√3+√2易得ab＝1即可．解：a=√3-√2，b=√3+√2，
∴ab＝（√3-√2）（√3+√2）＝3﹣2＝1．
故答案为：1．
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，根据二次根式的乘法可得ab的值．
2．（2018 春•沙坪坝区校级期末）如果一个三角形的三边分别是 2，3，m（m 为正整数），则
|1﹣3m|+3化简求值的所有结果的和是 ．
√4m2+4m+1-
思路引领：直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，进而化简得出答案．
解：∵一个三角形的三边分别是2，3，m（m为正整数），
∴1＜m＜5，
∴ |1﹣3m|+3
√4m2+4m+1-
＝2m+1﹣（3m﹣1）+3
＝﹣m+5，
当m＝2时，﹣m+5＝3，
当m＝3时，﹣m+5＝2，
当m＝4时，﹣m+5＝1，
故所有结果的和是：1+2+3＝6．
故答案为：6．
总结提升：此题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确得出m的取值范围是解题关键．
1 1
3．（2021春•金坛区期末）比较大小： （填写“＞”或“＝”或“＜”）．
2-√2 √2-1
思路引领：根据分母有理化分别化简，即可得出答案．
1 2+√2 2+√2 2+√2 √2
解：∵ = = = = 1+ ，
2-√2 (2-√2)(2+√2) 4-2 2 2
1 √2+1 √2+1
= = =√2+1，
√2-1 (√2-1)(√2+1) 2-1
√2
∴1+ ＜√2+1，
2
故答案为：＜．
总结提升：本题考查了分母有理化，实数的比较大小，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一
项）或与原分母组成平方差公式．√5-1 1
4．（2022春•南京期末）比较大小： ＞ （填“＞”“＜”“＝”）．
2 2
思路引领：因为分母相同所以比较分子的大小即可，可以估算√5的整数部分，然后根据整数部分即可
解决问题．
解：∵√5-1＞1，
√5-1 1
∴ ＞ ．
2 2
故填空结果为：＞．
总结提升：此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、
比较n次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．
5．（2021秋•淮安区校级月考）已知实数a满足|2020﹣a|+√a-2021=a，那么a﹣20202+1的值是 ．
思路引领：根据二次根式有意义的条件得出a≥2021，根据绝对值的性质把原式变形，代入计算即可．
解：由题意得：a﹣2021≥0，
解得：a≥2021，
则a﹣2020+√a-2021=a，
整理得：√a-2021=2020，
∴a﹣2021＝20202，
∴a﹣20202＝2021，
∴原式＝2021+1＝2022，
故答案为：2022．
总结提升：本题考查的是二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是
解题的关键．
6．（2022春•宁武县期末）先化简再求值：当a＝9时，求a 的值，甲乙两人的解答如下：
+√1-2a+a2
甲的解答为：原式＝a a+（1﹣a）＝1；
+√(1-a) 2=
乙的解答为：原式a a+（a﹣1）＝2a﹣1＝17．
+√(1-a) 2=
两种解答中， 的解答是错误的，错误的原因是 ．
思路引领：利用二次根式的性质化简即可；
解：∵a＝9，
∴1﹣a＜0，∴原式＝a a+a﹣1＝2a﹣1＝17．
+√(1-a) 2=
∴甲错误，
故答案为甲，没有注意到1﹣a＜0．
总结提升：本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握基本公式，注意公式的应用条件．
7．（2010秋•石景山区校级期中）阅读下列解题过程： 1 1×(√5-√4) √5-√4 ；
= = =√5-2
√5+√4 (√5+√4)(√5-√4) 5-4
1 1×(√6-√5) √6-√5 ；
= = =√6-√5
√6+√5 (√6+√5)(√6-√5) 6-5
请回答下列问题：
1
（1）观察上面的解题过程，请直接写出 的结果为 ．
√n+√n-1
1 1 1 1
（2）利用上面所提供的解法，求值： + + +⋯+ = ．
1+√2 √2+√3 √3+√4 √2006+√2007
思路引领：（1）直接利用分母有理化化简得出答案；
（2）直接将原式化简，进而计算得出答案．
1 √n-√n-1
解：（1） = =√n-√n-1；
√n+√n-1 (√n+√n-1)(√n-√n-1)
故答案为：√n-√n-1；
（2）原式=√2-1+√3-√2+√4-√3+...+√2007-√2006
=√2007-1．
故答案为：√2007-1．
总结提升：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
1 1
8．（2022春•彭州市校级月考）已知x= ，y= ，求值：
√7-√5 √7+√5
（1）xy；
（2）x2+3xy+y2．
思路引领：（1）利用平方差公式进行运算即可；
（2）利用完全平方公式及平方差公式进行运算即可．
解：（1）xy1 1
= ×
√7-√5 √7+√5
1
=
7-5
1
= ；
2
（2）x2+3xy+y2
＝（x+y）2+xy
1 1 1
＝（ + ）2+
√7-√5 √7+√5 2
√7+√5+√7-√5 1
＝（ ）2+
2 2
1
＝（√7）2+
2
1
＝7+
2
1
＝7 ．
2
总结提升：本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
1
9．（2022秋•静安区校级期中）先化简，再求值，如果a＝2-√3，b= ，求√a2-2ab+b2的值．
2-√3
思路引领：直接利用二次根式的性质分母有理化，进而化简二次根式得出答案．
1 2+√3
解：∵b = = = 2+√3，a＝2-√3，
2-√3 (2-√3)(2+√3)
∴a﹣b＝2-√3-（2+√3）＝2-√3-2-√3=-2√3＜0，
∴ 2 ．
√a2-2ab+b2=√(a-b) 2= √3
总结提升：此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．
10．（2022秋•章丘区校级月考）已知a=√3+1，b=√3-1．
（1）求ab的值；
（2）求a2+b2的值．
思路引领：（1）根据平方差公式计算即可；
（2）根据二次根式的加法法则求出a+b，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
解：（1）∵a=√3+1，b=√3-1，∴ab＝（√3+1）（√3-1）＝3﹣1＝2；
（2）∵a=√3+1，b=√3-1，
∴a+b＝（√3+1）+（√3-1）＝2√3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（2√3）2﹣2×2＝8．
总结提升：本题考查的是二次根式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
11．（2022•南京模拟）计算：
（1）已知x=√2+1，y=√2-1，试求x2﹣xy+y2的值．
（2）先化简，再求值：a2-1 a2+1 ，其中 ．
÷(2+ ) a=√2
a2-a a
思路引领：（1）先计算出x﹣y＝2，xy＝1，再将所求代数式变形为（x﹣y）2+xy，然后整体代入计算即
可；
（2）先根据分式混合运算法则化简，再把x值代入化简式计算即可．
解：（1）∵x=√2+1，y=√2-1，
∴x﹣y＝2，xy＝1，
∴x2﹣xy+y2
＝（x﹣y）2+xy
＝22+1
＝5；
（2）a2-1 a2+1
÷(2+ )
a2-a a
(a+1)(a-1) a2+2a+1
= ÷
a(a-1) a
(a+1)(a-1) a
= ⋅
a(a-1) (a+1) 2
1
= ，
a+1
当a=√2时，
1
原式= =√2-1．
√2+1
总结提升：本题考查代数式求值，逆用完全平方公式，分式化简求值，二次根式运算，熟练掌握完全平
方公式与分式混合运算法则是解题的关键．a
12．（2022春•永定区期末）先化简，再求值： -√1-2a+a2，其中a=√2．
√2-1
思路引领：先分母有理化，再利用二次根式的性质化简得到原式＝（√2+1）a﹣|a﹣1|，接着利用a
=√2＞1去绝对值，合并得到原式=√2a+1，然后把a=√2代入计算即可．
解：原式＝（ 1）a
√2+ -√(a-1) 2
＝（√2+1）a﹣|a﹣1|，
∵a=√2＞1，
∴原式＝（√2+1）a﹣（a﹣1）
=√2a+1，
当a=√2时，原式=√2×√2+1＝3．
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
13．已知a=√3-√2，b＝2-√3，c=√5-2，比较a，b，c的大小．
思路引领：先求出a=√3-√2≈0.318，b＝2-√3≈0.268，c=√5-2≈0.236，再根据实数大小比较的方法
进行比较即可求解．
解：∵a=√3-√2≈0.318，b＝2-√3≈0.268，c=√5-2≈0.236，
0.318＞0.268＞0.236，
∴a＞b＞c．
总结提升：考查了实数大小比较，关键是求出a，b，c的大小．
14．（2022春•金华月考）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：
先化简，再求值：|x﹣1| ，其中x＝9．
+√(x-10) 2
小明同学是这样计算的：
解：|x﹣1| x﹣1+x﹣10＝2x﹣11．
+√(x-10) 2=
当x＝9时，原式＝2×9﹣11＝7．
小荣同学是这样计算的：
解：|x﹣1| x﹣1+10﹣x＝9．
+√(x-10) 2=
聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？
思路引领：根据二次根式的性质判断即可．
解：小荣的计算结果正确，小明的计算结果错误，错在去掉根号：|x﹣1| x﹣1+x﹣10（应为x﹣1+10﹣x）．
+√(x-10) 2=
总结提升：本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，注意： |
√a2=
a| { a (a≥0)．
=
-a (a＜0)
15 ． （ 2021 春 • 五 华 区 期 中 ） 阅 读 下 列 简 化 过 程 ：
1 √2-1 √2-1 1 √3-√2 1 √4-√3
= = =√2-1 = =√3-√2 = =√4-√3
√2+1 (√2+1)(√2-1) (√2) 2-1 √3+√2 (√3+√2)(√3-√2) √4+√3 (√4+√3)(√4-√3)
解答下列问题：
（1）请用n（n为正整数）表示化简过程规律．
1 1 1 1
（2）计算 + + +⋯⋯+ ．
1+√2 √2+√3 √3+2 √2015+√2016
1 1 1
（3）设a= ，b= ，c= 比较a，b，c的大小关系．
√3-√2 2-√3 √5-2
思路引领：（1）观察题目可得分母上的数相差1，即可得出结论；
（2）利用（1）中的规律先化简，随后进行加减即可；
（3）先将a，b，c按照题目中的形式化简，再进行比较即可．
解：（1）∵分母上的每个数都含有根号，根号内的数相差为1，分子为1，
1 √n+1-√n
∴ = =√n+1-√n；
√n+1+√n (√n+1+√n)(√n+1-√n)
1 1 1 1
（2） + + +⋯⋯+
1+√2 √2+√3 √3+2 √2015+√2016
√2-1 √3-√2 √2016-√2015
= + +⋯⋯+
(1+√2)(√2-1) (√2+√3)(√3-√2) (√2015+√2016)(√2016-√2015)
=√2-1+√3-√2+⋯⋯+√2016-√2015
=√2016-1．
1 1 1
（3）∵a= ，b= ，c= ，
√3-√2 2-√3 √5-2
√3+√2
∴a = =√3+√2，
(√3-√2)(√3+√2)2+√3
b= =2+√3，
(2-√3)(2+√3)
√5+2
c= =√5+2，
(√5-2)(√5+2)
∴a＜b＜c．
总结提升：本题考查二次根式的化简，平方差公式，分母有理化，实数的大小比较，涉及的知识点比较多，
本题的难点在于通过题干得出计算规律，运用规律即可解决问题．
16．（2022春•福清市期中）阅读材料：像(√5+√2)(√5-√2)=3，√7⋅√7=7这样，两个含有二次根式
的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利
用有理化因式，可以化去分母中的根号，即为分母有理化．
1 √3 √3
例如： = = ；
2√3 2√3×√3 6
√2+1 (√2+1) 2 ．
= =3+2√2
√2-1 (√2-1)(√2+1)
解答下列问题：
（1）请写出一个√6-√5的有理化因式；
3-√7
（2）将 分母有理化；
3+√7
（3）应用：当n为正整数时，通过计算比较式子√n+1-√n和√n+2-√n+1的大小．
思路引领：（1）根据有理化因式的定义求解；
（2）把分子分母都乘以（3-√7），然后利用平方差公式和完全平方公式计算；
1 1
（3）利用分母有理化得到√n+1-√n= ，√n+2-√n+1= ，然后比较
√n+1+√n √n+2+√n+1
1 1
与 的大小即可．
√n+1+√n √n+2+√n+1
解：（1）√6-√5的一个有理化因式为√6+√5；
（2）原式 (3-√7) 2 9-6√7+7 8﹣3 ；
= = = √7
(3+√7)(3-√7) 9-7
1 1
（3）√n+1-√n= ，√n+2-√n+1= ，
√n+1+√n √n+2+√n+1
∵√n+2+√n+1＞√n+1+√n＞0，
1 1
∴ ＞ ，
√n+1+√n √n+2+√n+1即√n+1-√n＞√n+2-√n+1．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是
解决问题的关键．也考查了分母有理化．
