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专题 02 二次根式综合（压轴 33 题 10 个考点）
一．二次根式的定义（共1小题）
1．若 是整数，则正整数n的最小值是 ．
二．二次根式有意义的条件（共3小题）
2．使式子 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．﹣1≤x≤2 C．x≤2 D．﹣1＜x＜2
3．已知|2004﹣a|+ ＝a，则a﹣20042＝ ．
4．已知 ，则x2022y2023＝ ．
三．二次根式的性质与化简（共8小题）
5．已知x＜1，则 化简的结果是（ ）
A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x
6．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将 化
简的结果是（ ）
A．4 B．2a C．2b D．2a﹣2b
7．如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用
含n的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．8．已知T ＝ ＝ ＝ ，T ＝ ＝ ＝ ，T ＝
1 2 3
＝ ＝ ，…T ＝ ，其中n为正整数．设S ＝T +T +T +…
n n 1 2 3
+T ，则S 值是（ ）
n 2021
A．2021 B．2022
C．2021 D．2022
9．已知a≠0，b≠0且a＜b，化简 的结果是 ．
10．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣ ﹣ ，则x+y的最小值为 ．
11．若 ，则m的取值范围是 ．
12．若x＜2，化简 |﹣x|的正确结果是 ．
四．二次根式的乘除法（共4小题）
13．使式子 成立的条件是（ ）
A．a≥5 B．a＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜5
14．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ＝ ＝
7+4 ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，
如：对于 ﹣ ，设x＝ ﹣ ，易知 ＞ ，故
x＞0，由x2＝（ ﹣ ）2＝3+ +3﹣ ﹣2 ＝2，解得x＝ ，即 ﹣ ＝ ．根据以上方法，化简 + ﹣
后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3
15．若a，b为有理数且满足 ，则a+b＝ ．
16．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简： ．
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得： ．
∴1﹣x＞0．
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简 ．
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： ．
（ 3 ） 已 知 a ， b ， c 为 ABC 的 三 边 长 ． 化 简 ：
．
五．分母有理化（共1小题）
17．阅读材料：我们已经知道，形如 的无理数的化简要借助平方差公式：例如： ．下面我们来看
看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出： 该如何化简？
建立模型：形如 的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这
样 ＝m， ，
那么便有： （a＞b），
问题解决：化简： ，
解：首先把 化为 ，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即
＝7，
∴ ．
模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1） ；
（2） ；
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣ ，AC＝ ，那么BC边的长为多少？
（结果化成最简）．
六．同类二次根式（共1小题）
18．已知最简二次根式 与 是同类二次根式，则a的值为（ ）
A．16 B．0 C．2 D．不确定七．二次根式的加减法（共1小题）
19．若 ，则x﹣x2的值为 ．
八．二次根式的混合运算（共4小题）
20．已知 ， ，则2y﹣3x的平方
根为 ．
21．计算 的结果是 ．
22．已知a＝ ，b＝ ．
（1）求a+b的值；
（2）设m是a小数部分，n是b整数部分，求代数式4m2+4mn+n2的值．
23．先阅读下面的材料，再解答下列问题．
∵ ，
∴ ．
特别地， ，
∴ ．
这种变形叫做将分母有理化．
利用上述思路方法计算下列各式：
（1） ；
（2） ．九．二次根式的化简求值（共8小题）
24．已知 ，则代数式x2﹣2x﹣6的值是（ ）
A． B．﹣10 C．﹣2 D．
25．已知 ， ，则a与b的关系是（ ）
A．a＝b B．ab＝1 C．ab＝﹣1 D．a+b＝0
26．若x2+y2＝1，则 + + 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
27．若a＝2+ ，b＝2﹣ ，则 ＝ ．
28．若m＝ ，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝ ．
29．已知a＝2+ ，b＝ ，则a2﹣3ab+b2的值为 ．
30．某同学在解决问题：已知 ，求2a2﹣8a+1的值．
他是这样分析与求解的：
先将a进行分母有理化，过程如下，
，
∴ ，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据上述分析过程，解决如下问题：
（1）若 ，请将a进行分母有理化；
（2）在（1）的条件下，求a2﹣2a的值；
（3）在（1）的条件下，求2a3﹣4a2﹣1的值．31．小芳在解决问题：已知a＝ ，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：
a＝ ＝2﹣ ，∴a＝2﹣ ，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ．
（2）若a＝ ．
①化简a，求4a2﹣8a﹣1的值；
②求a3﹣3a2+a+1的值．
十．二次根式的应用（共2小题）
32．俊俊和霞霞共同合作将一张长为 ，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁
剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的
腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是 ﹣1”；那么另外两个等腰三角
形的腰长可能是 ．
33．古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c．记
，那么三角形的面积为 ，俗称海伦公式，若在
△ABC 中，AB＝3，BC＝6，AC＝7，则用海伦公式求得△ABC 的面积为
．
