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专题 02 二次根式的运算
目录
A 题型建模 ・ 专项突破
题型一、同类二次根式 .........................................................................................................................................1
题型二、同类二次根式 .........................................................................................................................................3
题型三、二次根式的混合运算 .............................................................................................................................4
题型四、二次根式中的分母有理化 ..................................................................................................................................7
题型五、二次根式运算中的新定义型问题 .......................................................................................................11
题型六、二次根式运算中的规律探究问题 .......................................................................................................14
B 综合攻坚 ・ 能力跃升
题型一、同类二次根式
1 ．（25-26 九年级上·福建漳州·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是 ( )
A ． B ． C ． D ．
C
【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数是整数，且被开方数中不含能
【答案】
开得尽方的因数，这样的二次根式叫做最简二次根式，即可解答．
【详解】解：A 、 的被开方数是小数，不满足最简二次根式的条件，故此选项不符合题意；
B 、 的被开方数是分数，不满足最简二次根式的条件，故此选项不符合题
意； C 、7 是质数，无平方因数，所以， 是最简二次根式，故此选项符合
题意；
2 ．（25-26 八年级上·广东肇庆·期中）下列各式化成最简二次根式正确的是 ( )
A ． B ．
C ． D ．
D
【答案】
【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键．
逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可．
1 / 29A 、 ， ，未化简，故此选项不符合题意；
【详解】解：
B 、 ，故此选项不符合题意；
C 、 ， 分母有根号，未化简，故此选项不符合题意；
D 、 ，是最简二次根式，故此选项符合题
3 ．（25-26 八年级上·四川达州·月考）下列式子：① , ② , ③ , ④ , ⑤ , ⑥
, 其中最简二次根式有 ( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
只有⑤是最简二次根式，共 1
∴
个，故选：A．
4 ．（25-26 八年级上·全国·课后作业）若二次根式 是最简二次根式，则 m 可取的最小整数为 ( )
A ．1 B ．0 C ． D ．
D
【答案】
【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键
根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可．
： ，
【详解】解
时， ，是最简二次根式，
当
2 / 29可取的最小整数为
故
，故选：D．
题型二、同类二次根式
5 ．（25-26 八年级上·上海静安·期末）下列根式中，与 是同类二次根式的是 ()
A ． B ． C ． D ．
【答案】D
【分析】本题考查同类二次根式，将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次
根式．先将各选项的二次根式化为最简二次根式，即可判断解答．
【详解】解：A 、 ，与 不是同类二次根式；
B 、 ，与 不是同类二次根式；
C 、 ，与 不是同类二次根式；
D 、 ，与 是同类二次根
式．故选：D．
6 ．（25-26 九年级上·四川遂宁·期中）下列二次根式与 是同类二次根式的是 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】B
【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，
就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解： 是最简二次根式，被开方数为 ．
选项A： ，被开方数为 ，不符合题
意．
选项 B ： ，被开方数为 ，符合题意．
选项 C ： ，被开方数为 ，不符合题意．
选项 D ： ，被开方数为 ，不符合题意．
故选：B．
7 ．（25-26 九年级上·四川眉山·期中）最简二次根式 与 是同类二次根式，则 的值为 ( )
A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3
3 / 29B
【答案】
【分析】本题考查同类二次根式的概念，解题的关键是利用“同类二次根式的被开方数相同”这一性质列方
3 / 29根据同类二次根式的定义，令两个最简二次根式的被开方数相等，列方程求解并验证．
求解．
【详解】解：因为最简二次根式 与 是同类二次根式，
所以同类二次根式的被开方数相同，可得方程： ，
解得： ，
验证：当 时， ，均为最简二次根式且被开方数相同，符合题意．
8 ．（25-26 八年级上·山西大同·月考）若最简二次根式 与 能合并，则 的值是 ( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
A
【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式、二次根式的化简，熟练掌握同类二次根式的定义是
【答案】
解题关键．先化简二次根式可得 ，再得出最简二次根式 与 是同类二次根式，则
可得 , 由此即可得．
【详解】解： ，
∵最简二次根式 与 能合并，
∴最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ,
题型三、二次根式的混合运算
9 ．（25-26 八年级上·全国·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
(1)
【答案】
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
( ) 先进行乘法运算，再利用二次根式的性质化简，最后进行减法运算即
可； ( ) 先进行乘除运算，再进行加减运算即可；
4 / 29;
（2）解：原式
.
10 ．（25-26 八年级上·全国·期末）计算
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据平方差公式及二次根式的乘法运算求解即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
;
（2）
.
11 ．（25-26 八年级上·上海·月考）计算：
(1)
;
(2)
(1)
【答案】
5 / 29(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，
（1）按顺序根据二次根式的运算法则进行计算即可；
（2）先分别化简每个二次根式，然后再按运算顺序进行计算即可．
【详解】（1）解：
;
2）解：
（
.
12 ．（25-26 八年级上·山东青岛·月考）计算：
(1)
(2)
(3)
(1)
【答案】
(2)
(3)
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
6 / 29（2）先计算二次根式的除法、乘法，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可；
3）化简二次根式，并利用平方差公式计算，再合并同类二次根式即可．
（
【详解】（1）解：
;
（2）
;
（3）
.
题型四、二次根式中的分母有理化
13. [核心素养]阅读下面的解答过程：
;
;
……
根据以上解答过程解决下列问题：
(1) ；
(2)试求 的值．
(1)
【答案】
7 / 29【分析】本题是材料阅读题，考查了二次根式的混合运算，关键是读懂题中材料提供的解法，并能正确应
用．
（1）根据阅读材料提供的方法即可完成；
（2）对每一项用阅读材料中提供的方法化简再相加即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
.
14. 阅读材料：在解决问题“若 ，求 的值”时，小俊是这样分析与解答
的： ∵ , ∴ , ∴ , ∴
.
∴
.
请你根据小俊的解答过程，解决如下问题：
(1)化简： ；
(2)若 ，求 的值．
(1)
【答案】
(2)
2）先将 化简，得出 ，则 ，进而得出 ，得出 ，代入
（
计算即可．
键是熟练掌握平方差公
本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，完全平方公式，解题的关
式 和完全平方公式 ．
1）解： ；
【详解】（
8 / 29（2）解： ，
则 ，
∴
则 ，
∴ ,
15. 阅读材料：
像 两个含有二次根式的代数式
相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如， 与 、 与 、 与 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算
时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
根据以上阅读材料回答下列问题：
(1)计算： ；
(2)计算： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．
（1）原式的分子和分母都乘以 解答即可；
（2）先将每一项分母有理化，再计算加减即可．
.
16. 阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如 、 、 一样
的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
9 / 29( Ⅰ )
( Ⅱ )
(Ⅲ)
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
(Ⅳ)
(1)请用不同的方法化简
①参照 (Ⅲ) 式得 ；
②参照 (Ⅳ) 式得 ；
(2)化简：
【答案】(1)① ;
②
(2)
【分析】本题主要考查了分母有理化以及分式的加减法运算，根据分母有理化的方法进行运算即可．
（1）根据分母有理化的两种方式分别进行运算即可．
（2）根据分母有理化的结果进行分式的加法运算即可．
【详解】（1）解：① ,
②
（2）
10 / 29题型五、二次根式运算中的新定义型问题
17.定义：若两个二次根式 ， 满足 ，且 是有理数．则称 与 是关于 的美好二
次根式． (1)若 与 是关于 6 的美好二次根式，求 的值：
(2)若 与 是关于 的美好二次根式，求 和 的值．
【答案】(1) ；
2) ， ．
(
【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
( ) 利用二次根式的新定义运算解答即可求解
( ) 利用二次根式的新定义运算解答即可求
解【详解】（1）解：由题意可得， ，
∴ ;
（2）解：由题意可得，
，整理得， ，
,
∴
∴ ,
∴ .
18.对于任意的正数 ， 定义运算 为：
. (1)计算 的结果；
(2)计算 的结果.
(1) ；
(2)2；
【答案】
【分析】本题考查新运算及根式的混合运算：
（1）先根据新运算展开，再根据根式的运算法则直接计算即可得到答案；
（2）先根据新运算展开，再根据根式的运算法则直接计算即可得到答
11 / 29;
2）解：由题意可得，
（
, ,
.
∴
19.我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的 2 倍的三角形叫做奇异三角形．例如，某三
角形的三边长分别是 2 ，4 和 ，因为 ，所以这个三角形是奇异三角形．
(1)若 的三边长分别是 2 ， 和 ，判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由．
(2)若 Rt 是奇异三角形，直角边的长为 a ，b（ ），斜边长为 c ，写出a 和b 的等量关系式．
【答案】(1)此三角形是奇异三角形，理由见解析
(2)
【分析】考查了直角三角形的性质、勾股定理；
（1）根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可．
（2）由勾股定理得出 ① , 由 是奇异三角形，且 ，得出 ② , 由
①②得出 ，即可得出结论．
熟练掌握奇异三角形的定义、勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）解：此三角形是奇异三角形；理由如下：
,
是奇异三角形，
（2） 中， ，
,
,
, ,
是奇异三角形，
,
,
,
,
20 ．（23-24 八年级上·江苏淮安·阶段练习）我们规定用 表示有序数对．给出如下定义：记
， , 其中 ， ，将 与 称为有序数对 的一对“对称数对”．例如； 的
一对“对
称数对”为 和 ．
12 / 29(1)有序数对 的一对“对称数对”是______;
(2)若有序数对 的一对“对称数对”相同，则y 的值为______;
(3)若有序数对 的一个“对称数对”是 ，则 x 的值为______;
(4)若有序数对 的一个“对称数对”是 ，求 的值．
【答案】(1) 和
(2)
(3)
(4)6 或
【分析】本题主要考查了新定义，解方程，二次根式的性质，理解和应用新定义是解本题的关键．
（1）根据新定义即可得出结论；
（2）根据新定义，列等式 ，解方程进而得出结论；
（3）根据新定义，列等式 ，解方程进而得出结论；
（4）根据新定义，列方程 或 ，解方程进而得出结
论． 【详解】（1）解： ，
有序数对 的一对“对称数对”是 和
，故答案为： 和 ；
（2）解： 有序数对 的一对“对称数对”相
同， ,
,
故答案为： ；
13 / 29（3）解： 有序数对 的一个“对称数对”是 ，
13 / 29, ,
故答案为： ；
（4）解： 有序数对 的一个“对称数对”是 ,
或 ，
或 ，
或 ．
即 的值为 6 或 ．
题型六、二次根式运算中的规律探究问题
21.先观察下列等式，再回答问题：
①
②
③
(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果：
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用 n 的式子表示的等式：
(3)计算：
( 1)
【答案】
(2)
(3)
14 / 29【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理
解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键．
（2）第 n 个式子为： ；
（3）
.
22.观察下列各个等式：
第①个等式： ；
第②个等式： ；
第③个等式： ；
第④个等式： ；
……
按以上等式规律，解决下面的问题：
(1)写出第⑤个等式： ．
(2)完成第 n 个等式： ，并证明这个等式的正确性．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
15 / 29【（分1）析根】据此题题目考提查供了的二规次律根写式出的答运案算即，可根；据题意找到规律是解题的关键．
（2）根据题目中的规律得到答案，再利用二次根式的性质进行计算证明即
可． 【详解】（1）根据题意：
第②个等式： ；
第③个等式： ；
第④个等式： ；
则第⑤个等式：
故答案为：
（2）
故答案为：
证明如下：
左边
∵n 为大于或等于 1 的整数，
∴
∴左边 右边.
成立.
23.观察下列各式及验证过程： ，
验证 ； ，
验证 ，
验证
(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想 的变形结果并进行验证．
16 / 29(2)针对上述各式反映的规律，写出用 为任意的自然数，且 表示的等式，并给出证明．
【答案】(1) ，验证见解析
(2) ，验证见解析
【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右
两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式．
1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质 ，把根号内的移到根号
（
（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分
母之间的关系可得： ．
【详解】（1）
验证：
;
（2）
．验证：
.
24.观察下列各式并解答问题：
; ; ……
(1)计算： ；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n 的等式表示，n 为正整数）．
17 / 29(1)
【答案】
(2) （n 为正整数）
一、单选题
1 ．（25-26 八年级上·重庆·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是 ( )
18 / 29A ． B ． C ． D ．
2 ．（25-26 九年级上·吉林长春·期末）下列二次根式与 是同类二次根式的是 ( )
A ． B ． C ． D ．
D
【分析】本题考查同类二次根式的概念。关键在于将各选项化简为最简二次根式后，判断其被开方数是
【否答案】
与 相同，只有 D 选项化简后为 ，符合题意．
同类二次根式需化简后比较被开方数， 化简为 ，与 被开方数相同．
【详解】解： ∵ ,
∴ 与 的被开方数均为 3，
3 ．（25-26 九年级上·吉林长春·期末）下列运算正确的是 ( )
A ． B ．
C ． D ．
19 / 294 ．（25-26 八年级上·重庆·月考）估计 的值应在 ( )
A ．4 与 5 之间 B ．5 与 6 之间 C ．6 与 7 之间 D ．7 与 8 之间
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式混合运算、无理数估算及不等式性质，熟练掌握二次根式混合运算和无理
数估算方法是解决问题的关键．先将表达式化简为 ，然后通过估计 的值范围，确定整个表
达
式的取值范围即可．
【详解】解： ∵
,
又∵ ,
,
∴∴ ,
∴原式的值在 5 与 6 之
间；故选：B．
5 ．（25-26 八年级上·湖南永州·期中）对于任意的正数 ，定义运算为： ，
计算
的结果是 ( )
A ． B ． C ． D ．
C
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据新运算定义分别计算 和 ，再求乘积即可求
解，理解新定义运算是解题的关键．
【详解】解： ∵ ,
,
∵
,
∴
,
∴
： ．
故选
20 / 29二、填空题
20 / 296 ．（25-26 八年级上·湖南郴州·期中）化简 的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了将根式化为最简二次根式，将根号内的分数表示为分子和分母的平方根之比，然后化
简分母中的根号并有理化；
【详解】解： ．
： ．
故答案为
7．（25-26 八年级上·河南平顶山·期中）二次根式 是最简二次根式，请写出一个符合条件的m 的值：
.
1
【【分答析案】】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含平方因子，因此
需无平方因子，故 不能是 3 的倍数且自身无平方因子，
【详解】解：当 ，则 ，3 无平方因子，故 是最简二次根式
8 ．（25-26 九年级上·四川泸州·月考）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式乘除混合运算的法则是解题的关键．
直接根据二次根式乘除混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：
.
故答案为： ．
9．（25-26 八年级上·陕西西安·月考）已知最简二次根式 与 是同类二次根式，则a 的值为
.
21 / 29.
．
解得
.
∴
则 ， ，
∴ ,
∴
,
： ．
故答案为
三、解答题
11 ．（25-26 八年级上·上海黄浦·期中）计算：
(1)
；
(2)
．
(1) ；
【答案】
(2) ．
22 / 29【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
( ) 根据二次根式乘除运算法则即可求解；
( ) 先分母有理化，二次根式乘法运算，然后进行二次根式加减运算即可．
【详解】（1）解：
;
2）解：
（
.
12 ．（25-26 八年级上·上海·月考）计算
(1)
(2)
(1)
【答案】
(2)
1）先化简二次根式，分母有理化，再计算加减即可；
（
（2）根据二次根式的乘除运算法则计算，再化简二次根式即可．
【详解】（1）
解：
23 / 29;
（2）解：
.
13 ．（25-26 八年级上·全国·单元测试）已知 ．求下列各式的值：
(1)
； (2) ．
14 ．（2025 八年级上·重庆·专题练习）在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经
验，类比探究了二次根式的运算规律，
特例 ;
24 / 29特例 ；
(1)特例 3 ： ________（填写一个符合上述运算特征的式子）；
(2)求证： （ ，且 n 为整数）；
(3)如果 的小数部分是 0.1 ，那么整数部分为_____．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)5
1）仿照题干给出的特例，作答即可；
（
（2）根据二次根式的性质进行化简即可；
3）利用规律先化简，再进行计算即可．
（
【详解】（1）解：由题意， ；
（2）证明： ∵ , 且 n 为整数，
∴
25 / 29,
;
（3）解：
,
的小数部分是 0.1
∵
,
∴
,
∴
的整数部分为 ．
15 ．∴（25-26 九年级上·福建泉州·期中）阅读下面计算过程：
;
;
.试求：
(1) 的值．
(2)求 的值．
(3)若 ，求 的值．
(1)
【答案】
(2)
26 / 29(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简求值等知识，化简二次根式是解题的关键．
（1）分子分母同乘 即可求解；
（2）仿照题干中提供的材料所示的方法，把各项化简即可求解；
（3）把 a 化简为 ，进而可得 ，原式变形为 ，再代入即可求值．
1）解： ；
【详解】（
…
;
（3）解： ，
,
∴
,
∴
即 ，
.
16 ．（23-24 八年级上·北京海淀·月考）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究
下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律：
特例 1 ： ，
特例
2 ： ，
27 / 29特例 3 ： ，
特例 4 ：______（填写一个符合上述运算特征的式子）．
(2)观察、归纳，得出猜想：
如果 n 为正整数，用含 n 的式子表示上述的运算规律为：______．
(3)证明你的猜想；
(4)应用运算规律：
①化简： ______；
②若 （a ，b 均为正整数），则 的值为______．
(1) ；（答案不唯一）
【答案】
(2)
(3)见解析
(4)① ; ②18
2）由材料提示，归纳总结即可；
（
（3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可；
4）根据材料提示的方法代入运算即可．
（
： ；
故答案为
2）解：由上述计算可得，如果 为正整数，上述的运算规律为： ，
（
故答案为： ；
（3）解： ，
等式左边 等式右边；
（4）①
解：
28 / 29.
②
, ,
,
.
29 / 29
