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专题 01 二次根式的性质
目录
A题型建模・专项突破
题型一、二次根式的识别......................................................................................................................................1
题型二、根据二次根式的定义求字母的值..........................................................................................................3
题型三、根据二次根式有意义条件求范围..........................................................................................................4
题型四、根据二次根式有意义求值......................................................................................................................5
题型五、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式..................................................................................7
题型六、含隐含条件的参数范围化简二次根式..................................................................................................9
题型七、复杂的复合二次根式化简....................................................................................................................10
B综合攻坚・能力跃升
题型一、二次根式的识别
1．（25-26九年级上·山西临汾·期中）下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级上·黑龙江大庆·月考）下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式 ， ， ， 中是二次根式的个数有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）下列式子中，不一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
题型二、根据二次根式的定义求字母的值
5．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知 是整数，则正整数m的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（24-25八年级下·江西赣州·月考）已知 是正整数，则整数 的最大值为（ ）
A．2025 B．2024 C．2 D．1
7．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如果 是一个正整数，则整数m的值可以是（ ）
A．0 B．3 C． D．8．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且 的值是整数，则正整数a所有可能的值
的和为（ ）
A．136 B．131 C．100 D．94
题型三、根据二次根式有意义条件求范围
9．（25-26九年级上·吉林长春·期末）若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（25-26八年级上·重庆·期中）若代数式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是
．
12．（25-26八年级上·四川达州·月考）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
．
题型四、根据二次根式有意义求值
13．（25-26八年级上·湖南常德·期中）若 ，则 的值为 ．
14．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若 ，则 ．
15．（25-26八年级上·四川成都·期中）若 ，则 的平方根为 ．
16．（25-26七年级上·山东东营·月考）已知 ，则 的算术平方根是 ．
题型五、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
17.当 时，化简： ．
18.已知 的三边分别为 ，化简 ．
19.已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：
化简： ．
20．（25-26八年级上·湖南永州·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答
下面的问题．（本题10分）
化简： ．解：隐含条件 ，解得 ．
所以 ．
所以原式 ．
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简： ．
【类比迁移】（2）实数 在数轴上的位置如图所示，化简 ．
题型六、含隐含条件的参数范围化简二次根式
21．（25-26八年级上·上海·月考）化简： ．
22．（25-26八年级上·上海·月考）化简二次根式 ．
23．（25-26八年级上·上海·月考）化简：当 时， ．
24．（25-26八年级上·上海·期中）把 根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式，
正确的结果是 ．
题型七、复杂的复合二次根式化简
25.阅读材料．
把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是 且 ，则把 变成
开方，从而使得 化简．
如：
解答问题：
(1)填空： ______， ______．
(2)
26.有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 、 ，使 且 ，则将
将变成 ，即变成 开方，从而使得 化简．
例如， ，请仿照上例解下列问题：
(1) ；
(2) ．
27.观察、思考、解答：
反之
(1)仿上例，化简： ______， ______．
(2)若 ，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由；
28.像 ，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方
式进行化简：
如： ，
再如： ，
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若 ，且 为正整数，求 的值．
一、单选题
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．使得二次根式 有意义的x的取值范围是（ ）A． 且 B． C． D．
3．若3，4，n为三角形的三边长，则化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ，则 的平方根为（ ）
A． B．8 C． D．
6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则 化简的结果是（ ）
A．0 B． C． D．
二、填空题
7．要使代数式 有意义，则x取值范围为
8．已知 是整数，则满足条件的最小正整数 的值为 ．
9．已知 ，则 的算术平方根为 ．
10．已知 ，化简二次根式 的正确结果是 ．
11．已知 ， 是两个连续的正奇数， ，令 ，则 的值为 ．
12．观察下列各式：
，
，……．请运用以上的方法化简
．
三、解答题
13．已知 ，求 的值．
14．已知x，y，z满足 ．
(1)求x，y，z的值；
(2)以x，y，z为边能否构成直角三角形？若能构成直角三角形，请求出三角形的面积；若不能，请说明理
由．
15．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
，善于思考的小明进行了以下探索：设 （其中 、 、 、 均为正整数），
则有 ， ．这样小明找到了一种把部分 的式子化为
平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 ，得： ，
；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数 、 、 、 填空： ；
(3)化简
16．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简： ，
解：隐含条件 ，解得： ．
，
原式 ．
【启发应用】
（1）按照上面的解法， 隐含的条件是： ________．
（2）按照上面的解法，试化简 ．
【类比迁移】
（3）已知a，b，c为 的三边长．化简： ．
17．材料：如何将双重二次根式 （ ， ， ）化简呢？如能找到两个数 ，
（ ， ），使得 ，即 ，且使 ，即 ，那么
， ，双重二次根式得以化简．
例如化简： ，
因为 且 ，
，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成 的形式，且能找到 ， （ ， ），使得
，且 ，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空： = =(2)化简： ；
(3)计算： ．
