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专题1 二次根式非负性的应用（解析版）
第一部分 典例精析及变式训练
类型一 利用 （a≥0）求值
1
典例1 （2021•长沙模拟）已知y=2+ ，那么，点P（x，y）应在直角坐标平面的（ ）
√-x
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1
思路引领：由函数y＝2 + 知：﹣x＞0，y＞0，即可判断出点P（x，y）在第几象限．
√-x
1
解：由函数y＝2 + 知：﹣x＞0，y＞0，
√-x
∴x＜0，y＞0，
∴点P（x，y）在第二象限，
故选：B．
总结提升：本题考查了坐标确定位置及二次根式有意义的条件，属于基础题，关键是根据已知条件判断
x，y的正负．
变式训练
√ 1
1．（温州校级自主招生）已知y=- ，则在直角坐标系中，点P（x，y）所在的象限为（ ）
x-2
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
思路引领：根据二次根式和分式的性质分别求得x、y的取值范围，然后根据横轴坐标的符号确定点P
的位置．
√ 1
解：要使得y=- 有意义，则x﹣2＞0，
x-2
∴x＞2，
√ 1
∴y=- ＜0，
x-2
∴点P（x，y）位于第四象限．
故选：D．
总结提升：本题考查了二根式有意义的条件和点的坐标的知识，解题的关键是根据二次根式有意义的条
件确定x、y的符号．类型二 利用 （a≥0）求值
典例2（2019春•蜀山区期末）若x-√y+√- y=1，则x﹣y的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
思路引领：直接利用二次根式的性质得出y的值，进而得出答案．
解：∵√y与√- y都有意义，
∴y＝0，
∴x＝1，
故选x﹣y＝1﹣0＝1．
故选：B．
总结提升：此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
变式训练
1
1．（2012•安徽模拟）已知点P（x，y）满足y=√x-2011+√2011-x+ ，则经过点P的反比例函数
2011
m
y= 的图象经过（ ）
x
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
思路引领：根据二次根式有意义的条件，x﹣2011≥0，2011﹣x≥0，则x＝2011，从而得出y，再代入y
m m
= 求得m即可判断反比例函数y= 的图象经过的象限．
x x
解：∵x﹣2011≥0，2011﹣x≥0，
∴x＝2011，
1
∴y= ，
2011
1 m
将x＝2011，y= 代入y= 得，m＝1，
2011 x
m
所以反比例函数y= 的图象位于第一、三象限．
x
故选：C．
总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件和反比例函数的对称性，是基础知识要熟练掌握．2．（2021春•临淄区期中）设x、y均为实数，且y √x2-3+√3-x2 2，求y x的值．
= + +
√1-x x y
思路引领：根据二次根式的有意义的条件求出x的值，代入已知式子求出y的值，代入计算即可．
解：由题意得，x2﹣3≥0，3﹣x2≥0，1﹣x＞0，
解得，x=-√3，
则y＝2，
y x √3 2 7
+ =- - =- √3．
x y 2 √3 6
总结提升：本题考查的是二次根式的有意义的条件和二次根式的计算，掌握二次根式的被开方数是非负
数的解题的关键．
类型三 利用 （隐含a≥0）求值
典例3（涪城区校级自主招生）已知x是实数，且（x﹣2）（x﹣3）√1-x=0，则x2+x+1的值为（ ）
A．13 B．7 C．3 D．13或7或3
思路引领：根据二次根式的性质求出x≤1，求出x的值，代入求出即可．
解：∵要使（x﹣2）（x﹣3）√1-x有意义，
∴1﹣x≥0，
∴x≤1，
∵x是实数，且（x﹣2）（x﹣3）√1-x=0，
∴x﹣2＝0，x﹣3＝0，√1-x=0，
∴x＝2或x＝3或x＝1，
∴x＝1，
∴x2+x+1＝12+1+1＝3，
故选：C．
总结提升：本题考查了二次根式的性质和求代数式的值的应用，关键是求出x的值．
变式训练
1．（2020秋•崇川区校级月考）已知a，b为实数，且√1+a-(b-1)√1-b=0，求a2020﹣b2021的值．
思路引领：由已知条件得到√1+a+（1﹣b）√1-b=0，利用二次根式有意义的条件得到1﹣b≥0，再根
据几个非负数和的性质得到1+a＝0，1﹣b＝0，解得a＝﹣1，b＝1，然后根据乘方的意义计算a2020﹣
b2021的值．
解：∵√1+a-(b-1)√1-b=0，∴√1+a+（1﹣b）√1-b=0，
∵1﹣b≥0，1+a≥0，
∴1+a＝0，1﹣b＝0，
解得a＝﹣1，b＝1，
∴a2020﹣b2021＝（﹣1）2020﹣12021＝1﹣1＝0．
总结提升：本题考查了非负数的性质：算术平方根具有非负性．非负数之和等于 0时，各项都等于0，
利用此性质列方程解决求值问题．
类型四 利用 （a≥0， ）求最值
≥0
典例4（2020•河北模拟）若代数式√a-5+|b﹣1|+c2+a在实数范围内有意义，则此代数式的最小值为（
）
A．0 B．5 C．4 D．﹣5
思路引领：利用二次根式的定义、绝对值、平方数的性质分析得出答案．
解：代数式，√a-5+|b﹣1|+c2+a在实数范围内有意义，则
a﹣5≥0，|b﹣1|≥0，c2≥0，
所以代数式，√a-5+|b﹣1|+c2+a的最小值是a，a＝5，
故选：B．
总结提升：此题主要考查了二次根式、绝对值、平方数的意义，正确把握定义及性质是解题关键．
变式训练
1．（2022春•莱州市期末）若√12n是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．12
思路引领：根据12＝22×3，若√12n是整数，则12n一定是一个完全平方数，据此即可求得n的值．
解：∵12＝22×3，
∴√12n是整数的正整数n的最小值是3．
故选：B．
总结提升：本题考查了二次根式的定义．解题的关键是掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如√a
（a≥0）的式子叫做二次根式．
2．（2021春•凤凰县月考）代数式√x+√x-1+√x-2的最小值是（ ）
A．0 B．1+√2 C．1 D．不存在的
思路引领：根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数列不等式组求x的取值范围，再确定代数式
的最小值．{ x≥0
解：由条件得 x-1≥0，则x≥2．
x-2≥0
√x+√x-1+√x-2≥√2+√2-1+√2-2=√2+1．
即代数式√x+√x-1+√x-2的最小值是√2+1．
故选：B．
总结提升：主要考查了二次根式的意义和性质及解一元一次不等式组．
二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
√1
3．（2022春•西华县期中）二次根式 x-2中x的最小整数值是 ．
3
思路引领：根据二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数得到x的取值范围即可得到x的
最小整数值．
1
解：∵ x﹣2≥0，
3
∴x≥6，
∴x的最小整数值是6．
故答案为：6．
总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
4．（2021春•睢县期中）√a+3+2的最小值是 ，此时a的值是 ．
思路引领：根据二次根式的定义，a+3≥0，可可判断所求式子的最小值，可求得最小值时a的值．
解：∵√a+3≥0，
∴√a+3+2≥2，
当a+3＝0时，即a＝﹣3，最小值为2，
故答案为：2，﹣3．
总结提升：本题主要考查二次根式的定义，解答的关键是明确√x是非负数
类型五 化简形如 （指定a的范围）的式子
典例5 化简： （a≥0）．
√20a2b
思路引领：利用二次根式的性质化简．
解：原式＝2a√5b．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘
除运算，然后合并同类二次根式．变式训练
15．当a 1且a≠0时，化简：√4a2-4a+1 ．
＜ =
2 2a2-a
1
思 路 引 领 ： 由 a＜ 知 2a﹣ 1 ＜ 0 ， 据 此 利 用 二 次 根 式 的 性 质 得 原 式
2
√(2a-1) 2 |2a-1| -(2a-1)，约分即可得．
= = =
a(2a-1) a(2a-1) a(2a-1)
1
解：∵a＜ 且a≠0，
2
∴2a﹣1＜0，
则原式 √(2a-1) 2
=
a(2a-1)
|2a-1|
=
a(2a-1)
-(2a-1)
=
a(2a-1)
1
=- ，
a
1
故答案为：- ．
a
总结提升：本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质 |a|．
√a2=
类型六 化简形如 （需判断a的范围）的式子
典例6（2021•越秀区校级二模）化简 ．
√1-4x+4x2-(√2x-3) 2=
思路引领：先将1﹣4x+4x2化成（1﹣2x）2，再根据（√2x-3）2有意义，即可求得x的取值范围，从
而化简得出结果．
解：∵（√2x-3）2有意义，
∴2x﹣3≥0，
∴x≥1.5，
∴2x﹣1≥3﹣1＝2，∴
√1-4x+4x2-(√2x-3) 2
2x+3
=√(1-2x) 2-
＝2x﹣1﹣2x+3
＝2，
故答案为2．
总结提升：本题考查了完全平方公式和二次根式的化简和求值，是基础知识要熟练掌握．
变式训练
1．若x、y都为实数，且满足y 3，则化简 ．
＞√x-2-√2-x+ √(3- y) 2=
思路引领：根据二次根式的被开方数是非负数求得x＝2，则y＞3，然后来简 ．
√(3- y) 2
解：∵x、y都为实数，且满足y＞√x-2-√2-x+3，
{x-2≥0
∴ ，
2-x≥0
∴x＝2，则y＞3，
∴ |3﹣y|＝y﹣3．
√(3- y) 2=
故答案是：y﹣3．
总结提升：考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的
被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．化简： • 0 ．
√a-b √a-b-√(b-a) 2=
思路引领：根据题意可得a＞b，由此可得 （a﹣b），从而可得出答案．
√(b-a) 2=
解：由题意得a＞b，
原式＝（a﹣b）﹣（a﹣b）＝0．
故填0．
总结提升：本题考查二次根式有意义的条件，根据题意判断出a＞b是解决本题的关键．
3．（2021秋•高州市校级月考）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： ．
√(a+1) 2+2√(b-1) 2-|a-b|
思路引领：根据题意可得：a＜﹣1，b＞1，从而可得a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，然后利用绝对值的
意义和二次根式的性质，进行计算即可解答．
解：由题意得：
a＜﹣1，b＞1，
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴
√(a+1) 2+2√(b-1) 2-|a-b|
＝﹣（a+1）+2（b﹣1）﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣1+2b﹣2﹣b+a
＝b﹣3．
总结提升：本题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟练掌握绝对值的意义和二次根式的性质
是解题的关键．
类型七 化简形如 （隐含a小于0或等于0）的式子
√ 1
典例7 已知a为实数，化简：√-a3-a - ，阅读下面的解答过程，请判断是否正确，若不正确，请写出
a
正确的解答过程．
√ 1 1
解：√-a3-a - =a×√-a-a× √a=（a﹣1）√a．
a a
思路引领：直接利用二次根式的性质化简求出答案．
解：原题错误．
√ 1
正确结果：√-a3-a -
a
√-a
＝﹣a×√-a+a×
a
＝（﹣a+1）√-a．
总结提升：此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
变式训练
1．化简：|| 1|﹣2|＝ ．
√-x2-
思路引领：由非负数的性质求出x，然后求得答案．解：∵﹣x2≥0，
∴x2＝0，
∴x＝0，
∴|| 1|﹣2|＝||0﹣1|﹣2|＝|1﹣2|＝1．
√-x2-
故答案为1．
总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，被开方数≥0．
类型八 |a|， 的综合运用
，
典例8（2022秋•灞桥区校级月考）（1）已知非零实数a，b满足|a﹣4|+（b+3）2+√a-4+4＝a，求a+b的
值．
（2）已知非负实数a，b满足a+b+|√c-1-1|＝4√a-2+2√b+1-4，求a+2b﹣2c的值．
思路引领：（1）先根据二次根式的性质求出a的范围，然后去掉绝对值号进行化简．最后利用非负性
求出a+b的值
（2）先将a+b+|√c-1-1|＝4√a-2+2√b+1-4，化为几个非负数的和为零的形式，然后利用非负性求
出a、b、c的值．
（1）解：∵√a-4
∴a﹣4≥0
∴
(a-4)+(b+3) 2+√a-4+4=a
∴
(b+3) 2+√a-4=0
∴b+3＝0，a﹣4＝0
∴b＝﹣3，a＝4
∴a+b＝1
（2）由题意可知：a+b+|√c-1-1|-4√a-2-2√b+1+4=0
∴(a-2)-4√a-2+4+(b+1)-2√b+1+1+|√c-1-1|=0
(√a-2-2) 2+(√b+1-1) 2+|√c-1-1|=0
∴√a-2=2，√b+1=1，√c-1=1
∴a＝6，b＝0，c＝2
∴a+2b﹣2c＝6+0﹣2×2＝2总结提升：本题考查非负数的性质，解题的关键是将所给的式子化为非负数的和为0的性质，然后利用
非负性求出a、b、c的值，本题属于中等题型．
针对训练
1．已知△ABC的三边a，b，c满足关系a+b+c﹣2√a-5-4√b-4-6√c-1+4＝0，试求△ABC的周长．
思路引领：本题主要考查了已知式子，变成二次根式求出a，b，c的值，便可求出△ABC的周长．
解：∵a+b+c-2√a-5-4√b-4-6√c-1+4=0，
∴a﹣5﹣2√a-5+1+b﹣4-4√b-4+4+c﹣1﹣6√c-1+9＝0．
∴（ 1）2 0
√a-5- +(√b-4-2) 2+(√c-1-3) 2=
∴√a-5=1，√b-4=2，√c-1=3．
∴a＝6，b＝8，c＝10．
因此，△ABC的周长为：a+b+c＝24．
总结提升：本题主要考查二次根式的性质在三角形中的灵活应用．
第二部分 专题提优训练
1．（2021秋•石鼓区期末）若a＜0，则化简|a﹣3| 的结果为（ ）
-√a2
A．3﹣2a B．3 C．﹣3 D．2a﹣3
思路引领：先化简各式，然后再进行计算即可．
解：∵a＜0，
∴a﹣3＜0，
∴|a﹣3|
-√a2
＝3﹣a﹣（﹣a）
＝3﹣a+a
＝3，
故选：B．
总结提升：本题考查了二次根式的性质与化简，准确熟练地化简各式是解题的关键．
2．（2022春•宁陵县期末）在二次根式√a-2中，a能取到的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．2.5
思路引领：根据二次根式的定义求出a的范围，再得出答案即可．
解：要使√a-2有意义，必须a﹣2≥0，即a≥2，
所以a能取到的最小值是2，
故选：C．
总结提升：本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键．
3．（2021秋•泊头市期末）若实数x，y满足y=√x-5+√5-x-1，则x﹣y的值是（ ）
A．1 B．﹣6 C．4 D．6
思路引领：根据二次根式有意义的条件，求出x，代入关系式中求出y，从而得到x﹣y的值．
解：∵x﹣5≥0，5﹣x≥0，
∴x≥5，x≤5，
∴x＝5，
∴y＝﹣1，
∴x﹣y＝5﹣（﹣1）＝5+1＝6，
故选：D．
总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题
的关键．
4．化简 （ ）2得（ ）
√1-4x+4x2- √2x-3
A．2 B．﹣4x+4 C．﹣2 D．4x﹣4
思路引领：√2x-3有意义，则有2x﹣3≥0，即2x≥3，可知1﹣2x≤0，根据二次根式的性质化简．
解：根据二次根式有意义的条件，
得2x﹣3≥0，即2x≥3，可知1﹣2x≤0，
∴原式 （ ）2
=√1-4x+4x2- √2x-3
＝|1﹣2x|﹣（2x﹣3）
＝（2x﹣1）﹣（2x﹣3）＝2．
故选：A．
总结提升：主要考查了根据二次根式的意义化简．二次根式 规律总结：当a≥0时， a；当
√a2 √a2=
a≤0时， a．
√a2=-
5．（2022•槐荫区校级模拟）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 的
√(a+1) 2+√(b-1) 2-√(a-b) 2结果是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣2a D．2b
思路引领：根据 化简，然后去绝对值化简即可．
√a2=|a|
解：根据数轴知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0．
∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|
＝﹣（a+1）+b﹣1+a﹣b
＝﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b
＝﹣2．
故选：A．
总结提升：本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，掌握 是解题的关键．
√a2=|a|
6．（2021春•花山区校级月考）已知a满足|2020﹣a|+√a-2021=a，则a﹣20202＝（ ）
A．0 B．1 C．2021 D．2020
思路引领：根据√a（a≥0）求出a≥2021，然后再进行化简计算即可解答．
解：由题意得：
a﹣2021≥0，
∴a≥2021，
∴|2020﹣a|＝a﹣2020，
∵|2020﹣a|+√a-2021=a，
∴a﹣2020+√a-2021=a，
∴√a-2021=2020，
∴a﹣2021＝20202，
∴a﹣20202＝2021，
故选：C．
总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，根据√a（a≥0）求出a≥2021，然后再进行化简计算是
解题的关键．
7．（2017秋•徐汇区校级月考）将 √ a2 化简的结果是 ．
(a-3) (a＜0)
3-a思路引领：根据题意得到3﹣a＞0，根据二次根式的性质化简即可．
解：∵a＜0，
∴3﹣a＞0，
-a
∴原式＝（a﹣3）× √3-a=a√3-a，
3-a
故答案为：a√3-a．
总结提升：本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质： |a|是解题的关键．
√a2=
8．（2022•渌口区一模）已知y x+5，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应y值的总和是
=√(x-4) 2-
．
思路引领：根据绝对值的性质进行化简，然后数字代入求和即可求出答案．
解：当x≤4时，
∴x﹣4≤0，
∴ |x﹣4|＝﹣（x﹣4）＝4﹣x，
√(x-4) 2=
∴y＝4﹣x﹣x+5＝9﹣2x，
当x＞4时，
∴x﹣4＞0，
∴ |x﹣4|＝x﹣4，
√(x-4) 2=
∴y＝x﹣4﹣x+5＝1，
当x分别取1，2，3，…，2022时，
所对应y值的总和是（9﹣2）+（9﹣4）+（9﹣6）+（9﹣8）+2018×1
＝7+5+3+1+2018
＝2034．
故答案为：2034．
总结提升：本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式与绝对值的性质，本题属于
基础题型．
9．（2021春•新县期末）已知|2019﹣a|+√a-2020=a，求a﹣20192的值是 ．
思路引领：根据二次根式有意义的条件以及绝对值的性质即可求出答案．
解：由题意可知：a≥2020，
∴2019﹣a＜0，∴a﹣2019+√a-2020=a，
∴√a-2020=2019，
∴a﹣2020＝20192，
∴a﹣20192＝2020，
故答案为：2020
总结提升：本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件以及绝对值
的性质，本题属于中等题型．
10．（2021秋•金东区校级月考）设a、b、c为三角形的三边长，则化简|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|a﹣b+c|+|a+b﹣
c|等于 ．
思路引领：根据三角形的三边关系去绝对值，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而再化
简即可．
解：因为a，b，c是三角形的三边长，所以a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，a﹣c+b＞0，a+c﹣b＞0，
所以原式＝（a+b+c）﹣（a﹣b﹣c）+（a﹣b+c）+（a+b﹣c）
＝a+b+c﹣a+b+c+a﹣b+c+a+b﹣c
＝2a+2b+2c．
故答案为：2a+2b+2c．
总结提升：此题主要考查了三角形的三边的关系，以及整式加减法的运算方法，要熟练掌握，解答此题
的关键是要明确：三角形两边之和大于第三边．
11．设 ，求m10+m9+m8+…+m﹣47的值．
m=√a+2√a-1+√a-2√a-1(1≤a≤2)
思路引领：先根据完全平方公式化简m并求出m的值，再把m的值代入，运用等比数列的求和公式得
出结果．
解：∵1≤a≤2，0≤a﹣1≤1，
∴ ．
m=√(a-1)+2√a-1+1+√(a-1)-2√a-1+1=√a-1+1+1-√a-1=2
∴m10+m9+m8+…+m﹣47＝（m10+m9+m8+…+m+1）﹣48
(m-1)(m10+m9+m8+m+1) m11-1
= -48= -48=211-1-48
m-1 m-1
＝2048﹣1﹣48＝1999．
注：此题可利用关系式20+21+…+2n＝2n+1﹣1，运算将更简单．
总结提升：本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用及等比数列的求和公式．属于竞赛题目，
有一定难度．注意求m的值时，看清字母a的取值范围．12．（2018•薛城区校级自主招生）已知非零实数a，b满足 |b﹣3| 4＝a，
√a2-8a+16+ +√(a-5)(b2+1)+
求ab﹣1的值
思路引领：先根据二次根式的意义确定：（a﹣5）（b2+1）≥0，a≥5，由已知等式化简可得：|b﹣3|
0，由绝对值和二次根式的非负性列等式可得结论．
+√(a-5)(b2+1)=
（本题满分10分）
解：由题意得：（a﹣5）（b2+1）≥0，a≥5
|a﹣4|
√a2-8a+16=√(a-4) 2=
|b﹣3| 4
√a2-8a+16+ +√(a-5)(b2+1)+
＝a﹣4+|b﹣3| 4＝a，
+√(a-5)(b2+1)+
∴|b﹣3| 0，
+√(a-5)(b2+1)=
又因为|b﹣3|≥0， 0，
√(a-5)(b2+1)≥
故|b﹣3| 0，
=√(a-5)(b2+1)=
则b＝3，a＝5，
故ab﹣1＝52＝25
总结提升：本题考查了二次根式的性质和化简及非负数的性质，解题的关键是将所给的式子化为非负数
的和为0的等式，然后利用非负性求出a、b的值，本题属于中等题型．
