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16.4 二次根式化简求值专项20题
一．选择题（共7小题）
1．若 的整数部分为x，小数部分为y，则（2x+ ）y的值是（ ）
A． B．3 C． D．﹣3
【分析】首先根据 的整数部分，确定 的整数部分x的值，则y即可确定，然
后代入所求解析式计算即可求解．
【解答】解：∵3＜ ＜4，
∴ 的整数部分x＝2，
则小数部分是：6﹣ ﹣2＝4﹣ ，
则（2x+ ）y＝（4+ ）（4﹣ ）
＝16﹣13＝3．
故选：B．
2．若a＝1+ ，b＝1﹣ ，则代数式 的值为（ ）
A．3 B．±3 C．5 D．9
【分析】首先把所求的式子化成 的形式，然后代入数值计算即可．
【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝3．
故选：A．
3．若x＝3﹣ ，则代数式x2﹣6x﹣8的值为（ ）
A．2004 B．﹣2004 C．2021 D．﹣2021
【分析】先把已知条件变形得到x﹣3＝﹣ ，再两边平方得到x2﹣6x＝2012，然后
利用整体代入得方法计算x2﹣6x﹣8的值．
【解答】解：∵x＝3﹣ ，
∴x﹣3＝﹣ ，
∴（x﹣3）2＝2021，
即x2﹣6x+9＝2021，
∴x2﹣6x＝2012，
∴x2﹣6x﹣8＝2012﹣8＝2004．
故选：A．
4．若x﹣y＝ +1，xy＝ ，则代数式（x﹣1）（y+1）的值等于（ ）
A．2 +2 B．2 ﹣2 C．2 D．2
【分析】将x﹣y＝ +1，xy＝ 代入原式＝xy+x﹣y﹣1计算即可．
【解答】解：当x﹣y＝ +1，xy＝ 时，原式＝xy+x﹣y﹣1
＝ + +1﹣1
＝2 ，
故选：C．
5．若a＝ ，b＝ ，则a与b的关系为（ ）
A．a+b＝0 B．ab＝1 C．a＝b D．无法判断
【分析】利用二次根式的加法，乘法法则进行计算，从而作出判断．
【解答】解：A、a+b＝ ，故此选项不符合题意；
B、ab＝ ，正确，故此选项符合题意；
C、∵ ，∴a＜b，故此选项不符合题意；
D、ab＝1，故此选项不符合题意；
故选：B．
6．若 ，则代数式x2﹣6x﹣9的值为（ ）
A．2021 B．﹣2021 C．2003 D．﹣2003
【分析】利用完全平方公式把原式变形，把x的值代入计算即可．
【解答】解：x2﹣6x﹣9
＝x2﹣6x+9﹣18
＝（x﹣3）2﹣18，
当x＝3﹣ 时，原式＝（3﹣ ﹣3）2﹣18＝2021﹣18＝2003，
故选：C．
7．若a＝ ﹣2，则代数式a2+4a+6的值等（ ）
A．5 B．9 C．4 ﹣3 D．4 +5
【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵a＝ ﹣2，
∴a2+4a+6
＝（a+2）2+2
＝（ ﹣2+2）2+2
＝3+2
＝5，
故选：A．
二．填空题（共4小题）8．若x＝ +1，y＝ ﹣1，则 的值为 ．
【分析】根据二次根式的加法法则求出x+y，根据分母有理化法则计算，得到答案．
【解答】解：∵x＝ +1，y＝ ﹣1，
∴x+y＝（ +1）+（ ﹣1）＝2 ，
则 ＝ ＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
9．当a＝3 ，b＝ 时，则a+b的值为 5 ．
【分析】将a，b的值代入，然后先化简二次根式，再合并同类二次根式进行计算即可．
【解答】解：当a＝3 ，b＝ 时，
a+b＝3 + ＝3 ＝5 ，
故答案为：5 ．
10．已知x＝ ，那么2x2+6x﹣3的值是 ﹣ 5 ．
【分析】整理关于x的等式后两边平方，先求出2x2+6x的值，再整体代入．
【解答】解：∵x＝ ，
∴2x+3＝ ．
两边平方，得4x2+12x+9＝5，
整理，得2x2+6x＝﹣2，
∴2x2+6x﹣3
＝﹣2﹣3
＝﹣5．
故答案为：﹣5．
11．已知a＝3+ ，b＝3﹣ ，则a2b+ab2＝ 6 ．
【分析】先把要求的式子变形为ab（a+b），再代入计算即可．
【解答】解：∵a＝3+ ，b＝3﹣ ，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（3+2 ）（3﹣2 ）（3+2 +3﹣2 ）＝6；
故答案为：6．
三．解答题（共9小题）
12．已知 ， ，求a2﹣3ab+b2的值．【分析】先分母有理化得到a＝ +1，b＝ ﹣1，再计算出a+b＝2 ，ab＝1，接着
把a2﹣3ab+b2变形为（a+b）2﹣5ab，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a＝ ＝ +1，b＝ ＝ ﹣1，
∴a+b＝2 ，ab＝2﹣1＝1，
∴a2﹣3ab+b2＝（a+b）2﹣5ab＝（2 ）2﹣5×1＝3．
13．已知x＝ ．
（1）求代数式x+ ；
（2）求（7﹣4 ）x2+（2﹣ ）x+ 的值．
【分析】（1）根据分母有理化把x的值化简，计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算，得到答案．
【解答】解：（1）x＝ ＝ ＝2+ ，
则 ＝2﹣ ，
∴x+ ＝2+ +2﹣ ＝4；
（2）（7﹣4 ）x2+（2﹣ ）x+
＝（7﹣4 ）（2+ ）2+（2﹣ ）（2+ ）+
＝（7﹣4 ）（7+4 ）+（2﹣ ）（2+ ）+
＝49﹣48+4﹣3+
＝2+ ．
14．已知：y＝ + +5，化简并求 的值．
【分析】根据二次根式有意义的条件得到 x＝4，则y＝5，再利用约分得到原式＝
+ ，然后通分得到原式＝ ，最后把x、y的值代入计算即可．
【解答】解：∵x﹣4≥0且4﹣x≥0，
∴x＝4，
∴y＝5，
∴原式＝ +＝
＝
＝
＝﹣4．
15．已知：a＝﹣1+ ，b＝﹣1﹣ ．
求：（1）a+b和ab的值；
（2）a2+2a﹣1的值．
【分析】（1）将a、b的值分别代入a+b、ab计算即可；
（2）将a的值代入a2+2a﹣1＝a2+2a+1﹣2＝（a+1）2﹣2计算即可．
【解答】解：（1）当a＝﹣1+ ，b＝﹣1﹣ 时，
a+b＝﹣1+ ﹣1﹣ ＝﹣2，
ab＝（﹣1+ ）（﹣1﹣ ）
＝（﹣1）2﹣（ ）2
＝1﹣2
＝﹣1；
（2）a2+2a﹣1
＝a2+2a+1﹣2
＝（a+1）2﹣2
＝（﹣1+ +1）2﹣2
＝（ ）2﹣2
＝2﹣2
＝0．
16．已知x＝3+2 ，y＝3﹣2 ，求x2y﹣xy2的值．
【分析】将原式提取公因式进行因式分解，然后代入求值．
【解答】解：原式＝xy（x﹣y），
当x＝3+2 ，y＝3﹣2 时，
原式＝
＝（9﹣8）×（3+2 ﹣3+2 ）
＝1×4
＝ ．
17．先化简，再求值：（x+ ）（x﹣ ）+x（x﹣1），其中x＝2 ．【分析】先利用平方差公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后再算加减，最
后代入求值．
【解答】解：原式＝x2﹣2+x2﹣x
＝2x2﹣2﹣x，
当x＝2 时，
原式＝2×（2 ）2﹣2﹣2
＝2×12﹣2﹣2
＝24﹣2﹣2
＝22﹣2 ．
18．已知 ，b＝ ．
求：（1）ab﹣a+b的值；
（2）求a2+b2+2的值．
【分析】（1）利用平方差公式将a与b的值进行二次根式分母有理化计算，然后代入
求值；
（2）利用完全平方公式将原式进行变形，然后代入求值．
【解答】解：（1）a＝ ＝ ，
b＝ ＝ ，
∴ab＝（ ）（ ）＝6﹣5＝1，
a﹣b＝（ + ）﹣（ ）＝ + ﹣ + ＝2 ，
∴原式＝ab﹣（a﹣b）
＝1﹣2 ，
即ab﹣a+b的值为1﹣2
（2）原式＝（a﹣b）2+2ab+2
＝（2 ）2+2×1+2
＝20+2+2
＝24，
即a2+b2+2的值为24．
19．（1）已知x＝ +1，y＝ ﹣1，求x2y﹣xy2的值；
（2）先化简，再求值： ，其中，m＝﹣2．
【分析】（1）先提出xy，再代入求值；（2）先化简分式，再代入求值．
【解答】解：（1）x2y﹣xy2＝xy（x﹣y），
原式＝
＝1×2
＝2；
（2）原式＝
＝
＝ ，
当m＝﹣2时，
原式＝ ．
20．已知 ， ，求代数式的值：
（1）x2﹣y2；
（2）x2+xy+y2．
【分析】（1）根据x、y的值可以求得所求式子的值；
（2）根据x、y的值可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）∵ ， ，
∴x+y＝4，x﹣y＝﹣2 ，
∴x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝4×（﹣2 ）
＝﹣8 ；
（2）∵ ， ，
∴x+y＝4，xy＝1，
∴x2+xy+y2
＝（x+y）2﹣xy
＝42﹣1
＝16﹣1
＝15．
