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专题 02 二次根式的运算的六类综合题型
目录
典例详解
类型一、已知最简二次根式求参数
类型二、已知同类二次根式求参数
类型三、二次根式的混合运算
类型四、二次根式中的分母有理化
类型五、二次根式运算中的新定义型问题
类型六、二次根式运算中的规律探究问题
压轴专练
类型一、已知最简二次根式求参数
方法总结
1. 定义对照：紧扣“最简二次根式”的两个核心条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得
尽方的因数或因式。
2. 建立方程：根据“同类二次根式”或“给定的最简形式”等条件，列出关于参数的方程（组）求
解。
解题技巧
1. 化简要先行：先将所给的二次根式化为最简形式，再与条件进行比对。
2. 双验防增根：求出参数值后，必须回代验证原根式是否为最简二次根式，并检查是否满足题目其他
条件（如被开方数非负）。
例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若 是正整数， 是最简二次根式，则 可以是
（写出一种情况即可）．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因
式的二次根式，叫做最简二次根式．
根据最简二次根式的概念解答即可．
【详解】解：当 时， ，是最简二次根式，符合题意，
故答案为： （答案不唯一）．
【变式1-1】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）二次根式 是最简二次根式，请写出一个符合条件的
m的值： ．
【答案】1
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含平方因子，因此
需无平方因子，故 不能是3的倍数且自身无平方因子，
【详解】解：当 ，则 ，3无平方因子，故 是最简二次根式
故答案为：1（答案不唯一）．
【变式1-2】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）已知 是最简二次根式，请写出一个满足条件的 的
整数值： ．
【答案】 答案不唯一
【分析】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于
等于零是解题的关键．
先根据二次根式有意义的条件求出 的取值范围，据此即可解答．
【详解】解： 是最简二次根式，
∴ ，解得： ，
整数 的值可以是 答案不唯一 ．
故答案为： 答案不唯一 ．
【变式1-3】（24-25八年级下·陕西安康·期中）若 （ 为大于1的整数）是最简二次根式，则 的值
可以是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式需满足：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或
因式；2、被开方数的因数是整数．根据最简二次根式的定义解答即可．
【详解】解：当 时， ，是最简二次根式，
故答案为： （答案不唯一）．
类型二、已知同类二次根式求参数
方法总结
1. 化简为首：将给出的二次根式分别化为最简二次根式。
2. 定义列式：根据“同类二次根式”定义——被开方数相同，令化简后的被开方数相等，建立关于参
数的方程。
解题技巧
1. 忽略系数：只关注最简根式下的被开方数是否相同，根号外的系数无需相等。
2. 验根留值：解出参数后必须代回原式，验证化简后确为同类二次根式，并确保原根式有意义（被开
方数≥0）。
例2．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）若 与最简二次根式 可以合并，则a的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，先把 化为最简二次根式，再根据 与最简二次根式
可以合并可知 的被开方数与 化为最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可．
【详解】解：∵ 与最简二次根式 可以合并，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式2-1】（25-26八年级上·湖南永州·月考）若最简二次根式 与 可以合并，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类
二次根式；最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，列出方程求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式 与 可以合并，
∴ 与 是同类二次根式，
∴ ，解得 ，
当 时， ， ，二者均为最简二次根式，符合题意，
故 ；
故答案为： ．
【变式2-2（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知最简二次根式 与 是同类二次根式，则a的值
为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先将 化简为最简二次根式，再根据被
开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式可得关于a的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解： ，
∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式2-3】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）若最简二次根式 与最简二次根式 是同
类二次根式，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查同类二次根式的定义，二元一次方程，掌握知识点是解题的关键．
根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，列出方程求解得到x与y的关系，得到 的值即可．
【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴被开方数相等，即 ，
．
故答案为4．类型三、二次根式的混合运算
方法总结
1. 顺序清晰：遵循先乘除、后加减，有括号先算括号内的基本运算顺序。
2. 统一形态：先将各项化为最简二次根式，并将除法转化为乘法（乘以倒数）处理。
解题技巧
1. 活用运算律：灵活运用乘法分配律、结合律等简化计算过程。
2. 有理化先行：遇分母含根式时，优先分母有理化，常能大幅简化后续运算。
例3．（25-26八年级上·广东深圳·月考）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．
（1）先运用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可；
（2）先运用二次根式的性质进行化简和应用平方差公式，再计算加减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．【变式3-1】（25-26八年级上·山东青岛·月考）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式再合并同类二次根式即可；
（2）先计算二次根式的除法、乘法，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可；
（3）化简二次根式，并利用平方差公式计算，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）．
【变式3-2】（25-26八年级上·广东深圳·周测）计算：
(1) ；
(2) ．
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)7
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据二次根式的性质化简括号内的，然后根据二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解；
（3）先将二次根式化简，然后计算加减法即可；
（4）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：．
（2）
．
（3）
（4）
．
【变式3-3】（24-25八年级上·山东济南·期中）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．【答案】(1)
(2)1
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的性质、二次根式混合运算、零次幂等知识点，
掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）先用二次根式的性质化简，然后再计算即可；
（3）先用平方差公式和完全平方公式展开，然后再合并同类二次根式即可．
（4）先用二次根式的性质、绝对值、零次幂化简，然后再计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：．
（4）解：
．
类型四、二次根式中的分母有理化
方法总结
1. 单根式分母：分子分母同乘分母中的根式，利用(❑√a)(❑√a)=a消去分母根号。
2. 和差根式分母：分子分母同乘分母的共轭根式（如a+❑√b的共轭是a-❑√b），利用平方差公式化简。
解题技巧
1. 观察结构：先准确识别分母属于“单根式”还是“和/差含根式”类型，选择对应方法。
2. 预判化简：有理化前，先约分分子分母的公因数，可减少计算量。
例4．（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：
， ．
(1)化简： __________．
(2)观察上面的计算过程，直接写出式子： __________．
(3)利用分母有理化计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）模仿示例，分子分母同乘 ，利用平方差公式分母有理化；（2）观察示例规律，给 的分子分母同乘 ，化简得到式子；
（3）先利用（2）的规律将每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，合并后再与 相乘计算
结果
【详解】（1）解：分子分母同乘 ：
原式
．
（2）解：分子分母同乘 ：
原式
．
（3）解：原式
．
【变式4-1】（25-26九年级上·四川内江·月考）观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
；
；
；
．
(1)观察以上规律，请写出第5个等式：________．(2)利用上面的规律，计算 ．
(3)请利用上面的规律，比较 与 的大小，并写出详细过程
【答案】(1)
(2)9
(3) ，过程见解析
【分析】本题考查规律探索，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）观察各式发现规律直接写出第5个等式即可；
（2）通过有理化将各式转化为差的形式，求和计算即可；
（3）将两式都看为分母为1 的式子，然后进行分子有理化，比较分母大小得出结论即可．
【详解】（1）解：观察规律，可得第5个等式为 ．
故答案为： ；
（2）解：
；
（3）解：设 ， ，
则 ，
，
，，
即 ，
【变式4-2】（25-26八年级上·湖南邵阳·月考）观察下列各式的计算过程，寻找规律：
；
；
利用发现的规律解决下列问题：
(1)化简式子： ______；
(2)直接写出式子的值： ______；
(3)计算： （ 为正整数）．
【答案】(1)
(2)2024
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据题干的式子，总结规律，即可作答．
（2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答．
（3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意， ，故答案为： ；
（2）
．
故答案为：2024，
（3）依题意，
．
【变式4-3】（25-26八年级上·安徽·假期作业）阅读下面问题： ，
，
，
【问题探究】（1）根据以上信息，化简： ______________________________．
【应用结论】
（2）利用以上规律，计算：
【拓展应用】
（3）如果有理数a，b满足 ，试求：
的值．
【答案】（1） ；（2）2025；（3）
【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键．
（1）根据所给等式解答即可；
（2）根据规律，化简计算即可．
（3）根据 ，得 ，再求出 ，然后化简计算
即可．
【详解】解：（1）
．
故答案为： ；
（2）．
（3）∵ ，
∴ 且 ，
解得 ，
故 ，
解得 ．
∴原式 ．
∵
∴原式
．
类型五、二次根式运算中的新定义型问题
方法总结
1. 读懂“新定义”：仔细阅读并理解题目中定义的新运算规则或新概念的形式与含义。
2. 模仿套用：严格按照新定义的运算步骤或判定条件，将给定的二次根式代入进行运算或推理。
解题技巧
1. 实例验证：用简单的数值或根式先按新规则操作一遍，确保理解无误。
2. 化归思想：将新定义运算后的表达式，通过常规的二次根式运算（化简、有理化等）进行化简求值。
例5．（2025八年级上·全国·专题练习）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：．如 ．
(1)求 的值．
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，理解新定义运算法则是解题的关键．
（1）根据新定义运算法则计算 ；
（2）根据新定义运算法则计算 ．
【详解】（1）解：由题意，得：
．
故 的值为 ．
（2）解：由（1）可知， ，
∴ ．
由题意，得：
．
故 的值为 ．
【变式5-1】（2025九年级上·全国·专题练习）若两个含二次根式的代数式 ， 满足： ，且 是
有理数，则称 与 是关于 的“和谐二次根式”，如 ，则称 与 是关于4的“和谐二
次根式”．
(1)若 与 是关于10的“和谐二次根式”，求 的值．(2)若 与 是关于6的“和谐二次根式”，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案；
（2）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案；
本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得： ，
∴ ．
（2）解：由题可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式5-2】（2025·河北·模拟预测）已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题：
(1)如果 ，则 ；如果 ，则 ；
(2)①如果 ，求b的值；
②若 ，求m与n的关系．
【答案】(1)(2)① ；②
【分析】本题考查了倒数的定义，分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关
键．
（1）根据倒数的定义求解即可；
（2）①先根据倒数的定义求解，再分母有理化即可；
②根据倒数的定义列式求解即可．
【详解】（1）∵a、b互为倒数， ，
∴ ．
∵a、b互为倒数， ，
∴ ．
故答案为： ；
（2）①∵a、b互为倒数， ，
；
②∵a、b互为倒数， ，
∴ ，即 ．
【变式5-3】（24-25八年级下·福建福州·期中）定义：我们将 与 称为一对“对偶式”．
因为 ，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将
和 中的“ ”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如
．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)请直接写出 的对偶式_____；
(2)已知 ， ，求 的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的乘法与加减法，熟练掌握二次根式的分母有理化
是解题关键．
（1）根据对偶式的定义即可得；
（2）先将 分母有理化，再求出 的值，然后代入计算即可得．
【详解】（1）解： 的对偶式为 ，
故答案为： ．
（2）解：∵ ，
，
∴ ，
，
，
∴．
类型六、二次根式运算中的规律探究问题
方法总结
1. 由特到一般：从给定的前几项具体运算结果入手，观察数字、运算符号及根式的变化模式。
2. 归纳表达式：将观察到的规律（如序号、分子分母特征等）用含 n的代数式（通项公式或运算规
律）表示出来。
解题技巧
1. 对比找不变：对比相邻项的结果，寻找哪些部分恒定、哪些部分按等差/等比等规律变化。
2. 验证保可靠：将归纳出的规律代入后续1-2项进行验证，确保归纳正确后再用于解题。
例6．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【观察思考】
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
【规律发现】
（1）①直接写出第4个等式： ；
②如果 为正整数，用含 的式子表示上述的运算规律： ．
【规律证明】
（2）证明②中的运算规律．
【规律应用】
（3）根据上述规律，化简： ．
【答案】（1）① ；② ；（2）见解析；（3）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键．（1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第 个等式即可；
②利用前面规律写出第 个等式，
（2）根据二次根式的性质证明即可；
（3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案．
【详解】解：（1）①
故答案为： ．
②
故答案为： ．
（2）证明：等式左边
又 ，
右边，
等式成立
（3）原式
【变式6-1】（2024·安徽合肥·二模）观察下列各等式，其中反映了某种规律：
第1个等式： ；
第2个等式： ；第3个等式： ；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式： ．
(2)请你用含n（n为正整数，且 ）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式．
【答案】(1)
(2) ，见解析
【分析】本题考查了二次根式的应用，旨在考查学生的抽象概括能力．
（1）根据题目给出的例子求出相应的值；
（2）由（1）探求的结果可以写出用含n（n为正整数，且 ）的等式表示表述上面的规律；
【详解】（1）解：第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
…；
第4个等式： ；
故答案为： ；
（2）解：第n个式子是： n ；
证明如下：．
【变式6-2】（25-26八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊
到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
第1个等式 ；
第2个等式 ；
第3个等式 ；
第4个等式 ；
第5个等式 _________（根据规律填空）
(2)观察、归纳、得出猜想．
第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数）
(3)证明你的猜想；
(4)应用运算规律．
若 （a，b均为正整数），则 的值为_________．
【答案】(1)(2)
(3)见解析
(4)
【分析】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式
总结一般规律并应用规律解题．（1）根据题目中的例子并计算可以写出第5个等式；（2）根据（1）中特
例及发现规律，可以写出相应的猜想；（3）根据猜想的左边利用分式的通分和二次根式的性质进行化简
发现与右边一样即可；（4）根据（2）中的规律对比即可求解．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：第n个等式为 ，
故答案为： ；
（3）证明：
；（4）解：根据 和 ，得
，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式6-3】（2025八年级上·重庆·专题练习）在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的
活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，
特例 ；
特例 ；
(1)特例3： ________（填写一个符合上述运算特征的式子）；
(2)求证： （ ，且n为整数）；
(3)如果 的小数部分是0.1，那么整数部分为_____．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)5
【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究，根据题干信息，得到
（ ，且n为整数），是解题的关键：
（1）仿照题干给出的特例，作答即可；（2）根据二次根式的性质进行化简即可；
（3）利用规律先化简，再进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意， ；
（2）证明：∵ ，且n为整数，
∴
，
；
（3）解：
，∵ 的小数部分是0.1
∴ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为 ．
一、单选题
1．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知 是一个正整数， 也是正整数，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．10 D．20
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由 是正整数且
，得到 是完全平方数，即可求出 的最小值．
【详解】解： 是正整数， ，
是完全平方数，
的最小值为5．
故选：B．
2．（25-26九年级上·山西长治·月考）下列计算正确的是（）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除法则逐一判断即可．
【详解】解：对于选项A：∵ ，且计算值不相等，∴A错误；
对于选项B：∵ ，∴B正确；
对于选项C：∵ ，∴C错误；
对于选项D：∵ ，∴D错误．
故选：B．
3．（25-26八年级上·广东佛山·月考）若最简二次根式 与 可以合并，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了最简二次根式的计算，准确计算是解题的关键．
两个二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相同，先将 化为最简形式，得到
，从而确定被开方数为2．
【详解】∵ ，且 与 可以合并，
∴ 与 是同类二次根式，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．4．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式： ， ， ， ，…，则
第6个二次根式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键；根据前面几个数的式子可
得规律：第n个数是 ，进而求解．
【详解】解：∵第n个二次根式为 ，
∴当 时， ，
∴第6个二次根式为 ；
故选：D．
5．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运
算为数据加密方式： ，那么 的值为（ ）
A．1 B．4 C．－2 D．9
【答案】B
【分析】根据定义的运算，先利用平方差公式简化表达式，再代入数值计算.
本题考查了二次根式的计算，掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：∵ ,
且 ,
∴ .
代入 :
∴ ，
故选：B．二、填空题
6．（25-26八年级上·上海·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式加减，先将 化简为 ，再与 进行合并同类项即可．
【详解】解： ．
故答案为 ．
7．（25-26八年级上·江苏苏州·月考） 与最简二次根式 是同类二次根式，则 的平方根为
．
【答案】
【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是
解题的关键．
根据同类二次根式的定义可得 ，即可求解．
【详解】解： ，
∵ 与最简二次根式 是同类二次根式，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
故答案为：
8．（25-26八年级上·全国·期末）若 ， ，则代数式 的值为 ．
【答案】31
【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的逆用及整体代入法，由已知条件，先计算a与b的和与积，再利用代数恒等变形求值．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
则 ，
代入得： ．
故答案为：31．
9．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）现定义一种新运算 ：对于任意正有理数 ，都有
．
例如： ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质和加减运算法则是解题的关键．根据新运
算规则列出算式计算即可求解，
【详解】解：由题意得， ，
故答案为： ．
10．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）观察下列各式：① ；② ；③
；……请你将发现的规律用含自然数n（ ）的等式表示出来 ．
【答案】 （ ）
【分析】本题主要考查二次根式运算、式子类规律探索，观察给定等式，左边系数与根号内分子相同，分
母为系数的平方减1；右边为根号下系数与分数之和，分数分子与系数相同，分母为系数的平方减1，由此
得出规律．【详解】解：总结得：对于自然数n（ ），等式左边为 ，右边为 ，
验证：左边 ，
右边 ，
左右相等，故规律成立，
因此，用含自然数 的等式表示为 （ ）．
故答案为： （ ）．
三、解答题
11．（25-26八年级上·广东深圳·期中）计算
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和正确化简二次根式．
（1）先化简二次根式，再进行加减计算；
（2）先化简二次根式，计算括号内二次根式的减法，再进行乘除运算，最后进行加减计算．
【详解】（1）解：（2）解：
．
12．（2025八年级上·广东深圳·专题练习）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可；
（2）先根据二次根式的性质化简，再按照二次根式的混合运算法则求解即可；
（3）运用二次根式的混合运算法则计算即可；
本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的
关键．
【详解】（1）解：原式
．（2）原式
．
（3）原式
．
13．（25-26八年级上·江苏南通·月考）计算或化简：
(1)
(2)
(3)
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查实数混合运算，二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
（2）分别化简二次根式，先算小括号里面的，然后再算括号外面的．
（3）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，绝对值意义，二次根式性质进行计算即可；（4）根据完全
平方公式，结合二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
14．（24-25八年级下·安徽铜陵·期中）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法
探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整：
具体运算，发现规律：
特例1： ，
特例2： ，特例3： ，
(1)观察、归纳，得出猜想：如果 为正整数，用含 的式子表示上述的运算规律为：______．
(2)证明你的猜想；
(3)应用运算规律：
①化简： ______．
②若 （ 均为正整数），则 的值为______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)① ；②
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）由材料提示，归纳总结即可；
（2）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可；
（3）根据材料提示的方法代入运算即可．
【详解】（1）解：由上述计算可得，如果 为正整数，上述的运算规律为： ，
故答案为： ；
（2）解： ，
等式左边 等式右边；
（3）①解：．
② ，
，
，
．
15．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律．
第①个等式： ；
第②个等式： ；
第③个等式： ；
第④个等式： ：
(1)计算： _____； _____；
(2)若 ，则正整数 _____；
【规律应用】
(3)根据上述等式规律，化简：
．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)
【分析】本题考查了二次根式的化简与规律相结合，合理运用规律是解题的关键．
（1）根据规律运算即可；
（2）根据规律运算即可；
（3）根据规律运算即可．【详解】（1）解： ， ，
故答案为： ， ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）
解：原式
．
16．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是： ，其中 表示三角形的面积， ， ， 分别表
示三边之长， 表示周长之半，即 ．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公
式”．
请你利用公式解答下列问题．
(1)在 中，已知 ，求 的面积；
(2)计算（1）中 的 边上的高．
(3)在一块四边形的草地如图所示，现测得 米， 米， 米， 米，
，求该草地的面积.
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，勾股定理．
（1）根据公式求得 ，然后将 和p的值代入公式即可求解；
（2）设 的 边上的高为h，根据三角形面积公式 ，且已知 的长和三角形的面积，
代入即可求解．
（3）过点 作 于点 ，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得 ，勾股定理
求得 ，利用海伦公式求得 ，进而根据 即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
答： 的面积是 ；
（2）解：设 的 边上的高为h，
，
，
答： 边的高是 ．
（3）解：如图，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，∵
∴ ，
∴
∴
∵
∴
在 中，
∴ 周长的一半为
∴
∴四边形 的面积为
