专题02二次根式计算的两种压轴题全攻略（原卷版）_初中数学人教版_八年级数学下册_保存转存之后查看(1)_8下-初中数学人教版（2026春新版持续更新）_旧版-可参考_07专项讲练

专题 02 二次根式计算的两种压轴题全攻略 类型一、分母有理化问题 例．已知 ，则 的值为___________． 【变式训练1】阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化 简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比 如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求 ．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y  ab ，则 ．这样，我们不用求出a，b，就可以得 到最后的结果． (1)计算： ；(2)m 是正整数， a  ，b  且 ．求 m． (3)已知 ，求 的值． 【变式训练2】在进行二次根式化简时，我们有时会遇到形如 ， 这样的式子可以用如下的方法 将其进一步化简： ； 以上这种化简的方法叫 做分母有理化． (1)化简：① ＝ ，② ＝ ，③ ＝ ； (2)已知n是正整数，化简 ＝ ； (3)利用（2）的启示，请化简： ； (4)联系与拓广： ，则 ． 【变式训练3】先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式 的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用 有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题： (1) 的有理化因式是 ______ _；(2)化去式子分母中的根号： ____ _．（直接写结果） (3) （填 或 ） (4)利用你发现的规律计算下列式子的值： 【变式训练4】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索： ．请你仿照小明的方法解决下列问题： （1） ，则 ______， _______； （2）已知 是 的算术平方根，求 的值； （3）当 时，化简 _______． 【变式训练5】阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”， 与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如： ，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较 和 的大小．可以先将它们分子有理化如下： ， ， 因为 ，所以 ． 再例如：求 的最大值．做法如下： 解：由 可知 ，而 ， 当 时，分母 有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： （1）比较 和 的大小； （2）求 的最大值和最小值． 类型二、规律性问题 例．阅读材料已知下面一列等式： ； ； ； (1)请用含 的等式表示你发现的规律___________________； (2)证明一下你写的等式成立； (3)利用等式计算： ； (4)计算： ．【变式训练1】阅读下列材料，解答后面的问题： ； ； (1)写出下一个等式； (2)计算 的值； (3)请求出 的运算结果． 【变式训练2】观察下列各式及证明过程： ① ； ② ； ③ ． 验证： ；． （1）按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想 的变形结果，并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用 （ 为正整数，且 ）表示的等式． 【变式训练3】观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： ， ， ，… （1）填空： ＝ ； （2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．并证明你的结论． （3）利用上面的结论，求下列式子的值： ． 【变式训练4】（1）用计算器计算： ________________； _______________； _____________； ____________． （2）观察（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？（3）试运用发现的规律猜想出下式的结果，并用计算器验证你的猜想 __________．