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专题01 含字母的二次根式的化简
类型一 根据字母范围化简
1．实数 ， 在数轴上的位置如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据数轴上两点的位置确定 和 的正负，再根据二次根式的性质化简计算即可．
【详解】解：观察数轴可得， ， ，
∴ ， ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了结合数轴上点的位置化简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的
关键．
2．当 时，化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 得到 ， ，再利用二次根式的性质和绝对值的性质化简即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴=
=
=
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值，解题的关键是根据x的范围得到 ，
．
3．实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接利用数轴上 点位置得出 的取值范围，再利用二次根式以及绝对值的性质化简
得出答案．
【详解】解：由数轴可得： ， ，
原式 ，
故选：A．
【点睛】此题考查了数轴以及二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
4．实数p在数轴上的位置如图所示，化简 等于（ ）
A．2． B．2p-4 C．4-2p． D．4
【答案】B
【分析】由题得1＜p＜2根据由算术平方根的性质，得 ， ，进而推断出 ．
【详解】解：由题知：1＜p＜2．
∴p-1＞0，p-3＜0．
∴ ，
∴
=（p-1）-（3-p）=p-1-3+p=2p-4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，数轴上的点表示的数以及算术平方根的性质 ，熟
练掌握数轴上的点表示的数以及算术平方根的性质是解决本题的关键．
5．如图中是实数a、b在数轴上的对应点的位置，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数轴上点的位置确定出a+b与a-b的正负，原式利用二次根式性质 及绝对值
的代数意义化简即可求出值．
【详解】解：根据数轴上点的位置得：a＜0＜b，
∴a+b＜0，a-b<0，
∴
故答案为：D．
【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握各自的性质是解本题的
关键．
6．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A【分析】从数轴上可以看出，0＜a＜1，所以1-a＞0，进一步根据绝对值的意义和二次根式的运算
化简即可．
【详解】解：由数轴可得：0＜a＜1，
∴1-a＞0，
∴
=1-a+a
=1．
故选：A．
【点睛】此题考查二次根式的化简与绝对值的意义，注意字母的取值范围是解题的关键．
7．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】先根据数轴判断出a、b和a－b的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可．
【详解】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a－b＜0
∴
=
=-a－b＋a－b
=
故选A．
【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握利用数轴判断字母符号和二次根式的性质是解决此
题的关键．
8．已知 ，则化简 _______________．
【答案】
【分析】先判断出 ，再根据二次根式的化简法则即可得．
【详解】解： ，
，，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键．
9．已知1＜a＜3，则化简 的结果是 _____．
【答案】3
【分析】先根据二次根式的性质得出原式= ，再根据绝对值的性质去掉绝对值符
号，最后求出答案即可．
【详解】解：∵ ，
∴
=
=
=
=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了绝对值和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
10．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ＝_____
【答案】
【分析】依据可得到 ，即可化简．
【详解】解：由题意可知：
，
，
原式 ，
故答案是： ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是：掌握二次根式的性质及绝对值的性
质．11．如图，实数 、 在数轴上对应的点分别为 、 ，则 _______________．
【答案】
【分析】先根据数轴可知 ，从而可得 ，最后可根据二次根式的性质化简原
式．
【详解】解：根据题干图可知 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简．解题的关键是确定a-b和 的取值．
12．若实数 、 在数轴上的位置如图所示，则代数式 化简为______．
【答案】2a+b
【分析】直接利用数轴上a，b的位置进而得出 ，a＞0，再化简得出答案．
【详解】解：由数轴可得：
，a＞0，
则
=b+a+a
=2a+b．
故答案为：2a+b．
【点睛】此题考查了绝对值的性质、二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题关键．
13．当a＜0时，化简： =_______．
【答案】1
【分析】先利用完全平方公式对被开放式变形，再结合a的取值，再化简二次根式、绝对值，最
后合并即可．【详解】∵a＜0，
∴
=
=｜a-2｜-｜1-a｜
=2-a-1+a
=1．
故答案是：1．
【点睛】考查了二次根式的性质与化简，解题关键是注意开方结果是非负数．
类型二 根据化简结果求字母范围
14．若 ，则实数x的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知式子可得 且 ，再求出x的范围即可．
【详解】解： ，
且 ，
，
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握 ．
15．若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知 直接解答即可．
【详解】解：∵ ，
即
解得 ；
故选：D．
【点睛】考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．16．若 ，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
【答案】B
【分析】根据题意，利用二次根式性质可判断 ，由此即可求出 的范围．
【详解】解： ，
可得 ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握 是解本题的关键．
17．若 成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质可进行求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
18．若 ，则a的取值范围是（ ）
A．a>5 B．a<5 C．a≥5 D．a≤5
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：∵ ，
∴a-5≤0，
∴a≤5，
故选D．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解二次根式的性质，本题属于基础题型．19．若 ＝3﹣a，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥3
【答案】B
【分析】先把被开方式用公式变成平方式，利用二次根式的性质化简变，利用绝对值性质来确定
符号求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴3﹣a≥0，
∴a≤3，
故选：B．
【点睛】本题考查完全平方公式，会用二次根式的性质，化去根号变成绝对值，利用绝对值等式
确定符号是解题关键．
类型三 符号带坑化简
20．化简x ，正确的是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【答案】C
【详解】根据二次根式有意义的条件可知﹣ ＞0，求得x＜0，然后根据二次根式的化简，可得x
=﹣ • =﹣ .
故选C．
21．已知 ，则二次根式 化简后的结果为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 ，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：由题意可得：∴
∵
∴
∴
故选：D
【点睛】此题考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
22．化简二次根式 的结果是（ ）
A． B．－ C． D．－
【答案】B
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行
化简即可
【详解】
故选B
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母
的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
23．当 时，化简： ______．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质化简，即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故答案为：【点睛】此题主要考查了二次根式的性质和化简，解答此题的关键是要明确化简二次根式的步骤：
①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因
式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数
2．
24．若 ，求 ___________．
【答案】
【分析】根据立方根与二次根式的性质，再由a＜0，利用绝对值的意义化简，进而求解即可．
【详解】解：∵a＜0
∴ = = =
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根式的化简，掌握 和 是解题的关键．
25．当 时， __________．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质，即可得到答案．
【详解】∵ ，
∴ = ，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握 ，是解题的关键．
26．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 ﹣|a﹣c|+ ﹣|﹣b|＝
_______．
【答案】-2a
【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去
掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．
【详解】由图可知，∴
∴ ﹣|a﹣c|+ ﹣|﹣b|
＝
=
=
=-2a.
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简和化简绝对值.在解决本题时需注意①对于任意实数a,都
有 ；②在化简绝对值时，绝对值内如果是一个多项式,要给化简后的结果带上括号.
27．把 根号外的因式移入根号内，得________
【答案】
【分析】根据被开方数大于等于零，可得出 ，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．
28．化简： ___________
【答案】
【分析】因为被开方数为非负数且被开方数不为0，因此得到被开方数大于0，求出ab<0后，进
行二次根式的化简即可．
【详解】解：要使该二次根式有意义，则有故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简，牢记分母有理化的方法
与规则是解题的关键，本题中被开方数分子分母同乘以ab后，分母开出来容易出现符号错误，建
议可以先套上绝对值符号再进行化简．
29．把 根号外的因式移到根号内，得_____________.
【答案】
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【详解】由题意可得： ，即
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根
式的性质确定m的取值范围.
30．若 ，则二次根式 化简的结果为________．
【答案】－
【分析】首先判断出x，y的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】解：∵ ，且 有意义，
∴ ，
∴ ．
故答案为 ．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．即
， （a≥0，b>0）．
