文档内容
专题29 完全平方式
1．若x2+2kx+64是一个完全平方式，则k的值是（ ）
A．8 B． C．16 D．
【答案】B
【分析】根据完全平方式得出kx=±2•x•8，再求出k即可．
【详解】解：∵x2+2kx+64是一个完全平方式，
∴2kx=±2•x•8，
解得：k=±8．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式
有两个：a2+2ab+b2和a2-2ab+b2．
2．若多项式 是完全平方式，则k的值为( )
A．8 B．-8 C．±8 D．32
【答案】C
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【详解】解：∵x2+kx+16＝x2+kx+42，
∴kx＝±2×x×4，
解得k＝±8．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟
记完全平方公式是解题的关键．
3．关于 m、n 的整式 m2 + kmn + 9n 2是完全平方式，则 k 的值为（ ）
A．6 B．- 6 C．± 6 D．± 18
【答案】C
【分析】根据完全平方式的定义：形如 的式子叫做完全平方式，进行求解即可
【详解】解：∵关于 m、n 的整式 m2 + kmn + 9n2是完全平方式，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，熟知完全平方式的定义是解题的关键．
4．若 是完全平方式，则 的值为（ ）A．16b2 B．4b2 C．±8b2 D．±16b2
【答案】A
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出 的值．
【详解】解：∵ 是完全平方式，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．如果x2﹣3x+k（k是常数）是完全平方式，那么k的值为（ ）
A．6 B．9 C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【详解】解：∵x2-3x+k（k是常数）是完全平方式，
∴x2-3x+k=（x- ）2=x2-3x+ ，
∴k= ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，
就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
6．若代数式x2﹣16x+k2是完全平方式，则k等于（ ）
A．6 B．64 C．±64 D．±8
【答案】D
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【详解】解：∵x2﹣16x+k2是一个完全平方式，
∴x2﹣16x+k2=x2﹣16x+64，
∴k=±8．
故选：D．
【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一
个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数．
7．若多项式 是一个完全平方式，则m的值为___________．
【答案】36【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是x和6，再根据完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵12x=2×6x，
∴这两个数是x和6，
∴m=62=36．
故答案为：36．
【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一
个完全平方式．此题解题的关键是利用乘积项来确定这两个数．
8．若 是完全平方式，则m＝___________．
【答案】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】解：∵ ， 是完全平方式，
∴ ，
解得： ．
故答案为：
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．若关于x代数式 是完全平方式，则常数 ______．
【答案】±1
【分析】根据完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2求出m的值．
【详解】解：∵x2±4x+4＝（x±2）2，x2+4mx+4是完全平方式，
∴±4x＝4mx，
∴m＝±1．
故答案为：±1．
【点睛】本题考查了完全平方式，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2的熟练应用，两种情况是求m值得
关键．
10．如果x2-mx+16是一个完全平方式，那么m的值为________．
【答案】±8
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】解：∵x2-mx+16=x2-mx+42，
∴m=±2×4，
解得m=±8．故答案为：±8．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟
记完全平方公式对解题非常重要．
11．若x2+mx+4是完全平方式，则m=_____________．
【答案】
【分析】根据多项式x2+mx+2是完全平方式，可得：m=±2×1×2，据此求出m的值是多少即可．
【详解】解：∵多项式x2+mx+4是完全平方式，
∴m=±2×1×2=4．
故答案为：±4．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟
记完全平方公式对解题非常重要．
12．若多项式4a2-ka+16是一个完全平方式，则k=_________；
【答案】
【分析】根据完全平方公式 即可得．
【详解】解：由题意得： ，
即 ，
所以 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题关键．
三、解答题
13．已知正实数x、y，满足（x+y）2＝25，xy＝4．
(1)求x2+y2的值；
(2)若m＝（x﹣y）2时，4a2+na+m是完全平方式，求n的值．
【答案】(1)17
(2)±12
【分析】（1）依据完全平方公式可知 即可求解；
（2）由题意可知m的值，再依据完全平方公式的特点可求n的值（1）∵ ，∴ ，∴ =17．
（2）∵ ，∴ ，∴ 是完全平方
式，∴ ，∴ ，
【点睛】本题考查了完全平方公式，关键在于要理解它的特征，灵活运用．
14．如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中实线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图
b的形状拼成一个大正方形．
（1）如图b中的小正方形的边长等于 ；
（2）如图a中四个长方形的面积和为 ，如图b中四个小长方形的面积和还可以表示为
；
（3）由（2）写出代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系： ；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若x+y＝8，xy＝7，求（2x﹣2y）2的值．
【答案】（1）m-n；（2）4mn；（m+n）2-（m-n）2；（3）（m+n）2-（m-n）2=4mn；（4）144
【分析】（1）观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长；
（2）根据长方形面积公式可求图a中四个长方形的面积和；可以用大正方形的面积减去先方形的
面积得到图b中四个小长方形的面积和；
（3）利用（2）可以得到（m+n）2-（m-n）2=4mn；
（4）根据（3）的结论得到（2x-2y）2=4（x-y）2=4（x+y）2-16xy，然后把x+y=8，xy=7代入计算．
【详解】解：（1）图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，
即m-n；
故答案为：m-n；
（2）图a中四个长方形的面积和为4mn；图b中四个小长方形的面积和还可以表示为（m+n）2-
（m-n）2；
故答案为：4mn；（m+n）2-（m-n）2；
（3）（m+n）2-（m-n）2=4mn；
故答案为：（m+n）2-（m-n）2=4mn；（4）（2x-2y）2=4（x-y）2=4（x+y）2-16xy，
当x+y=8，xy=7时，原式=256-112=144．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式．
15．学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图 ．
（1）利用多项式与多项式相乘的法则，计算： ；
（2）选取 张 型卡片， 张 型卡片，则应取 张 型卡片才能用他们拼成一个
新的正方形，此新的正方形的边长是 （用含 ， 的代数式表示）；
（3）选取 张 型卡片在纸上按图 的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种 型卡片，由此
可检验的等量关系为 ；
（4）选取 张 型卡片， 张 型卡片按图 的方式不重复的叠放长方形 框架内，已知
的长度固定不变， 的长度可以变化，且 ． 图中两阴影部分（长方形）的面积分别表
示为 ， ，若 ，则 与 有什么关系？请说明理由．
【答案】（1） ；（2）4， ；（3） ；（4） ，见解
析．
【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则解题；
（2）利用完全平方公式解题；
（3）由图可知 型卡片的面积为 ，是一个边长为 的正方形的面积减去 张 型卡片的
面积，即 ，据此得到等量关系；
（4）根据图形列等量关系 ，
，再结合 计算解题即可．【详解】解：（1） ，
故答案为： ；
（2）取 张 型卡片， 张 型卡片，面积之和为： ，
由完全平方公式的几何背景可知，一个正方形的面积可以表达成一个完全平方公式，即
，故应取4张 型卡片能拼成一个新的正方形，此正方形的边长为：
，
故答案为：4， ；
（3）选取 张 型卡片在纸上按图 的方式拼图，由图可知， 型卡片是一个边长为 的正
方形，也可以是一个边长为 的正方形，减去 张 型卡片的面积，即 ， 即得到等量
关系： ，
故答案为： ；
（4）设MN的长度为x，
或 （舍去）
．
【点睛】本题以数形结合的方式巧妙考查了完全平方公式的几何背景，题目新颖独特，掌握相关知识是解题关键．
16．如图1，正方形纸片ABCD的边长为4，点E、F、M、N分别是正方形纸片四条边上的点，且
AE＝BF＝CM＝DN，
（1）求证：四边形EFMN是正方形；
（2）把图1的四个直角三角形剪下来，拼成如图2所示的“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角
形与中间的小正方形拼成的一个大正方形）．若EN＝ ，求中间小正方形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）中间小正方形QHGR的面积为4．
【分析】（1）通过证明△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE（SAS），先得出四边形EFMN是菱形，
再证明四边形EFMN中一个内角为90°，从而得出四边形EFMN是正方形的结论；
（2）设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，则小正方形QHGR的边长QH=b-a，a+b=4，
进而得到a2+b2+2ab=16，小正方形QHGR的面积为（b-a）2=a2+b2-2ab，由勾股定理求出a2+b2，进
而得到2ab，代入即可求得结果．
【详解】（1）证明：如图1∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝DM＝CF＝BE，
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE（SAS），
∴EN＝NM＝MF＝EF，∠ENA＝∠DMN，
∴四边形EFMN是菱形，
∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，
∴∠ENA+∠DNM＝90°，
∴∠ENM＝90°，
∴四边形EFMN是正方形；
（2）解：∵△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE，∴EF＝FM＝MN＝NE，EH＝FG＝MR＝NQ，
如图2，设正方形EFMN的边长EF＝FM＝MN＝NE＝c，EH=FG=MR=NQ=b，EQ＝FH＝MG＝NR
＝a，
则小正方形QHGR的边长QH＝b﹣a，
∴小正方形QHGR的面积为（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab，
∴由勾股定理得：a2+b2＝c2＝EN2＝10，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴a+b＝4，
∴a2+b2+2ab＝16，
∴2ab＝16﹣（a2+b2）＝6，
∴中间小正方形QHGR的面积为10﹣6＝4．
【点睛】此题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，正确理解题
意，会利用勾股定理解题是解决问题的关键．
17．阅读下面的材料，然后解答后面的问题：
在数学中，“算两次”是一种常用的方法．其思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的
答案是A，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式A＝B成立．例如，我们运用“算两次”
的方法计算图1中最大的正方形的面积，可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2．
理解：（1）运用“算两次”的方法计算图2中最大的正方形的面积，可以得到的等式是 ；
应用：（2）七（1）班某数学学习小组用8个直角边长为a、b的全等直角三角形拼成如图3所示
的中间内含正方形ABC D 与ABC D 的正方形ABCD，运用“算两次”的方法计算正方形
1 1 1 1 2 2 2 2
ABC D 的面积，可以得到的等式是 ；
2 2 2 2
拓展：如图4，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D是AB上一动点．
求CD的最小值．【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；拓展：4.8
【分析】（1）利用“算两次”方法，先从整体上看是边长为（a+b+c）的正方形的面积，再利用9
块“分面积”的和即可；
（2）正方形ABC D 的边长为（a﹣b），因此面积为（a﹣b）2，也可以看做边长为（a+b）的正
2 2 2 2
方形ABCD面积减去四个长为a，宽为b的长方形的面积；
（3）当CD⊥AB时，CD最短，由三角形的面积计算可得．
【详解】解：（1）从整体上看为边长为（a+b+c）的正方形，
所以面积为（a+b+c）2，
从各个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）正方形ABC D 的边长（a﹣b），因此面积为（a﹣b）2，
2 2 2 2
也可以看做边长为（a+b）的正方形ABCD面积减去四个长为a，宽为b的长方形的面积，
即（a+b）2﹣4ab，
因此有：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
由“直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”可得，
当CD⊥AB时，CD最短，
由三角形的面积可得，
AC•BC＝ AB•CD，
即6×8＝10CD，
∴CD＝4.8，
答：CD的最小值为4.8．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，
用不同方法表示同一部分的面积是得出关系式的关键．
18．如图1，用4个相同边长是 、 的长方形和中间一个小正方形组成的大正方形．（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则 值为__________；则 的值为
__________；
（2）若小长方形两边长为 和 ，则大正方形的边长为___________；
若满足 ，则 的值为__________；
（3）如图2，正方形 的边长是 ，它由四个直角边长分别是 ， 的直角三角形和中间一个
小正方形组成的，猜想 ， ， 三边的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）2，6；（2）5，17；（3） ，理由见解析
【分析】（1）大正方形的边长为x+y，小正方的边长为x-y，由面积可求出正方形的边长；
（2）小长方形两边之和为正方形的边长，再由完全平方公式求解即可；
（3）根据大、小正方形和4个直角三角形的面积之间的关系得出结论．
【详解】解：（1）∵大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ， ，
故答案为：2，6；
（2）大正方形的边长为 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：5，17；
（3） ， ， 三边的数量关系为 ．
理由如下：由拼图可得，小正方形的边长为 ，由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和可得，
，
即 ．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，理清各个图形面积之间的关系是解决问题的关键，
用代数式表示各个部分的面积是得出结论的前提.
