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专题 02 二次根式的运算的六类综合题型
目录
典例详解
类型一、已知最简二次根式求参数
类型二、已知同类二次根式求参数
类型三、二次根式的混合运算
类型四、二次根式中的分母有理化
类型五、二次根式运算中的新定义型问题
类型六、二次根式运算中的规律探究问题
压轴专练
类型一、已知最简二次根式求参数
方法总结
1. 定义对照：紧扣“最简二次根式”的两个核心条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得
尽方的因数或因式。
2. 建立方程：根据“同类二次根式”或“给定的最简形式”等条件，列出关于参数的方程（组）求
解。
解题技巧
1. 化简要先行：先将所给的二次根式化为最简形式，再与条件进行比对。
2. 双验防增根：求出参数值后，必须回代验证原根式是否为最简二次根式，并检查是否满足题目其他
条件（如被开方数非负）。
例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若 是正整数， 是最简二次根式，则 可以是
（写出一种情况即可）．
【变式1-1】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）二次根式 是最简二次根式，请写出一个符合条件的
m的值： ．
【变式1-2】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）已知 是最简二次根式，请写出一个满足条件的 的
整数值： ．
【变式1-3】（24-25八年级下·陕西安康·期中）若 （ 为大于1的整数）是最简二次根式，则 的值可以是 ．
类型二、已知同类二次根式求参数
方法总结
1. 化简为首：将给出的二次根式分别化为最简二次根式。
2. 定义列式：根据“同类二次根式”定义——被开方数相同，令化简后的被开方数相等，建立关于参
数的方程。
解题技巧
1. 忽略系数：只关注最简根式下的被开方数是否相同，根号外的系数无需相等。
2. 验根留值：解出参数后必须代回原式，验证化简后确为同类二次根式，并确保原根式有意义（被开
方数≥0）。
例2．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）若 与最简二次根式 可以合并，则a的值是 ．
【变式2-1】（25-26八年级上·湖南永州·月考）若最简二次根式 与 可以合并，则 的值为
．
【变式2-2（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知最简二次根式 与 是同类二次根式，则a的值
为 ．
【变式2-3】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）若最简二次根式 与最简二次根式 是同
类二次根式，则 ．
类型三、二次根式的混合运算
方法总结
1. 顺序清晰：遵循先乘除、后加减，有括号先算括号内的基本运算顺序。
2. 统一形态：先将各项化为最简二次根式，并将除法转化为乘法（乘以倒数）处理。
解题技巧
1. 活用运算律：灵活运用乘法分配律、结合律等简化计算过程。
2. 有理化先行：遇分母含根式时，优先分母有理化，常能大幅简化后续运算。
例3．（25-26八年级上·广东深圳·月考）计算：
(1) ；
(2) ．
【变式3-1】（25-26八年级上·山东青岛·月考）计算：(1)
(2)
(3)
【变式3-2】（25-26八年级上·广东深圳·周测）计算：
(1) ；
(2) ．
(3) ；
(4) ．
【变式3-3】（24-25八年级上·山东济南·期中）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
类型四、二次根式中的分母有理化
方法总结
1. 单根式分母：分子分母同乘分母中的根式，利用(❑√a)(❑√a)=a消去分母根号。
2. 和差根式分母：分子分母同乘分母的共轭根式（如a+❑√b的共轭是a-❑√b），利用平方差公式化简。
解题技巧1. 观察结构：先准确识别分母属于“单根式”还是“和/差含根式”类型，选择对应方法。
2. 预判化简：有理化前，先约分分子分母的公因数，可减少计算量。
例4．（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：
， ．
(1)化简： __________．
(2)观察上面的计算过程，直接写出式子： __________．
(3)利用分母有理化计算： ．
【变式4-1】（25-26九年级上·四川内江·月考）观察下列一组等式，然后解答后面的问题：
；
；
；
．
(1)观察以上规律，请写出第5个等式：________．
(2)利用上面的规律，计算 ．
(3)请利用上面的规律，比较 与 的大小，并写出详细过程
【变式4-2】（25-26八年级上·湖南邵阳·月考）观察下列各式的计算过程，寻找规律：
；
；利用发现的规律解决下列问题：
(1)化简式子： ______；
(2)直接写出式子的值： ______；
(3)计算： （ 为正整数）．
【变式4-3】（25-26八年级上·安徽·假期作业）阅读下面问题： ，
，
，
【问题探究】
（1）根据以上信息，化简： ______________________________．
【应用结论】
（2）利用以上规律，计算：
【拓展应用】
（3）如果有理数a，b满足 ，试求：
的值．类型五、二次根式运算中的新定义型问题
方法总结
1. 读懂“新定义”：仔细阅读并理解题目中定义的新运算规则或新概念的形式与含义。
2. 模仿套用：严格按照新定义的运算步骤或判定条件，将给定的二次根式代入进行运算或推理。
解题技巧
1. 实例验证：用简单的数值或根式先按新规则操作一遍，确保理解无误。
2. 化归思想：将新定义运算后的表达式，通过常规的二次根式运算（化简、有理化等）进行化简求值。
例5．（2025八年级上·全国·专题练习）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：
．如 ．
(1)求 的值．
(2)求 的值．
【变式5-1】（2025九年级上·全国·专题练习）若两个含二次根式的代数式 ， 满足： ，且 是
有理数，则称 与 是关于 的“和谐二次根式”，如 ，则称 与 是关于4的“和谐二
次根式”．
(1)若 与 是关于10的“和谐二次根式”，求 的值．
(2)若 与 是关于6的“和谐二次根式”，求 的值．
【变式5-2】（2025·河北·模拟预测）已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题：
(1)如果 ，则 ；如果 ，则 ；
(2)①如果 ，求b的值；
②若 ，求m与n的关系．
【变式5-3】（24-25八年级下·福建福州·期中）定义：我们将 与 称为一对“对偶式”．
因为 ，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将
和 中的“ ”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根
号中的分母化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)请直接写出 的对偶式_____；
(2)已知 ， ，求 的值；
类型六、二次根式运算中的规律探究问题
方法总结
1. 由特到一般：从给定的前几项具体运算结果入手，观察数字、运算符号及根式的变化模式。
2. 归纳表达式：将观察到的规律（如序号、分子分母特征等）用含 n的代数式（通项公式或运算规
律）表示出来。
解题技巧
1. 对比找不变：对比相邻项的结果，寻找哪些部分恒定、哪些部分按等差/等比等规律变化。
2. 验证保可靠：将归纳出的规律代入后续1-2项进行验证，确保归纳正确后再用于解题。
例6．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【观察思考】
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
【规律发现】
（1）①直接写出第4个等式： ；
②如果 为正整数，用含 的式子表示上述的运算规律： ．
【规律证明】
（2）证明②中的运算规律．
【规律应用】（3）根据上述规律，化简： ．
【变式6-1】（2024·安徽合肥·二模）观察下列各等式，其中反映了某种规律：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式： ．
(2)请你用含n（n为正整数，且 ）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式．
【变式6-2】（25-26八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊
到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
第1个等式 ；
第2个等式 ；
第3个等式 ；
第4个等式 ；
第5个等式 _________（根据规律填空）
(2)观察、归纳、得出猜想．第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数）
(3)证明你的猜想；
(4)应用运算规律．
若 （a，b均为正整数），则 的值为_________．
【变式6-3】（2025八年级上·重庆·专题练习）在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的
活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，
特例 ；
特例 ；
(1)特例3： ________（填写一个符合上述运算特征的式子）；
(2)求证： （ ，且n为整数）；
(3)如果 的小数部分是0.1，那么整数部分为_____．
一、单选题
1．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知 是一个正整数， 也是正整数，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．10 D．202．（25-26九年级上·山西长治·月考）下列计算正确的是（）
A． B．
C． D．
3．（25-26八年级上·广东佛山·月考）若最简二次根式 与 可以合并，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式： ， ， ， ，…，则
第6个二次根式为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运
算为数据加密方式： ，那么 的值为（ ）
A．1 B．4 C．－2 D．9
二、填空题
6．（25-26八年级上·上海·期末）计算： ．
7．（25-26八年级上·江苏苏州·月考） 与最简二次根式 是同类二次根式，则 的平方根为
．
8．（25-26八年级上·全国·期末）若 ， ，则代数式 的值为 ．
9．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）现定义一种新运算 ：对于任意正有理数 ，都有
．
例如： ，则 ．10．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）观察下列各式：① ；② ；③
；……请你将发现的规律用含自然数n（ ）的等式表示出来 ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·广东深圳·期中）计算
(1) ；
(2)
12．（2025八年级上·广东深圳·专题练习）计算：
(1)
(2)
(3)
13．（25-26八年级上·江苏南通·月考）计算或化简：
(1)
(2)
(3)(4) ．
14．（24-25八年级下·安徽铜陵·期中）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法
探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整：
具体运算，发现规律：
特例1： ，
特例2： ，
特例3： ，
(1)观察、归纳，得出猜想：如果 为正整数，用含 的式子表示上述的运算规律为：______．
(2)证明你的猜想；
(3)应用运算规律：
①化简： ______．
②若 （ 均为正整数），则 的值为______．
15．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律．
第①个等式： ；
第②个等式： ；
第③个等式： ；
第④个等式： ：
(1)计算： _____； _____；(2)若 ，则正整数 _____；
【规律应用】
(3)根据上述等式规律，化简：
．
16．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是： ，其中 表示三角形的面积， ， ， 分别表
示三边之长， 表示周长之半，即 ．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公
式”．
请你利用公式解答下列问题．
(1)在 中，已知 ，求 的面积；
(2)计算（1）中 的 边上的高．
(3)在一块四边形的草地如图所示，现测得 米， 米， 米， 米，
，求该草地的面积.
