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专题04 已知二元对称式化简求值
【例题讲解】
已知 ，求（1） （2）
【详解】解：
xy=
x+y=14,x-y=
（1） =
（2）
【综合解答】
1．已知 , ，求 的值．
【答案】6
【分析】由已知条件求出xy，x+y将原式化为 ，进而代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，由已知条件求出xy，x+y是解题关键．
2．已知 ， ，求 的值．
【答案】
【分析】先根据题意求出a-b的值和ab的值，然后把已知的式子变形为完全平方和a-b及ab的整
体形式，然后整体代入即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴
＝
＝
＝
＝ ．
【点睛】此题考查了整式的乘法公式：完全平方公式及平方差公式的应用，熟记公式并熟练应用
是解题的关键．
3．已知 ， ，求下列各式的值：（1） ；（2） ．
【答案】（1） ；（2）34
【详解】先计算出 ， ， 的值，再将（1）（2）两个式子变形代入即可求出结果.
解：（1）∵ ，
∴ ， ，
∴
（2）4．当 时，求 和xy2＋x2y的值．
【答案】2 ，112
【详解】解：∵ ，
∴
∴ =
xy2＋x2y=
5．已知 ， ，求 的值
【答案】6
【分析】根据二次根式的加减法法则、平方差公式求出x-y、xy，利用完全平方公式把所求的代数
式变形，代入计算即可．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴
=
=4+2
=6
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则、
完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
6．已知a= + ,b= － ，求下列各式的值．
（1）a2－ab+b2 （2）a2－b2【答案】(1)9 (2)4
【详解】试题分析：
（1）先将原式应用完全平方公式变形为 ，再代值计算即可；
（2）先将原式用“平方差公式”分解为 ，再代值计算即可.
试题解析：
∵ ，
∴ ， ，
∴（1）原式=
=
=
（2）原式=
=
= .
点睛：本题的解题要点是由： 先得到 ， ，
再将原式分别用“完全平方公式”和“平方差公式”变形后再代值计算，这样可使计算过程更简
单.
7．已知a＝ －1，b＝ ＋1.
求：(1)a2b＋ab2的值；(2) 的值．
【答案】(1)2 ;(2)6.
【分析】(1)先将代数式进行因式分解,然后再分别计算两个数的和,两个数的乘积,最后代入分解后
的代数式即可求解,
(2)先将分式通分,然后根据完全平方公式变形,再将两个数的和,两个数的乘积代入变形后的代数式计算即可求解.
【详解】解:∵ab＝1,a＋b＝2 ,
∴(1)a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝2 ,
(2) ＝ = ,
∵ab＝1,a＋b＝2 ,
∴ ＝ = .
【点睛】本题主要考查代数式化简求值,解决本题的关键是要根据因式分解和完全平方公式对代数
式进行变形.
8．已知 ， ．求 的值．
【答案】15
【分析】先根据完全平方公式对代数式 进行变形可得: ,
再根据 , 可分别计算出 ， ，代入变形后的代数式即可.
【详解】因为 ， ，
所以 , ，
所以 .
【点睛】本题主要考查代数式化简求值,二次根式加法和乘法计算，解决本题的关键是要熟练根据
完全平方公式对代数式进行变形和二次根式加法乘法法则.
9．已知x= +1 , y= －1 , 求x2+xy+y2的值．
【答案】7
【分析】根据二次根式的加减法法则、平方差公式求出x+y、xy，利用完全平方公式把所求的代数
式变形，代入计算即可．【详解】∵x= +1 , y= －1 ,
∴x+y=（ +1）+（ －1）=2 ，
xy=（ +1）（ －1）=1，
∴x2+xy+y2 = x2+2xy+ －xy= -xy= -1=7.
故答案为：7.
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，灵活运用平方差公式是解题的关键.
10．已知x＝ ，求值：2x2﹣3xy+2y2．
【答案】385．
【分析】先利用分母有理化化简x，y的值，再求得x-y和xy的值，然后利用配方法把多项式进行
变形，最后代入求值即可．
【详解】解：∵x＝ ＝7+4 ，y＝ ＝7﹣4 ，
∴x﹣y＝8 ，xy＝1，
∴原式＝2（x﹣y）2+xy＝2× +1=385．
故答案为385.
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解题的关键在于对x、y的值进行化简, 利
用完全平方公式对所求代数式进行变形．
11．已知x＝ +1，y＝ ﹣1，求下列各代数式的值：
(1)x2y﹣xy2；
(2)x2﹣xy+y2．
【答案】(1)2；(2)5．
【分析】（1）根据x、y的值可以求得xy和x﹣y的值，从而可以解答本题；
（2）根据x、y的值可以求得xy和x﹣y的值，从而可以解答本题．
【详解】(1)∵x＝ +1，y＝ ﹣1，
∴xy＝2﹣1＝1，x﹣y＝2，∴x2y﹣xy2＝xy(x﹣y)＝1×2＝2；
(2))∵x＝ +1，y＝ ﹣1，
∴xy＝2﹣1＝1，x﹣y＝2，
∴x2﹣xy+y2＝(x﹣y)2+xy＝22+1＝4+1＝5．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
12．已知x＝ ，y＝ ，求：(1)x2y﹣xy2的值；(2)x2﹣xy+y2的值．
【答案】(1)4 ；(2)33.
【分析】先将x和y的值分母有理化后，计算xy和x+y的值，再分别代入（1）和（2）问代入计算
即可．
【详解】∵x＝ ＝ ，y＝ ＝
，
∴xy＝ × ＝1，x+y＝3+2 +3﹣2 ＝6，
∴(1)x2y﹣xy2，
＝xy(x﹣y)，
＝1× ，
＝4 ；
(2)x2﹣xy+y2，
＝(x+y)2﹣3xy，
＝62﹣3×1，
＝36﹣3，
＝33．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，在解答时应先化简x和y的值，并利用提公因式法
和完全平方公式将所求式子进行变形是关键．
13．已知x=1- ，y=1+ ，求x2+y2-xy-2x+2y的值.
【答案】10+4 .【分析】根据已知先分别求出x-y与xy的值，然后将所求式子进行因式分解后利用整体代入思想
进行求解即可.
【详解】∵x=1- ，y=1+ ，
∴x-y=(1- )-(1+ )=-2 ，xy=(1- )(1+ )=-2，
∴x2+y2-xy-2x+2y
=(x-y)2-2(x-y)+xy
=(-2 )2-2×(-2 )+(-2)
=10+4 .
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，利用整体代入思想是解题的关键.
14．已知a=2+ ，b=2- ，求下列各式的值
（1）a2-b2
（2）ab2+a2b．
【答案】（1） ;（2）4.
【分析】先求出a+b,a-b,ab的值，
(1)将a2-b2用平方差公式进行因式分解，然后代入a,b的值，并进行二次根式运算.
(2)将ab2+a2b提取公因式后代入ab,a+b即可求值.
【详解】解：a+b=2+ +2- =4，a-b=2 ，ab=1
（1）a2-b2=（a+b）（a-b）=8 ；
（2）ab2+a2b=ab（a+b）=4．
【点睛】本题主要是将原式进行因式分解，然后整体代入求值会简便很多.
15．已知 ， ，分别求下列代数式的值：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2）16．【分析】先求得x+y和xy的值；
（1）先通分，再相加，再将x+y和xy的值代入计算即可;
（2）运用完全平方和的公式将 ，再将x+y和xy的值代入计算即可.
【详解】解：由已知得 ； ；
（1） ；
（2） ．
【点睛】考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式的化简求值的方法．
16．已知 ， ，分别求下列代数式的值；
（1） ；
（2） .
【答案】（1）6；（2）6.
【分析】先把x、y的值进行化简，把化简后的值代入，（1）再根据完全平方公式即可求答案．
（2）根据第（1）问的答案即可求出答案．
【详解】解：（1）∵ ,
∴
（2）∵ ,
∴原式
【点睛】本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用整体的思想，本题属于基础题型．17．已知 ， ，求代数式 的值.
【答案】
【分析】根据二次根式的性质化简求得x、y的值，再求得xy、x+y的值，最后整体代入求值即可.
【详解】∵ = ，
，
∴xy= ，x+y= ，
∴ = .
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质化简求得x、y、 xy、x+y的值是
解决问题的关键.
18．已知x＝ ﹣1，y＝ +1，求x2+xy+y2的值．
【答案】10
【分析】根据x、y的值，可以求得题目中所求式子的值．
【详解】解：∵x＝ ﹣1，y＝ +1，
∴x+y＝2 ，xy＝2，
∴x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝（2 ）2﹣2＝12﹣2＝10．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
19．已知 ，分别求下列代数式的值：
（1） ；
（2）
【答案】（1）6（2）【分析】（1）根据完全平方公式即可求出答案；
（2）先化简，然后计算 的值，把值代入即可求出答案．
【详解】（1）解：x2+y2
=（ -1）2+（ +1）2
=3-2 +3+2
=6
（2）
∵
∴原式=
【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式的变形求值，解题关键是熟练运用整体的思想求值．
20．若x＝3＋2 ，y＝3－2 ，求 的值．
【答案】0
【分析】先运用平方差及完全平方公式进行因式分解，再约分，将分式化到最简即可．
x−y x+y−2√xy
−
【详解】√x+√y √x−√y
=
=
=
=0．
故当x＝3+2 ，y＝3−2 时，原式=0．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值．运用公式将分子因式分解可使运算简便．由于所求代
数式化简之后是一个常数0，与字母取值无关．因而无论x、y取何值，原式都等于0．
21．已知 ， ，求 的值.
【答案】17.
【分析】先把x，y化简，再代入代数式计算；
【详解】解： =2- ， =2+ ，
=（2- ）2+3（2- ）（2+ ）+（2+ ）2
=7-4 +3+7+4
=17.
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握运算顺序和运算法则.
22．已知 ， .
①求 的值；
②求 的值.
【答案】①10；②195.
【分析】①运用平方差公式将分母有理化，然后进行二次根式加减运算；
②运用平方差公式进行二次根式乘法运算，然后整体代入求值..
【详解】解：∵ ，
①
②
∴
【点睛】在实数范围内运用平方差公式计算是本题的解题关键.
