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专题2 二次根式化简求值技巧（原卷版）
第一部分 典例精析+变式训练
类型一 利用二次根式的性质 =|a|化简
√ 1
典例1 （2022春•郯城县期末）化简二次根式-x - 的正确结果是（ ）
x
A．√-x B．√x C．-√x D．-√-x
变式训练
1
1．已知a= ，求√a2-2a+1的值．
√3+2
2．（1）当a＜0时，化简√a2-2a+1．
a2-a
（2）实数a，b在数轴上表示如图所示，化简： ．
√(a+2) 2-√(b-2) 2+√(a+b) 2
类型二 含有隐含条件的化简求值
√ y √ x
典例2（2019春•黄石期中）已知x、y为实数，xy＝3，那么x +y 的值是（ ）
x y
A．2√3 B．﹣2√3 C．±2√3 D．±√3
变式训练
√ y √ x
1．（2021春•阳新县月考）已知x+y＝﹣6，xy＝8，求代数式y +x 的值．
x y
2．（2021春•虎林市校级期末）昨天的数学作业：化简求值．当a＝3时，求 的值．
a+√1-2a+a2小红的答案是5．小明却认为：
原式 ．即：无论a取何值， 的值总是等于1．
=a+√(1-a) 2=a+(1-a)=1 a+√1-2a+a2
你认为小明说得对么？为什么？类型三 利用整体思想进行求值
典例3 已知x＝5﹣2√6，y＝5+2√6，求3x2+5xy+3y2的值．
变式训练
√7-1 √7+1
1．（2020秋•武侯区校级月考）已知x= ，y= ，求下列各式的值．
2 2
（1）x2﹣xy+y2；
y x
（2） + +2．
x y
1 1
2．（1）已知：x= ，y= ．求2x2+2y2﹣xy的值；
2+√3 2-√3
（2）已知x √5+1，求x3+x+1的值．
=
2 x3
类型四 化简二次根式比较大小
典例4（2022秋•修水县期中）阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：
两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．
例如：√a与√a，√2+1与√2-1．
（1）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式： ．
化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：
√2 √2(√3+√2) √6+2 ．
= = =√6+2
√3-√2 (√3-√2)(√3+√2) 3-2
3
（2）请仿照上述方法化简： ．
√5-√2
1 1
（3）比较 与 的大小．
√3-1 √5-√3变式训练
1．（2022春•翔安区期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题
（√2+1）（√2-1）＝1，（√3+√2）（√3-√2）＝1，（√4+√3）（√4-√3）＝1…
1 1 1 1
（1）观察上面规律，计算下面的式子 + + +⋯+
√2+1 √3+√2 √4+√3 √99+√100
（2）利用上面的规律
比较√11-√10与√12-√11的大小．
第二部分 专题提优训练
1．（2021春•上城区校级期中）已知a=√3-√2，b=√3+√2，求ab的值为 ．
2．（2018 春•沙坪坝区校级期末）如果一个三角形的三边分别是 2，3，m（m 为正整数），则
|1﹣3m|+3化简求值的所有结果的和是 ．
√4m2+4m+1-
1 1
3．（2021春•金坛区期末）比较大小： （填写“＞”或“＝”或“＜”）．
2-√2 √2-1
√5-1 1
4．（2022春•南京期末）比较大小： ＞ （填“＞”“＜”“＝”）．
2 2
5．（2021秋•淮安区校级月考）已知实数a满足|2020﹣a|+√a-2021=a，那么a﹣20202+1的值是 ．
6．（2022春•宁武县期末）先化简再求值：当a＝9时，求a 的值，甲乙两人的解答如下：
+√1-2a+a2
甲的解答为：原式＝a a+（1﹣a）＝1；
+√(1-a) 2=
乙的解答为：原式a a+（a﹣1）＝2a﹣1＝17．
+√(1-a) 2=
两种解答中， 的解答是错误的，错误的原因是 ．
7．（2010秋•石景山区校级期中）阅读下列解题过程： 1 1×(√5-√4) √5-√4 ；
= = =√5-2
√5+√4 (√5+√4)(√5-√4) 5-41 1×(√6-√5) √6-√5 ；
= = =√6-√5
√6+√5 (√6+√5)(√6-√5) 6-5
请回答下列问题：
1
（1）观察上面的解题过程，请直接写出 的结果为 ．
√n+√n-1
1 1 1 1
（2）利用上面所提供的解法，求值： + + +⋯+ = ．
1+√2 √2+√3 √3+√4 √2006+√2007
1 1
8．（2022春•彭州市校级月考）已知x= ，y= ，求值：
√7-√5 √7+√5
（1）xy；
（2）x2+3xy+y2．
1
9．（2022秋•静安区校级期中）先化简，再求值，如果a＝2-√3，b= ，求√a2-2ab+b2的值．
2-√3
10．（2022秋•章丘区校级月考）已知a=√3+1，b=√3-1．
（1）求ab的值；
（2）求a2+b2的值．
11．（2022•南京模拟）计算：
（1）已知x=√2+1，y=√2-1，试求x2﹣xy+y2的值．
（2）先化简，再求值：a2-1 a2+1 ，其中 ．
÷(2+ ) a=√2
a2-a aa
12．（2022春•永定区期末）先化简，再求值： -√1-2a+a2，其中a=√2．
√2-1
13．已知a=√3-√2，b＝2-√3，c=√5-2，比较a，b，c的大小．14．（2022春•金华月考）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：
先化简，再求值：|x﹣1| ，其中x＝9．
+√(x-10) 2
小明同学是这样计算的：
解：|x﹣1| x﹣1+x﹣10＝2x﹣11．
+√(x-10) 2=
当x＝9时，原式＝2×9﹣11＝7．
小荣同学是这样计算的：
解：|x﹣1| x﹣1+10﹣x＝9．
+√(x-10) 2=
聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？
15 ． （ 2021 春 • 五 华 区 期 中 ） 阅 读 下 列 简 化 过 程 ：
1 √2-1 √2-1 1 √3-√2 1 √4-√3
= = =√2-1 = =√3-√2 = =√4-√3
√2+1 (√2+1)(√2-1) (√2) 2-1 √3+√2 (√3+√2)(√3-√2) √4+√3 (√4+√3)(√4-√3)
解答下列问题：
（1）请用n（n为正整数）表示化简过程规律．
1 1 1 1
（2）计算 + + +⋯⋯+ ．
1+√2 √2+√3 √3+2 √2015+√2016
1 1 1
（3）设a= ，b= ，c= 比较a，b，c的大小关系．
√3-√2 2-√3 √5-2
16．（2022春•福清市期中）阅读材料：像(√5+√2)(√5-√2)=3，√7⋅√7=7这样，两个含有二次根式
的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利
用有理化因式，可以化去分母中的根号，即为分母有理化．
例如： 1 √3 √3；√2+1 (√2+1) 2 ．
= = = =3+2√2
2√3 2√3×√3 6 √2-1 (√2-1)(√2+1)
解答下列问题：
（1）请写出一个√6-√5的有理化因式；3-√7
（2）将 分母有理化；
3+√7
（3）应用：当n为正整数时，通过计算比较式子√n+1-√n和√n+2-√n+1的大小．
