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专题 01 二次根式的性质
目录
A 题型建模 ・ 专项突破
题型一、二次根式的识别 .................................................................................................................................... 1
题型二、根据二次根式的定义求字母的值 .........................................................................................................3
题型三、根据二次根式有意义条件求范围 .........................................................................................................4
题型四、根据二次根式有意义求值 .....................................................................................................................5
题型五、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 ..................................................................................7
题型六、含隐含条件的参数范围化简二次根式 .................................................................................................9
题型七、复杂的复合二次根式化简 ...................................................................................................................10
B 综合攻坚 ・ 能力跃升
题型一、二次根式的识别
1 ．（25-26 九年级上·山西临汾·期中）下列式子中，不属于二次根式的是 ( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．（25-26 七年级上·黑龙江大庆·月考）下列各式中，是二次根式的是 ( )
A ． B ． C ． D ．
3．（2025 八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式 ， ， ， 中是二次根式的个数有
( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
4 ．（25-26 九年级上·四川遂宁·期中）下列式子中，不一定是二次根式的是 ( )
A ． B ． C ． D ．
题型二、根据二次根式的定义求字母的值
5 ．（25-26 八年级上·全国·单元测试）已知 是整数，则正整数 m 的最小值是 ( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
6 ．（24-25 八年级下·江西赣州·月考）已知 是正整数，则整数 的最大值为 ( )
A ．2025 B ．2024 C ．2 D ．1
7 ．（24-25 八年级下·甘肃甘南·月考）如果 是一个正整数，则整数 m 的值可以是 ( )
A ．0 B ．3 C ． D ．
8 ．（25-26 八年级上·贵州铜仁·期中）已知 a 是正整数，且 的值是整数，则正整数 a 所有可能的值
的
1 / 6和为 ( )
A ．136 B ．131 C ．100 D ．94
题型三、根据二次根式有意义条件求范围
9 ．（25-26 九年级上·吉林长春·期末）若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ( )
A ． B ． C ． D ．
10 ．（25-26 八年级上·重庆·期中）若代数式 有意义，则 的取值范围是 ( )
A ． B ． C ． D ．
11．（24-25 八年级上·贵州铜仁·期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是
.
12 ．（25-26 八年级上·四川达州·月考）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范
围是 ．
题型四、根据二次根式有意义求值
13 ．（25-26 八年级上·湖南常德·期中）若 ，则 的值为 ．
14 ．（25-26 八年级上·湖南永州·期中）若 ，则 ．
15 ．（25-26 八年级上·四川成都·期中）若 ，则 的平方根为 ．
16 ．（25-26 七年级上·山东东营·月考）已知 ，则 的算术平方根是 ．
题型五、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
17. 当 时，化简： ．
18. 已知 的三边分别为 ，化简 ．
19. 已知点A 、B 、C 在数轴上表示的数 a 、b 、c 的位置如图所示：
化简： ．
20 ．（25-26 八年级上·湖南永州·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答
下面的问题．（本题 10 分）
化简： ．
解：隐含条件 ，解得 ．
2 / 6所以 ．
所以原式 ．
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简： ．
【类比迁移】（2）实数 在数轴上的位置如图所示，化简 .
题型六、含隐含条件的参数范围化简二次根式
21 ．（25-26 八年级上·上海·月考）化简： ．
22 ．（25-26 八年级上·上海·月考）化简二次根式 ．
23 ．（25-26 八年级上·上海·月考）化简：当 时， ．
24 ．（25-26 八年级上·上海·期中）把 根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式，
正确的结果是 ．
题型七、复杂的复合二次根式化简
25. 阅读材料．
把根式 进行化简，若能找到两个数 m 、n ，是 且 ，则把 变成
开方，从而使得 化简．
如：
解答问题：
(1)填空： ______ ， ______．
(2)
26.有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 、 ，使 且 ，则
将
将变成 ，即变成 开方，从而使得 化简．
例如， ，
请仿照上例解下列问题：
3 / 63 / 6(2) ．
27.观察、思考、解答：
反之
(1)仿上例，化简： ______ ， ______．
(2)若 ，则 m 、n 与 a 、b 的关系是什么？并说明理由；
28.像 ，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方
式进行化简：
如： ，
再如： ，
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若 ，且 为正整数，求 的值．
一、单选题
1 ．下列各式中，一定是二次根式的是 ( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．使得二次根式 有意义的 x 的取值范围是 ( )
A ． 且 B ． C ． D ．
3 ．若 3 ，4 ，n 为三角形的三边长，则化简 的结果为 ( )
4 / 64 / 6A ． B ． C ． D ．
4 ．已知 ，化简二次根式 的正确结果是 ( )
A ． B ． C． D ．
5 ．已知 ，则 的平方根为 ( )
A ． B ．8 C ． D ．
6 ．实数 a ，b 在数轴上的位置如图所示，则 化简的结果是 ( )
A ．0 B ． C． D ．
二、填空题
7 ．要使代数式 有意义，则 x 取值范围为
8 ．已知 是整数，则满足条件的最小正整数 的值为 ．
9 ．已知 ，则 的算术平方根为 ．
10 ．已知 ，化简二次根式 的正确结果是 ．
11 ．已知 ， 是两个连续的正奇数， ，令 ，则 的值为 ．
12 ．观察下列各式：
,
, … … . 请运用以上的方法化简
.
三、解答题
13 ．已知 ，求 的值．
14 ．已知 x，y ，z 满足 ．
(1)求 x，y ，z 的值；
(2)以x，y，z 为边能否构成直角三角形？若能构成直角三角形，请求出三角形的面积；若不能，请说明理
由．
15 ．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
, 善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中 、 、 、 均为正整数），
则有 ， ．这样小明找到了一种把部分 的式子化
为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
5 / 6(1)当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 ，
得： ，
5 / 6;
(2)利用所探索的结论，找一组正整数 、 、 、 填空： ；
(3)化简
16 ．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简： ，
解：隐含条件 ，解得： ．
,
原式
． 【启发应用】
（1）按照上面的解法， 隐含的条件是： ________．
（2）按照上面的解法，试化简 ．
【类比迁移】
（3）已知 a ，b ，c 为 的三边长．化简： ．
17 ．材料：如何将双重二次根式 （ ， ， ）化简呢？如能找到两个数
， ( , ), 使得 ，即 ，且使 ，即 ，
那么
, , 双重二次根式得以化
简．例如化简： ，
因为 且 ，
,
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成 的形式，且能找到 ， （ ， ），
使得
, 且 ，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根
式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空： = =
(2)化简： ；
(3)计算： ．
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