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专题 01 二次根式的性质
目录
A题型建模・专项突破
题型一、二次根式的识别......................................................................................................................................1
题型二、根据二次根式的定义求字母的值..........................................................................................................3
题型三、根据二次根式有意义条件求范围..........................................................................................................4
题型四、根据二次根式有意义求值......................................................................................................................5
题型五、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式..................................................................................7
题型六、含隐含条件的参数范围化简二次根式..................................................................................................9
题型七、复杂的复合二次根式化简....................................................................................................................10
B综合攻坚・能力跃升
题型一、二次根式的识别
1．（25-26九年级上·山西临汾·期中）下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判断．
【详解】解：A、 ，被开方数 ，符合定义；
B、 ，被开方数 ，符合定义；
C、 ，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数 ，故该式子不一定是二次根式，不符合定义；
D、 ，被开方数 ，符合定义；
故选：C．
2．（25-26七年级上·黑龙江大庆·月考）下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二次根式的概念．形
如“ ”且 的式子叫二次根式．
结合二次根式的定义即可求解．
【详解】解：A：在 中， ，不合题意，故错误；
B：在 中， ，符合题意，故正确；C：在 中， 的正负性不可确定，不合题意，故错误；
D：在 中，根指数是3，不合题意，故错误；
故答案是：B．
3．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式 ， ， ， 中是二次根式的个数有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，
“形如 的式子”，逐一判断各表达式即可．
【详解】解：下列各式 ， ， ， 中是二次根式的有 ， ，共2个；
故选B．
4．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）下列式子中，不一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，
需判断被开方数是否恒大于等于 ：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项 的被开方数不
恒非负，进而确定其不一定是二次根式．
【详解】解：二次根式定义要求被开方数 ，
： ，被开方数 ，总是二次根式；
： 中 ，故总是二次根式；
： ，当 时， ，无意义，不一定是二次根式；
： 中 ，故总是二次根式．
故选： ．
题型二、根据二次根式的定义求字母的值
5．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知 是整数，则正整数m的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了求二次根式中的参数，以及二次根式的性质，把18分解成平方数与另一个因数相乘的
形式是解题的关键．
根据二次根式的性质进行整理分析，即可解题．
【详解】解：因为 ，所以 ．
因为 是整数，
所以正整数m的最小值是2．
故选：B．
6．（24-25八年级下·江西赣州·月考）已知 是正整数，则整数 的最大值为（ ）
A．2025 B．2024 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键．
由题意可得 ，要使 是正整数，即可得出当n最大取2024时， 是正整数．
【详解】解：
要使 是正整数，
即当 时， ．
故整数 的最大值为2024．
故选：B．
7．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如果 是一个正整数，则整数m的值可以是（ ）
A．0 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可．
【详解】解：A、当 时， ，不是一个正整数，故此选项不符合题意；
B、当 时， ，是一个正整数，故此选项符合题意；
C、当 时， ，没有意义，故此选项不符合题意；
D、当 时， ，没有意义，故此选项不符合题意；
故选：B．
8．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且 的值是整数，则正整数a所有可能的值
的和为（ ）
A．136 B．131 C．100 D．94
【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据
是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案．
【详解】解：∵a是正整数， 的值是整数，
∴当 时，即 ，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6，
∴所有可能的a之和为 ．
题型三、根据二次根式有意义条件求范围
9．（25-26九年级上·吉林长春·期末）若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数必须大于或等于零．根据二次根式有意义的条件
作答即可．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得 ，
∴ 的取值范围是 ．
故选：B．
10．（25-26八年级上·重庆·期中）若代数式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式成立的条件及二次根式有意义的条件，注意分母不能为 ，被开方数不能为负数．
根据分式和二次根式有意义的条件确定的取值范围即可．
【详解】解：由题意可知： ，
解得： ；
故选：A．
11．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，从而列出不等
式求解．【详解】解：由二次根式有意义的条件，得 ，解得 ．
故答案为： ．
12．（25-26八年级上·四川达州·月考）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
．
【答案】 且
【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，掌握好相关的性质是关键．
根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组求解．
【详解】∵ 代数式 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得， 且 ．
故答案为： 且 ．
题型四、根据二次根式有意义求值
13．（25-26八年级上·湖南常德·期中）若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查二次根式的非负性，根据非负数的性质，若两个非负数的和为零，则每个非负数均为零．
【详解】解：因为 且 ，且 ，
所以 且 ，
解得 ， ，
因此 ，
故答案为： ．
14．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，零指数幂，有理数乘方，代数式求值，由题意，得 且
，解得 ，再代入求出 的值，最后计算代数式的值，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意，得 且 ，
解得 ，
当 时， ，
所以 ，
故答案为： ．
15．（25-26八年级上·四川成都·期中）若 ，则 的平方根为 ．
【答案】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，平方根定义，根据二次根式的被开方数非负的性质，确
定x的取值范围，进而求出x和y的值，然后计算 的值，最后求其平方根即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
将 代入原式得： ，
∴ ，
16的平方根为 ．
故答案为： ．
16．（25-26七年级上·山东东营·月考）已知 ，则 的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求一个数的算术平方根．根据二次根式有意义的条件，被开方
数必须非负，从而求出 的值，再代入原式求出 的值，进而计算 并求其算术平方根．
【详解】解：由二次根式的定义，得 且 ，
解得 ，
，
，
8的算术平方根是 ，
故答案为： ．
题型五、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
17.当 时，化简： ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式性质化简、化简绝对值等知识，由 得到 ，从而将
化简即可得到答案，熟记二次根式性质、绝对值的代数意义是解决问题的关键．
【详解】解： ，
，
，故答案为： ．
18.已知 的三边分别为 ，化简 ．
【答案】4
【分析】本题考查了三角形的三边关系以及二次根式的化简，正确理解二次根式的性质是关键．
首先根据三角形的三边的关系求得 的范围，然后根据二次根式的性质进行化简．
【详解】解： 、 、5是三角形的三边，
，
， ，
原式 ．
故答案为：4．
19.已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：
化简： ．
【答案】
【分析】此题考查了实数的运算，以及实数与数轴，熟练掌握二次根式性质及绝对值的代数意义是解本题
的关键．先根据数轴判断a、b、c的取值范围，利用二次根式、立方根性质化简，判断绝对值里面的数的
正负号，去掉绝对值，最后再合并同类项．
【详解】解：由图可知： ，且 ，
，
故答案为： ．
20．（25-26八年级上·湖南永州·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答
下面的问题．（本题10分）
化简： ．
解：隐含条件 ，解得 ．
所以 ．
所以原式 ．
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简： ．
【类比迁移】（2）实数 在数轴上的位置如图所示，化简 ．
【答案】（1） (2)
【分析】本题主要考查了化简二次根式，数轴，绝对值化简等知识，熟练掌握二次根式有意义的条件和绝对值的化简，是解题的关键．
（1）根据二次根式被开方数有意义的条件得出不等式从而解出 的取值范围，再根据范围进行开方和绝对
值的化简即可解答．
（2）由数轴得出 、 、 的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴原式 ，
，
，
．
（2）∵实数 在数轴上的位置如图所示，
∴ ， ，
∴原式 ，
，
．
题型六、含隐含条件的参数范围化简二次根式
21．（25-26八年级上·上海·月考）化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简，解决问题的关键是利用二次根
式的基本性质进行化简．
由题意可得 ，将 变形为 ，再利用二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：由题意可得， ，即 ，
∴ ．
故答案为： ．
22．（25-26八年级上·上海·月考）化简二次根式 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简及有意义的条件，解题的关键是先根据二次根式的被开方数非负确定的范围，再将根号外的因式移到根号内化简．
先由 得 ，从而确定 的符号；再将 变形为负的形式，移到根号内进行化简．
【详解】解：由二次根式有意义的条件，得 ，
，即 ，
．
原式 ．
故答案为： ．
23．（25-26八年级上·上海·月考）化简：当 时， ．
【答案】
【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简．由条件 且平方根内表达式非负，推出 且 ，
再将平方根内的表达式分解为平方因子和非平方因子进行化简，即可求解．
【详解】解：∵ ，且 为实数，
∴ ，
∵ 和 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ 且 ．
∴ ．
故答案为： ．
24．（25-26八年级上·上海·期中）把 根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式，
正确的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，由根号下的表达式 可知， ，因此移动因式时
需考虑符号，利用二次根式的性质进行化简．
【详解】解：由 得 ，
∴ ，
∴设 ，则 ，原式为∴ ，
代入 ，得原式 ．
故答案为： ．
题型七、复杂的复合二次根式化简
25.阅读材料．
把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是 且 ，则把 变成
开方，从而使得 化简．
如：
解答问题：
(1)填空： ______， ______．
(2)
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
（1）仿照例题，根据 ，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而
得出答案．
（2）根据材料提供计算步骤，对 进行化简，进行计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
；
，
；
（2）解：．
26.有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 、 ，使 且 ，则将
将变成 ，即变成 开方，从而使得 化简．
例如， ，
请仿照上例解下列问题：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简、运算，
（1）结合题干思路方法作答即可；
（2）结合题干思路方法作答即可．
【详解】（1）解： ，
；
（2）解： ，
．
27.观察、思考、解答：
反之
(1)仿上例，化简： ______， ______．
(2)若 ，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由；
【答案】(1) ，
(2) ；理由见解析【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；
（1）仿照例子，根据完全平方公式的特点化简即可；
（2）由题意知， ，用完全平方公式，再进行比较即可确定m、n与a、b的关系．
【详解】（1）解： ；
；
故答案为： ， ；
（2）∵ ，
∴
即 ，
∴
28.像 ，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方
式进行化简：
如： ，
再如： ，
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若 ，且 为正整数，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 ．
【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键．
（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合 、n为正整数求解即可．
【详解】（1）解： ；
故答案为：（2） ；
故答案为：
（3）∵
∴ ，
∴ ，，
∴
又∵ 、n为正整数，
∴ ，或者 ，
∴当 时， ；
当 时， ．
∴k的值为： 或 ．
一、单选题
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如 的式子叫二
次根式．根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A． 的被开方数为 ，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B． 的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C．若 ， 无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D． 是二次根式，故本选项符合题意．
故选：D．
2．使得二次根式 有意义的x的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． D．
【答案】C【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“二次根式的被开方数为非负数”是解题的关
键．
根据二次根式有意义的条件，分析被开方数的取值范围，进而确定x的范围．
【详解】解：∵ 二次根式 有意义的条件是被开方数非负，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
3．若3，4，n为三角形的三边长，则化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差
小于第三边是解题的关键．
由三角形三边关系可以确定 的取值范围为 ，再利用绝对值的性质化简表达式．
【详解】∵ 3，4， 为三角形的三边长，
∴ ,即 ，
∴ ， ，
∴ 原式 ，
故选：A．
4．已知 ，化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的化简，解答此题的关键是判定字母的符号，注意题目中的隐含条件．
首先确定出 的取值范围，再根据二次根式性质化简即可.
【详解】解： ，
，
故选：D ．
5．已知 ，则 的平方根为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了算术平方根的被开方数要大于等于0，代数式求值，正确求出x、y的值是解题的
关键．根据二次根式的被开方数非负，求出 x 的值，进而得到 y 的值，然后计算 并求其平方根．
【详解】∵ 使 和 有意义，需 且 ，
∴ 且 ，
∴ ．
当 时， ．
∴ ．
∴ 的平方根为 ．
故选D．
6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则 化简的结果是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
由数轴得 ，继而得出 ，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：由数轴得 ，
∴ ，
∴
，
故选：B．
二、填空题
7．要使代数式 有意义，则x取值范围为
【答案】 且
【分析】本题考查代数式有意义的条件，需同时考虑二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，再进
一步求解即可．
【详解】解：∵代数式 有意义，
∴ 且 ，
即 且 ；
故答案为： 且 ．8．已知 是整数，则满足条件的最小正整数 的值为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查二次根式的运算．根据题意可得 是完全平方数，即可求解．
【详解】解：∵ 是整数，
∴ 是完全平方数，
∴满足条件的最小正整数 的值为1，此时 ，满足条件．
故答案为：1
9．已知 ，则 的算术平方根为 ．
【答案】2
【分析】本题考查二次根式有意义的条件及算术平方根的计算，解题的关键是根据二次根式的被开方数非
负求出 的值．
先根据二次根式有意义的条件（被开方数 ）列出关于 的不等式组，求出 的值，再代入求出 的值，
进而计算 的算术平方根．
【详解】解：要使二次根式 和 有意义，需满足：
解得： ，
将 代入 ，得： ，
，
4的算术平方根是 ，
的算术平方根为2．
故答案为：2．
10．已知 ，化简二次根式 的正确结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质求解
即可．
【详解】解：由 中被开方数总要大于等于0可知，
∵分母 ，
∴分子 ，则 ，
又 ，则 ，
∴ ，
故答案为： ．11．已知 ， 是两个连续的正奇数， ，令 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了二
次根式的性质和奇数的定义．根据奇数的定义得到 ，则 ，所以 ，
，根据二次根式的性质化简，然后去绝对值后合并即可．
【详解】解： ， 是两个连续的正奇数， ，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
12．观察下列各式：
，
，……．请运用以上的方法化简
．
【答案】 /
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可．
【详解】解：
；
故答案为： ．
三、解答题
13．已知 ，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值．熟练掌握二次根式有意义的条件，是解题的关键．
先根据被开方数为非负数求出x的值，进而求出y的值，然后代入代数式计算解题．
【详解】解：由已知可得 ，
解得 ．
则 ．∴ ．
则 ．
14．已知x，y，z满足 ．
(1)求x，y，z的值；
(2)以x，y，z为边能否构成直角三角形？若能构成直角三角形，请求出三角形的面积；若不能，请说明理
由．
【答案】(1)
(2)不能，见解析
【分析】本题考查了非负数的性质、二次根式的化简和勾股定理的逆定理，熟练掌握上述基本知识是解题
的关键；
（1）根据非负数的性质结合二次根式的性质求解即可；
（2）根据勾股定理的逆定理计算判断即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：不能构成直角三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴以x，y，z为边不能构成直角三角形．
15．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
，善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中 、 、 、 均为正整数），
则有 ， ．这样小明找到了一种把部分 的式子化为
平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 ，得： ，
；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数 、 、 、 填空： ；
(3)化简
【答案】(1) ，(2)13，4，1，2
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，分析所给的材料进行解答是解题的关键．
（1）根据上面的例子，将 ，按完全平方展开，可得出答案；
（2）由（1）可写出一组答案，不唯一；
（3）将 展开得出 ，由题意得 ， ，再
由a、m、n均为正整数，可得到 ，根据二次根式的性质可得出答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ；
故答案为： ， ．
（2）由（1）可得 ， ， ， ；
故答案为：13，4，1，2．
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵m、n均为正整数，
∴ ， ；
∴
∴ ．
16．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简： ，
解：隐含条件 ，解得： ．
，
原式 ．
【启发应用】
（1）按照上面的解法， 隐含的条件是： ________．
（2）按照上面的解法，试化简 ．【类比迁移】
（3）已知a，b，c为 的三边长．化简： ．
【答案】（1） ；（2）1；（3） ．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质 以及绝对值的化简，三角形的三边
关系的应用，解题的关键在于根据二次根式的有意义的条件，利用绝对值化简二次根式．
（1）根据二次根式被开方数非负的性质回答即可；
（2）根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，根据二次根式的性质 进行
化简计算；
（3）根据三角形三边关系确定 和 的正负性，再对二次根式进行化简计算．
【详解】解：（1） ，
，
故答案为： ；
（2）由（1）可知： ，
，
，
；
（3） ，b，c为 的三边长，
， ，
， ，
．
17．材料：如何将双重二次根式 （ ， ， ）化简呢？如能找到两个数 ，
（ ， ），使得 ，即 ，且使 ，即 ，那么
， ，双重二次根式得以化简．
例如化简： ，
因为 且 ，
，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成 的形式，且能找到 ， （ ， ），使得
，且 ，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：(1)填空： = =
(2)化简： ；
(3)计算： ．
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，解题关键是掌握二次根式
的运算法则，读懂题意，根据材料中的方法化简双重二次根式．
（1）根据材料中的方法，得到 且 ； 且 ，即可将 配方成
， 配方成 ，进而得出答案；
（2）将 化成 ，再根据 ， ，可将 配方成 ，即可得
出答案；
（3）将 化成 ，再根据材料中的方法，化简得
， ，然后再代入 计算，即可得出答案．
【详解】（1）解：因为 且 ，
，
，
故答案为： ；
因为 且 ，
，
，
故答案为： ．
（2）解：
因为 且 ，
，
，
．（3）解： ，
因为 且 ，
，
，
因为 且 ，
，
，
．
