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专题 02 二次根式计算的两种压轴题全攻略
类型一、分母有理化问题
例．已知 ，则 的值为___________．
【答案】
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴故答案为：
【变式训练1】阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化
简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比
如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求 ．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令
xab ， y ab ，则 ．这样，我们不用求出a，b，就可以得
到最后的结果．
(1)计算： ；
(2)m 是正整数， a ，b 且 ．求 m．
(3)已知 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)m=2
(3)
【详解】（1）原式，
（2）∵a ，b ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴2 ，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）由 得出 ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ．
【变式训练2】在进行二次根式化简时，我们有时会遇到形如 ， 这样的式子可以用如下的方法
将其进一步化简： ； 以上这种化简的方法叫
做分母有理化．(1)化简：① ＝ ，② ＝ ，③ ＝ ；
(2)已知n是正整数，化简 ＝ ；
(3)利用（2）的启示，请化简： ；
(4)联系与拓广： ，则 ．
【答案】(1) ； ；
(2)
(3)
(4)727
【详解】（1）解：① ;
② ;
③
故答案为： ； ； ;
（2）解：
= ；
（3）=
= ；
（4）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：727．
【变式训练3】先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式
的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用
有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
，请完成下列问题：
(1) 的有理化因式是 ______ _；
(2)化去式子分母中的根号： ____ _．（直接写结果）
(3) （填 或 ）
(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：
【答案】（1） +1；（2） ；（3）<；（4）2017.
【详解】解：（1） -1的有理化因式是 +1；（2） ；
（3） ， ，
∵
∴ >
∴ < ；
（4）原式=
= =2018-1=2017．
【变式训练4】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：
，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1） ，则 ______， _______；
（2）已知 是 的算术平方根，求 的值；
（3）当 时，化简 _______．
【答案】（1）2，1；（2）－2018；（3）2．
【详解】解：（1）∵ ，
∴a＝2，b＝1；
故答案为：2,1
（2）∵ 是 的算术平方根，∴ ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ，
，
．
故答案为：2
【变式训练5】阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较 和 的大小．可以先将它们分子有理化如下：
， ，
因为 ，所以 ．
再例如：求 的最大值．做法如下：
解：由 可知 ，而 ，
当 时，分母 有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较 和 的大小；（2）求 的最大值和最小值．
【答案】（1） ；（2） 的最大值为2，最小值为 ．
【详解】解：（1） ，
，
而 ， ，
，
；
（2）由 ， ， 得 ，
，
∴当 时， 有最小值，则 有最大值1，此时 有最大值1，所以 的最大值为
2；
当 时， 有最大值，则 有最小值 ，此时 有最小值0，所以 的最小值
为 ．
类型二、规律性问题
例．阅读材料已知下面一列等式：
； ； ；
(1)请用含 的等式表示你发现的规律___________________；
(2)证明一下你写的等式成立；
(3)利用等式计算： ；
(4)计算： ．
【答案】(1)(2)见解析
(3)
(4)
【详解】（1）解：根据题意，由规律可得：
它的一般性等式为 ；
（2）证明：
原式成立；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式训练1】阅读下列材料，解答后面的问题：
；
；
(1)写出下一个等式；(2)计算 的值；
(3)请求出 的运算结果．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：
（2）解：
．
（3）解：
【变式训练2】观察下列各式及证明过程：
① ；
② ；
③ ．验证： ；
．
（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想 的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用 （ 为正整数，且 ）表示的等式．
【答案】（1） ，验证见解析；（2） （ 为正整数，
）．
【详解】解：（1）猜想：
验证： ；
（2） （ 为正整数， ）．
【变式训练3】观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： ， ，
，…
（1）填空： ＝ ；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．并证明你的结论．
（3）利用上面的结论，求下列式子的值： ．【答案】（1） ；（2） （n为正整数），证明见解析；（3）
2007
【详解】解：（1）原式＝ = ；
故答案为： ；
（2）规律为 （n为正整数）．
证明如下： = ＝ = （n为正整数）；
（3）原式＝ ( )
＝（ ﹣1）（ +1）
＝2008﹣1
＝2007.
【变式训练4】（1）用计算器计算：
________________；
_______________；
_____________；
____________．
（2）观察（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？
（3）试运用发现的规律猜想出下式的结果，并用计算器验证你的猜想 __________．
【答案】（1）5，55，555，5555；（2） （n个3，n个4）=55…5（n个5）；（3）
55555，计算机验证正确【详解】解：（1） 5，
55，
555，
5555，
故答案为：5，55，555，5555；
（2）观察题（1）中各式的计算结果，可得出：
（n个3，n个4）=55…5（n个5）；
（3）由（2）可得：
55555，
计算机验证正确．
